Mi található a valós számokon túl?

1. Valós számok

A valós számokat mindannyian jól ismerjük, általános iskolában és középiskolában egyaránt ott rejtőznek minden feladatban és dolgozatban. A tanulmányaink során észrevehettük, hogy a számfogalmainkban mindig jelen volt egyfajta bővítési folyamat. Az első osztályunkat megkezdve találkoztunk a természetes számokkal, ezek halmazát később \(\mathbb{N}\)-nel jelöltük. Amikor megismertük a tartozás fogalmát, meg kellett ismerkednünk az egész számok halmazával, \(\mathbb{Z}\)-vel, amelyben már a negatív számok is benne vannak. Az arányok megtanulásakor megjelentek a törtek, a racionális számok, amelyek halmazát  \(\mathbb{Q}\)-val jelöltük.¹ A Pitagorasz-tétel megtanulásakor rájöttünk, hogy nem minden szám írható fel két egész szám hányadosaként, ezeket irracionális számoknak hívtuk. Ezzel elérkeztünk a valós számok fogalmához, az \(\mathbb{R}\) halmaz már tartalmaz minden racionális és irracionális számot. Sokakban felvetődhetett a nagy kérdés: Miért nem haladtunk tovább a felfedezésben? Van-e a valós számokon kívül más is? (Lásd: 1. ábra.)

A legkönnyebben úgy tudjuk megérteni a valós számokon túli világot, ha megértjük a fentebb felvázolt számfogalmak bővülésének természetes fejlődését. A matematika egyik fontos célja, hogy minél több problémára, köztük egyenletekre is megoldást tudjunk adni. Minél több számfogalommal rendelkezünk, annál több problémára tudunk pontos választ adni. Tegyük fel, hogy egyenleteket kapunk, és megoldást szeretnénk találni rájuk. Keressük az \(x\) értékét az alábbi egyenletekben:

1.  \(x-1=0\): Az egyenletre könnyedén tudunk találni megoldást, az \(1 \in \mathbb{N}\) számot.
2.  \(x+1=0\): A természetes számok halmaza már nem elég a megoldáshoz, így használnunk kell negatív számokat, vagyis a megoldás \(-1 \in \mathbb{Z}\).
3.  \(2x-1 = 0\): Az egyenletre az egész számok már nem tudnak megoldást adni, így bevezetjük a racionális számokat és az \(\frac12 \in \mathbb{Q}\) szám már megoldás lesz.
4.  \(x^2-2 = 0\): Amikor már fellélegeznénk, hogy bármilyen egyenletet meg tudunk oldani, meglátjuk ezt az egyenletet. Akárhogyan próbálunk behelyettesíteni törteket az \(x\) helyére, nem születik megoldás. Egy új számfogalommal, az irracionális számok segítségével már megoldható az egyenlet, a megoldás \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\) és \(-\sqrt{2}\in \mathbb{R}\).

A minta tehát a következő: amikor egy egyszerűen megfogalmazható egyenletnek nincs megoldása az aktuális számkörben, kibővítjük a számfogalmat úgy, hogy legyen. A valós számokkal most már minden ilyen típusú egyenletet megoldhatunk?

2. Komplex számok

Az iménti kérdésre a válasz: Nem. Annak ellenére, hogy sok egyenlet megoldhatóvá vált, még találhatunk olyan polinomegyenletet, amelynek nincs valós megoldása. A polinomegyenlet \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + .. + a_1x + a_0 = 0\) alakú egyenlet. (Ha \(n=2\) és \(a_n\neq0\), akkor másodfokú polinomegyenletről beszélünk.) Mi lehet az \(x\), ha \(x^2+1=0\)? Arra lenne szükségünk, hogy egy szám négyzete \(-1\) legyen, de ez nem lehetséges a valós számok halmazában. Bármely valós szám négyzete nemnegatív, ezért nem lehet \(-1\). Látható, hogy az előző esetekhez hasonlóan itt is szükségünk van egy új számfogalomra, a komplex számok halmazára, \(\mathbb{C}\)-re. Bevezetünk egy új, a valós számkörben nem lévő számot, az \(i\)-t, amelyre már igaz, hogy \(i^2 =-1\) és így megoldása lehet az \(x^2 + 1 = 0\) egyenletnek. Elsőre szokatlannak tűnhet az \(i\) bevezetése, de hasonló lépést tettünk már akkor is, amikor a \(\sqrt{2}\)-t elfogadtuk új számként. Emlékezzünk rá, hogy a \(\sqrt{2}\) az a szám, melynek a négyzete \(2\), vagyis a definíció logikája szerint a négyzete legyen egy olyan szám, melyet már ismertünk korábban. Hogyan néz ki a számrendszerünk az \(i\)-vel kiegészítve? Minden \(z \in \mathbb{C}\) számot felírhatunk \(a + bi\) alakban, ahol \(a,b\) valós számok. Vagyis minden komplex szám egy valós rész (\(a\)) és egy képzetes rész (\(bi\)) összege. Vegyük észre, hogy \(\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}\), hiszen az \(a+bi\) alakú komplex számokkal felsorolható az összes valós szám a \(b=0\) helyettesítéssel. Könnyen látható, hogy nem cáfoltuk meg az eddigi szabályainkat, miszerint minden valós szám négyzete nemnegatív, helyette már vannak másféle számaink is, melyekre ez a tulajdonság nem igaz.

A komplex számokkal ugyanúgy tudunk műveleteket végezni, mint azt a valós számokkal már megszoktuk. Össze tudjuk őket adni egymással, összeszorozni, osztani, hatványozni is tudunk velük.  Például, ha van két komplex számunk, \(1+2i\) és \(2-i\), akkor könnyedén összeszorozhatjuk őket. Az \((1+2i)(2-i)\) számok szorzata egy újabb komplex számot ad eredményül, a \(4+3i\) számot. Csupán azt a tudást kell használnunk, hogy \(i^2=-1\) és minden olyan szabályt, melyek már jól ismertek a valós számokkal kapcsolatban. A komplex számok világában minden legalább elsőfokú polinomegyenlethez találunk legalább egy megoldást.

Következő lépésként fel kell építenünk egy eszköztárat, amelynek segítségével meg tudjuk vizsgálni, hogy milyen számbeli tulajdonságok változnak meg a valós számokkal összehasonlítva. Az alábbi szabályok a középiskolai tanulmányok során magától értetődőnek tűnnek, így nem is szántunk a vizsgálatukra sok időt, azonban ezek az állítások más számfogalmak esetén nem feltétlenül maradnak érvényesek.

A következő szabályok érvényesülnek a valós számok halmazára:

1. \(ab=ba\) teljesül bármely két valós számra. Ezt a szorzás kommutatív tulajdonságának hívjuk.
2. \(a(bc) = (ab)c\) igaz bármely három valós számra. Ez azt jelenti, hogy mindegy, melyik két számot szorzom előbb össze, mielőtt megszoroznám a harmadikkal. Az ilyen tulajdonságot hívjuk asszociatív tulajdonságnak.
3. Ha \(ab = 0\), akkor \(a = 0\) vagy \(b=0\). Nem lehet két nem nulla elem szorzata \(0\). Ezt a tulajdonságot nullosztómentességnek hívjuk.
4. Bármely két különböző valós szám közül az egyik kisebb a másiknál, vagyis a valós számok halmaza rendezett, emellett tartja a mérlegelv szabályait: Ha \(a< b\), akkor \(a + c< b+c\); \(0<a\) és \(0<b\) esetén \(0<ab\); ha \(0<a\) és \(b<0\), akkor \(ab< 0\).

A komplex számok bevezetésének ára van: elveszítjük a valós számok jól ismert rendezhetőségét. A valós számoknak egy nagyon szép tulajdonsága, hogy a számok között van egy mérlegelv-kompatibilis rendezésünk. A komplex számok világában viszont már nem ilyen egyszerűek a játékszabályok. Ha lenne rendezése a komplex számoknak, akkor \(0< i\), vagy \(i< 0\) esetek közül valamelyik feltétlenül igaz. Most megmutatjuk, hogy mindkét esetben sérülnek a mérlegelv szabályai. Amennyiben \(0<i\), úgy beszorozhatunk \(i\)-vel és az egyenlőtlenség iránya megmarad, azonban az \(0< i^2 = -1\) már nem lesz igaz. Próbáljuk most meg azt az esetet, amikor \(i< 0\). Az egyenlőtlenséget \(i\)-vel szorozva a relációs jel megfordul és ismét a \(0< -1\) ellentmondásba ütközünk. Az előbbi okfejtések után arra a következtetésre jutunk, hogy nem tudunk kisebb-nagyobb relációt kialakítani úgy, hogy az általunk megszokott mérlegelv érvényben tudjon maradni. Kiemelendő, hogy másféle rendezéseket ki tudunk alakítani a komplex számok között. Például alkalmazhatjuk azt a rendezést, hogy \(a + bi< c+di\), amennyiben \(a< c\), vagy \(a=c\) és \(b< d\). Elsőre bonyolult rendezésnek tűnhet ez, de a mindennapi életben is alkalmazzuk, amikor ábécé sorrendbe rendezünk szavakat. Először a kezdőbetűket hasonlítjuk össze, ha viszont az első betűk megegyeznek, akkor a második betűket hasonlítjuk össze. Az imént bemutatott rendezést hívjuk lexikografikus rendezésnek. Ez a rendezés nem „számtani” rendezés: nem kompatibilis a szorzással/összeadással úgy, ahogy a valós számoknál megszoktuk.

Láttuk, hogy a komplex számok halmazára a rendezettség már nem lesz igaz. A továbbiakban két célkitűzést fogunk követni. Megvizsgáljuk, hogy a komplex számok hogyan általánosíthatóak, emellett azt is figyelemmel kísérjük, hogy milyen ára van ennek a számfogalom-bővítésnek, milyen tulajdonságok vesznek el a távoli számfogalmak felfedezései során.

A továbbhaladáshoz először megmutatjuk, hogy mi a komplex számok geometriai jelentése. Ha egy \(a+bi\) számot ábrázolni szeretnénk, egyszerűen felrajzolhatjuk a síkon. Az \(a+bi\) komplex szám lehet egy vektor, ami az \((a,b)\) pontba mutat. (Lásd a 2. ábrát.) A szám valós része lesz az \(x\)-tengely szerinti koordináta és az \(y\)-tengely szerinti koordináta a komplex szám képzetes része.

Ábrázolás után jobban megérthetjük az \(i\)-vel való szorzás jelentőségét. Vegyük például az \(1+2i\) komplex számot és ezt szorozzuk meg \(i\)-vel. Az új komplex számunk \((1+2i)i = i + 2i^2 =-2 + i\). Ezt ábrázolva láthatjuk, hogy az \((1,2)\) pontba mutató vektor \(90^{\circ}\)-kal elfordult az óramutató járásával ellentétesen a \((-2,1)\) vektorba. (Lásd: 3. ábra.) Emellett az is igaz, hogy bármely \(\alpha\) szögre létezik egy olyan \(z_{\alpha}\) komplex szám, amivel ha beszorzunk egy másik komplex számot, akkor az őt ábrázoló vektor pontosan \(\alpha\) szöggel fordul el az origó körül az óramutató járásával ellentétesen.

3. Kvaterniók

William Rowan Hamilton matematikus szintén észrevette a komplex számokkal való szorzás geometriai jelentését. Felmerült benne a kérdés, hogy lehetséges-e új számok segítségével a háromdimenziós forgatásokat is leírni. Hosszú ideig egy új \(j\) képzetes szám bevezetésével próbálkozott, minden számot \(a + bi + cj\) alakban kívánt felírni. Kiderült azonban, hogy egyetlen új képzetes egység nem elegendő, ezért egy harmadik, \(k\)-val jelölt egységet is be kellett vezetni. Ebből a gondolatból jött létre a kvaterniók \((\mathbb{H})\) fogalma \(1843\)-ban. Minden kvaternió \(a + bi+ cj+dk\) alakban áll elő, ahol \(a,b,c,d\) valós számok és \(i,j,k\) mind képzetes, újonnan bevezetett számok. A komplex \(i\)-hez hasonlóan mindegyik számra \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\) teljesül. Itt már arra is szükségünk van, hogy a különböző képzetes részek egymással való szorzatait is definiáljuk. A következő szorzástábla írja le, hogy az \(1,i,j,k\) egységek hogyan szorzódnak össze.

A táblázat azt mutatja, hogy a képzetes részeket egymással megszorozva milyen számmá alakulnak át. Az első oszlop tagjait szorozzuk össze az első sor tagjaival. Például a táblázat \(4.\) sorának \(3.\) oszlopa azt jelenti, hogy \(j i = -k\). A kvaterniók szorzástábláját vizsgálva meg is figyelhetünk egy érdekességet; a szorzási sorrend is számít! Láthatjuk, hogy \(i j = k\), de \(j i = -k\). Emlékezzünk rá, hogy bármely két valós számra teljesül az \(a b = b a\) azonosság. Itt tehát olyan szorzással találkozunk, amely már nem felcserélhető: a kvaterniók szorzása nem kommutatív.

Járjuk most kicsit körbe, hogy mi lehet a kommutatív tulajdonság elvesztésének oka. Ahogyan említettük, a kvaterniókat eredetileg \(3\)-dimenziós forgatásokra szeretnénk használni, a komplex számokhoz hasonlóan. A célunk, hogy minden vektorhoz egy kvaterniót tudjunk rendelni, majd a forgatást reprezentálni tudjuk valamely kvaterniókkal történő szorzások segítségével. Gondoljuk meg a következőt a \(3\)-dimenziós forgatással kapcsolatban. Ha végrehajtunk két \(3\)-dimenziós forgatást egymás után, akkor az eredmény különbözhet a forgatások sorrendjének felcserélésével. Például forgassuk el \(90^{\circ}\)-kal az \((1,0,0)\) vektort először az \(x\)-tengely körül, majd \(y\)-tengely körül. Az alábbi ábrán látható, hogy az eredmény \((1,0,0) \to (1,0,0) \to (0,0,-1)\) lesz. Ha viszont fordított sorrendben végezzük el ugyanezeket a forgatásokat, először az \(y\)-tengely szerint forgatva, utána az \(x\)-tengely szerint, egy másik vektort kapunk eredményül. A forgatások elvégzésével a \((1,0,0) \to (0,0,-1) \to (0,1,0)\) vektorhoz jutunk. (Lásd: 4. ábra.)

 A bal oldali ábrán először az \(x\)-tengely körül forgatunk, majd a \(2.\) lépésben az \(y\)-tengely körül. A jobb oldali ábrán az \(1.\) lépésben az \(y\)-tengely körül forgatunk és a \(2.\) lépésben az \(x\)-tengely körül, ezzel különböző vektorokat kapva.

A térbeli forgatások sorrendje általában nem cserélhető fel. Ezért nem is várhatjuk, hogy leírásukhoz egy kommutatív szorzási szabály elegendő legyen. Ebből a szemszögből vizsgálva már világossá válik, miért egy nem kommutatív struktúrát kellett definiálnunk a forgatások modellezésére. Felvetődhet bennünk a kérdés, hogyan számolható ki kvaterniók segítségével egy térbeli vektor elforgatás utáni képe. Ha az \((x,y,z)\) végpontú vektort szeretnénk elforgatni valamilyen irányba, akkor definiáljuk az \(xi + yj + zk \in \mathbb{H}\) csupa képzetes részekből álló számot, majd megszorozzuk azt balról, illetve jobbról a forgatást reprezentáló kvaterniókkal. A kapott eredményből, \(x’i + y’j+z’k\)-ból már csak vissza kell olvasnunk a képzetes részek együtthatóit, és megkaphatjuk az elforgatott vektor végpontját, \((x’,y’,z’)\)-t. Az eljárás menetét az előző példán fogjuk szemléltetni. A \(x\)-tengely körüli forgatás kvaternió szorzás segítségével úgy adható meg, hogy a \(v =(x,y,z)\) vektorhoz rendelt \(xi + yj + zk\) kvaternió számot balról \(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)\)-vel szorozzuk meg, jobbról pedig \(\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\)-vel. (A \(\sqrt{2}\) megjelenése elsőre meglepő lehet, de ennek csupán az a szerepe, hogy a forgatás közben a vektor hossza ne változzon meg. A forgatást megadó kvaterniók általános előállítását itt nem tárgyaljuk. Számunkra az a fontos, hogy ezek a kvaterniók bármilyen irányú forgatásra kiszámolhatóak.) A balról és jobbról szorzás nem összevonható a kommutatív tulajdonság hiánya miatt, ezáltal nem tudjuk egyetlen számmal való szorzásként felírni az eljárást. Hasonló módon az \(y\)-tengely körüli forgatás a \(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)\) számmal balról, illetve \(\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)\)-vel jobbról szorzással adható meg. Ellenőrizzük most le, hogy a szorzás után valóban azt kapjuk az \((1,0,0)\) vektor elforgatottjaira, amit az előzőekben már kiszámoltunk. Az \((1,0,0)\) vektorhoz az \(1 i + 0 j + 0 k=i\) kvaterniót rendeljük. Az \(x\)-tengely körüli elforgatáshoz most megszorozzuk balról, illetve jobbról a megfelelő elemekkel. \[\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) i\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i) = i. \] A számolás könnyen ellenőrzhető a zárójelek felbontásával, illetve a kvaterniók szorzási táblájával. Visszakódolva a kapott kvaterniót vektorrá, \((1,0,0)\)-t kaptunk és ez is volt az elvárásunk. (Az \(x\)-tengely körül megforgatva az \(x\)-tengelyen fekvő vektort, nem tapasztalunk változást.) Ezután a kapott \(i\) számon végrehajtjuk az \(y\)-tengely körüli forgatást. \[ \frac{\sqrt{2}}{2}(1+j) i \frac{\sqrt{2}}{2}(1-j) = -k. \] A \(-k\) kvaterniót visszakódolva a \((0,0,-1)\) vektorhoz jutunk. Az olvasó könnyen ellenőrizheti, hogy fordított sorrendben valóban más eredmény adódik.

4. Októniók

A komplex számok két valós szám segítségével írhatók fel \(a+bi\) alakban, a kvaterniók \(a + bi + cj+dk\) felírásához négy valós szám szükséges. Felmerül a természetes kérdés: Miért állnánk meg ezen a ponton? Miért ne bővítenénk tovább a számfogalmat? A kvaterniók alapján már látunk mintát a bővítésre. Új képzetes egységeket vezetünk be, amelyek négyzete \(-1\), és megadjuk a köztük érvényes szorzási szabályokat. A következő ilyen számrendszer a kvaterniókon túl, az októniók \(\mathbb{O}\) halmaza. Hány képzetes egység lesz jelen ebben a struktúrában? Hasonlóan a kvaterniók esetére, most sem lesz elég egyetlen új komplex egység bevezetése, sőt, \(4\) újabb absztrakt szám bevezetésére lesz szükségünk, így már \(7\) képzetes részt kapva. Egy októnió szám a következő módon írható fel: \[\displaystyle a_0 + a_1o_1 + a_2o_2 + a_3o_3 + a_4o_4 + a_5o_5 + a_6o_6 + a_7o_7. \] A felírásban szereplő \(a_0,a_1,\ldots,a_7\) számok mind valósak és \(o_1,\ldots,o_7\) a képzetes egységek. Teljesül rájuk, hogy \(o_1^2 = … = o_7^2 = -1\), továbbá adott egy szorzástábla is hozzájuk, amelyet a legegyszerűbben a Fano-sík bevezetésével tudunk leírni. (A szükséges táblázatnak \(8\) sora és \(8\) oszlopa lenne, így keresünk egy egyszerűsítő eljárást a szabály felírására.) A szorzási szabályokat a Fano-sík segítségével szemléltethetjük, ahol a \(7\) képzetes egységet pontok jelölik, a köztük lévő irányítás pedig a szorzás rendjét rögzíti. (Lásd: 5. ábra.)

A szorzási szabály az ábra segítségével már megadható. Menjünk át a nyilak mentén egyik pontból a másikba úgy, hogy közben áthaladunk egy másik ponton. Például egy ilyen lehetőség az \(o_3 \to o_4 \to o_6\) útvonal. Ebből az útból megtudhatjuk, hogy az \(o_3,o_4,o_6\) absztrakt számoknak mi lesz az egymással páronkénti szorzata. Ha találunk egy \(o_a \to o_b \to o_c\) útvonalat, akkor a nyilak mentén haladva a szorzat mindig a harmadik tag. Nevezetesen \(o_a o_b = o_c\), \(o_b o_c = o_a\) és még az utolsó elemekre is igaz, hogy \(o_c o_a = o_b\). Ha a szorzási sorrendeket megcseréljük, akkor viszont negatívvá változik a kapott szám. Például \(o_b o_a = -o_c\). Mivel a sorrend felcserélése értékváltozást okoz, így ez a struktúra továbbra sem lesz kommutatív. A komplex számokhoz hasonlóan ez a struktúra sem rendezhető úgy, hogy a mérlegelv szabálya megmaradjon.

Látjuk, hogy az októniók sem kommutatívak, és továbbra sem rendezhetők számtani értelemben. Felmerül a kérdés, elveszítünk-e újabb megszokott tulajdonságot is. Igen, a számrendszer már nem asszociatív, azaz nem tetszőlegesen zárójelezhető.

Mutatunk most \(3\) októnió számot, amelyeket más-más zárójelezéssel összeszorozva különböző eredményekhez jutunk. Számoljuk ki először az \((o_3 o_4) o_5\) szorzatot. Az előbbi megfontolások miatt \(o_3 o_4 = o_6\). Mivel látunk \(o_6 \to o_1 \to o_5\) utat, így \(o_6 o_5 = -o_1\). Az \(o_3 (o_4 o_5)\) szorzatból az \(o_4 o_5 = o_7\), mivel található egy \(o_5 \to o_7 \to o_4\) út. Ezt behelyettesítve azt kapjuk, hogy \(o_3 o_7 = o_1\). (Melyik út lehetett, amit felhasználtunk?) A példán keresztül betekintést kapunk az októniók belső szerkezetébe, miszerint már a szorzásokat sem írhatjuk fel zárójelek nélkül. Az októniók esetén tehát a zárójelezés nem formai kérdés: a szorzat értékét valóban megváltoztathatja. Jogos a felvetés, hogy akkor hogyan tudunk számolni egy ilyen számrendszerben. Ugyan általánosan nem tudunk asszociatív tulajdonságot garantálni, vannak speciális helyzetek, amikor meg tudjuk szelídíteni még az októniók bonyolult viselkedését is.

Bár az októniók általában nem asszociatívak, bizonyos speciális azonosságok továbbra is érvényesek. Például:

1. Ha \(a,b \in \mathbb{O}\) két októnió, akkor \((a a) b = a (a b)\).
2. Ha \(a,b \in \mathbb{O}\) két októnió, akkor \((a b) b = a (b b)\).

A fentiek alapján két azonos szomszédos tényező esetén még marad valamiféle asszociatív viselkedés. Bár az általános asszociativitást elveszítettük, ezek a részleges szabályok mégis fontos kapaszkodót adnak a számolásokhoz.

5. Szedéniók

A következő lépés az októniók után a szedéniók \(\mathbb{S}\) rendszere. Az újabb struktúra eléréséhez \(15\) darab képzetes egységre lesz szükségünk. A bevezetett képzetes egységek számai ismerős sorozatot alkotnak. A valós számokban \(0\) képzetes egység van, komplex számokban \(1\), kvaterniókban \(3\), októniókban \(7\), most pedig elérkeztünk a \(15\)-höz. Általánosan, ha bővítjük a számrendszerünket, az \(n\)-edik lépésben \(2^n-1\) lesz a képzetes egységek száma. Az új számstruktúrákat adó eljárást algebrai duplázásnak hívjuk. Hány számmal írhatók le összesen az általunk eddig vizsgált számrendszerek? A valós számok megadásához \(1\), a komplex számokéhoz \(2\), a kvaterniókéhoz \(4\), az októniókéhoz pedig \(8\) valós szám szükséges. Innen látható, hogy az absztrakt számok leírásához szükséges valós számok mennyisége minden lépésben megduplázódik.

A szedéniók tehát egy valós részből és \(15\) képzetes egységből állnak, ezért egy szedénió megadásához \(16\) valós szám szükséges. A fő irányvonalat követve megvizsgáljuk, a szedéniók mégis miben különböznek a valós számoktól. Az előző számrendszerekhez hasonlóan ez sem lesz szépen rendezhető, nem lesz kommutatív, nem lesz asszociatív. Azt gondolhatnánk, hogy ennél több tulajdonságot nem veszíthetünk el. A szedéniók halmaza azonban ismét meg tud lepni minket. Léteznek olyan nem nulla \(a,b \in \mathbb{S}\) szedéniók, amelyek szorzata mégis nulla. A valós számok halmazában elképzelhetetlen, hogy két nem nulla elem szorzata nullát adjon eredményül. Ezt a jelenséget úgy nevezzük, hogy a szedéniók elvesztik a nullosztómentesség tulajdonságát. Miért fontos nekünk annyira a nullosztómentes tulajdonság? Ha látjuk a következő egyenletet a valós számok halmazán \[\displaystyle (x-a)(x-b) = 0, \] akkor azonnal arra gondolunk, hogy valamelyik tényező biztosan \(0\). Ebből hamar megkapjuk az egyenlet két megoldását \(x_1 = a\) és \(x_2 = b\) formában. A szedéniók világában viszont ebből már nem következik, hogy csak ez a két megoldás létezik: előfordulhatnak további megoldások is. Vagyis a tényezőkre bontás önmagában már nem adja meg az összes megoldást, és akár teljesen félre is vihet. Másképp fogalmazva: szedéniókkal nem oszthatunk ugyanazzal a biztonsággal, mint a valós vagy komplex számok esetén, mert egy nem nulla elem is lehet nullosztó.

A szedéniók számrendszerével befejeztük utunkat. Áttekintettük a \[\displaystyle \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}\subseteq\mathbb{H}\subseteq \mathbb{O}\subseteq \mathbb{S} \] bővítési folyamatot és közben láttuk, miként hámozzák le magukról az általunk megszokott szabályokat ezek az új, absztrakt számok. Természetesen az algebrai duplázással további újabbnál újabb érdekes számok definiálására is lenne lehetőségünk, ezekben a további bővítésekben az elveszített tulajdonságok nem térnek vissza a korábbi, megszokott formájukban. Minél általánosabb algebrai struktúrát hozunk létre, annál kevesebb eszközünk áll rendelkezésre a belső szabályszerűségek feltárására, ez a felfedező túránk fő tanulsága.

Csonka Bence
doktorandusz
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem,
Számítástudományi és Információelméleti Tanszék

Lábjegyzet