Az ELTE matematikatanár-szakos hallgatói számára kötelező Elemi matematika tárgyak keretében fontosnak tartjuk, hogy a hallgatók a hagyományostól eltérő tanítási módszerekkel és értékelési rendszerekkel is találkozzanak. Ezért például Kiss Anna és Varga Eszter ötlete alapján az Elemi matematika 1. kurzusain a zárthelyi dolgozat mellett hétről-hétre otthon elkészíthetnek és beadhatnak olyan feladatokat a hallgatók, amelyek témája, habár szorosan kapcsolódik a törzsanyaghoz, típusuk sokszor fura (nem szokásos): lehetőséget biztosít arra is, hogy a matematikai kompetenciáik fejlesztését egészen más kompetenciaterületek segítségével támogassák.
Nézzünk egy példát!
A gyakorlaton megismert „török szultános feladat” a következő:
A szultán születésnapján néhány rabot szabadon akar bocsátani. A 100 cellás börtönben 100 börtönőr van. Az 1. őr minden ajtót kinyit. A 2. őr minden 2. ajtót bezár. A 3. őr minden 3. ajtót kinyit, ha zárva volt, s bezár, ha nyitva volt. Hasonlóan nyit-zár a többi őr is. Mely cellák ajtaja marad nyitva?
(Forrás: Róka Sándor 2000 feladat az elemi matematika köréből, 116. feladat)
Más megfogalmazásban:
Egy szultán börtönének 100 cellájában 100 elítélt raboskodott. Mindegyik ajtaján egy-egy kétállású zár volt, amely egy forgatásra nyithatóvá tette az ajtót, de még egy forgatásra zárt. Egyik nap a szultán jókedvében leküldte a börtönbe első szolgáját, hogy fordítson minden cella zárján egyet. Hamar gondolt egy újat és leküldte második szolgáját is, hogy az minden második záron forgasson még egyet. Íziben küldte is harmadik szolgáját, hogy az minden harmadik záron fordítson. Ez így ment a 100-adik szolgáig, aki csak a legutolsó, a 100-adik záron fordított egyet. Mely ajtók mögül szabadulhatott ki a rab ezek után?
(Forrás: https://matkonyv.fazekas.hu/chapter.php?mode=sne—j-&volume=sz_i&code=Sz.I&chapter=chs_sz_i/sz_i_vegyes&chapternum=21&topic=Sz%C3%A1melm%C3%A9let&yearpair=7–8 21.16. feladat)
Feladat: Valamilyen művészeti alkotásban (rajz, vers, novella, dal stb.) örökítsük meg a török szultán rabszabadító tevékenységét!
Az elmúlt évek tapasztalatai alapján a hallgatók nagy kedvvel és kreativitással szánnak időt az alkotásra. Vers, novella, rajz, képregény, színmű, zenei produkció mind-mind szerepelt már a beadott munkák között. Most néhány jól sikerült alkotást mutatunk be, majd egy következő cikkben azt is, hogy milyen – a szultános feladatra épülő – feladatsorozattal szoktuk szórakoztatni a hallgatókat.
Paulovics Zoltán
ELTE TTK Matematikai Intézet
A jószívű szultán
Illés Zalán
(Konstantinápoly, Topkapi palota. A szultán a trónján, körülötte a hitvesei, mellette a Kardhordó, az ajtóban a Börtönőr. Előttük a szultán születésnapi ünnepsége folyik.)
Kardhordó: A te szolgád dicsőséges, kegyelmes és irgalmas Császára! Olyan pompás ünnepséged van! Allah éltessen mindörökké!
Szultán: Mit akarsz? Nem látod, hogy épp elfoglalt vagyok?
Kardhordó: Dehogyisnem! Sajnálom, hogy megzavartalak, ó Nagyuram! Csupán egy ötletem támadt, hogy születésnapod alkalmából – élj mindörökké – szabadjára engedhetnéd egy rabodat, hogy lássa a nép azt, hogy milyen jóindulatú vagy.
Szultán: Talán nem látják, hogy jóindulatú vagyok?!
Kardhordó: Ó dehogynem Császárom, nincsen nálad jóindulatúbb és nagyobb igazságérzettel rendelkező e földön! Pontosan ezért gondoltam, hogy meg szeretnéd tenni ezt a gesztust!
Szultán: (magának) Hmm… Miért is ne engednék szabadon valakit, akkor tényleg látná a nép, hogy milyen jó dolguk van velem. Sőt, miért is ne… (Kardhordónak) Már pont szólni akartam erről neked szolgám, elloptad tőlem a szót!
Kardhordó: Jaj, Nagyuram, mindenható Császárom, kérem bocsáss meg a te szolgádnak, a te hű szolgád sohasem szándékozna ilyet tenni. Csupán csak megláttam a szemedben, hogy mire készülsz, és annyira jó ötletnek találtam, hogy nem tudtam türtőztetni magam.
Szultán: Ez is csak egyike a sok remek ötletemnek. Na menj, és szólj az egyik őrnek, hogy engedje szabadon mind a száz rabot!
Kardhordó: Tessék Nagyuram? Mind a száz rabot?
Szultán: Talán dadogtam?! Vagy baj van a füleddel? Lehet, ha forró ólmot öntök bele, visszajön a hallásod!
Kardhordó: Jaj, Nagyuram, egyetlen igaz Császárom, a te szolgád soha vissza nem feleselne! Csupán megakadt a torkomon egy olívabogyó, még a lakomáról, és azt köhögtem fel! De megyek is már, és szólok a börtönőrnek! (el)
Börtönőr: Mind a száz rabot? De hisz tömeggyilkosok is vannak köztük!
Kardhordó: Ne feleselj vissza te nekem! Kinek képzeled magad! Menj és tegyél, ahogy mondtam!
(Börtönőr el)
Kardhordó: (magának) A fejem fogja venni, a fejem fogja venni, a fejem fogja venni, ha ebből baj lesz!
(Börtönőr vissza)
Börtönőr: Mind a száz cella nyitva, jelentem! Levezényeltem az összes börtönőrt, hogy rendet tegyenek, ha szükséges. Parancsszóra elkezdjük kivezetni a rabokat!
Kardhordó: Rendben. Várj itt! (el)
Kardhordó: A te szolgád dicsőséges, kegyelmes és irgalmas Császára! Jelentem, nyitva mind a száz rab cellája! Parancsszóra kivezetik őket a börtönből, és teljesül a kívánságod!
Szultán: (magának) Talán nem olyan jó ötlet mégis mindenkit szabadon engedni. (Kardhordónak) Az én kívánságom?! Nekem ilyen soha nem jutna eszembe! Menj és zárass be minden második cellát, most rögtön!
Kardhordó: Jaj, Nagyuram, mindenható Császárom! Hát hogy is jutna ilyen az eszedbe! A te hű szolgád csak látta a szemedben a valódi kívánságod és előre szaladt a szavakkal! Hát persze, hogy be kell záratni minden második cellát! Megyek is, teljesítem a kívánságod! (el)
Börtönőr: Kardhordó uram, megőrültél?! Kinyitottuk az összes rab celláját, és most azt kéred, zárjuk be a felének! Hát a fejünk fogják venni!
Kardhordó: Kinek képzeled magad! Mars, tegyél úgy ahogy szóltam, különben én fogom a fejed venni!
(Börtönőr el)
Kardhordó: (magának) Hála az égnek! Így már nem lesz akkora a baj!
(Börtönőr vissza)
Kardhordó: Na látom kész is. Várj itt a parancsra! Mindjárt jövök. (el)
Kardhordó: A te szolgád dicsőséges, kegyelmes és irgalmas Császára! Bezárattattál minden második cellát! Add ki a parancsot, és szabadjára engedjük a rabokat!
Szultán: Figyelj ide szolgám. Sokat töprengtem, és úgy határoztam, hogy fordíttass inkább minden harmadik záron egyet! Ezáltal, ami be volt zárva, az kinyílik, ami ki volt nyitva, az pedig bezáródik!
Kardhordó: Ahogy óhajtod Nagyuram! (magának) Csak legyen már vége! (el)
Börtönőr: Uram, megőrültél! Mikor lesz ennek vége?
Kardhordó: Kinek képzeled magad! Hogy merészelsz így beszélni velem! Csak tegyél úgy, ahogy mondom, érthető?!
Börtönőr: Igenis! (el)
Kardhordó: Amúgy is, ezzel már letudtuk!
(Nem tudták le. Addig folytatódott, ameddig legvégül már csak a századik cella zárján kellett fordítani egyet, ekkor a Szultán beleegyezett, és szabadon engedte a rabokat. Az ünnepély véget ért.)
(Másnap)
Szultán: Szolgám!!
Kardhordó: A te szolgád dicsőséges, kegyelmes és irgalmas Császára! Szolgálatra készen állok!
Szultán: A rabok, akiket tegnap szabadra engedtél, az éjjel feldúlták a várost! Keresd meg és vesd őket tömlöcbe, vagy téged foglak!!!
Kardhordó: (nagyot nyel) Igenis Nagyuram! Mindenható Császárom! Hogy lehetek ilyen balga! Megyek is elfogatni a rabokat! Annál is hamarabb meglesznek, hogy ki tudnád mondani azt, hogy tömlöc.
Szultán: Tömlöc.
Kardhordó: (nagyobbat nyel) (ijedten el)
Kardhordó: Szolga! Kerítsd elő nekem a rabokat, akiket tegnap szabadon engedtél, és zárd őket tömlöcbe!
Börtönőr: Igenis! Hány embert kell elfogni?
Kardhordó: Hány embert k… Mi az, hogy hány embert kell elfogni?! Hát amennyit tegnap szabadon engedtél!
Börtönőr: Valóban így van, Uram! De nem tudom, az mennyi. Annyira sok volt a variálás tegnap, hogy a végére mind elfáradtunk, őrök, és nem jegyezte meg senki, hogy végül mennyit is engedtünk szabadon.
Kardhordó: Hát menj akkor és nézd meg, hány üres cella van!
Börtönőr: Jó is lenne Uram, ha így tehetnék, de sajnos többen is elhaláloztak az éjszaka folyamán a cellákban, így most több üres cella van, mint tegnap este.
Kardhordó: Hát egyszerű. Hányan haltak meg az éjjel?
Börtönőr: Nem tudom.
Kardhordó: Nem tudod??
Börtönőr: Nem. Nem én voltam az éjszaka szolgálatban, hanem Mehmet.
Kardhordó: (fejét fogja) Rendben, akkor kérdezd meg Mehmetet!
Börtönőr: Mehmet is meghalt az éjszaka!
Kardhordó: Én fogok meghalni a tömlöcben! De teszek róla, hogy te is együtt sínylődj velem, ha nem fogjuk el a volt rabokat!
Börtönőr: Uram! Én ismerek valakit, aki tud segíteni rajtunk. Egy barátom az, aki matematikus.
Kardhordó: (magának) Édes istenem, kegyes legyél hozzám! (Börtönőrhöz) Szóval egy senkiházi fog szerinted segíteni rajtunk. Nagyszerű!
Börtönőr: Hidd el Uram! Ő mindent megold.
Kardhordó: Rendben! Hozd ide a te matematikusodat! De ha nem segít rajtunk, két kezemmel fojtalak meg!
(Börtönőr el)
(Kardhordó, Börtönőr, Matematikus)
Matematikus: Tisztelt Uram! Vázolta nekem a helyzetet a barátom, semmi vész, ez egyszerű.
Kardhordó: Hallgatlak.
Matematikus: Na már most, azt kell nekünk megfigyelni, hogy hanyadik cellánál hányszor forgatták el az őrök a kulcsot. Például az első cellánál csak egyszer, szóval egy szökevényünk már biztosan lesz. A másodiknál kétszer, szóval a második cella biztosan zárva maradt. Vagyis, ha páratlan számszor forgatták el a kulcsot egy adott cellánál az őrök, akkor az a rab szabadon mehetett. Ha páros számszor, akkor az a cella zárva maradt. Na már most…
Kardhordó: (közbevág) Muszáj elmagyaráznod? Nem lehetne…
Matematikus: (közbevág) Kérem Uram, ne vágj közbe! Ott tartottam, hogy végig lehetne vizsgálni celláról cellára, hogy hányszor forgatták el benne a kulcsot. De van egyszerűbb megoldás is a problémánkra. Kitalálod-e, hogy mi az?
Kardhordó: Szerintem az lesz, hogy ha nem térsz a lényegre, lefejeztetlek!
Matematikus: (magának) Milyen türelmetlen. (Kardhordónak) Ha megnézzük, hogy az adott cellánál hányszor forgatták el a kulcsot, akkor valójában azt figyeljük meg, hogy az adott cellaszámnak hány pozitív osztója van! És ebből észrevehetjük, hogy ha páros számú osztója van, akkor zárva maradt a cella, ha páratlan számú, akkor nyitva. Így meg már könnyű megoldani a problémát, mivel csak a négyzetszámoknak van páratlan számú osztója! És a száz cellaszám közül pontosan tíz szám négyzetszám, vagyis tíz szökevényünk van. Szeretnéd, ha jobban részletezném?
Kardhordó: Nem! (Börtönőrhöz) Szolga! Most már tudod, hány embert kell elfognod. Eredj, és vissza se gyere, míg nincs meg mind a tíz szökevény!
(Börtönőr el)
Kardhordó: (Matematikushoz) Te pedig maradj itt velem, és ha ma este nem dobnak engem tömlöcbe, akkor a Szultán Matematikusává emellek!
(Este. Kardhordó, Matematikus, Börtönőr, Szultán és a tíz rab)
Kardhordó: A te szolgád dicsőséges, kegyelmes és irgalmas Császára! Íme, a tíz rab, akiket tegnap szabaddá engedtem a saját hibámból. Kérem kegyelmes, jószívű Nagyuram! Ne büntess engem súlyosan, hiszen mindig is hű voltam és leszek is hozzád dicsőséges Császárom!
Szultán: (Börtönőrnek) Vidd innen a szemem elől, dobd be tizenegyediknek! Nem tűröm a hibákat.
Matematikus: A te szolgád dicsőséges, kegyelmes és irgalmas Császára! Rólad világszerte az terjeng, hogy milyen jószívű vagy! Gondolj bele, milyen jó híre lesz, ha kiderül, hogy a Nagyurunk megbocsátott, és irgalmat nyújtott szolgájának, pont, amilyen szolgája a nép is!
Szultán: (magának) Hmm… Valóban jó képet festene rólam, ha már a rabok szabaddá engedése nem működött. (Matematikusnak) Ki vagy te bölcs?
Matematikus: A te szolgád csupán egy szerény matematikus, aki sosem vágyna többre, mint amije van.
Szultán: Leszel-e az első számú matematikusom?
Matematikus: Hogyne!
Szultán: (Kardhordóhoz) Ami téged illet alattvalóm. Jószívűségemből úgy döntöttem, hogy megbocsátok neked! (magához) Egyszerűen imádhat a népem, olyan csúcs vagyok!
(vége)
A következő alkotás egy zenei produkció, szerzője és előadója: Erdős Luca.
Szulimán szultán száz rabja
Vékássy Illés
Ég a napmelegtől a kopár szik sarja,
Szulimán szultánnak száz példány a rabja.
Hová helyezén el, mivé legyen velök?
„Hej” ̶ gondolá egyet ̶ „zárkába mielőbb!”
Hűséges janicsár rögvest teszi dolgát,
Nemsoká száz rabot bezárat száz foglár.
Ámbátor Szulimán ennyivel nem éré,
Tüstént int trónjáról, s ekként beszélé:
.
„Egy, az első foglárt adjátok elém ti,
Kinek más dolga nincs, mint riglit tekerni.
Szép fiam, janicsár: szaladd el sebesen,
Riglik mindegyikén épp egyet tekerjen.
Ládd, börtöntöltelék nem siet sehová
Míg mind száz a foglár elvégezé dolgát.”
Ered is az első, szó nélkül elindul,
Száz zárkán végigmegy, száz zárja megfordul.
.
Testet ölt a rököny, meghibbant a szultán?
Netán agya vérzik, levegő kifogyván?
Megüté kobakját, vagy megmérgezének?
A turbán oly nehéz szenvedő lelkének?
Akárhogyis nézzük, szultán szava parancs,
Annak ki ellentmond másnap kong a harang.
De Szulimán tudja, hogy messze még a vég,
Felülkerekedék, s megnyilvánul ismét:
.
„A második foglárt hozzátok elém ni,
Kinek más dolga nincs, mint riglit tekerni.
Szép fiam, janicsár, szaladd el sebesen,
Mind második riglin épp egyet tekerjen.
Ládd, zárak nyitottak, mégsem menekülék,
Míg mind száz a foglár befejezendülék”
Ered a második, készséggel elindul,
Száz zárkán végigmegy, félszáz is megfordul.
.
„Majdan harmadikat hozzátok sebesen,
Mind harmadik riglit tekerje eszesen.
Utána negyedik, ötödik, hatodik,
Egészen addig míg meg nem lesz százodik.”
Érté mán janicsár, érté ám a tréfát;
Kire szerencse száll, szabadon elsétál.
Szépen egyesével oszolnak foglárok,
Bizonyos zárokat meg-megfordítánok.
.
Soká tart a móka, végeláthatatlan,
Foglárok hadai kulcsokkal matatnak.
Közben gondolkodán a matematikus,
Kinek fegyenc lévén neve nem más ̶ a „kuss!”
Úgy morfondírozá csöndben az oldáson
„Vaj mitől függ drága, drága szabadságom?”
Szemfüles a lajhár[1], obzervációt tesz,
Úgy indokolá meg, a tréfa nyitja ez:
.
„Kihez párosával érkezé porkoláb,
Ki-be, ki-be fordít fegyencnek kulcs-zárán.
Így zárva maradá tréfának estjére,
Elillaná tőlük szabadság eszméje.
Ám kihez foglárok pártalanul jönnek,
Utolsó felnyitá: így szabadul szökhet!
Immáron tehát csak egy kérdés maradá:
Megszámolt zárkákat hány foglár forgatá?
.
Mialatt ezen fáj lajhárnak kobakja,
Tizedik fogláron van a sor rajta.
Tizedik zárkánál kezdődik dolga hát,
Tizediknél előbb nem végez forgatást.
Szemügyre veszi ezt lajhárunk, a fegyenc:
„Így maradá nyitva, például a kilenc.
Ám első, negyedik úgy álla szabadon
Gyanúsan állanak mind négyzet alapon!”
.
Megsejté a lajhár, ez lesz a megoldás,
Remek ötlet támad, príma a felbontás:
„Numerának lészen pártalan osztója,
Csak akkor és akkor, ha négyzet valóban.”
Ismeri e igét egykorról a lajhár,
Midőn tanítottak neki számtudományt.
Tud ám bizonygatni, lelkének csak így jó,
Oltalomként adja: csúcs kombináció!
.
Így szól a legenda Szulimán szultánról,
Kit megénekelék a hírhedt tréfáról.
Rabok közt tíz volt ki szabadságra talált
Hála Istennek, egyik sem a lajhár.
Azóta is bent ül, bámulja lakatát,
S türelmesen várja betevő falatát.
Próbálna elszökni, de csak eddig jutott:
Tételezzük fel azt, hogy zárkája nyitott…
[1] „A matematikus totemállata a lajhár” (ősi mondás)
