Biztosan sokan láttak már olyan amerikai filmet, amelyben a diákok iskolai órán vulkánt készítenek, vagy olyan szerkezetet építenek, amely megóv egy tojást, ha azt az iskola tetejéről ledobják. Az ilyen órák haszna alapvetően nem abban rejlik, hogy az ott megszerzett konkrét tudást a diák később közvetlenül hasznosítja, hanem sokkal inkább abban, hogy megmutatják: az adott tantárgy érdekes, kapcsolódik a mindennapi élethez, és a modern világ miként használja fel az adott tudomány eredményeit.
Erre rímelve vetette fel Stipsicz András, a HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet igazgatója, hogy miért ne lehetne matematikából is hasonló órákat tartani. (Gyermekei az Egyesült Államokban jártak iskolába, és több tantárgyból is lelkesen meséltek ilyen jellegű órákról – matematikából azonban sosem volt részük ilyen élményben.) Korábban bennünk is érlelődött már egy hasonló gondolat, de András felvetése volt az „utolsó csepp a pohárban”, amely végül ahhoz az elhatározáshoz vezetett, hogy készítsünk ilyen órákat matematikából is.
A projekt munkaneve – ami azóta némiképp hivatalossá vált – Órák a Könyvből lett, utalva az Erdős Pál által sokat emlegetett nagybetűs Könyvre, amely a legszebb matematikai bizonyításokat tartalmazza. (Erdős ezen gondolatának hatására született meg a Proofs from THE BOOK című kötet is Martin Aigner és Günter M. Ziegler tollából.)
A koncepció
A hosszú távú tervünk, hogy mind a négy középiskolai évfolyam számára készüljön 9–10 alaposan kidolgozott óraterv, amelyek a tananyagon túlmutatva, nagyjából havi rendszerességgel prezentálják a matematika hasznosságát, érdekességét és szépségét.
A témaválasztásban kiemelten fontos a kapcsolódás a hétköznapi élethez, az óratervek kidolgozásánál pedig törekszünk arra, hogy a diákok az órák aktív résztvevői, ne csupán hallgatói legyenek. Fontos azonban azt is megemlíteni, hogy ezek az órák kevésbé építenek a diákok önálló problémamegoldására, mint ahogyan azt a ,,normál” óráinkon tesszük. Többször előfordul, hogy olyan matematikai fogalmak, állítások kerülnek elő, amelyeket nincs lehetőségünk teljes mélységükben felépíteni. Elegendő lehet pusztán az, hogy felhívjuk rájuk a figyelmet, felkeltjük az érdeklődést, aki pedig mélyebben szeretne elmerülni a témában, az a kapott információk alapján önállóan is utánajárhat.
Fontos célunk, hogy minden gimnáziumi csoportban használhatók legyenek az általunk kidolgozott anyagok. Mi azonban csak két intézményben (a budapesti Eötvös József Gimnáziumban, illetve a budapesti Szent István Gimnáziumban) tanítunk, ezek nem adnak reprezentatív képet arról, hogy tényleg használhatók-e széles körben is az óraterveink. Ezért úgy döntöttünk, hogy az ország különböző gimnáziumaiban tanító matematikatanárok bevonásával teszteljük az ötleteinket, és az MTA Közoktatás-fejlesztési Kutatási Programjának részeként zajló kutatásunkban résztvevők segítségével tesszük azokat jobbá, érdekesebbé, használhatóbbá.
Az is lényeges szempont volt számunkra, hogy olyan segédanyagokat készítsünk, amelyek egyrészt minimális többletmunkával használhatók, másrészt elegendő rugalmasságot biztosítanak azoknak, akik szívesen szánnak rá időt, és van módosítási ötletük, hogy elképzeléseiket, saját érdeklődésüket beépíthessék a tanórákba. A segédanyagok megtalálhatók ezen a weboldalon.
A 2025/26-os tanév során kilenc, 10. osztályosok számára tervezett témakört próbál(t)unk ki 17 résztvevő pedagógus és diákjaik bevonásával.
Eddig az alábbi témaköröket dolgoztuk fel:
- Gerrymandering, vagyis választókörzet-manipuláció
- Naptárak működése és a Doomsday-algoritmus
- Játékelmélet: együttműködés és versengés; lehetséges, hogy egy új út építése ront a közlekedési helyzeten?
- Szerencsejátékok: megéri játszani?
- Sportfogadások: a fogadóirodák nyeresége és biztos nyerési lehetőségek
- Térképek: a gömb leképezése síkra, a Mercator-vetület előnyei és hátrányai
- Különböző kódok a mindennapi életünkben
- Félrevezető statisztikák, statisztikai paradoxonok
Hogy átfogóbb képet adjunk az órákról, kiemelünk néhány részletet a kidolgozott témakörökből.
Gerrymandereljünk!
A tananyag gerincét egy online elérhető játék adja, amelyet a Julia Robinson Mathematical Festivals nevű nonprofit szervezet készített, és akik ezen kívül is rengeteg interaktív matematikai alkalmazást jegyeznek. Ebben a játékban a diákoknak megadott feltételek mellett olyan felosztásokat (gerrymandering konstrukciókat) kell létrehozniuk, ahol a kerületek többségét a kisebbség nyeri meg. A feladat hol könnyebb, hol nehezebb, esetenként pedig lehetetlen. Kiemeljük, hogy míg a létezés bizonyításához elég egyetlen jó példa, a lehetetlenséget a puszta sikertelenség még nem igazolja. Tapasztalataink azt mutatják, hogy ezen az órán a diákok számára teljesen természetesen merül fel, hogy a lehetetlen kihívások esetén bizonyítsák a lehetetlenséget. Az első bizonyítás egyszerű, de már tartalmaz érdemi matematikai észrevételt, és vannak kicsit összetettebb bizonyítások is. Az óra során mutatunk néhány különös alakú választókerületet is, és megvitatjuk, hogy egyáltalán létezik-e igazságos felosztás.
A képen egy pozitív kicsengésű választókerület-manipuláció látható. Az amerikai választójogi törvény kimondja, hogy ha egy kisebbségi csoport földrajzilag koncentrált és kellően nagy létszámú, a körzeteket tilos úgy kialakítani, hogy azzal megakadályozzák a saját jelöltjük megválasztását. Ennek a furcsa alakú körzetnek az a magyarázata, hogy ilyen alakban koncentrálódik a latin-amerikai közösség Chicago ezen részén, így a szokatlan alak az ő érdekképviseletüket szolgálja.
Sportfogadások: lehetséges biztosan nyerni?
Mit tenne az olvasó, ha a Zverev–Fritz teniszmérkőzésre szeretne fogadni, és az alábbi szorzókkal (odds-okkal) találkozna?
| Zverev (3.) | Fritz (6.) | |
|---|---|---|
| RapidTipp | 1,8 | 2,1 |
| PrimeOdds | 2,1 | 1,8 |
A RapidTipp 1,8-szoros pénzt fizet Zverev, és 2,1-szerest Fritz győzelme esetén, míg a PrimeOdds-nál ez pont fordítva van. A csábító lehetőség láttán hamar rájöhetünk: ha megfelezzük a tétünket a két játékos között a magasabb szorzókon, akkor bárki is nyer, garantáltan kockázat nélküli tiszta nyereséghez jutunk. Egyetlen rossz hír van csupán: a valóságban ilyen kirívó esetek nem léteznek.
Ehhez hasonló, reálisabb helyzetekkel viszont már találkozhatunk egy három kimenetelű (1, X 2) mérkőzésnél. (1 jelöli az első játékos vagy csapat győzelmét, X a döntetlent, 2 pedig a második játékos vagy csapat győzelmét.)
| 1 | X | 2 | |
|---|---|---|---|
| RapidTipp | 1,30 | 5,00 | 12,00 |
| PrimeOdds | 1,35 | 4,60 | 10,00 |
| SprintBet | 1,25 | 6,00 | 11,00 |
Játsszunk el a gondolattal: ha 100 000 forint állna rendelkezésünkre, hogyan osszuk el a téteket úgy, hogy bármi is legyen a mérkőzés kimenetele, mi a lehető legnagyobb nyereségre tegyünk szert?
A garantált nyereséghez (úgynevezett arbitrázs fogadáshoz) mindhárom kimenetelt meg kell tennünk. Értelemszerűen minden oszlopból a legmagasabb szorzót kínáló irodát érdemes választanunk: az 1-est a PrimeOdds-nál, az X-et a SprintBetnél, a 2-est pedig a RapidTippnél.
Ezután már „csak” a 100 000 Ft optimális elosztása a kérdés. A célunk a minimális nyeremény maximalizálása. A diákok egy honlapon próbálgathatják, hogy egy adott felosztás a legrosszabb esetben mekkora várható nyereséget vagy veszteséget eredményez, aminek alapján fokozatosan tudják javítani a tétjeiket.
Akkor biztosan érdemes fogadnunk, ha a kimeneteltől függetlenül tudjuk garantálni a nyereséget. A minimum maximalizálását pedig akkor érjük el, ha a várható nyeremény értéke mindhárom kimenetel esetén megegyezik. Ha ugyanis az egyik kimenetel többet fizetne a többinél, érdemes lenne a tét egy részét átcsoportosítani a kevesebbet fizető opciókra, hogy növelhessük a minimális nyereményt. A felírandó egyenletrendszer tehát: \[\displaystyle\begin{gather} 1{,}35x=6y=12z\\ x+y+z=100\;000 \end{gather}\]
Ebből kiolvasható, hogy az optimális elosztást akkor kapjuk meg, ha a pénzünket a szorzók reciprokának – ami arányos a kimenetelek feltételezett valószínűségével – arányában osztjuk szét.
A Braess-paradoxon: amikor a kevesebb út gyorsabb forgalmat jelent
Két folyómenti város, A és B között naponta 4000 autós ingázik. A folyó két partján egy-egy út halad, amelyek két szakaszból állnak: egy autópályából, ahol a menetidő stabilan 45 perc, és egy szűk útszakaszból, ahol az előzés nehézkes, sok a kereszteződés, közlekedési lámpa, zebra, így a menetidő az autók számától függ: \(x\) autó esetén \(x/100\) perc. Folyón átívelő hidak csak a városokon belül vannak, ezért az utazóknak el kell dönteniük, hogy a folyó melyik partján haladnak. Felmerülhet a kérdés: hányan menjenek a folyó jobb és bal oldalán, hogy a sofőrök átlagos menetideje a lehető legkisebb legyen?
Intuitívan adódik az optimális állapot, a 2000-2000 fős megoszlás. Ekkor mindenki egyformán \(20 + 45 = 65\) perc alatt ér célba. Ha bárki ebben a helyzetben vált, akkor rosszabbul jár, hiszen nőni fog a menetideje. Bármilyen eltérés rontana a helyzeten, mivel ahol többen mennek, ott több autósnak nőne meg a menetideje, mint ahánynak a másik oldalon csökken. Ebben az esetben az egyéni és a közérdek egybeesik. Mindenkinek egyénileg is az az optimális, ha ugyanannyian használják a két utat.
Nézzük meg, mi történik, ha ezen az állapoton változtatunk, és egy új hidat építünk a folyóra, amin az egyszerűség kedvéért 0 perc átkelni. Milyen hatása lesz vajon a hídnak az átlagos menetidőre és az autósok viselkedésére?
Bár azt várnánk, hogy a helyzet javul, valójában épp az ellenkezője történik. Az új híd lehetővé teszi, hogy az autósok kétszer is döntsenek: az autópályán vagy a szűk útszakaszon mennek. Melyik útvonal éri meg ekkor az egyes sofőröknek? Mivel a szűk útszakasz még legrosszabb esetben is csak 40 perces menetidőt jelent, várhatóan ezt fogják előnyben részesíteni az autópályával szemben. Feltételezhetően tehát végül mindenki a szűkebb útszakaszokat fogja választani.
Az eredmény? A menetidő \(40 + 40 = 80\) percre nő. Bár mindenki a számára legkedvezőbbnek tűnő egyéni döntést hozta, összességében mindenki rosszabbul járt a korábbi 65 percnél. Ezt a jelenséget – amikor a hálózat bővítése lelassítja a teljes forgalmat – nevezzük Braess-paradoxonnak.
Dél-Koreában a 80-as években épült a Csangkjecsan (Cheonggyecheon) patak felett húzódó autópálya pontosan ezt a hatást váltotta ki: ahogy nőtt a forgalom, a legrövidebbnek hitt útvonal folyamatosan bedugult. Amikor 2005-ben a polgármester városszépítési okokból a lebontása mellett döntött, sokan még nagyobb káosztól tartottak. A várostervezők azonban ismerték a Braess-paradoxont, és az előzetes kalkulációk őket igazolták: a felüljáró eltávolítása után a forgalmi helyzet jelentősen javult. Emellett a városkép is jelentősen megváltozott.
Hasonló példákat az USA-ban, Franciaországban és Németországban is találunk.
Tényleg annyira rossz a Mercator-vetület?
Rendszeresen felbukkannak mémek itt-ott, amelyek arról szólnak, hogy az 1569-ben Gerardus Mercator által alkalmazott hengeres térképvetület, az úgynevezett Mercator-vetület mennyire rossz.
Ez adja ennek az órának az apropóját, és azt tűzzük ki célul, hogy megértsük, semmi baj nincs a Mercator-vetülettel, ha arra használjuk, amire való, és értjük, hogy miért olyan, amilyen.
Fontos eleme az órának az, hogy megértsék a diákok azt, hogy a térkép, egész pontosan a vetület, egy függvény, amely a gömb bizonyos pontjait képezi le a sík egy adott részére. Ennek kapcsán átgondoljuk az iskolában tanult függvényekkel kapcsolatos alapvető fogalmakat ebben a kontextusban. A Mercator-vetület egy olyan vetület, amit tényleges geometriai vetítéssel létre lehet hozni. Ezt a térbeli geometriai transzformációt is megvizsgáljuk.
Szó esik arról is, hogy miért volt eredetileg nagyon hasznos ez a vetület: az Atlanti-óceánon közlekedő hajók navigálását könnyítette meg jelentős mértékben. Igaz, nem a legrövidebb úton hajózást támogatta, de nem túl nagy extra úttal sokkal biztosabb módszert adott az úticél elérésére.
Az óra része egy játék, ahol különböző várospárok távolságát kell megtippelniük a diákoknak, amihez segítségül azt kapják, hogy hol helyezkednek el a városok a Mercator-vetületben.
Megadunk a térképen egy referenciatávolságot is – az Egyenlítőn pirossal kijelölt szakasz a valóságban 3000 km hosszú. A feladat minden esetben ugyanaz: tippeljük meg, hogy a térképen megadott két város milyen messze van egymástól.
A feladványok a következők:
- Quito (Ecuador) és Jakarta (Indonézia)
- Kabul (Afganisztán) és Rabat (Marokkó)
- Oslo (Norvégia) és Juneau (USA, Alaszka)
- Budapest és Fokváros (Dél-afrikai Köztársaság)
- New York és Antananarivo (Madagaszkár)
A tényleges távolságokat az alábbi térképen mutatjuk:
A játékhoz itt is tartozik egy online felület, ahová a diákok a tippjeiket tudják írni. A végén az 5 tipp alapján mindenki kap egy számba sűrített összesített értékelést, akinél kisebb ez a szám, az valamilyen értelemben ügyesebben tippelt. Nem mutatunk ranglistát, nem feltétlenül hirdetünk győztest (nem is tudjuk ezt központilag, mert csak egyénileg értékel a weboldal), de akik akarják, összehasonlíthatják, hogy mennyire pontosan tippeltek.
A játék során két dolog is nehézséget okoz. Egyrészt a térképen lévő pontokat összekötő szakaszok nem a gömbfelszínen legrövidebb körívek képei. Másrészt, a térkép nem tart távolságot (ahogyan egyetlen síkbeli ábrázolás sem képes erre), így ezt a torzulást is ügyesen kell megbecsülni. Ennek teljes megértése túlmutat az óra keretein, de az alábbi gondolatmenet mindenki számára könnyen érthető. Nézzük meg az ábrán A-val és B-vel jelzett szélességi köröket teljes hosszukban.
A két szélességi körnek megfelelő szakasz hossza a Mercator-vetületben megegyezik, miközben a gömbön B egy nyilvánvalóan jóval kisebb sugarú kör, így a kerülete is jóval kisebb, mint az A-nak megfelelő szélességi kör. Ebből könnyen kialakul az a helyes következtetés, hogy az Egyenlítőtől távolodva a térkép egyre nagyobb mértékben torzítja a távolságokat. Ennek még plasztikusabb szemléltetésére ajánljuk, hogy a diákok próbálják ki az órán a The True Size weboldalt, ahol különböző országokat mozgathatunk egymásra, így azok területének arányáról is jobb képet kapunk.
Egy gyakran használt kód
Az alábbi ábrán különféle hatjegyű kódokat látunk, amelyek betűkből és számokból tevődnek össze. Vajon mire utalhatnak?
Többek számára ismerősek lehetnek a fenti hatjegyű karaktersorozatok. Az ábécé első betűi alapján gyanús lehet, hogy esetleg tizenhatos számrendszerbeli számokról lehet szó. Innen nem irreális, hogy aki még nem látott ilyet, az is megsejtse, hogy a fenti kódok színeket határoznak meg. A hatjegyű kód három darab, tizenhatos számrendszerbeli, kétjegyű számból áll össze. A színeket az határozza meg, hogy előállításukhoz mennyi piros, zöld, illetve kék fényre van szükség. Az első kétjegyű szám adja meg a piros komponens intenzitását, a második a zöldét, a harmadik pedig a kékét.
Ahhoz, hogy ezt jobban megértsük, érdemes néhány szót ejteni az additív színkeverésről. Az additív színkeverés a fények keverésének elvén alapuló színképzési mód, amely a kijelzők és monitorok működésének alapját képezi. Lényege, hogy különböző színű fényforrások összeadásával (egymásra vetítésével) új színek jönnek létre. Alapszínei a piros, a zöld és a kék (RGB); ezek különböző arányú keverésével minden más szín előállítható. Ha egyik fény sincs jelen, a fekete színt (a fény hiányát) látjuk – hiszen a kijelzők alapszíne a fekete. A fekete kódja tehát: #000000. Minél több fényt adunk hozzá a keverékhez, annál világosabb árnyalatot kapunk. Fehér színt akkor kapunk, ha mindhárom fényt azonos, maximális intenzitással vetítjük egymásra. Ennek kódja: #FFFFFF.
Bár a fényerő meghatározása összetett folyamat, ha látjuk, hogy bizonyos színek keveréke milyen árnyalatot eredményez, viszonylag pontosan meg tudjuk határozni, hogy egy adott kód milyen színt takar – és fordítva. Nézzünk rá a színkörre, hogy erről pontosabb képet kapjunk, majd próbáljuk ki, mennyire tudjuk az eddig látottak alapján meghatározni a különböző színek kódját!
A diákok az órán egy weboldal segítségével kipróbálhatják, hogy mennyire jól tudják megtippelni egy adott szín kódját. A tipp beküldése után a honlap megmutatja, hogy a beírt kód milyen színű lenne, és azt is, hogy a tipp és az eredeti szín egymástól milyen távolságra van. Felmerül a kérdés a diákokban, hogy mi is ez a távolság pontosan. Az eredeti és a tippelt kód három-három komponensét egy háromdimenziós koordinátarendszerben (vagyis a térben) ábrázoljuk, és a két pont távolságát vesszük. Jó példa ez arra is, hogy a Pitagorasz-tétel nem kizárólag síkgeometriában hasznos, hanem absztraktabb dolgok távolságát is lehet vele definiálni és aztán számolni.
Az új ismeretek fényében lehetőség van kétszer módosítani a tippeket, hogy fokozatosan közelebb kerülhessünk a megadott színhez.
A kutatás jelenlegi állapota
A kutatás még folyamatban van, így konkrét eredményeket ezen a ponton nem tudunk közölni. Hogy a diákok motiváltabbak lettek-e a matematika tanulása iránt? Változott-e a tantárgyhoz való hozzáállásuk az órák hatására? Tudományos értelemben egyelőre nem tudjuk. Az eddigi tapasztalatok azonban pozitívak: a diákok várják ezeket az órákat, rendszeresen kérdezik, mikor lesz a következő ilyen alkalom, és még az egyébként passzívabb tanulók is lelkesen bekapcsolódnak. Bár a havi egy óra nem sok, úgy gondoljuk, ez jó kezdet ahhoz, hogy a matematika alkalmazásai hangsúlyosabban megjelenjenek az oktatásban és a matematika szeretete egyre több diáknál megjelenjen. Bízunk benne, hogy ha a tanulók a négy gimnáziumi év során rendszeresen találkoznak konkrét alkalmazásokkal, olyan kép alakul ki bennük a matematikáról, hogy annak tanulása, alapos megértése a világunk jobb megismerését is szolgálja.
Babus Réka, ELTE TTK
Juhász Péter, HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
