Áldás vagy átok?

A jó tanító ismeri tanítványait. Ismeri személyes emberi adottságaikat – gondjaikat, örömeiket, családi körülményeiket, aktuális egészségi, szellemi, szociális állapotukat, helyzetüket –, de jól ismeri korosztályuk általánosabb jellemzőit is. És mindezt igyekszik figyelembe venni. Tudja például, hogy a 6–10 éves kisgyerekeknek általában mennyi a mozgásigényük, milyen tartós a figyelmük. Hogyan tanulnak, ha maguk tanulhatnak, hogyan formálódnak a fogalmaik, és ezek kapcsolatrendszere. Mi az, amivel ő segítheti ezeket a folyamatokat. De azt is, hogy mi gátolná, esetleg tenné hosszú időre lehetetlenné az ismeretszerzést, fogalomalakulást.

A kisgyerek (nagyjából 10–12 éves koráig) személyes tapasztalataiból képes építkezni. Senkinek nem jutna eszébe, hogy például a virág fogalmát definiálja, hogy így ismertesse meg a gyerekekkel. Sok és sokféle virágot lát, szakít le, szagolgat, esetleg kóstol a kisgyerek, miközben akár többször hallja is a „virág” szót – különféle „végződésekkel” (virágot, virággal …), különféle szókapcsolatokkal, különféle más szóval helyettesítve (pl. ibolya, hóvirág, rózsa…). És bár nem tudja, hogy mi a szerepe a növény életében, mi a szerepe a rovarok, madarak táplálkozásában, milyen fajtái vannak, mégis kialakul valamilyen képzete a virágról. Tényismereteinek bővülése során a fogalomig is eljuthat néhány év alatt, kiemelheti a legfontosabb általános tulajdonságokat, kapcsolatokat, amelyek meghatározzák a virág fogalmát, de később is találkozhat olyan tényekkel, amelyek tovább bővítik a fogalom tartalmát.

A matematikai fogalmak nem tartoznak az ilyen „egyszerű” fogalmak közé. Ezek kialakulásához is biztosítani kell a tartalmak megismerését. Nem közléssel, nem meghatározással és nem magyarázattal, hanem sok-sok egyéni, cselekvő tapasztalatszerzés megszervezésével, az ezeket követő megbeszélésekkel. Akár kerülőutakkal, újabb és újabb élményekkel, vitákkal tisztítva, formálva, bővítve a fogalom tartalmát, értelmét.

Az osztás fogalma – éppúgy, mint a többi matematikai alapműveleté – különféle tartalmakkal épül ki több év alatt.

Miért? A többi matematikai alapművelet fogalma is többféle tartalommal rendelkezik?

Igen.

Például az a kisgyerek, aki az összeadást csak hozzáadásként élte meg, az még nem feltétlenül találja ki, hogy összeadással írhatja le a két tálcáról összeöntött korongok számát.

És összeadással írhatja le annak a fazéknak a „nagyságát”, amelybe 4 pohárral több víz fér, mint a 3 pohár méretű kis lábosba.

Csak hozzáadásra építve meg sem jelenhet az összeadás kommutativitásának kérdése. Hiszen ebben az értelemben adva van egy kiinduló helyzet, történik egy „változás”, amely új helyzetet hoz létre.

Például ilyen történetekkel és eljátszásukkal értelmezhetik először a hozzáadást:

Ilyen értelemben az összeadás egyváltozós függvényként működik (természetesen anélkül, hogy tudna róla az alkalmazója, mi fán terem a függvény).

A kivonás – ha csak elvételként találkozik vele –, a kisdiák számára nem jelenik meg darabszámok vagy mennyiségek irányított különbségeként. (Marcsinak 11 matricája van, a testvérének 3-mal kevesebb).

Nem tudja kivonással értelmezni azt a helyzetet sem, amikor a különbség mértékét kellene meghatározni. (Pl. Mennyivel idősebb a 23 éves Hanna, mint a kishúga, a 17 éves Panna?)

A műveletek tartalmának kiépítése terén mutatkozó hiányok súlyos nehézségeket okozhatnak az ún. szöveges feladatok értelmezésében, megoldásában.

A szorzás fogalma eléggé kivételes az alapműveletek körében, mert igen hosszú ideig csak olyan tevékenységekben, helyzetekben találkozunk vele, amelyekben valaminek a többszörözéséről beszélhetünk. (Egyváltozós függvény a tartalma.) Ha háromszor kell bevenni 2–2 szem gyógyszert, azt 3-szor 2-nek értjük. Tehát a 2 szem háromszorosáról szól a művelet.

Hasonlóan, amikor tudjuk, hogy egy kokárda elkészítéséhez 12 cm szalagot akarunk használni, akkor a 3 gyereknek 3-szor 12 cm szalagra lesz szüksége. Ez tehát értelme szerint a 12 cm háromszorosa lesz, és nem a 3 tizenkétszerese.

Ezek a szituációk nem mutatnak kommutativitást.

Amíg valóságos eseményt, történést, valóságos problémát ír le a művelet, addig nem gondolhatunk az egyik szorzás helyett a másikra. A tényezők felcserélhetőségét nem kimondani, nem magyarázni kell. Sokszori tapasztalásra van szükség majd a „puszta” számok, az elvont fogalmak körében a két szorzat egyenlőségéről, amikor csak megfordítjuk a tényezők sorrendjét. Hogy például számszerű eredményében ugyanannyi a háromszor 12, mint a tizenkétszer 3. Vagy hogy ugyanannyi a 6-szor 7, mint a 7-szer 6. A kétféle szorzás egyenlőségét jól szemlélteti a szorzatok téglalapos elrendezése, és erről a soronként, illetve oszloponként való leolvasása:

Elegendő tapasztalat után önállóan és örömmel fogják felcserélni a 23-szor 2 „kiszámítását” 2-szer 23-ra – mert könnyebb két darab 23-at összeadni, mint huszonhárom darab 2-est. De aki nem tapasztalta elég sokszor a felcserélhetőséget, annak ez a lehetőség esetleg eszébe sem fog jutni.

És most nézzük, hogy az osztás fogalmának kétféle tartalmát hogyan építheti ki magában a kisdiák (a tanító és a szülők segítségével)!

Természetesen tevékeny tapasztalatokkal.

„18 szem szilvát hozott az egyik kisgyerek, amit szeretne egyenlően szétosztani a barátai között. (Ő már otthon sokat evett.) 3 barátja van. Mennyi jut egynek-egynek?”

Megteheti, hogy egy-egy szemet ad mindegyiküknek, aztán ha van még, akkor ismét egyet, aztán újra és újra egyet addig, amíg el nem fogy. És utána ellenőrzi, hogy ugyanannyi jutott-e minden barátjának.

Ha előre látja, hogy elég sok fog jutni mindenkinek, adhat előbb mindegyiküknek pl. 4-et, aztán a megmaradt 6-ból látja, hogy jut még 2–2 mindenkinek. És közösen ellenőrzik, hogy ugyanannyit kaptak mind a hárman. Mindenki 6 szemet.

Most ők egyenlő részekre osztást végeztek. A 18 szilvát 3 egyenlő kupacba sorolták.

A további tevékenységek során is a szétosztandó mennyiségből indulnak ki, meg abból, hogy hány felé kell szétosztani; és azt a feladatot kapják, hogy ugyanannyi jusson minden kupacba. A kérdés pedig az, hogy mennyi jutott egy-egy résztvevőnek.

Például: 4-fős csoportokban dolgoznak a gyerekek.

– Igazságosan kell elosztaniuk maguk között a 80 centiméteres szalagot. Nem kell előre tudniuk, hogy mekkora darab jut egynek-egynek, hanem összehajtják egyszer ketté, aztán ismét ketté, aztán a szétvágás után megmérik, mekkora szalag jutott nekik. Ha mindenki 20 cm-t mér, akkor jól osztozkodtak.

– Megmérték, hogy: 32 dkg a napraforgómagot kapott a csoport. Igazságosan kell szétosztaniuk maguk között anélkül, hogy megszámolhatnák, hány szem is ez. Törhetik a fejüket, hogy rájöjjenek: előbb 2 adagra öntsék szét, hogy ezeket kiegyensúlyozzák a kétoldalú mérlegen, aztán mindkét adagot ismét megfelezhetik. Az így keletkezett egy-egy adagot megmérik és ellenőrzik, hogy mindenkinek ugyanannyi jutott: mindenkinek 8 dkg mag.

– A kétliteres ivólét is egyenlően osztják szét 4 gyerek között úgy, hogy négy egyenlő alakú és méretű edénybe próbálnak ugyanannyit önteni. Ha a mérőhengeren mindenki ugyanannyit: 5 decilitert olvas le, akkor sikerült az osztozkodás.

(Meg kell egyezni mindegyik esetben a mérés-pontosság elfogadható mértékében!)

Darabszámok és mérőszámok körében is valóságos osztozkodásokat végezhetnek sokáig anélkül, hogy meg kellene jegyezniük az osztások eredményét. A fogalom jó megértése az első teendő, a szorzó- és osztótáblák megjegyzése későbbi feladat.

Találkozzanak a tanulók olyan helyzetekkel is, amikor ténylegesen nem megoldható az egyenlő részekre osztás.

Például 3 tanuló között nem tudnak igazságosan szétosztani 7 lufit. Ha kiosztanak 2–2 lufit a 3 gyereknek, akkor csak 6 lufit osztottak szét, nem hetet. Azt mondom, hogy 3-felé nem osztható a 7 lufi, és nem azt, hogy egyenlően szétosztottam 3 felé a 7-et és marad 1. Mert bár a 3 gyerek egyenlően 2-t, 2-t kapott, de a 7 nem 3 egyenlő részre bomlott, hanem négy adagra, és ezek a részek nem egyenlőek.

5 gyerek között nem lehet egyenlően szétosztani 8 egyforma ceruzát. 2–2 nem jut mindenkinek, és ha 1-et-1-et kap mindenki, akkor nem 8 ceruzát osztottak szét egyenlően, hanem csak 5-öt. És a kialakult helyzetben a 8 ceruza 6-felé lett szétosztva, csak nem ugyanannyi került egy-egy helyre. 5 gyereknél 1–1 ceruza lesz és az osztozkodónál 3.

Ilyen esetekben mondhatják ki, hogy a 7 nem osztható 3-mal, a 8 nem osztható 5-tel. Ugyanis ezek a konkrét helyzetek bezárnak az egész számok világába. Nem tudjuk 3 egyenlő részre szétdarabolni a hetedik 1 lufit, és nem lehet a 8 közül fennmaradó 3 ceruzát öt egyenlő részre eltörni, szétvágni.

De hasonló helyzetek segítenek abban is, hogy szükségét érezzék a gyerekek a törtszámok megjelenésének.

Ha nem lufikról szól az előbbi történet, hanem almákról, biztosan lesz olyan kisgyerek, akinek eszébe jut a kés, és felvágja 3 „egyenlő” részre a hetedik almát. És megoldhatóvá válik a probléma, csak nem az egész számok körében. Kiderül, hogy 3 egyenlő részre szét lehet osztani a hetet, és egy részbe 2 egész és 1 harmad jut.

Ha a 8 ceruza helyett 8 méter zsinegen osztoznak öten, akkor mindenkinek jut 1 méteres darab és az ezen felül maradt 3 méternek is az ötöde. Akár úgy, hogy az egyben maradt 3 méteres zsineget „ötödölik”, akár úgy, hogy méteres darabokra vágva mind a 3 darab zsineg 1–1 ötödét megkapja mindegyik gyerek.

A magyar nyelven megfogalmazott „egyenlő részekre osztás” pontosan fedi le azt a tartalmat, amit a fenti példák képviselnek. A kiinduló számot (osztandónak mondjuk, bár az elnevezés nyelvtani alakja ma már elég szokatlan) felosztom annyi egyenlő szám összegére, ahány felé az „osztó” előírja. A művelet eredménye ezt az „egyenlő számot” adja meg.

Például: 18-nak a harmada a 6, mert 3 darab 6-os összege: \[\displaystyle 18 = \mathbf{6 + 6 + 6}\]

Ezt a műveletet írjuk le így: \(18 / 3 = \mathbf{6}\)
27-nek a kilencede a 3, mert a 27 kilenc darab 3-as összege: \[\displaystyle 27 = \mathbf{3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3}.\] Ezt a műveletet írjuk le így: \(27 / 9 = \mathbf{3}\)

Helyesnek tartjuk az egyenlő részekre osztás elnevezést használni, hiszen ez emlékezteti a gyerekeket a tevékenységgel együtt a részek egyenlőségére. Ráérünk röviden „osztás”-nak nevezni a műveletet, amikor elvont műveletté „érnek össze a tartalmak”.

Az osztás matematikai fogalmának egy másik tartalma a bennfoglaló osztás. Ezt sem értelmezzük a gyerekek számára szavakkal, hanem sokféle darabszámhoz és mérőszámhoz kapcsolható tevékenységekkel. Nézzünk néhány példát a tevékenységekre! (Idézetek az „Építsük fel” 2. osztályos Matematikai gyűjteményéből)

Így vezeti be az idézett könyv a bennfoglaló osztást:

Timi néni 24 süteményt vitt a gyerekeknek. Minden tányérra hármat akart tenni. Sajnos az derült ki, hogy nem jutott mindenkinek három.

Gondold ki, hogy a 24 sütiből hány tányérra kerülhetett 3!

A 24 süteményből 3-at-3-at ad. (Ha tudtok, játsszatok hasonlót!)

24-ből 3, -ból 3, -ból 3, … és a végén üres a tál. \[\displaystyle \mathbf{24 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0}\] A 24-ből 8-szor tudott 3 süteményt kiosztani Timi néni.

\(\mathbf{24 = \;}\)nyolcszor \(\mathbf{3}\)

A tevékenykedtetéssel történő értelmezést és a jelölés bevezetését követi sok további egyéni és közös kirakás, szétosztás.

– Vegyél elő 21 korongot!
Hány ilyen virágot tudsz kirakni belőlük?

– Felváltva játssz a társaddal!
Koppints a társad hátára 14-et kettesével! Társad számolja meg, hogy hányszor 2 koppintást érzett!

– Vegyél ki a dobozodból 12 rózsaszín rudat!
Építs belőlük 4 szintes házakat (a minta szerint)!
Hány házat tudtál építeni?

– Melyik leírás melyik építkezésről készülhetett?

– A színes ceruzákból 6-ot tesznek mindegyik dobozba.

– Hány dobozba fér el 12 ceruza?

– 21 cm-es szalagot vágunk fel 3 cm-es darabokra. Játszd el: rakd ki világoskék rudakkal a mérőszalagod mellett. Hány világoskék rúdra volt szükséged?)

– Karikázd be a pöttyöket

Olvass a képekről többféleképpen! (Összeadással, szorzással, bennfoglalással!)

A kétféle tartalmú osztás úgy válik évek alatt egy műveletté a gyerekek fejében, amikor már nem lesz szükségük arra, hogy egy történésre, helyzetre gondoljanak. De a legtöbb kisdiák az alsó tagozaton még nem jut el idáig. Fontos tudatosítani a számszerű eredmények egyenlőségét. És amikor csak számfeladatként jelenik meg, akkor akár meg is mutathatjuk a számológépek jelölését, amely kombinálja a két jelet. És engedhetjük, hogy bármelyik osztásjelet használják a gyerekek tetszésük szerint.

Ha mindenkinek biztosítani tudjuk az elegendő személyes, cselekvő tapasztalatszerzést, akkor a fogalom – jellemző tulajdonságaival és kapcsolataival – kialakul. Kinél hamarabb, kinél esetleg lassabban. Itt nem mutattam meg azt a sokféle jellemző tulajdonságot, amit a jól szervezett tevékenységek során felfedezhet magának a kisdiák. Azt sem, hogy mennyiféle összefüggésre jöhet rá egy-egy szorzó- és osztótáblán belül, szorzó- és osztótáblák között. Pedig azok a tulajdonságok és összefüggések hozzátartoznak a fogalomhoz – felismertetésük pedig a fogalomalakulás folyamatához. Na meg ahhoz is, hogy majd értelmesen és biztonsággal tudják megtanulni a „táblák” eseteit. Ez azonban több éves építkezést jelent.

Nem egy fogalom maga lehet áldás vagy átok, ha annak ki kell alakulnia. Az út az, ami formál, ami értéket fejleszt, vagy károsít. Az út a fontos: áldássá válhat, ahogyan eljutunk az egyes fogalmakig, azok tulajdonságainak megismeréséig, kapcsolataik megértéséig és továbbfejleszthető, alkalmazható tartalmaiig. És átokká válhat az út, ha az a gyereknek nagyon megterhelő, nagyon idegen, adottságainak nem megfelelő.

C. Neményi Eszter

Megjegyzések:

1. Ez a cikk szerkesztőségünk felkérésére készült, Mosóczi András: Bennfoglalás – áldás vagy átok? című írására reflektál.

2. C. Neményi Eszter tanítói képesítést középfokon, középiskolai tanári végzettséget az Eötvös Lóránd Tudományegyetemen matematika-fizika szakon szerzett. Hosszú pályája során dolgozott nevelőotthonban, volt az Országos Pedagógiai Intézet munkatársa, tanított általános iskolákban, sok tanítót nevelt ki a Budapesti Tanítóképző Főiskola matematika tanszékének docenseként és még 80 éves kora felett is aktív pedagógusi munkát végez. Számos szakcikk írója, könyv szerzője, társszerzője, több alkalommal is részt vett a matematika alaptantervek kidolgozásában, évtizedekig szervezte a Rátz László Vándorgyűlés szakmai programjait az alsó tagozatos szekcióban.

Rátz Tanár Úr Életműdíj 2023 – C. Neményi Eszter

C. Neményi Eszter: Az út a fontos c. előadása (2024. Rátz László Vándorgyűlés)