Bojti Anna társasjáték-tervező és gyerekkönyvíró 2019 óta a Pagony játékkiadójának vezetője; évről évre jelennek meg társasjátékai és könyvei. Elsősorban az általános iskolás korosztálynak írja kalandkönyveit. A 9–12 éves korosztálynak az Éjszaka az állatkertben (2019), A Lidércerdő mélyén (2024), Csend apó kertje (2025) szól. Már alsósoknak is megfelelő művei: A kék ajtó titka (2021), Vidámpark a város fölött (2025), A láthatatlan kincs (2026).
Több könyve az Abszolút Könyvek sorozatba tartozik, amely „olyan 9–12 éveseknek szóló, olvasmányos és izgalmas könyveket tartalmaz, amelyek abszolút lendületesek, abszolút színvonalasak, abszolút maiak. Abszolút könnyű őket olvasni, de mégsem felszínesek, abszolút nem megterhelőek, de mégis elgondolkodtatók.” Ezeknek a mai korból induló, de végül a mesés fantáziavilágba érkező könyveknek a borítóin egy további, megkülönböztető címke jelzi a műfaji besorolást: Kaland–Játék–Fantázia.
De hogyan lehet egy könyv egyszerre játék is? Úgy, hogy az olvasó nem csupán olvasó, hanem sokkal inkább felfedező, kalandor. Nemcsak továbblapoz, olvas, elmerül, izgul és örül, hanem ide-oda lapoz, keres, dönt, gyűjt, rejtvényeket old meg.
„Lapozgatós” könyvek
A nem lineárisan olvasandó, hanem „lapozgatós” könyvek műfajának kialakulása a múlt század elejére tehető, de az átütő sikert Edward Packard 1979-ben megjelent Az idő barlangja című műve, valamint Steve Jackson és Ian Livingstone 1982-es A tűzhegy varázslója című műve hozták meg. Azóta fogalommá váltak a Kaland–Játék–Kockázat könyvek – sok szerző sokféle témában alkotta meg saját világát. Ebbe a műfajba tartoznak Bojti Anna Kaland–Játék–Fantázia könyvei, de a 9–12 éves korosztály számára optimalizált stílussal és történettel.
Na de mik is azok a „lapozgatós” könyvek? Olyan könyvek, ahol a szerző sok ponton választás elé állítja az olvasót, és a döntésétől függően kell a 19. vagy éppen a 128. fejezethez lapozni. Vannak oldalszámok is, de szinte észre sem vesszük őket – a több száz fejezet között lapozgatunk előre-hátra attól függően, hogy éppen hova irányít a választásunk.
Avagy más megfogalmazásban: azok a lapozgatós könyvek, amelyeket úgy fejezünk be, hogy egy jó részüket nem is olvastuk.
Ez persze kelthet bennünk hiányérzetet, de arra is sarkallhat minket, hogy újrakezdjük, és más utakon haladjunk, mivel általában több különböző úton is eljuthatunk a célba. Különösen ha például egy rosszul megoldott rejtély végeredményeképpen – néhány tíz fejezet után – hirtelen kikerülünk a labirintusból, és a könyv közli velünk, hogy itt véget ér a történet. Hiába sikerült teljesíteni a küldetést, a váratlan befejezés olyan, mint egy arculcsapás… Ennél nagyobb baj viszont nem érhet minket. Sem könyvbéli alteregónkat, ugyanis az egyes szám második személyében írt történet olyan hamar beszippant minket, hogy néhány fejezet után alig tudjuk eldönteni, mi vagyunk ilyen bátrak, vagy csak a szerep tesz azzá.
Nézzünk egy példát!
Egyszer csak egy alvó tigrisbe botlasz. Mozgolódni kezd. Mit teszel?
„Gyorsan átszaladsz az északi átjárón, mielőtt a tigris felébred? \(\to 129\)
Vagy a keletit választod? \(\to 150\)
Vagy úgy gondolod az üres tál alapján, hogy teli a hasa, és a sövényben elrejtőzve megvárod, mi történik? \(\to 89\)”
Én bizony néha izgultam, hogy mi fog most történni, hogyan válok tigriseledellé vagy kőszoborrá – pedig az író figyelmeztetett a bevezetőben, hogy „nem lehet elrontani”, vagy ha mégsem tudok valamit megoldani, akkor „kicsit csalhatsz, és visszalapozhatsz egy korábbi ponthoz”.
Nézzük meg alaposabban ezt a visszalapozást!
Gráfok mindenütt – még az időben is
A bevezető utasítása szerint érdemes feljegyeznünk, hogy a térkép melyik pontjára melyik fejezet vezetett, így „ha vissza kell menned valahova, könnyen megtalálod majd, csak a megfelelő pontra kell lapoznod”. Azaz nem tiltja meg a könyv, hogy az aktuális fejezetvégi lehetőségek helyett szabadon átsétáljunk a tér egy másik, már korábban bejárt és megismert pontjára. Én ezt nagy szabadságként éltem meg, hiszen kedvemre visszasétálhattam, és fedezhettem fel, amit korábban nem vettem észre. Továbbá az „adminisztráció” feleslegességének érzését is nagyban csökkentette, mivel néha kizökkentett az áramló történetből a fejezetszámok lejegyzése és keresgélése.
A könyvek olvasásakor egy gráfelmélész hamar otthonosan érzi magát, hiszen nem tesz mást, mint egy gráfon bolyong: a fejezetek a csúcsok, a döntési lehetőségek pedig meghatározzák az éleket. Világos, hogy ez egy irányított gráf. Viszont ez a könyv által indukált irányított gráf, és nem a történet által! Mi a különbség? Egy helyszínnek nem pontosan egy fejezet felel meg. Nosza, húzzuk össze ezeket a csúcsokat egy csúccsá és töröljük az így keletkező, felesleges, egy irányba mutató párhuzamos éleket! Ilyen egyszerű? Igen és nem. Ugyanis a bolyongásunk során egy helyszínre többször is eljuthatunk, márpedig a két ottartózkodás között szert tehettünk új információmorzsákra vagy hasznos tárgyakra és eszközökre. Ezek pedig megnyithatnak új utakat, azaz eddig számunkra nem bejárható irányított éleket. Például „A füledhez illeszted a tengeri csigát (ha nálad van)?” lehetőséget csak akkor választhatjuk, ha már megleltük a tengeri csigát. Ám az is előfordulhat, hogy ha egy helyszínt egyszer felkerestünk, akkor nem térhetünk oda vissza, azaz csúcsok és élek törlődnek a gráfunkból.
Akkor hát milyen gráfon bolyongunk?
Egy időfüggő gráfon! Azaz egy olyan gráfon (az angol szakirodalomban temporal graph), amelynek csúcs- és élhalmaza idővel változhat. Az időfüggő gráf pillanatfelvételek sorozataként is értelmezhető: \(G_i\) pontosan azokat az éleket tartalmazza, amelyek az \(i\)-edik időpillanatban rendelkezésre állnak, avagy a \( \lambda\colon \{ \text{élek} \} \longrightarrow 2^{\mathbb{N}} \) függvény minden lehetséges élhez időcímkék egy nemüres halmazát rendeli.
A mi esetünkben a könyvbeli előrehaladást, azaz az idő múlását az elolvasott fejezetek száma jelzi, de valóban pontos megfeleltetést akkor kapnánk, ha az „időpontokhoz” a fejezetek halmazának rendezett részhalmazait rendelnénk, hiszen ezzel írnánk le az állapotunkat, azaz azt, hogy hol is tartunk a könyvben, mely fejezeteket és milyen sorrendben olvastuk eddig.
Az élesszemű olvasó persze majd jelezheti, hogy a később vizsgált, illetve ábrázolt gráfok sem nem időfüggők, sem nem foglalkozunk a csúcselérések sorrendjével. Jogos lesz a kritika, de mivel nem adna annyit hozzá a különben magától értetődő kiterjesztés felesleges és hosszadalmas tárgyalása, így a továbbiakban a jól ismert gráffogalmat használjuk.
E rövid kitérő után térjünk ki kicsit arra is, hogyan érdemes vándorolni a kalandkönyvekben – algoritmikus szempontból.
BFS, DFS, meg a többiek
Milyen módszerrel, azaz milyen algoritmussal járjuk be a gráfot? A válasz első körben nyilvánvaló: mivel szórakozásképpen olvasunk, mindig válasszuk azt a lehetőséget, amelyet – valamilyen szempontból – a legjobbnak tartunk, vagy egyszerűen induljunk el abba az irányba, amelyet leginkább szeretnénk felfedezni.
De mit tegyünk, ha komolyan vesszük, hogy elveszett a kistesónk, és minél gyorsabban meg akarjuk találni éjszaka az állatkertben?
A teljesség, továbbá a hatékonysági (futásidő, tárigény stb.) kérdések vizsgálata nélkül informálisan vázolnék két közismert – szélességi (BFS) és mélységi (DFS) bejárás –, és egy hasonlóan egyszerű, de talán kevéssé ismert – lokális szélességi bejárás (SFS) –, lehetséges gráfbejáró, kereső algoritmust. Nem azért, hogy használjuk, hanem hogy ha használjuk, akkor észrevehessük és rácsodálkozhassunk, hogy éppen ezt használjuk. Továbbá megörvendeztethessük ezzel a felismeréssel azokat is, akiket megajándékoztunk a könyvvel.
A probléma: a gráf egy csúcsában állunk, és élek sorozatán keresztül, tehát egy úton el szeretnénk jutni egy másik, kitüntetett csúcsba – például a kistesónk tartózkodási helyére. Így a kiinduló csúcsból egy élen át egy szomszédos csúcsba lépünk, hátha éppen ott van. Ha nem járunk sikerrel, úgy megjelöljük, vagyis felcímkézzük a csúcsot: ezt már elértük (de sajnos nincs itt). A következő lépésünket vagy innen, vagy – egy visszalépést követően – a kiinduló csúcsból indítjuk. Általában pedig: a már elért csúcsok valamelyikéből lépünk egy élen keresztül egy olyan csúcsba, amelyet még nem értünk el. Jól látható, hogy ha véges sok csúcsunk volt kezdetben, akkor az eljárás előbb-utóbb – tehát véges sok lépésen belül – véget ér, hiszen minden lépésben új csúcsot érünk el. Így tehát megtaláljuk a kistesónkat! Ennyire egyszerű! 🙂 Feltéve, hogy tényleg az állatkertben bújt el.
A fenti bejárást akkor hívjuk mélységi bejárásnak, ha mindig az utoljára elért csúcsból megyünk tovább. Már ha lehet, ha nem, úgy az azt megelőzőből. Így járjuk be a labirintust is: addig megyünk, amíg csak tudunk, falnak nem ütközünk – majd visszalépünk a legutolsó elágazásig.
Ha ezzel szemben mindig azt a csúcsot választjuk, amelyet a legrégebben értünk el, akkor a szélességi bejárást kapjuk. Vegyük észre, hogy ekkor az éppen feldolgozott csúcs minden kimenő élét bejárjuk – mielőtt még egy másik csúcs szomszédait vennénk sorra.
A harmadik a lokális szélességi bejárás, amely a szélességi bejárás általánosítása. Itt csak addig követeljük meg, hogy a legrégebben elért csúcsból induló éleket járjuk be, amíg azt a csúcsot teljesen fel nem dolgozzuk. Azaz miután választottunk egy tetszőleges, már elért csúcsot, bejárjuk az abból kiinduló összes élt, és ellenőrizzük, hogy valamelyik szomszédjában van-e a kistesónk. Sikertelenség esetén feljegyezzük az újonnan elért csúcsokat, majd egy tetszőleges, már elért csúcsból folytatjuk az eljárást.
– kalandozások a házban az 1. fejezettől a mesebeli állatkertbe vezető 35. fejezetig.
A könyv olvasásakor kezdetben a mélységi bejárást alkalmaztam, azaz a fejezet végén felajánlott lehetőségek közül választottam egyet, arra mentem tovább. Próbáltam sietni, mégiscsak egy elveszett gyereket keresek éjszaka a hóban, mezitláb, egy elvarázsolt állatkertben! Ám hamar kiderült, hogy mit sem ér a sietség, ha nincsenek nálam a megfelelő eszközök, és nem rendelkezem a szükséges információkkal. Ekkor váltottam a szélességi bejárásra, majd nem sokkal később a lokális szélességi bejárásra. A felajánlott négy lehetőség mindegyike által meghatározott fejezethez odalapoztam, elolvastam, majd csak utána döntöttem, hogy merre haladjak tovább. Ez egyrészt azt jelentette, hogy egy-egy nagyobb helyszínen mindent megnéztem, mindenkivel beszéltem, mindent összegyűjtöttem, másrészt azt, hogy sokszor a két könyvjelző és mind a tíz ujjam együtt sem volt elég, hogy számontartsam a potenciális új csúcsokat. (Közben hálával és nosztalgiával gondoltam vissza Jordán Tibor Kombinatorikus algoritmusok 1. és 2. MSc-s kurzusaira, amelyeken a fenti bejárások számos szép alkalmazását tanultuk.)
Utolsó fejezet
Zárásként aláhúznám, hogy az olvasáshoz szükséges néhány eszköz: térkép, jegyzetfüzet vagy papírfecnik, toll, könyvjelző. És könyvjelző! Tényleg fontosak! Mivel összevissza lapozgatunk, nem fogjuk tudni visszakeresni a könyvben, hol tartottunk, melyik tárgyra hol bukkantunk, melyik szereplő mit mondott, illetve tíz négyjegyű számot fejben tartani sem egyszerű feladat. Érdemes lehet akár sorban feljegyezni a bejárt fejezetek sorszámát, vagy mindig felírni a térképre. A szerző felhívja a figyelmet arra, hogy térkép nélkül „szinte biztos, hogy elveszted a fonalat”. Ezt meg tudom erősíteni – néha váratlanul ütköztem falba, átjáróba, tigrisbe. Gyerekeknek kötelező a térkép! De a felnőtt olvasókat mégis arra bíztatnám, próbálják meg térkép nélkül, bízva az éppen megfelelő algoritmus választásának intuíciójában, és abban, hogy nem olyan nagy az a gráf… Legfeljebb néhányszor vissza kell lapozni.
Paulovics Zoltán
ELTE TTK Matematikai Intézet
HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
