Mi a számsor következő tagja: 11, 8, 15, 12, 18, 28, 36, 20, 39? Bizonyára sokan emlékszünk matematikaóráinkon hasonló kérdésekre, amelyek egyik pedagógiai célja a számolási készség fejlesztése, de még hangsúlyosabban a szabályok, összefüggések felismerésére nevelés. A matematikaórákon a számsorozatokat a tanárunk állította össze oktatási céllal, ezért soha nem gondoltuk, hogy gyakorlati haszna lehet ilyen sorozatok szabályán gondolkozni. A fenti sorozat a jelenlegi járvány hazai fertőzötteinek számát tartalmazza az első néhány napon. Így mindjárt komolyabb tartalmat nyer a szabályok, összefüggések felismerésének készsége.
Íme néhány más sorozat:
123, 172, 472, 970, 1424, 1535, az okostelefon-eladások millió darabban 2007-től két évenként,
623, 907, 1608, 3018, 4448, 6134, Földünk lakossága millió főben 1700-tól száz évenként,
650, 150, 90, 54, egy antibiotikum mennyisége a vérben milligrammban a gyógyszer bevétele után óránként,
végül 8550, 8640, 8740, 8730, 8750, 8770, 8780, az OTP részvény árfolyama forintban 2017 március 16-án óránként.
Bármelyik sorozat esetében sokan sokat adnának azért, hogy a sorozat következő néhány tagját előre meg tudják mondani. Iskolai emlékeink alapján azt gondoljuk, hogy pusztán a sorozat számainak hosszas „nézegetésével” fel lehet ismerni valami „misztikus” szabályt, amivel a további tagok kiszámolhatók. A matematika azonban ennél összetettebb módszereket dolgozott ki az elmúlt néhány száz év során. Most a járvány foglalkoztat mindnyájunkat, így az első sorozat kapcsán mutatunk be néhány gondolatot arról, hogy a modern matematikai gondolkozás hogyan közelít meg ilyen kérdéseket.
Matematikai modell
Európában a XVII. századra érett meg az áttörés a fizikai folyamatok matematikai modellezése terén, biztos sokan hallottunk Newton almájáról, vagy Galilei kísérletéről a pisai ferde toronyban. Ekkor fedezték fel (egyesek szerint inkább kitalálták) a differenciál- és integrálszámítást (összefoglaló néven kalkulust) elsősorban a fizikai folyamatok leírását lehetővé tevő differenciálegyenletek bevezetése céljából. Ezek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen nem egy szám, hanem egy függvény, például a toronyból leejtett tárgy helye az idő függvényében, vagy a Föld pályája a Nap körül, hogy az előbbi két tudós kutatásaihoz kapcsolódjunk. A matematika érettségi anyaga a legtöbbek számára a XVII. századi matematika előtt véget ér, néhányan mégis találkoznak a kalkulus elemeivel, ami a természettudományi, mérnöki, informatikai, gazdasági egyetemi képzések bevezető matematika anyagának alapja. A bevezetésben említett számsorok megfejtése differenciálegyenleteken alapszik. Egy híres mondás szerint a matematika megértéséhez „nincs királyi út”.1 Az egymásra épülő fogalmak és módszerek megismerése fokozatosan történik az iskolában tanult matematikai készségekből kiindulva, a különböző matematikai módszerek (pl. a fent említett kalkulus) használatának elsajátításán keresztül az elvont fogalmak kiépítéséig. Ezeken a lépcsőkön egyre kevesebb embernek van kapacitása, ideje, energiája végigmenni, és egyre kevesebben engedhetik maguknak, hogy a matematika szépségének és mélységének hódoljanak, így a matematikus mire doktorál, egy elég szűk családban találja magát. Amikor a szűk matematikus családon kívül valaki érdeklődik a fenti számsor következő néhány tagja iránt, akkor nehéz dolga van a matematikusnak még akkor is, ha vannak eszközei a számok előrejelzésére. Most mégis megpróbálkozunk néhány szerény lépést tenni ezen az úton, bízva az olvasó kitartásában.
A járványterjedés matematikai modellezése
A már említett XVII. századi áttörés óta a fenti típusú számsorok megfejtésének általános kiindulási pontja egy modell létrehozása, ami valójában egy matematikai struktúra, nem a valóság pontos mása. Nézzük, hogy a járványterjedés modellezése milyen alapgondolatból indul el. A XX. század elején kidolgozott modell az egyedeket néhány csoportra osztja a fertőzés állapota szerint. A legegyszerűbb modell három csoportot különböztet meg: fogékonyak (jele \( S\) az angol susceptible szóból), fertőzők (\( I\), infectious) és gyógyultak (\( R\), recovered vagy removed). A járvány terjedése előtt az összes egyed fogékony, és a járvány néhány fertőző egyed megjelenésével kezdődik. A kérdés, hogy egy későbbi időpontban mennyi a fertőzöttek száma. Ekkor kerül a képbe a differenciálegyenlet, ami a folyamatot modellezi, azaz összefüggést ad az \( S\), \( I\) és \( R\) megváltozása és ezek aktuális értéke között. Például egy egyszerű modellfeltevés, hogy az \( R\) növekedése arányos az \( I\) mennyiségével. Az adatok mutatják meg, hogy ez a feltevés helytálló-e, illetve azokból határozható meg, hogy mekkora az arányossági tényező. Az elszánt Olvasó kedvéért bemutatjuk a három változóra vonatkozó legegyszerűbb differenciálegyenleteket, azaz a legegyszerűbb matematikai modellt. \[\displaystyle \begin{align} \dot S(t)&= -\beta \frac{I(t)}{N}\\ \dot I(t)&= \beta \frac{I(t)}{N} -\gamma I(t)\\ \dot R(t)&= \gamma I(t) \end{align}\]
Ebben a pont jelenti az idő szerinti deriválást, \( N\) a populáció egyedszáma, \( \beta\) az úgynevezett fertőzési ráta, \( \gamma\) pedig a gyógyulási ráta. Az egyenlet kifejezi, hogy az \( S\) állapotból az egyedek az \( I\)-be, az \( I\)-ből pedig az \( R\)-be kerülhetnek az egyenletekben szereplő rátákkal. Sajnos az egyenletek megoldásának elemzése a „nincs királyi út” kategóriába esik, így ebben az írásban elrejtve marad az olvasó előtt. Az eredményt viszont meg tudjuk mutatni az 1. ábrán.
Ezen a 2016-os hazai influenzajárvány adatai látszanak (piros körökkel), valamint a modellből kapott értékek (kék csillagok). A vízszintes tengelyen az idő látszik hetekben a járvány januári indulásától számolva, a függőleges tengelyen pedig a hetente jelentett új fertőzöttek száma 100 ezer főre vetítve (tehát a teljes hazai népességben ez a szám százszor ekkora). A modell valamennyire jó közelítést ad a járvány folyamatáról, de láthatjuk, hogy nem tud minden adatot pontosan visszaadni. Elsőként figyeljük meg, hogy a fertőzöttek száma emelkedik egy darabig, majd csökkenni kezd és nagyjából 20 hét alatt a járvány véget ért. Az \( R\) értékét is ábrázolva láthatjuk, hogy hányan estek át a betegségen a járvány teljes lefolyása során. Erre itt kb. 3400-at kapunk, az említett 100 ezer főre vetítve, azaz nagyjából a lakosság 3,4 százaléka esett át abban az évben az influenzán (legalábbis a hivatalos orvosi bejelentések alapján).
Mire következtethetünk a matematikai modell segítségével?
A járvány terjedése során három fontos fogalmat szoktak emlegetni, melyeket a matematikai modellek segítségével lehet precízen értelmezni:
\( \bullet\) alap reprodukciós szám \( R_0\),
\( \bullet\) a fertőzöttek maximális száma
\( I_{\mathrm{max}}\),
\( \bullet\) a fertőzésen átesettek száma
\( R_{\infty}\).
Nézzük mit jelentenek ezek, és a modellből hogyan határozhatók meg. Az alap reprodukciós szám, \( R_0\), azt mutatja meg, hogy a járvány kezdetén egy beteg átlagosan hány egészséges egyedet fertőz meg. A differenciálegyenletekből az analízis egyszerű eszközeivel levezethető, hogy \[\displaystyle R_0=\frac{\beta}{\gamma}.\]
Az 1. ábrán bemutatott görbén látható, hogy az \( I\) függvénynek egy maximuma van. Ez nemcsak a konkrét példában van így, hanem általánosan is igazolható. A függvény maximum értékét jelöli \( I_{\mathrm{max}}\). Ez mutatja, hogy az egészségügyi ellátórendszert érő legnagyobb terhelés mekkora, azaz legfeljebb hány ember lesz a járvány folyamán egyszerre az \( I\) kategóriában. Szintén egyszerű számolás mutatja, hogy \[\displaystyle I_{\mathrm{max}}= \frac{N}{R_0}(R_0-1-\ln(R_0)).\]
Végül a fertőzésen átesettek száma az \( R\) függvény értéke a járvány lefolyása végére (amikor \( I\) értéke visszatér nullára). Mivel a járvány lefolyásának idejét nem ismerjük, ennek precíz definíciója: az \( R\) függvény határértéke \( t\) tart végtelen esetén, amit \( R_{\infty}\) jelöl. Az előbbieknél kicsit bonyolultabb számolással levezethető, hogy az \( x=\frac{R_{\infty}}{N}\) arány teljesíti az \[\displaystyle 1-x=\mathrm{e}^{-R_0 x}\] transzcendens egyenletet. Ennek numerikus megoldása egyszerű feladat, így az \( N\), \( \beta\) és \( \gamma\) paraméterek ismeretében könnyen meg lehet mondani, hogy hányan fognak átesni összesen a fertőzésen.
E három fontos járványtani mennyiség összefüggése világos az egyenletekből. Az \( R_0\) értéke meghatározza a másik kettőt. A járvány elleni védekezés fontos módja az egyedek elszigetelése (karantén), azaz a \( \beta\) és ezáltal az \( R_0\) csökkentése. Láthatjuk, hogy ezzel csökken az \( I_{\mathrm{max}}\), vagyis az egészségügyi ellátórendszer terhelése, viszont ezzel együtt az \( R_{\infty}\) is, azaz nem alakul ki a nyájimmunitás, a társadalom széles védettsége. A két mennyiség kapcsolatát mutatja a 2. ábra. A vízszintes tengelyen az \( \frac{R_{\infty}}{N}\) arány, a függőlegesen pedig az \( \frac{I_{\mathrm{max}}}{N}\) arány van feltüntetve. Ez mutatja például, hogy ha a nyájimmunitáshoz a társadalom 80 százalékának kell átesnie a fertőzésen (azaz \( \frac{R_{\infty}}{N}=0.8\)), akkor a járvány legrosszabb időszakában a társadalom kb. 15 százaléka beteg (azaz \( \frac{I_{\mathrm{max}}}{N}=0.15\)).
A modell általánosításai
A modell általánosítását a valósággal való összehasonlítás motiválja. Nézzük meg az 1. ábra alapján a modell pontatlanságából eredő következtetéseket. Azt láthatjuk, hogy az első hetekben a modell nagyobb fertőzöttséget jelez, mint az adatok. Másképp nézve, ha valaki ez első néhány hét adatai alapján határozná meg a modell paramétereit, akkor kisebb járványt jósolna. Ez arra sarkallja az epidemiológiai szakembereket, és a matematikusokat, hogy pontosabb modellt készítsenek. A pontosabb modell rendszerint több csoportra osztja a társadalmat, például korosztályokat hoz létre az \(S\), \(I\) és \(R\) kategóriákon belül, vagy terület szerint is felbontja a teljes populációt kisebb részekre. (Lásd pl. ebben a számban Garay Barnabás és Molnár Zsófia cikkét.) Ezek a modellek már több egyenletből állnak (ezért tudnak pontosabb előrejelzést adni), viszont emiatt több paramétert is tartalmaznak, amelyeket az adatokból nem könnyű pontosan meghatározni. A legrészletesebb modell a társadalom minden egyes tagját külön kezeli, és valamilyen módon az emberek közötti kapcsolatokat is figyelembe veszi, ezért hálózati modellnek is nevezik, és a hálózattudomány modern eszköztárán alapszik. (A járványterjedés hálózatelméleti megközelítéséről szól a szerző nemrégiben megjelent könyve: [1]).
A jelenlegi járvány leírására is már számtalan modell született, és sokan sokféle módon próbálják előre jelezni a járvány lefolyását, valamint segíteni a döntéshozókat. A hazai stratégia a járványgörbe ún. ellaposítása, ami azt jelenti, hogy a fenti görbe maximuma ne érjen el olyan nagy értéket, ami túlterheli az egészségügyi ellátórendszert. A görbét a modellben szereplő paraméterek módosításával tudjuk befolyásolni, amint azt az előbb a legegyszerűbb modell esetében megvizsgáltuk és a 2. ábrán bemutattuk. Természetesen az összetett modellekben nem egyetlen paraméter szerepel (mint fent az \( R_0\) volt), hiszen a fertőzési ráta különbözhet korosztályonként és területenként, de akár munkahelyenként is. A mostani kutatások tárgya éppen az, hogy ezek a modellek mennyire illeszkednek jól az adatokhoz, és a folyamat irányításában hogyan használhatók, milyen korlátozások bevezetését mutatják leghatékonyabbnak. Ezeken felül, ha az oltóanyag elkészül, akkor annak eldöntésében is segítenek, hogy a társadalom mely csoportjait milyen sorrendben célszerű beoltani, hogy minél hamarabb visszatérhessen az élet a megszokott kerékvágásba. A kérdések látszólag egyszerűek, azonban az egyre összetettebb modellek létrehozása és vizsgálata számos kutatónak jelent kihívást.
Zárógondolat
Végezetül visszatérve a bevezetésben mutatott számsorozatokhoz, mindegyikhez tartozik egy-egy matematikai modell, amely segít a folyamat megértésében, előrejelzésében és irányításában. Ezzel matematikusok ezreinek, akik 5 év egyetemi képzés során végigjárták a fent említett lépcsőket, munkát adva. Mai, technológiai társadalmunk működése így elképzelhetetlen az összetett matematikai modellek használata nélkül. (Érdekes írás ezzel kapcsolatban [2]).
Nem csoda tehát, hogy a matematika szakot végzett hallgatók annyira könnyen el tudnak helyezkedni kiváló munkahelyeken. Örömmel látjuk, hogy ennek híre van a pályaválasztó fiatalok között, idén több mint 10 százalékkal nőtt az ELTE matematika alapszakára első helyen jelentkezett hallgatók száma.
Simon L. Péter
ELTE, Matematikai Intézet
Numerikus analízis és nagy hálózatok MTA-ELTE Kutatócsoport
