A nagyon kifejező nyitott könyv fogalmat H. E. Winkelnkemper vezette be 1973-ban megjelent [3] dolgozatában, és egy olyan geometriai struktúrát értett alatta, mely akkor már meglehetősen hosszú idő óta ismert volt. Egy \(V\) sima (valós) sokaságon értelmezett nyitott könyv (vagy nyitottkönyv felbontás) egy \((K, \theta)\) párból áll, melyek a következőket teljesítik:
- \(K\) a \(V\) sokaság két kodimenziós valódi részsokasága, melynek normálnyalábja triviális – így \(K\)-nak van egy \({\mathbb{D}}^2\times K\)-val diffeomorf \(N\) környezete (ahol \({\mathbb{D}}^2\) az \({\mathbb{R}}^2\) zárt egységgömbjét jelöli), melyben \(K\) maga mint \(\{ 0\}\times K\) helyezkedik el;
- \(\theta\) pedig egy lokálisa triviális (sima \(V\) esetén tehát egy kritikus pont nélküli) sima \(\theta \colon V\setminus K\to S^1\) fibrálás, melyre teljesül, hogy létezik \(K\)-nak egy olyan \(N\) környezete, amire \(\theta\)-t megszorítva a normális anguláris koordinátát kapjuk, vagyis \(\theta \vert _{N\setminus K}\colon N\setminus K\to S^1\) a kézenfekvő \[\displaystyle N\setminus K=({\mathbb{D}}^2\setminus \{ 0\})\times K\to {\mathbb{D}}^2\setminus \{ 0\} \to S^1\] projekciók kompozíciója.
A \(K\) részsokaságot a nyitott könyv kötésének (mivel a gerinc már más topológiai fogalmat jelöl), míg \(\theta\) fibrumait, pontosabban azok lezártjait, a nyitott könyv lapjainak nevezzük.
A fogalom alapvető példáját adja az \({\mathbb{R}}^2\)-en értelmezett nyitott könyv, melynek kötése az origó, a lapok pedig az origóból kiinduló \(\theta =konstans\) félegyenesek, ahol \((r, \theta)\) a szokásos polárkoordinátákat jelöli. Ezt valamely \(n\geq 2\) esetén \({\mathbb{R}}^{n-2}\)-vel megszorozva \({\mathbb{R}}^n\)-en kapjuk a standard nyitott könyvet, mely a kötés körüli lokális képet mutatja, és \(n=3\)-ra valóban úgy néz ki, mint egy \(360^{\circ}\)-ban kinyitott könyv. Az USA-ban régebben előszeretettel használt, telefonszámok feljegyzésére szolgáló Rolodex nevű forgó kartotékozó épp így néz ki.
Nyitott könyvek más nevek alatt is felbukkannak az irodalomban – mint globális Poincaré–Birkhoff-szelések, relatív leképezés-tóruszok, Lefschetz- vagy Milnor-fibrálások, fibrált láncok, pörgethető struktúrák –, mutatva azt a változatosságot, amely kontextusokban ez a fogalom természetesen felmerül – ilyenek a dinamikai rendszerek, komplex algebrai geometria, algebrai vagy geometriai topológia.
Poincaré „utolsó geometriai tétele” szerint a körgyűrű olyan területtartó leképezésének, amely a két határkört ellentétes irányba forgatja, legalább két fixpontja van. E tétel valójában a háromtest-problémára ad egy periodikus megoldást. Poincaré munkájában a körgyűrű (az annulus) úgy jelenik meg, mint a generált vektormező globális szelése egy \(V\cong S^3\) energiaszinten, vagyis egy olyan \(F\) kompakt felületként, mely minden orbitot metsz, peremét érinti a vektormező, de belseje transzverz a vektormezőre. Következésképp a vektormező \(V\)-n megfigyelhető dinamikáját az \(F\) annuluson jelentkező „első visszatérési leképezés” teljesen meghatározza. Továbbá, \(F\)-et a vektormező mentén mozgatva \(V\)-t végigsúroljuk annulusok egy \(S^1\) családjával, melyek határa ugyanaz: ezek az annulusok egy nyitott könyvet alkotnak \(V\)-n.
Egy tetszőleges \(V\) sokaságon lévő tetszőleges \((K, \theta)\) nyitott könyv leírható így, mivel léteznek olyan integrálható vektormezők, melyek érintik \(K\)-t és transzverzálisak \(\theta\) fibrumaira. Olyan vektormezőket tekintve, melyek eltűnnek \(K\) mentén, a nyitott könyvek következő általános konstrukcióját kapjuk. Legyen \(F\) egy peremes sokaság és \(\phi\) az \(F\)-nek egy olyan önmagára vonatkozó diffeomorfizmusa, mely a peremen az identitás. A \(\Sigma (F, \phi)\) leképezés-tórusz, vagyis az \(F\times {\mathbb{R}}\) szorzatnak a \((p,t)\sim (\phi (p), t-1)\) ekvivalenciarelációval vett hányadosa egy \(\partial \Sigma (F, \phi)=\partial F\times {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\) peremű sokaság. Minden \(p\in \partial F\) esetén a \(\{ p\}\times {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\) köröket pontra ejtve egy perem nélküli \({\overline {\Sigma }}(F,\phi)\) sokaságot kapunk, melyet a \(\phi\) relatív leképezés-tóruszának szokás nevezni. Ez a sokaság egy természetes nyitott könyvet hordoz, melynek kötése \(\partial F\) egy kópiája – melyet \(\partial F \times {\mathbb{R}}/{\mathbb{Z}}\)-ből kapunk a faktorizálás során – és amelynek leképezését a körvonalra az \(F\times {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) projekcióból nyerjük, így a nyitott könyv lapjai \(F\) kópiái lesznek. A \(V\) sokaságon értelmezett \((K, \theta)\) nyitott könyv monodrómiájának nevezzük az \(F\) lap minden olyan önmagára vonatkozó \(\phi\) diffeomorfizmusát, amelyre létezik egy olyan \({\overline {\Sigma}} (F, \phi)\to V\) diffeomorfizmus, mely a \({\overline {\Sigma }}(F,\phi)\)-n lévő kézenfekvő nyitott könyvet \((K, \theta)\)-ba viszi.
Egy háromdimenziós sokaságban lévő egyszerű zárt görbét csomónak, míg csomók véges és diszjunkt unióját láncnak nevezünk. A lánc akkor fibrált, ha előáll, mint egy nyitott könyv kötése. Elágazó fedések és láncok fonataira vonatkozó munkáinak következményeként 1920 körül J. Alexander belátta, hogy minden zárt \(V\) három-sokaságban létezik fibrált lánc. Valóban, az \(S^3\) gömbfelületen van egy triviális \((K_0, \theta _0)\) nyitott könyv (az \({\mathbb{R}}^3\)-on értelmezett standard nyitott könyv egypontú kompaktifikációja), és \(V\) előállítható \(S^3\) egy olyan fedéseként, mely egy lánc mentén elágazik. Ez a lánc pedig előáll fonatként, vagyis egy izotópia segítségével a \(\theta _0\) fibrumaira transzverzzé tehető, így \((K_0, \theta _0)\) visszahúzása \(V\)-n egy nyitott könyvet ad.
Nevezetes példák adódnak magasabb dimenziós nyitott könyvekre azokon a páratlan dimenziójú gömbökön, melyek holomorf függvények izolált szingularitásaihoz tartoznak. Ha az \(f\colon {\mathbb{C}}^{n+1}\to {\mathbb{C}}\) komplex polinomnak az origó izolált kritikus pontja és \(f(0)=0\), Milnor fibrálási tétele szerint elég kis \(r>0\) esetén az alább definiált \((K_r, \theta _r)\) pár egy, az \(S_r\) \(r\)-sugarú, origó középpontú gömbfelületen ad nyitott könyvet:
- \(K_r\)-et \(S_r\) és az \(f^{-1}(0)\) hiperfelület transzverz metszete adja, míg
- \(\theta _r\) az \(f\vert _{S_r\setminus K_r}\) függvény szöge.
Milnor-fibrálásokat a múltban is intenzíven vizsgáltak, és V. I. Arnold vette észre – majd S. K. Donaldson és P. Seidel eredményei megerősítették –, hogy ezek a fibrálások szorosan kapcsolódnak szimplektikus geometriához: a fibrum egy természetes szimplektikus formát – vagyis egy nemelfajuló zárt 2-formát – hordoz, melyet a monodrómia megőriz, és melyre a Picard−Lefschetz-féle eltűnési ciklusok Lagrange-féle – vagyis féldimenziós izotróp – gömbök.
Azok a feltételek, melyek teljesülése esetén egy adott sokaságon létezik nyitott könyv, I. Tamura, H. Winkelnkemper, T. Lawson és F. Quinn munkásságának köszönhetően jól ismertek és meglehetősen enyhék (lásd a [2] cikket a pontos állításokért). Például minden páratlan dimenziós sokaságon van nyitott könyv. Másrészt viszont nyitott könyvek számos topológiai probléma megoldásában bizonyultak hasznos eszköznek, mint például diffeomorfizmusok bordizmus-csoportjainak kiszámolásában, vagy (a W. Thurston által adott végleges megoldás megtalálása előtt) 1-kodimenziós fóliázások találásában. W. Thurston és H. Winkelnkemper arra is használták a nyitott könyveket, hogy (újra) belássák, minden irányított három-sokaságon található kontakt struktúra. Valójában a legújabb eredmények (lásd az [1] cikket további információkért) azt mutatják, hogy „szimplektikus nyitott könyvek” (amelyek nyitott könyvek egy meglehetősen széles osztályát alkotják, és tartalmazzák az eddig bemutatott összes példát) szoros kapcsolatban állnak a kontakt geometriával, amely területen a nyitott könyvek különböző – topologikus, dinamikai, komplex analitikus – tulajdonságai természetes módon egyesülnek.
Irodalomjegyzék
[1] Emmanuel Giroux, Géométrie de contact: de la dimension trois vers les dimensions supérieures, Proc. Int. Cong. Math. (Bejing 2002, Vol II, 405–414, Higher Education Press, 2002.
[2] Frank Quinn, Open book decompositions, and the bordism of automorphisms, Topology 18 (1979), 55–73.
[3] Horst Elmar Winkelnkemper, Manifolds as open books, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 45–51.
Emmanuel Giroux a Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) kutatási igazgatója, és az Unité de Mathématiques Pures et Appliquées de l’École Normale Supérieure de Lyon intézetben dolgozik. A fenti cikk 2005 januárjában jelent meg a Notices of the American Mathematical Society folyóiratban. Ez a fordítás a szerző engedélyével jelenik meg.
Fordította Stipsicz András.
Emmanuel Giroux, WHAT IS…an Open Book? Notices Amer. Math. Soc. 52 (January 2005) 42–43. © Emmanuel Giroux. https://www.ams.org/journals/notices/200501/what-is.pdf?trk=200501what-is&cat=collection
