Tamásné Kollár Magdolna 1990-ben szerzett az ELTE-n matematika-fizika szakos tanári diplomát. Hat gyermeke születése után tért vissza az iskolai oktatás területére. 2011 óta a Pannonhalmi Bencés Gimnázium matematikatanára. Részt vesz az új középiskolai matematika tankönyvek kialakításában és fejlesztésében.
Beszélgetőtársa, Jánvári Zsuszsa 2006-ban szerzett az ELTE-n matematika tanári diplomát. Több, mint 17 éven át dolgozott középiskolai tanárként. Pedagógus szakvizsgája után 2019 óta doktori tanulmányokat folytatott, amellett oktatóként is tevékenykedett az egyetemen, doktori fokozatát 2025-ben szerezte meg.
Jánvári Zsuzsa: Beszélgetésünk apropója az volt, hogy a közelmúltban mindketten előadók voltunk a Rátz László Vándorgyűlésen, a leíró statisztika középiskolai oktatásához kapcsolódóan. Nem először találkoztunk, az elmúlt néhány évben munkaügyben több alkalommal keresztezték egymást útjaink.
Lelkesedéssel vágtam tehát bele, hogy beszélgessünk statisztikáról, életről, hozott tudásról, a család meghatározó szerepéről, és arról, ami olyan tanárrá tesz minket, amilyenné váltunk.
Bevezetésként szeretném, ha visszatekintenénk kicsit a gimnáziumi éveinkig. Emlékeim szerint nagyon felületesen és tényleg minimálisan szerepelt néhány statisztikai fogalom az 1990-es években. Átlagszámítás, és talán érintőlegesen egy-két diagram, de ennél sokkal több biztosan nem.
Tamásné Kollár Magdolna: Nagyon messzinek tűnik. Budapesten az Apáczai Csere János Gimnáziumba, egyetemre pedig az ELTE TTK-ra jártam a 80-as években. Úgy emlékszem, hogy diákként nem tanultunk statisztikát, de még az egyetemről sincs erről sok emlékem. Nekem az iskolai évekből a fizikához kapcsolódik a statisztika, ugyanis ott szerepelt statisztikus fizika, illetve az elektronok kapcsán érintettük a témát.
A gyerekeim születése miatt aztán hosszabban otthon maradtam a családdal. Mire visszamentem az iskolába tanítani, addigra már szerepelt a statisztika a középiskolai tananyagban: körülbelül a tankönyv végén lehetett egy-két lecke. A korombeli tanárok közül sokan – őszintén szólva – favágásnak éltük meg a statisztikát. Úgy láttuk, a diákoknak az a dolguk, hogy begépeljék a számológépbe a rengeteg adatot, lehetőleg elütés nélkül. A feladatok vagy az átlagot kérdezték, vagy a szórást vagy egy hiányzó adatot. Hallottam olyan iskoláról is, ahol abban az időben nem is foglalkoztak tanórai keretek között a témával éppen az egyszerűsége miatt, „ott van a függvénytáblázat, nézzétek meg abban” felkiáltással.
Saját tapasztalataim, illetve a kollégáktól kapott visszajelzések is hasonlóak voltak a témakör korai helyzetére vonatkozóan. Sokan nem is érezték igazából matematikának.
Igen, talán azóta is attól szenved ez a témakör, hogy nem voltak gondolkodtató kihívások, inkább technikai jellegű feladatnak látszott az egész. A mai napig izgalmas kérdés számomra, hogy mitől is matematika mindez.
Napjainkban komoly szemléletváltás megy végbe a témában: mind a NAT-ban, mind a kerettantervben szereplő tartalmak bővültek, a paletta egyre színesebb.
Ez így van. Egy korábbi Rátz László Vándorgyűlésen, éppen a tantervi változások mentén elhangzott például, hogy mennyire fontos a statisztika tanítása a hétköznapi élet vonatkozásában (is). De igazából továbbra sem kaptam választ arra, hogy számomra hol van mindebben a matematika.
A tankönyvíró, tananyagfejlesztő munkád kapcsán viszont elengedhetetlen volt, hogy azonosulni tudj a témával. A 2025-ös miskolci vándorgyűlésen fejtetted ki, hogy úgy döntöttél, megszereted a statisztikát, mert így fogod tudni majd jól tanítani. Belevetetted magad. Hogyan indultál neki ennek az útnak?
A fiam és a vőm is matematikusként dolgozik, mindketten statisztikával foglalkoznak. Az egyik sétánk alkalmával kértem a fiamat, meséljen nekem arról, hogy szerinte mi az, ami érdekes a statisztikában. Kerestem, hogy felfedezhető-e benne valamiféle mintázat, ami a matematika többi területén mindig is lenyűgözött. Hol van a statisztikai fogalmak mögött az a struktúra, amely egyszerre szigorú és korrekt, ugyanakkor kinyílik és kitágul tőle ez a fogalomkör. Mondta a fiam, hogy nézzem meg a Pénzcsinálók (Moneyball) című filmet Brad Pitt-tel. Szemléletformáló volt számomra – később a tankönyvben is írtam róla.
Hadd meséljek egy másik meghatározó élményt. 2024 márciusában tartottak Tatabányán kézilabdából egy olimpiai selejtező tornát, amelynek az volt a tétje, hogy kijut-e a magyar férfi válogatott a párizsi olimpiára. A családunk jópár tagja ott volt ezeken a mérkőzéseken. Volt tehát egy friss, lelkesítő, örömteli személyes élményünk: megnyertük a Portugália elleni döntő fontosságú meccset! Pár nappal később a vőm elküldte nekem a mérkőzés hivatalos statisztikáit. Ez egy 6-8 oldalas dokumentum, táblázatokkal, diagramokkal. Volt benne egy fél oldalt betöltő diagram: minden játékos neve mellett egy sávdiagramon ábrázolták, hogy mikor volt pályán és mikor nem volt pályán. Jé, ez érdekes! Az jutott eszembe, hogy korábban még sosem láttam olyan sávdiagramot, amire azt mondtam volna, hogy érdekes. Ez pedig az volt. Nézegettem, hogy kiderül-e csupán a diagramból, hogy ki a kapus. Aztán észrevettem, hogy Imre Bence a második félidőben végig pályán volt, az első félidőben viszont folyton lecserélték.
Igen, ezt a diagramot megmutattad a Rátz László Vándorgyűlésen is, Miskolcon!
Igen! Világossá vált számomra, hogy ennek a jelenségnek teljesen reális okai vannak és nem csupán az emberi tényező áll mögötte, hogy éppen jól játszik-e valaki aznap vagy sem. Amikor az előadásomban ezt bemutattam, mindkét alkalommal megkérdeztem a közönséget, hogy mit sejtenek, mi az oka. Szinte kivétel nélkül minden válaszoló emberi okokat mondott (pihentették vagy nem játszott jól), pedig ennek geometriai oka van!
A kézilabdapálya 20 méter széles és 40 méter hosszú. A pálya egyik hosszanti oldala mellett van a versenybíró asztala és a cserepad a cserejátékosokkal. Cserélni a versenybírói asztal előtt egy úgynevezett cserezónában lehet. Ez tehát a pálya egyik hosszanti oldalán, középen van. A cserezóna széle a középvonaltól 4,5 méterre van, mindkét irányban. Így a szélső játékos az egyik félidőben közel van a cserezónához, és tud gyorsan cserélni, míg a másik félidőben a pálya túlsó vonala mentén mozog, és nincs ideje kifutni cserélni.
Így az, hogy hogyan tudnak cserélni a csapatok, attól is függ, hogy éppen melyik oldalon játszanak. Tehát arra jöttem rá, hogy ami ilyen markánsan megjelenik, az nem egy esetleges döntés, hanem van mögötte valamilyen mögöttes struktúra, egy meghatározó valóság.
Ezután alakult ki bennem, hogy egy diagram tulajdonképpen sokkal többet meg tud mutatni, mint hogy az adott illető jó játékos vagy rossz játékos, vagy jó napja volt vagy nem jó napja volt. Keresni kezdtem, hogy a gyerekeknek ilyesmiket tudjak mutatni az órákon.
Emlékszem, hogy az olimpia után az egyik órán tanítottam a nyíltvízi úszás példájával. Szépen lehet látni a részidőket, hol gyors, hol lassú, amiből kitalálható, hogy mikor úszik felfelé, illetve lefelé a folyón a sportoló. A gyerekek vetették fel, hogy a folyó sebességét is ki lehet számolni. Úgy érzem, hogy ez az a része a statisztikának, amit érdemes megmutatni, mert ilyen problémákat látva a gyerekek elkezdenek gondolkodni a mögöttes valósággal kapcsolatban is.
A statisztikánál eleinte távolinak tűnt, hogyan mutassam meg, hova, milyen érdekességhez lehet vele eljutni. Geometriában például egészen érdekes kérdésekig el tudunk jutni, vagy számelméletben például a prímek esetén. Ezek milyen izgalmas, milyen különleges kérdések!
Úgy tudom, hogy a diagramoknak fontos szerepük volt a téma iránti elköteleződésedben.
Így van. Az foglalkoztatott, hogy mit érdemes tanítani, mi izgalmas? Egy konkrét diagrammal kapcsolatban szívesen felteszek magamnak ilyen kérdéseket: Milyen mintázat lehet mögötte? Megmutat-e valamit az adatok mögötti valós fizikai történésről? Mi az, ami érdekes benne? Igazából ez az, amire a sport által nyílt lehetőségem. Volt néhány „aha” élményem abban, hogy egy-egy diagram hogyan tükröz bizonyos döntéseket vagy érdekes helyzeteket. Érdekelt az is, hogy a diákok szeretik-e a statisztikát. Amikor megkérdeztem őket, azt láttam, hogy nagyon vegyes a kép. Voltak, akik kevésbé, vagy egyáltalán nem szerették, de kifejezetten sokan mondták, hogy nagyon szeretik.
Mondták, hogy miért?
Azt mondták, hogy nagyon izgalmas nekik a sok szám, a sok adat, izgalmas ezekkel számolni, de igazából nem tudták megfogalmazni, hogy mi az, ami számukra érdekes. Szeretik nézni, hogy alakulnak ezek a számok. Olyan érv nem hangzott el, ami engem előre vitt volna a témában.
Sokat beszélgettem az elmúlt években én is gyerekekkel, kíváncsi voltam, hogy szeretnek-e statisztikát tanulni, és ha igen, miért. Sokféle választ kaptam. Sokan szeretik, mert azok számára is sikerélményt biztosít, akiknek az összetettebb matematikai problémák nem mennek. A hallgatók is érdeklődőek a téma és a téma tanítása iránt is, mindig érdekes, hogy ki milyen hozott tudással rendelkezik – gondolok itt a középiskolás éveikből hozott ismereteikre, tapasztalatukra.
Mi a konkrét tapasztalatod, nyitottak a gyerekek a „sportos” megközelítésre?
Fiú iskolában dolgozom, ők nagyon vevők a sport témakörre. Én magam is szeretem a sportot, bár nem voltam kifejezetten sportrajongó. A családomban többen nagyon szeretik, az egyik vőm és a férjem is sok sportműsort néz. Így a téma – ahogy említettem többször – adta magát. Közelről jutottam birtokába sok-sok érdekes információnak, tudtam tőlük kérdezni. Egyértelműen adtak nekem alapötleteket. A férjem a régebbi, a vőm a frissebb sporteseményekről tudott többet mesélni.
Előfordult-e már olyan, hogy valakit nem tudtál megfogni ezzel a témával, valakit egyszerűen nem vonzott be a sport?
Vannak tanítványaim, akiket sokkal inkább érdekel a gazdaság- és társadalompolitika, bár ők jóval kevesebben vannak, mint azok, akiket a sport érdekel. Osztályonként legfeljebb 2-3 ilyen diák van. A sportról objektívebben és vidámabban lehet beszélgetni az iskolában, mint néhány egyéb dologról. A lányoknál be lehet vetni nőiesebb sportágakat, női sportolókat említeni. Nekem úgy tűnik, hogy élvezetes a diákok számára a statisztika, ha a sport témáján keresztül tanulják.
Lehetne még zenéhez, filmekhez, társasjátékokhoz vagy egyébhez kötni a témát, de egyrészt ezekben nem vagyok kellően tájékozott, másrészt pedig nagyon gyorsan változik, és hamar elkopik a dolog.
Ezzel teljesen egyetértek, nem könnyű követni az eseményeket ezen a területen, és amit az egyik évben akár érdekességként elmondhatunk, az pár hét, hónap múlva már teljesen aktualitását veszíti.
Persze! Igaz ez részben a sportra is, de Egerszegi Krisztina neve még ma is ismert név, és például Hosszú Katinkáról is tudni fogják a diákok 10 év múlva is, hogy kicsoda.
Ami még nagyon jó téma, az a természet és a biológia. Úgy tapasztalom, hogy még ezzel könnyű megfogni a fiatalokat. Ha kevesebb munkával el tudnám érni, hogy hasonlóan informált lehessek például a természetről is – mint ahogy a családom miatt a sport esetén –, akkor azt hiszem, érdemes lett volna ezt a témát is jobban kinyitni.
Én is úgy gondolom, hogy a természetvédelem, a fenntarthatóság olyan témák, amelyekre nagyon nyitottak és érzékenyek a gyerekek, de bármelyikünk is fog neki (aki nem biológia szakos), hogy ezeken a témákon át mutassa meg a statisztika szépségeit, annak sokat kell készülnie.
Ez biztos, igen. Az új feladatgyűjteménybe próbáltam beletenni néhány biológiához vagy természethez kapcsolódó feladatot, ezek is érdekes és objektív témák.
Nagyon fontos, hogy olyan témát válasszunk, amit objektív keretek között taníthatunk és aktuális, akár hosszabb távon is.
Milyen lehetőségünk van a kritikai gondolkodás fejlesztésére a matematika órán, vagy szűkebben a statisztika oktatás keretein belül? Van-e erre bármilyen lehetőség egyáltalán a mai keretek között?
Azt szoktam mondani a diákjaimnak, hogy egy jó matekos nagyon becsületes. Meg tudjuk mondani egy állításról, hogy igaz vagy hamis, vagy hogy ezt nem tudjuk eldönteni. Mindig az összes esetet keressük, az összes megoldást, így tulajdonképpen ilyen értelemben is a kritikai gondolkodásukat fejlesztjük. Matematikaórán sokszor ezt csináljuk, ha nem mondjuk ki, akkor is.
Arra gondolsz, hogy a teljességre való törekvés, például az összes megoldás megtalálása alkalmával, vagy általánosabb értelemben, egy bizonyos reflektív, önreflektív szemlélet megalapozása is a kritikai gondolkodást fejleszti.
Igen. Valószínűségszámításos feladatoknál azt szoktam mondani, hogy érdemes tippelni (persze az életközeli feladatoknál), mennyi az adott esemény valószínűsége. Ilyenkor úgy gondolom, hogy egy jó matekos tippel, számol és utána csodálkozik. Néha meglepődünk, de tudnunk kell meglepődni. Vannak ösztönös gondolataink, intuícióink, és néha ezek jók is, néha pedig nem. Néha van másik megoldás is. Ez is a kritikai gondolkodást fejleszti szerintem.
Az általad említett esetekben, példákban sokszor kapcsolódsz ahhoz, hogy mi a tapasztalatunk a valóságról. Azt hiszem, hogy a megközelítésedet összességében a sport, az igény a valóságközeliségre és a fizika szakon kialakult szemléleted együttese határozza meg.
Nagyon sokat segített a valóság, a valószínűségszámítás kapcsán is a valósághoz való ragaszkodás. Anno a gimnáziumi tanulmányaim kapcsán nagyon megérintett a tiszta matematika. A kezdetekben ezért is okozott nehézséget a statisztika. Nagyon érdekelnek, ahogyan a valóságban zajló történések hatással vannak az adatokra, és sokszor keresem a mintázatokat a világban, amelyekben meglátom a kapcsolódásokat, az analógiákat.
Az interjút Tamásné Kollár Magdolnával Jánvári Zsuzsanna készítette.
Megjegyzés:
A témához kapcsolódóan ajánljuk a Váltószögek podcast sorozatának Gondolkodj kritikusan! adását is. (A szerk.)
