Feynman elveszett előadása: A bolygók Nap körüli mozgása

David L. Goodstein–Judith R. Goodstein: Feynman elveszett előadása: A bolygók Nap körüli mozgása (Budapest, Typotex, 2026: fordította: Gerner József)

Richard Feynman (1918–1988) a 20. század második felének egyik legismertebb fizikusa, aki több világszerte népszerű tankönyvet és népszerűsítő könyvet írt. Magyarul is megjelent Richard P. Feynman–Robert B. Leighton–Matthew Sands: A Feynman-előadások fizikából I–V. Typotex, 2021–22; Tréfál, Feynman úr? Park Kiadó, 2019. A magyarul most kiadott könyv Feynman egy elveszett előadását rekonstruálja, amelyben bolygók Nap körüli mozgási törvényeit adta elő elemi módszerrel a Caltech egyetem kezdő diákjainak 1964-ben. Feynman világosan jelezte, hogy az elemi módszer nem szükségképp egyszerű, de nem használ felső matematikát (hasonlata szerint autó helyett hintóval közlekedünk). A tudománytörténeti háttérrel kiegészített, jól megírt könyv alkalmas középiskolai szakköri munkára, de egyénileg is feldolgozható. Először röviden ismertetem a könyvet, majd értékelem, végül egy rövid Függelékben összehasonlítom Fermat elemi integrálási módszerét Newton–Leibniz nem elemi módszerével.

Ismertetés

Az Előszó és a Bevezetés előadja a könyv születését, Kopernikusztól Newtonig ismerteti a Napközpontú rendszer elméletének születését. Kopernikusz 1543-ban publikálta forradalmi jelentőségű művét, amelyben az ismert bolygók (például a Mars) mozgását a Föld helyett a Nap körüli mozgásként írta le. Kopernikusz azonban még nem tudta rendszerét fizikailag megalapozni; és egyébként megmaradt a Földközpontú rendszer kör-hátán-kör pályáinál. Galilei 1610 és 1642 között megalkotta azt a mechanikai elméletet, amelyen megállt a kopernikuszi elmélet. Kepler 1. törvényében 1609-ben bonyolult számításokkal igazolta, hogy a Naprendszer bolygói elliptikus pályákon mozognak, amelynek egyik fókuszában a Nap áll. (A Föld esetén a körtől való eltérés csak 1, a Marsnál 9%-os.) Ezzel egyidőben 2. törvényében Kepler hozzátette, hogy egy adott bolygó és a Nap közti sugár adott időegység alatt azonos területet fed le (súrol), azaz a bolygó pillanatnyi sebessége fordítottan arányos a Naptól mért távolságával. Ezt a két törvényt egészítette ki 1619-ben a 3. törvény: a bolygók keringési ideje a Naptól mért maximális távolságuk 3/2-edik hatványával arányos. (Másképp megfogalmazva: a bolygók keringési idejének a négyzete a Naptól mért maximális távolságuk köbével arányos.)

Newton 1687-ben publikálta, hogy a 3. törvény ekvivalens az általa fölfedezett általános tömegvonzási törvénnyel: két pontszerű tömeg közti gravitációs erő egyenesen arányos a két tömeggel és fordítottan arányos a köztük lévő távolsággal. Hozzátette: ebből és a centripetális gyorsulás törvényéből következik az 1. és a 2. törvény. Nem túlzás, ha ezt az 1543–1687-es időszakot áthidaló fölfedezéssort a tudományos-technikai forradalom nyitányának tekintjük.

Bár az ellipszist már a régi görögök is ismerték (Apolloniusz a hiperbolával és a parabolával együtt i.e. 200 körül már teljesen kidolgozta a kúpszeletek elméletét), matematikán kívüli első alkalmazása Keplernek köszönhető. Feynman a hangsúlyt arra helyezte, hogyan lehet a 2. és a 3. törvényből levezetni az elsőt: a bolygók elliptikus pályán mozognak. Meglepő, hogy előadása végén még arra is maradt ideje, hogy az atomfizikai alkalmazásokat is felvillantsa.

A szerzők hallatlan türelemmel mutatják be és igazolják az ellipszis szükséges tulajdonságait. Itt csak a legnevesebbet említem: az ellipszis egyik fókuszában elhelyezett fény-/hangforrás az ellipszis falán visszaverődve a másik fókuszban jól látható/hallható. Kitérőként felhívom a figyelmet Hajós György: Bevezetés a geometriába című tanköny­vére (Budapest, Tankönyvkiadó, 1964), amelynek 41., 42. és 43. alfejezete a kúpszeletekkel, azok fokális és más tulajdonságaival elemi módszerekkel kimerítően foglalkozik, 377–440. oldal. (1965/66-ban három féléven keresztül tanultam e tankönyvből.)

A Visszaemlékezés Feynmanra fejezet közel hozza az olvasóhoz a különleges tudóst. Az Epilógus és Feynman előadásjegyzetei lezárják a könyvet. (Az előbbiből kiderül, hogy Maxwell már 1877-ben saját elemi bizonyítást adott a bolygótörvényekre.)

Értékelés

A dicsérettel kezdem. Évtizedek óta egyre csökken az érdeklődés a tudománytörténet iránt. Minden elismerésem a szerzőké (valamint a magyar fordítóé és a kiadóé), hogy gondos munkával a (magyar) közönség számára elérhetővé tettek egy elveszettnek hitt tudománytörténeti előadást. Szerintem is fontos, hogy az egyetemisták a tanult korszerű módszerek mellett megismerkedjenek a korhű eljárásokkal. Amikor évekkel ezelőtt kezdeményeztem Akiba Jaglom–Iszaak Jaglom: Nem elemi feladatok elemi megoldása című orosz nyelvű könyvének hazai kiadását (Budapest, Typotex, 2015), hasonló célkitűzéseim voltak. Például, hogy megismertessük az érdeklődővel (148.* feladat): hogyan számíthatta ki 1636-ban Fermat a tetszőleges kitevőjű hatványfüggvény alatti területet a Newton–Leibniz-alaptétel ismerete nélkül? (A választ lásd a Függelékben.)

A dicséreteket néhány kritikai megjegyzéssel egészítem ki.

A könyv nem eléggé tagolt: például valóban újszerű része, Az ellipszistörvény Feynman-féle bizonyítása (69–156. o.) egyetlen hosszú fejezet, amely nem tagolódik alfejezetekre.

Számomra hiányzik a nem elemi módszer rövid vázolása. Ha Feynman vagy a könyv szerzői nem, én beletettem volna a magyar kiadásba egy néhány oldalas függeléket, például néhány analitikus kifejezést: az ellipszis nevezetes \(x^2/a^2 + y^2/b^2 =1\) tengelymetszetes vagy \(x(t)=a \cos t\) és \(y(t) =b \sin t\) polárkoordinátás alakját, \(0\le t\le 2\pi\). Megemlítem, hogy Fried Katalin–Simonovits Miklós: A problémamegoldás számítógépes iskolájában című könyvben a 13.2. alfejezet (kicsit bővebben, 247–252. o.) éppen a Kepler-féle ellipszispályát számítja ki numerikusan a Newton-féle-tömegvonzási törvény segítségével.

Szívesen láttam volna a magyar kiadásban egy hivatkozást Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete című nagyszerű monográfiájára, amely az előadásban szereplő Newton-ábrákból bemutat néhá­nyat, és összehasonlítja őket a modernebb megközelítéssel (Budapest, Gondolat, 2. bővített kiadás, 3.7–3–3.7–11. ábra, 214–223. o.). Közben (220–221. o.) kifejti, hogy „Newton, a differenciál- és integrálszámítás egyik felfedezője, sehol az egész könyvben nem él az önmaga által teremtett lehetőséggel. … [Á]ltalános a vélemény, hogy Newton ugyan saját számításai elvégzésekor kiterjedten használta saját … módszerét, de félt attól, hogy … az új módszer … elriasztaná az olvasókat.” Simonyi (242–243. o.) részletesen bemutatja Newton érdemeit a kalkulus (a differenciál- és integrálszámítás) kifejlesztésében.„ Valóban, a Principiában nem elemi megközelítést csak a tartalomjegyzékében is szereplő határérték és egy utalás az általa fölfedezett törtkitevőjű binomiális sorára képviseli (Newton The Principia angol nyelvű fordításában, Prometheus Books, Amherst, NY. 115. o.).

Érdekes, hogy Pólya György: Matematikai módszerek a természettudományban (Budapest, Gondolat Kiadó, 1984) könyve számos ponton érintkezik a recenzeált könyvvel, de az egyszerűséget az analitikus módszerek alkalmazásával éri el. Számomra meglepő, hogy az angol nyelvű wikipedia Newton szócikkében néhány kiváló matematikus jobbnak tartja Newton geometriai módszerét, mint az utódok analitikus megközelítését. Csak két megjegyzés, hogy milyen pótolhatatlan volt Newton számára is a kalkulus: 1) Differenciálegyenletek iteratív megoldása hatványsoros módszerrel. 2) Amikor Newton meghatá­rozta a centrális gravitációs erőtér potenciálját, az \(1/x^2\) függvény határozatlan integráljára \((-1/x)\) volt szüksége. Végül még egy Simonyi-idézet a 251. o.-ról: „… Newton a Principiában nem használja fel az általa teremtett matematikai módszereket. Ilyen módon legtöbb eredménye [elérése] egyedi zsenialitást igényel. Az utódokra … fontos feladat várt: … olyan egyenletekbe önteni a newtoni gondolatokat, hogy azok az analízis megtanulható módszerével bárki által kezelhetők legyenek.”

Összefoglalásul, a matematikai módszerek fizikai alkalmazása iránt érdeklődők egy értékes könyvvel lettek gazdagabbak.

Függelék: Hatványfüggvények elemi és nem elemi integrálása

A nehezebb matematikai feladatok elemi és nem elemi megoldásának összehasonlítására talán a legjobb példa a hatványfüggvény határozott integráljának kétféle meghatározása. Egyébként érdekes lenne tudni, hogy Newton bolygómozgási vizsgálatában a már említett \(1/x^2\) függvény integrálját elemileg vagy nem elemileg határozta meg.

Elemi integrálás

Az \(x^m\) hatványfüggvény alatti határozott integrál kicsit leegyszerűsített definíciója a következő: az \([a, b]\) (\(0<a<b\)) szakaszt felosztjuk \(n\) részre: \(0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_i<x_{i+1}<\cdots<x_n=b\) és vesszük a következő téglányösszeget: \[\displaystyle I_n=\sum_{i=1}^n x_i^m(x_i-x_{i-1}).\] Ha a felosztás finomsága korlátlanul növekszik, azaz \(n\) végtelenhez tartásával \(\max_i (x_{i+1}-x_i)\) tart a 0-hoz, és az \(I_n\) sorozatnak van határértéke: \(I\), akkor \(I\) a függvény alatti terület.

Fermat (1636-ban) számította ki először a képletet: \[\displaystyle I=\frac{b^{m+1}-a^{m+1}}{m+1},\qquad m\ne -1.\] (Később hozzátette, hogy a kizárt esetben a képlet \(I=\log b-\log a\).)

Fermat-ra hivatkozva, Simonyi (1981, 242. o.) az \(a=0\) speciális esetre szorítkozott, ez csak pozitív kitevőkre érvényes, és kézenfekvően egyenlő szakaszokra osztotta az intervallumot: \(x_i=bi/n\). \[\displaystyle I_n=(b/n)^{m+1}\sum_{i=1}^n i^m .\] A szemléltetésként alkalmazott \(m=2\) kitevőre az első \(n\) négyzetszám összegére vonatkozó képlet alapján valóban következik az eredmény, de nagyobb egész kitevőre ez körülményes, valós kitevőre járhatatlan út.

Éppen ezért Fermat (az ókori Arkhimédész megoldását általánosítva) ötletesebb megol­dást talált ki. Mértani sorozat szerint választotta az osztópontokat: \(x_i=aq^i\) , azaz \(b= aq^n\) alapján számolt, \[\displaystyle I_n=\sum_{i=1}^n (aq^i)^m aq^i(1-1/q)=a^{m+1}(1-1/q)\sum_{i=1}^n (q^{m+1})^i .\] Az \(n\)-tagú, \(q^{m+1}\) hányadosú mértani sor összegképletét használva, majd tartva \(n\)-nel a végtelenbe, kapta meg az eredményt (Jaglom–Jaglom, 2015 vagy Google-kérdés).

Nem elemi integrálás

Ha már ismerjük a kalkulus alaptételét (az integrálás a differenciálás inverzművelete) és a \(cx^k\) hatványfüggvény deriváltját: \((cx^k)’=ckx^{k-1}\), akkor egyszerűen adódik Fermat képlete, csak \(x^{m+1}/(m+1)\)-t kell deriválni, s a derivált \(x^m\). (A kizárt hiperbola alatti területe az \((1/x)’=\log x\) képletből adódik.)