Ez a cikk több szempontból is Pálvölgyi Dömötör MI-ről és matematikáról szóló írásának folytatása. Az eredmény, amelyről beszámolunk, ugyanabból a gondolatkörből nőtt ki, amely az egységtávolságok problémájánál is fontos szerepet játszott. Hasonlóan Dömötör cikkéhez, itt is a szöveg egyes részei a ChatGPT-vel folytatott beszélgetés segítségével készültek. (A mellékelt fotó forrása: https://www.vpnsrus.com/)
A probléma, amelyet bemutatunk, sok szálon kapcsolódik magyar matematikusok munkájához. Az eredeti kérdésfeltevők mellett Elekes György, Balog Antal, Ruzsa Imre, Hegyvári Norbert és a szerző is dolgozott a témában.
Összegek és szorzatok
Az Erdős és Szemerédi által felvetett összeg–szorzat (sum-product) probléma egy nagyon egyszerű kérdéssel indul: ha veszünk néhány számot, majd páronként összeadjuk és összeszorozzuk őket, akkor hány különböző eredményt kapunk?
Ha \(A\) egy véges számhalmaz, akkor ezt a két eredményhalmazt így jelöljük: \[\displaystyle A+A=\{a+b:a,b\in A\},\qquad AA=\{ab:a,b\in A\}. \] Az \(A+A\) halmazt összeghalmaznak, az \(AA\) halmazt szorzathalmaznak nevezzük.
Egy \(n\) elemű számtani sorozatnak kevés páronkénti összege van: mindössze \(2n-1\). Egy \(n\) elemű mértani sorozatnak hasonlóan kevés páronkénti szorzata van. Ugyanakkor a számtani sorozat páronkénti szorzatai, illetve a mértani sorozat páronkénti összegei tipikusan nagy, majdnem \(n^2\) elemű halmazt adnak. Mintha az összeadás és a szorzás nem szeretné ugyanazokat a halmazokat rendezettnek látni.
A nagy kérdés az volt, hogy lehet-e mindkét halmaz nemcsak egy logaritmikus tényezővel, hanem egy valódi hatvánnyal kisebb a négyzetes nagyságrendnél: lehet-e egyszerre legfeljebb \(|A|^{2-c}\) nagyságú az \(A+A\) és az \(AA\) valamely rögzített \(c>0\) mellett? Bloom, Sawin, Schildkraut és Zhelezov 2026-os eredménye szerint valós számokra ez valóban lehetséges [11].
Erdős Pál már egy 1976-os problémagyűjteményében megfogalmazta ezt a kérdést [1]. Erdős és Szemerédi a nyolcvanas évek elején egész számhalmazokra bizonyították az első általános eredményeket [2]. A probléma lényege így foglalható össze: az összeadás és a szorzás között valódi feszültség van. Valós és komplex számhalmazokra is tudjuk, hogy létezik pozitív \(\varepsilon\), amelyre legalább az egyik halmaz, \(A+A\) vagy \(AA\), lényegesen nagyobb \(|A|^{1+\varepsilon}\)-nál.
A sejtett kép ennél sokkal erősebb volt. Azt várták, hogy az egyik halmaz majdnem a lehető legnagyobb, vagyis majdnem \(|A|^2\) méretű. Formálisan: \[\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\ge |A|^{2-o(1)}. \] Itt az \(o(1)\) olyan mennyiséget jelöl, amely \(|A|\) növekedésével nullához tart. Más szóval: a sejtés szerint bármilyen előre rögzített \(\varepsilon>0\) mellett, elég nagy \(A\)-ra legalább az egyik halmaznak \(|A|^{2-\varepsilon}\) nagyságrendűnek kell lennie.
A problémát Elekes György kapcsolta össze a diszkrét geometriával. Szép bizonyítása pontok és egyenesek illeszkedéseire vezette vissza a kérdést, a Szemerédi–Trotter-tételt használva [3, 4]. Később Chang, a szerző és mások eredményei vitték tovább a geometriai módszert [5, 7]; ezt többek között Konyagin és Shkredov javította tovább [8]. A becslések ebben az irányban egyre erősebb alsó korlátokat adtak arra, hogy az összeg- vagy a szorzathalmaznak milyen nagynak kell lennie. Véges testekben a történetnek külön ága van; ennek egyik alapcikke Bourgain, Katz és Tao munkája [6].
Egy kis kitérő: energia
Nemcsak azt kérdezhetjük, hány különböző összeg vagy szorzat keletkezik, hanem azt is, hogy ugyanaz az eredmény hányféleképpen áll elő. Az additív energia azoknak a rendezett négyeseknek a száma, amelyekre \[\displaystyle a+b=c+d \qquad (a,b,c,d\in A), \] a multiplikatív energia pedig azoké, amelyekre \(ab=cd\). Jelöljük ezeket \(E_+(A)\)-val, illetve \(E_{\times}(A)\)-val. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből \[\displaystyle E_+(A)\ge \frac{|A|^4}{|A+A|},\qquad E_{\times}(A)\ge \frac{|A|^4}{|AA|}. \] Tehát a kis összeghalmaz sok additív, a kis szorzathalmaz sok multiplikatív ismétlődést kényszerít ki.
A fordított irány viszont csalóka. Ha egy számtani és egy mértani sorozat unióját vesszük, akkor az egyik rész nagy additív, a másik nagy multiplikatív energiát ad, de a két szerkezet két külön „sarokban” ül. Balog és Wooley ezt a jelenséget használta fel annak megmutatására, hogy az összeg–szorzat probléma természetes energiaváltozata nem lehet igaz [9].
A következő egyszerű példa már sokkal közelebb visz az új ellenpélda lelkéhez: nem uniót veszünk, hanem egymásra rétegezzük a kétféle szerkezetet.
A játékváltozat (toy version): \(A=GP\)
Legyen \[\displaystyle P=\{1,3,5,\ldots,2X-1\},\qquad G=\{1,2,4,\ldots,2^{L-1}\}, \] és legyen \[\displaystyle A=GP=\{gp:g\in G,\ p\in P\}. \] Azért vettünk páratlan számokat, hogy minden elem egyértelműen felírható legyen \(2^j p\) alakban, ahol \(p\) páratlan. Ezért \[\displaystyle |A|=XL. \]
Mit látunk ebben a halmazban? Ha \(j\) rögzített, akkor \[\displaystyle 2^j,\ 3\cdot 2^j,\ 5\cdot 2^j,\ldots,(2X-1)2^j \] egy számtani sorozat. Ha pedig \(p\) rögzített, akkor \[\displaystyle p,\ 2p,\ 4p,\ldots,2^{L-1}p \] egy mértani sorozat. Vagyis ugyanabban az \(A\) halmazban rögzített \(g\) mellett számtani sorokat, rögzített \(p\) mellett mértani sorokat látunk. Az additív és multiplikatív szerkezet már nem két külön uniórészben, hanem egymásra rétegezve jelenik meg.
Nézzük meg az összeg- és szorzathalmazokat is. Válasszuk például \[\displaystyle X=2^L. \] Ekkor \(A\) minden eleme \(O(X^2)\) nagyságú egész szám, ezért \(A+A\) legfeljebb \(O(X^2)\) elemű. Mivel \(|A|=XL\), ez \[\displaystyle |A+A|\ll \frac{|A|^2}{L^2}. \] A szorzatoknál pedig \[\displaystyle AA\subset GG\,PP. \] Itt \(GG\) csak \(O(L)\) elemű, míg \(PP\) legfeljebb \(O(X^2)\) elemű, tehát \[\displaystyle |AA|\ll LX^2\ll \frac{|A|^2}{L}. \]
Ez már egyszerre takarít meg az összeg- és a szorzathalmazban az \(|A|^2\) triviális felső korláthoz képest. A megtakarítás azonban csak logaritmikus, hiszen \(L\) nagyjából \(\log |A|\). Ez még teljesen összeegyeztethető az Erdős–Szemerédi-sejtéssel. A valós sejtés megcáfolásához nem \(|A|^2/\log |A|\) típusú példa kell, hanem valódi hatványmegtakarítás: \[\displaystyle |A|^{2-c} \] valamely rögzített \(c>0\)-ra.
Ez az egyszerű modell jó előképe annak, ami az új eredményben történik. A kérdés az: mivel lehet a ritka, egydimenziós mértani sort helyettesíteni, hogy a logaritmikus nyereségből hatványmegtakarítás legyen?
Az új ellenpélda
Az egységtávolságokra adott, MI-támogatott ellenpélda hallatán többen is arra gondoltunk, hogy a nagy fokú számtestek az összeg–szorzat problémában is új lehetőséget adhatnak. A két probléma több ponton kapcsolódik egymáshoz, és az új összeg–szorzat konstrukció szerzői is ebből az inspirációból indultak ki [11].
Tétel (Bloom–Sawin–Schildkraut–Zhelezov [11]). Létezik abszolút \(c>0\), és léteznek tetszőlegesen nagy véges \(A\subset\mathbb{R}\) halmazok, amelyekre \[\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\le |A|^{2-c}. \] Az elemek algebrai egészek egy olyan számtestben, amelynek foka \(\asymp \log |A|\).
A bizonyításban kapott konstans nagyon kicsi: a szerzők explicit számolása \(c\ge 0,00000087\) értéket ad. Ezt nem optimalizálták; az áttörés lényege nem a konstans nagysága, hanem az, hogy egy rögzített pozitív \(c\) egyáltalán létezik.
Fontos megjegyzés. Ez az eredmény nem cáfolja meg az Erdős–Szemerédi-sejtés eredeti, egész számokra vonatkozó változatát. Az ellenpéldákhoz olyan számtesteket használnak, amelyek foka a halmaz méretével együtt nő. A sejtés továbbra is igaz lehet rögzített fokú számtestekben, és különösen \(\mathbb{Z}\)-ben.
A bizonyítás technikai része algebrai számelmélet, de az alapkép meglepően közel áll az előző \(A=GP\) példához. Mielőtt visszatérünk ehhez, lássunk egy egyszerű példát arra, mit jelent egy algebrai számot egyszerre több valós koordinátában nézni.
A számoknak több „árnyékuk” lehet
A középiskolában megszokott számok mellett a számelmélet gyakran olyan számokkal dolgozik, mint \[\displaystyle a+b\sqrt2, \] ahol \(a\) és \(b\) racionális számok. Ezek alkotják a \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) számtestet.
Ugyanazt az algebrai elemet két különböző módon helyezhetjük el a valós számok között: a \(\sqrt2\) helyére \(+\sqrt2\)-t vagy \(-\sqrt2\)-t írhatunk. Például a \[\displaystyle 3+2\sqrt2 \] algebrai elem két valós képe \[\displaystyle 3+2\sqrt2 \qquad\text{és}\qquad 3-2\sqrt2. \] Ezért ehhez az elemhez a \[\displaystyle (3+2\sqrt2,\;3-2\sqrt2) \] pontot rendelhetjük a síkban. Ezt a két valós képet a továbbiakban szemléletesen a szám két „árnyékának” nevezzük.
Különösen érdekes az \[\displaystyle u=1+\sqrt2. \] Ennek másik „árnyéka” \(1-\sqrt2=-(\sqrt2-1)\), és a normája \[\displaystyle (1+\sqrt2)(1-\sqrt2)=-1. \] Ezért \(u\) egység: az inverze is algebrai egész, nevezetesen \(u^{-1}=\sqrt2-1\). A hatványai a két valós beágyazásban így viselkednek: \[\displaystyle u^n\longmapsto \bigl((1+\sqrt2)^n,\;(1-\sqrt2)^n\bigr). \] Ahogy \(n\) nő, az egyik koordináta nagyon nagy lesz, a másik pedig abszolút értékben nagyon kicsi. Egyetlen algebrai egység tehát már ebben a legegyszerűbb példában is két nagyon eltérő irányú viselkedést hordoz.
A modern algebrai számelméletben egy algebrai elemet gyakran az összes valós beágyazásában egyszerre nézünk. A fenti példában két koordináta szerepel. Az új konstrukcióban azonban a koordináták száma \(d\), ahol a felhasznált számtest foka \(d\asymp\log |A|\). Ez a magas dimenzió teszi lehetővé, hogy egyszerre sok additív és sok multiplikatív szerkezet férjen el ugyanabban a halmazban.
A magas dimenziós \(GP\)-konstrukció
Legyen \(K\) egy teljesen valós, \(d\)-ed fokú számtest. Ennek \(d\) valós beágyazása van: \[\displaystyle \sigma_1,\ldots,\sigma_d:K\hookrightarrow\mathbb{R}. \] Egy algebrai egész \(\alpha\) tehát a \[\displaystyle \bigl(\sigma_1(\alpha),\ldots,\sigma_d(\alpha)\bigr) \] ponttal ábrázolható a \(d\)-dimenziós térben. Az algebrai egészek ilyen képei egy \(d\)-dimenziós rácsot alkotnak.
Az új konstrukcióban ismét két részt választanak.
- Az additív rész, nevezzük \(P\)-nek, olyan algebrai egészekből áll, amelyek minden beágyazásban egy \(X\) körüli rövid intervallumba esnek; szemléletesen \[\displaystyle \sigma_i(p)\in[X(1-\eta),X(1+\eta)] \qquad(1\le i\le d), \] ahol \(\eta>0\) egy kis konstans. Ez a régi példában szereplő számtani sor magas dimenziós megfelelője: egy additív doboz.
- A multiplikatív rész, nevezzük \(G\)-nek, algebrai egységekből áll. Dirichlet egységtétele szerint az egységek \[\displaystyle u\longmapsto \bigl(\log|\sigma_1(u)|,\ldots,\log|\sigma_d(u)|\bigr) \] képei egy \((d-1)\) dimenziós rácsot alkotnak az \(x_1+\cdots+x_d=0\) hipersíkban. Ha ebből a rácsból egy dobozt veszünk, akkor olyan \(G\) halmazt kapunk, amelynek sok eleme van, miközben \(GG\) nem sokkal nagyobb \(G\)-nél. Ez a mértani sor magas dimenziós megfelelője.
Végül megint \[\displaystyle A=GP=\{gp:g\in G,\ p\in P\} \] alakú halmazt vesznek. A \(P\)-t definiáló intervallumokat elég rövidre választva azt is el lehet érni, hogy a felírás lényegében egyértelmű legyen: \(|A|=|G||P|\). Ez fontos, mert csak így lesz az \(A\) valóban olyan nagy, amekkorának a két tényező alapján várjuk.
Miért maradnak kicsik az összeg- és szorzathalmazok? A vázlatos okok a következők.
- \(P\) additív doboz, ezért a \(P+P\) halmaz sem szalad túl messzire.
- \(G\) multiplikatív doboz, ezért a \(GG\) halmaz sem nő túl nagyra.
- A \(G\)-beli egységek minden beágyazásban csak kontrollált mértékben nyújtják meg a \(P\) dobozt. Emiatt az \(A=GP\) elemei, majd az \(A+A\) elemei is egy kezelhető méretű additív dobozban maradnak.
- A szorzatoknál \[\displaystyle AA\subset GGPP, \] tehát a kis \(GG\) és a triviálisan kontrollálható \(PP\) együtt korlátozza a szorzathalmazt.
A döntő különbség az egydimenziós játékpéldához képest az, hogy \(G\) már nem egy exponenciálisan ritka mértani sor. A magas fokú számtestben az egységek logaritmusai sokdimenziós rácsot adnak, és ebben sokkal több elemet lehet elhelyezni úgy, hogy szorzáskor a halmaz továbbra se nőjön túl gyorsan. Ez alakítja a logaritmikus megtakarítást valódi hatványmegtakarítássá.
Mi a bizonyítás számelméleti nehézsége?
A magas dimenzió önmagában nem elég. Nem akármilyen nagy fokú számtestben működik a konstrukció: olyan testek kellenek, amelyekben sem az algebrai egészek additív rácsa, sem az egységek logaritmikus rácsa nem válik túl ritkává a dimenzió növekedésével.
E két rács sűrűségét két klasszikus számelméleti mennyiség méri. A számtest diszkriminánsa az additív rács, a regulátora pedig az egységrács alapcellájának méretét szabályozza. A bizonyításhoz olyan \(d\to\infty\) fokú teljesen valós számtestek sorozata kell, amelyeknél mindkét mennyiség legfeljebb \(C^d\) nagyságú valamely abszolút \(C\) mellett. Ilyen számtesttornyok létezése Martinet klasszikus konstrukciójából következik [10]; a regulátor megfelelő kontrollja ezekben a testekben szintén rendelkezésre áll. Az új cikkben ez az a pont, ahol a szemléletes \(GP\)-ötlet mélyebb algebrai számelmélettel találkozik [11].
Utószó: MI és matematikai kutatás
Az MI megjelenése sok fontos kérdést vet fel, amelyekre itt nem térhetünk ki. A matematika ebből a szempontból különösen érdekes terület: egy matematikai állítás végül bizonyítást igényel, ezért a pontatlanság vagy egy hibás következtetés elvben ellenőrizhető. Hogy az MI hosszabb távon hogyan alakítja át a matematikai kutatást, ma még nyitott kérdés.
Ez a példa jól mutatja, hogy az MI matematikai szerepét nem feltétlenül az ember és a gép versenyeként érdemes elképzelni. Egy erős matematikai MI gyorsan tud sok irányt megvizsgálni, korábbi eredményeket összekapcsolni, lehetséges konstrukciókat felvetni, egyszerűsítéseket keresni és egy gondolatmenet gyenge pontjait tesztelni. A bizonyítások ellenőrzése, a megfelelő matematikai kontextus felismerése és az eredmény jelentőségének megértése ugyanakkor továbbra is a kutatási folyamat lényegi része.
Az egységtávolságok problémája és az összeg–szorzat kérdés azért is figyelemre méltó, mert ezekben nem pusztán a numerikus számolás ereje került előtérbe. A matematika távoli területei közötti kapcsolatok felismerése, régi konstrukciók újrakombinálása és a magas dimenziós szerkezetek kihasználása vezetett új eredményekhez. Ebben az értelemben az MI egyre hasznosabb eszköz lehet a matematikai kutatásban — de a példák egyben azt is mutatják, mennyire fontos a pontos emberi ellenőrzés és a matematikai értelmezés.
Irodalomjegyzék
[1] P. Erdős, Some recent problems and results in graph theory, combinatorics and number theory, in: Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Congressus Numerantium XVII, Utilitas Math., Winnipeg, 1976, 3–14.
[2] P. Erdős and E. Szemerédi, On sums and products of integers, in: Studies in Pure Mathematics, Birkhäuser, Basel, 1983, 213–218.
[3] E. Szemerédi and W. T. Trotter, Extremal problems in discrete geometry, Combinatorica 3 (1983), 381–392.
[4] Gy. Elekes, On the number of sums and products, Acta Arithmetica 81 (1997), no. 4, 365–367.
[5] M.-C. Chang, The Erdős–Szemerédi problem on sum set and product set, Annals of Mathematics 157 (2003), 939–957.
[6] J. Bourgain, N. Katz and T. Tao, A sum-product estimate in finite fields, and applications, Geometric and Functional Analysis 14 (2004), 27–57.
[7] J. Solymosi, Bounding multiplicative energy by the sumset, Advances in Mathematics 222 (2009), 402–408.
[8] S. V. Konyagin and I. D. Shkredov, New results on sums and products in \(\mathbb R\), Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 294 (2016), 78–88.
[9] A. Balog and T. D. Wooley, A low-energy decomposition theorem, The Quarterly Journal of Mathematics 68 (2017), no.1, 207–226.
[10] J. Martinet, Tours de corps de classes et estimations de discriminants, Inventiones Mathematicae 44 (1978), no.1, 65–73.
[11] T. F. Bloom, W. Sawin, C. Schildkraut and D. Zhelezov, The sum-product conjecture is false for real numbers, arXiv:2605.28781, 2026.
Solymosi József
University of British Columbia, Vancuver, Canada
