Ismerőseim közül sok szülőnek szorul össze a gyomra, amikor meghallják a „bennfoglalás” szót, és felidéződik bennük a sok-sok értetlenkedés meg vita a gyerekkel, esetleg a tanítóval, az iskolával…
De mi is az a bennfoglalás, mi szükség van rá az oktatásában, és vajon valóban szükség van-e rá?
A legfontosabb kérdés pedig az, hogy vajon segíti-e a diákok éppen formálódó matematikai gondolkodását, avagy sem?
Ezek a kérdések bőven túlmutatnak azon a két, sarkos állásponton, amely egyrészről a szülőkben, másrészt a pedagógusok egy részében fogalmazódik meg: több szülő örökre eltüntetné és sóval behintené a bennfoglalást, míg a pedagógusok egy része nélkülözhetetlen csodaszerként tekint rá, amit megkerülhetetlennek gondolnak a maradékos osztás bevezetésénél és a törtek fogalmának megalapozásánál.
Az látszik, hogy hatalmas a vita ebben a témában. Olyan nagy, amire nem is gondoltam volna, azonban egy, a bennfoglalásról a Facebookra készült matekinges videó komment szekcióját nézve számomra nyilvánvalóvá vált.
A cikket a kommentek és az azokra adott válaszaim inspirálták.
Minden a szorzás felcserélhetőségével kezdődik
Kezdjük azzal, hogy mit is jelent a bennfoglalás. A bennfoglalás tulajdonképpen az osztás kétféle természete nyomán kialakuló fogalom.
Amikor két számot összeszorzunk, a tényezők sorrendje felcserélhető. Vagyis \(3\cdot 2\) ugyanannyi, mint \(2\cdot 3\), bár a valóságból vett példákban nem feltétlen ugyanazt jelentik.
Ha egy tojástartóban van \(3\cdot 2\) darab tojás, akkor az akár \(2\cdot 3\)-nak is mondható. Igazából nincsen jelentősége.
Ha az orvos felír napi 3 alkalommal 2 szem gyógyszert, az már nem ugyanaz, mintha 2 alkalommal vennénk be 3 szemet, vagyis itt a sorrendnek van egy extra jelentéstartalma.
Itt rögtön fontos kitérni egy, véleményem szerint romboló hatású módszertani hibára, amit sajnos jónéhány alsó tagozaton tanító pedagógus el szokott követni.
Amikor az a feladat, hogy írjuk fel számokkal, hogy van három gyerek és mindhárom gyereknek adunk két szem cukrot, akkor, ahogy a Facebook-kommentekből kiderül, ezt bizonyos tanítók úgy várják el, hogy \(3\cdot 2\), és a fordított sorrendet helytelennek tarják, sőt büntetik.
Ezzel nem csak az a probléma, hogy egy matematikailag helyes eredményre vezető választ helytelennek minősítenek, és ezzel feleslegesen rombolják a diákok önbecsülését és a matematikához való viszonyulását. Közben egy másik hatalmas kár is keletkezik.
Éppen az lenne a cél a szorzás tanítása közben, hogy a diákokban kialakítsuk azt a szemléletet, hogy a szorzás kommutatív. Vagyis teljesen mindegy, hogy két sorba rakunk 3 cukrot vagy három sorba 2 cukrot, mindkét esetben 6 szem cukrunk van.
Egy tevékenység a valóságban nem biztos, hogy felcserélhető, de mint művelet, matematikailag igen. A matematika pedig műveletekkel dolgozik, a bennünket körülvevő világot formalizálja.
Amikor tehát leírjuk, hogy \(2\cdot 3\), az jelentheti azt is, hogy 2 gyereknek adunk 3 cukrot, és azt is, hogy 3 gyereknek adunk 2 cukrot, a szorzás műveleteként teljesen mindegy, hogy melyik szituáció valósul meg.
Ezt egyébként rengeteg módon lehet a gyerekeknek szemléltetni. A már említett tojástartó is ilyen, ahol 2 sorban van 3 tojás, vagy 3 sorban 2 tojás. De megkérhetjük őket, hogy színezzenek ki a füzetükben 4 darab négyzetet, és ezt az alatta lévő meg a még eggyel alatta lévő sorban is tegyék meg. Ezek után színezzenek ki 3 négyzetet, és ezt 4 egymás alatti sorban tegyék meg, és utána számolják össze a beszínezett négyzeteket. De ilyen játék lehet az is, hogy 3 tál mindegyikébe tegyenek 4 darab babszemet, aztán újabb 4 tálba tegyenek bele mindegyikbe 3 babszemet, és számolják meg, hogy a két esetben összesen hány babszem van a tálakban. A sort hosszan folytathatnánk, a szemléltetések száma gyakorlatilag végtelen.
Vagyis a matematika az életben előforduló más és más történéseket sokszor ugyanazzal a képlettel írja le.
Ez egy nagyon fontos gondolat, amit a gyerekeknek sokszor nehéz megérteni, és éppen segíteni kéne őket abban, hogy ezt megértsék, nem pedig pont az ellentétes irányba vinni őket, azt sugallva, hogy a képletek „emlékeznek” arra is, hogy mi történt az adott helyzetben (tehát pl. 2 gyerek volt 3 cukorral vagy 3 gyerek két cukorral).
Arról már nem is beszélve, amikor egyes pedagógusok egy szorzatban külön hangsúlyt helyeznek a szorzó és szorzandó megnevezésekre, mintha nem pont az lenne a szorzás egyik lényeges tulajdonsága, hogy a tényezői felcserélhetők.
És akkor arról már végképp nem beszélve, hogy a \(2\cdot 3\) hogyan olvasható ki, tehát vannak, akik ezt a „három szorozva kettővel” terminológia szerint mondják ki, itt pedig aztán ember legyen a talpán, aki képes még követni, hogy mi van szorozva mivel, és mi a szorzó és mi a szorzandó. Szerintem ennek az égvilágon semmi, de semmi jelentősége nincsen.
Közben pedig a sok haszontalan, a diákok agyát terhelő információban elvész néhány nagyon is lényeges fogalom. Annak ugyanis már nagy a jelentősége, hogy mi a különbség a tag és a tényező között, és ezt sajnos a diákok nemegyszer még középiskolában is eltévesztik, tapasztalataim szerint gyakran előfordul még egyetemi hallgatóknál is. Sőt, nem egyszer láttam, hogy maguk a tanárok is keverik. A matekingen külön foglalkozunk a műveleti sorrendek szemléltetésével, és ezen belül a tag és a tényező közötti szemléletes különbség bemutatásával.
És most térjünk rá a bennfoglalásra…
Az osztás kétféle természete
A bennfoglalás alapelve az osztás kétféle természete miatt jött létre.
Az angolszász területeken ezeket partitive (sharing) és quotative (measurement) division néven emlegetik, és a dolog igazából egy halmazelméleti kérdés. A lényege egy szemléletes példán keresztül könnyedén megragadható.
Van 12 darab kekszünk, és ezt szeretnénk szétosztani.
Az osztás egyik értelmezése, hogy 4 gyerek között egyenlő arányban osztjuk szét a kekszeket. Ezt úgy tesszük meg, hogy először minden gyereknek adunk egy darab kekszet. Aztán amikor ezzel megvagyunk, megint minden gyerek kap egy kekszet, végül még egy újabb körben az összes kekszet szétosztjuk. Így minden gyerek 3 darab kekszet kap.
Ezt a tevékenységet hívjuk egyenlő részekre osztásnak, és így jutunk el oda, hogy \(12/4=3\).
Az osztás másik értelmezése, amikor a 12 darab kekszet úgy szeretnénk kiosztani néhány gyerek között, hogy minden gyereknek 4 darab kekszet akarunk adni. Ekkor, mivel a 12-ben a 4 éppen 3-szor van meg, hiszen \(3\cdot 4=12\), összesen 3 gyereknek adhatunk kekszet.
Vagyis \(12/4=3\), de itt a 3 a gyerekek számát jelöli.
Az első esetben tehát a \(12/4=3\) a kekszek számát jelentette, míg a második esetben a \(12/4=3\) a gyerekek számát jelenti.
A helyzetet jól szemlélteti ez az ábra:
Nyilvánvalóan az osztásnak ez a kétféle természete a szorzás kommutativitásából ered, ezért szerintem érdemes ezt a diákoknak is ebből levezetni.
Ez egy teljesen jól szemléltethető jelenség, és ajánlom is minél többször megmutatni a diákoknak.
Például játszhatunk olyat, hogy maguk a diákok rendeződnek csoportokba, vagy valamilyen tárgyakat osztunk szét dobozokba, poharakba, a szemléltetési lehetőségek száma határtalan.
Nem is kellene feltétlenül elnevezni a kétféle osztást, elegendő azt az érdekes tényt megemlíteni, hogy ez így működik.
Megkérhetünk például 12 gyereket, hogy álljanak négyes csoportokba. És aztán azt mondjuk nekik, hogy most álljanak hármasával oszlopokba, aztán az oszlopokban legelöl álló gyerekek lépjenek előrébb, a leghátul állók pedig lépjenek hátrébb. És így megint három darab négyes csoport keletkezett. Vagyis úgy is szét lehet osztani 12 embert négyes csoportokba, hogy hármas csoportokba osztjuk őket.
Ezzel a soronként négy – oszloponként három szemlélettel egyszerre erősíthetünk rá arra, hogy a szorzás kommutatív, és arra, hogy emiatt az osztást kétféleképpen is értelmezhetjük.
És akkor most jönnek a gondok…
Az egyik legnagyobb probléma, amikor a kétféle osztásra külön jelöléseket is bevezetnek. A részekre osztásnál a \(/\) jelölést, míg a bennfoglalásnál a \(:\) jelölést szokták használni. Ez pedig azt a hamis képzetet keltheti a diákokban, mintha ezek más-más műveletek lennének. Valójában ez nem igaz, ugyanis maga a művelet az osztás, és ami eltér, az csak ennek a műveletnek a korábban bemutatott kétféle értelmezése.
A nézetek eltérése tehát nem abban van, hogy az osztás kétféleképpen is értelmezhető művelet, hanem abban, hogy ezt a kétféle értelmezést érdemes-e kétféleképpen jelölni, sőt kétféle gondolatmenetet építeni köréjük.
A problémát jól szemléltetheti egy példa, amikor Béla bácsinak naponta 4 szem gyógyszert kell bevennie és egy dobozban 65 szem gyógyszer van. A kérdés, hogy hány napra lesz elég a gyógyszere. Ez egy tipikus bennfoglalás, hiszen a 65-öt kell szétosztanunk négyes csoportokba. Ám ha elkezdjük levonogatni a 4-et, hogy \(65-4-4-4-4\ldots\) akkor így elég nehezen kapjuk meg a megoldást. Helyette a \(65/4\) lehet a célravezető megoldás, amit írásbeli osztásként is ki tudunk számolni, vagy mondhatjuk, hogy a \(60/4=15\) és marad még 5 szem, ami plusz egy napra elég, tehát 16 napig szedheti a gyógyszert.
Ha itt ragaszkodnánk a „tankönyvi” megoldáshoz, és a bennfoglalást erőltetnénk, akkor ezzel egy logikailag hátrányosabb megoldáshoz jutnánk.
Semmi sem indokolja tehát, hogy a diákoknak az osztásra kétféle jelölést mutassunk, annak ellenére, hogy az osztásnak valóban kétféle természete van. Sőt, ha ezt a két jelölést nem egyenértékűnek tekintjük, azzal súlyos szakmai tévedést követünk el, erre mindjárt vissza fogunk térni.
Gondoljunk bele egy kicsit abba, hogy mit érezhet egy másodikos diák, amikor a műveleteket tanulja. Megtanulta az összeadást, és azt, hogy ezt a műveletet a + jel jelöli. Aztán megtanulta a kivonást, amire a \(-\) jelet használjuk. Ezek után a szorzást is megtanulja, amit \(\cdot\) jelöl. És ezek után következik az osztás.
Ha a részekre osztásnál a \(/\) jelölést, míg a bennfoglalásnál a \(:\) jelölést használja a tanító, ezzel azt a (téves) elképzelést alakítja ki a diákokban, hogy ez a két művelet eltérő. Hiszen a tanulók azt látták, hogy a különböző műveletek különböző jeleket kapnak. Logikusan következik tehát számukra, hogyha a tanár más-más jelet használ, akkor itt bizonyára különböző műveletekről van szó. Hiszen ha ugyanaz a művelet lenne, miért kéne kétféleképpen jelölni?
Egyrészt szerintem nem elvárható másodikos diákoktól az az absztrakció, hogy itt most ugyanazt a műveletet más-más helyzetekben jelöljük eltérő módon, másrészt pedig értelmetlen és káros dolog is ilyet tanítani nekik, hiszen a matematikában mindkét jelölést ugyanarra használjuk.
Vannak természetesen terminológiailag eltérő jelölésmódok, például a vektorokat félkövérrel szedve vagy aláhúzással is jelölhetjük, a differenciálszámításban a függvény deriváltját \(\operatorname{d}f/\operatorname{d}x\) vagy \(\operatorname{f}’\) karakterekkel is jelölhetjük, de ezek egymás „szinonímái” és egyébként még ez is zavaró tud lenni még az egyetemista hallgatók egy részének is.
Ezzel szemben az, hogy másodikos diákoknak nemcsak kétféle jelölést mutatunk az osztásra, de még jelentésbeli különbséget is adunk neki, véleményem szerint didaktikai zsákutca, amiből csak nagyon nehéz kifarolni. Sok-sok diák éveken át meg van győződve róla, hogy a bennfoglalás nem osztás. Olyasmi, mint az osztás, de mégsem az. És mindezért két dolog felelős.
Egyrészt egyszerűen be lehetne mutatni az osztás kétféle természetét, azt, hogy 12 gyerek három oszlopba és négy sorba állva tekinthető 3 darab négyes csoportnak és négy darab hármas csoportnak, vagyis a 12 osztva 4-gyel jelentheti azt is, hogy egy csoportban 3 gyerek van és azt is, hogy 3 darab négyes csoport van. Helyette két, teljesen eltérő fogalomnak látszó elnevezéssel, a részekre osztással és a bennfoglalással már megágyaznak annak, hogy a diákok ezt két különböző műveletnek képzeljék.
Másrészt ezt azzal tetézik, hogy a különbözőnek látszó műveletekre elkezdenek különböző jelöléseket is használni. Sok esetben olyannyira, hogy ha egy diák a „12 kekszet négyesével dobozokba pakolva hány dobozra van szükség?” kérdésre a \(12/4=3\) választ adja, akkor azt a tanító még pirossal be is karikázza, mert az „helyesen” \(12:3=4\).
És itt veszítünk el ezer meg ezer csillogó szemű és jó logikájú, matekot eddig szerető gyereket azzal, hogy a matematikailag helyes megoldásaikat ezek a tanítók egy igazából nemlétező dologra hivatkozva „kijavítják”.
Maradékos osztás bennfoglalás nélkül
A következő, szerintem rendkívül káros téveszme a bennfoglalás kapcsán, hogy a maradékos osztást csak a bennfoglalással lehet szemléltetni. És itt jutunk el a cikk legerősebb állításához.
Személyes meggyőződésem, hogy épp a bennfoglalás az, ami felelős azért, hogy a diákok nem értik a törteket, nehézséget okoz nekik a törtek témaköre, és gyakran azzal sincsenek tisztában, hogy a törtvonal lényegében egy osztást jelent.
A tettes pedig az az elmélet, amely szerint „a maradékos osztást csak a bennfoglalással lehet elmagyarázni, a részekre osztással nem” és ennek az a logikai alátámasztása, hogy „az egyenlő részekre osztás csak akkor alkalmazható, ha nincsen osztási maradék”.
Ezen utóbbi állítás logikailag tökéletesnek tűnhet, hiszen hogyan is lehetne például egész számkörben 4 egyenlő részre osztani a 13-at? Sehogy, ergo nem használható az egyenlő részekre osztás, a bennfoglalás viszont igen.
Véleményem szerint ez a „logikus” kijelentés az, ami több tízezer diáknak nehezíti meg a törtek helyes értelmezését.
És most megmutatom, hogy miért.
Induljunk ki a 13 osztva 4-gyel példából.
A 13 egész számkörben nem osztható 4-gyel, maradékosan osztva pedig a 4 megvan benne 3-szor és az osztási maradék 1.
És itt jön most a fenti mondat tragikus hatása. Az következik ugyanis belőle, hogy „ha nem lehet egyenlő részekre osztani, akkor itt csak bennfoglalás lehet”. És ezzel ássák meg azt a szakadékot, ami a diákok és a törtek megértése között mélyül.
Úgy folytatódik ugyanis a „logika”, hogy „mivel csak bennfoglalás lehet”, megnézzük, hogy a 13-ban a 4 hányszor van meg. Szemléletesen megtöltünk egy dobozt 4 keksszel, aztán egy újabbat, meg egy újabbat és arra jutunk, hogy három doboz tölthető meg és kimaradt egy keksz, tehát a 13-ban a 4 megvan 3-szor és marad az 1. Ízesebben fogalmazva a 13-ban a 4 benne foglaltatik 3-szor és marad az 1.
Mi ezzel a baj?
Az vele a baj, hogy a bennfoglalás nem értelmezi a törteket. És ezzel a maradékos osztás és a törtek közé áthidalhatatlan szakadékot épít a gyerekek fejében.
Számoljunk le a téveszmével, hogy maradékos osztást nem lehet az egyenlő részekre osztásnál definiálni. Nagyon is lehet, sőt, nekem az a meggyőződésem, hogy csak és kizárólag így szabad. Nézzük meg, hogy miért.
Maradjunk továbbra is a 13 osztva 4-gyel példánál és próbáljuk meg egyenlő részekre osztani.
Értsük meg azt a szemléletet, hogy a maradékos osztásnál az osztási maradék egyfajta kudarc. Értem ez alatt azt, hogyha van 13 keksz, akkor teljesen mindegy, hogy négy gyereknek kezdjük el kiosztani, vagy négyesével csoportosítjuk a kekszeket, a dolog „sikertelenségbe” fullad. Azon egyszerű okból, hogy sajna a 13 nem osztható 4-gyel.
A „sikertelenség” a bennfoglalásnál már láttuk, hogy mit jelent.
Most nézzük az egyenlő részekre osztást.
Van 13 keksz és 4 gyerek között szeretnénk szétosztani igazságosan, vagyis úgy, hogy minden gyerek pontosan ugyanannyi kekszet kap.
Az egyenlő részekre osztás módszere azt diktálja nekünk, hogy először minden gyerek kap egy kekszet, tehát 1-1-1-1 keksz van a gyerekeknél. Aztán mindenkinek adunk még egy kekszet, és akkor 2-2-2-2 keksz van náluk. Aztán megint adunk egy újabb kekszet és akkor 3-3-3-3 kekszük van.
Eddig 12 darab kekszet osztottunk ki, tehát már csak 1 darab keksz van. Nyilvánvaló, hogyha nem törhetjük el a kekszeket, akkor nem tudunk 1 darab kekszet 4 gyerek között igazságosan szétosztani. Az egyenlő részekre osztás művelete itt elakad.
És azt mondjuk, hogy 13 osztva 4-gyel az 3 és maradt az 1, vagy ha úgy jobban tetszik, a 13-ban a 4 megvan 3-szor és maradt az 1.
Pontosan ugyanarra az eredményre jutunk, mint a bennfoglalással, csak éppen itt sokkal több jelentéstartalommal. Egyrészt képbe kerül a „hiba” szemlélet, vagyis az, hogy nem tudtuk tökéletesen végrehajtani a tervet, mert nem lehet a 13 kekszet egyenlő részekre osztani a 4 gyerek között. Eljutottunk az osztási maradék definíciójához, nevezetesen ahhoz, hogyha a 13-ban nincs meg (egész számszor) a 4, akkor az osztás során maradék keletkezik.
Pontosan kiderül tehát, hogy miért keletkezik a maradék és az is szemléletesen látszik, hogy mennyi ez a maradék.
És most jön a sorsfordító pillanat.
Mi van akkor, ha mégis szét akarjuk osztani valahogyan a 13 darab kekszet maradék nélkül? Hogyan lehetne elérni, hogy minden keksz ki legyen osztva, és minden gyerek ugyanannyi kekszet kapjon?
Van négy gyerek, van még egy megmaradt keksz. Hmmm, mit lehetne vajon tenni? A megmaradt kekszet szét kell törni négy részre. És itt jön képbe a törtrész.
Vagyis megkapjuk azt, hogy a 13 osztva 4-gyel az 3 és a maradék 1, de ha akarom, akkor a 13 osztva 4-gyel az 3 és még egy negyed.
Ez a bennfoglalással sohasem jöhet ki, annak természete miatt.
A matematikaoktatásban jelenlévő ciklikussággal tehát megtehetjük azt, hogy első körben megtanítjuk a maradékos osztást úgy, hogy 13 osztva 4-gyel az 3, és sajnos keletkezik egy maradék keksz.
Aztán második körben ugyanezt a történetet folytathatjuk úgy, hogy mégis jó lenne ezt az egy megmaradt kekszet is szétosztani és így \(13/4=3 +1/4\), és ezzel bevezettük a törteket, szinte észrevétlenül, teljesen természetes módon a maradékos osztás egyfajta továbbgondolásaként.
A törtek bevezetésénél tehát sok-sok ilyen példán keresztül eljuthatunk oda, hogy bizonyos esetekben „darabolás” nélkül elvégezhető az egyenlő részekre osztás, míg bizonyos esetekben nem, és ilyenkor törtekre lesz szükség.
Ez nem csak azért hasznos, mert egységes képet ad, hanem azért is, mert gyönyörűen szemlélteti a matematika működését. Nevezetesen azt, hogy amikor egy művelet elvégzése korlátokba ütközik, akkor ezt hogyan lehet valahogyan kiterjesztetni. Úgy, hogy a továbblépés érdekében valahogy bővítjük a számkört, amiben a műveletet végezzük. Így jönnek képbe egy-egy kvázi „hiba” folytán a negatív számok, majd a racionális számok is (és még később az irracionális számok és a komplex számok).
És végül két gondolat.
Az egyik, hogy a \(/\) és \(:\) megkülönböztetés súlyos szakmai hiba.
Az ISO 80000-2:2019/2-10.6 sztenderd szerint az osztásra a \(/\) és a \(:\) jelölés egyformán használható. A két jelölés tehát egymással ekvivalens. Így az a tanár, aki hibának tekinti, hogy a diák az egyik vagy a másik jelölést használja, szembemegy a nemzetközi jelölésrendszerrel. Nem véletlen, hogy a számológépeken az osztás gombon a \( / \) és a \(:\) jelek egyesítésével kapott jel szerepel.
A másik gondolat, hogy a bennfoglalás mint jelenség, természetesen tanítható, csak pontosan tisztázni kell, hogy ez nem egy új művelet, hanem az osztásnak az egyik megjelenési formája.
Zárásképp nagyon fontosnak tartom leszögezni, hogy ennek a cikknek a lényege nem a hibáztatás, nem a kritizálás és semmiképpen sem azoknak a pedagógusoknak az elítélése, akik úgy tanítják ezeket a témákat, ahogy a tantervben és a tankönyvek jelentős részében is szerepel.
A cikket vitaindítónak szánom, mert szerintem fontos lenne, hogy ne megszokásból, ne rutinból tanítsunk. Ne úgy tanítsunk, hogy már húsz éve is így tanítottuk, tehát akkor most is így kell. Mert mi van akkor, ha a diákoknak tényleg azért nem mennek a törtek, mert a bennfoglalás bezavar? Az a bennfoglalás, amire épp az az ideológia, hogy segít a diákoknak jobban megérteni az osztást és a törteket.
„Sosem az okozza a bajt, amit nem tudsz, hanem az, amit biztosan tudsz, de mégsem úgy van.” (Mark Twain)
Mosóczi András
Matematikatanár, egyetemi óraadó,
a mateking.hu oktatási platform alapító-vezetője
Megjegyzés
Evvel a cikkel egy időben jelenik meg C. Neményi Eszter: Átok vagy áldás c. írása, amely a fentiekre válaszul a kisgyermek fogalomalkotásának oldaláról mutatja be a vitatott kérdést. (A szerk.)
