Hosszú évek óta tanítok matematikatörténetet, de mindig tanulok valami újat. A napokban láttam a Netflixen egy filmet, 21 – Las Vegas ostroma, amelyben elhangzott egy abszurd állítás: Newton ellopta az érintőmódszert Raphsontól. Kicsit utánanéztem a történetnek. A magyar nyelvű wikipédia Newton-módszer szócikke a lényeget vázolja, de számomra nem eléggé érthetően. Az ott ajánlott [2] forrás segítségével sikerült a lényeget megértenem, és ez alapján tájékoztatom az Érintő olvasóit.
A közfelfogás szerint (amit eddig én is elfogadtam) a nemlineáris egyenletek numerikus megoldásának új korszakát nyitotta meg a Newton-féle érintőmódszer (1671).
Ha \(f\) skalár–skalár függvény, amelynek \(\xi\) gyöke, azaz \(f(\xi)=0\), akkor egy közelítő \(x_n\) gyök ismeretében megpróbálkozhatunk az érintőegyenes \(x_{n+1}\) metszéspontját adó \(f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)+f(x_n)=0\) egyenletből adódó \[\displaystyle x_{n+1}=x_n-{{f(x_n) }\over {f'(x_n)}}\] iterációval. Ez a módszer nem mindig konvergál, de jó esetben nemcsak konvergál, hanem nagyon gyorsan konvergál. Ha nem ismerjük a függvény deriváltját, akkor a következő közelítéssel élhetünk: \[\displaystyle f'(x_n)\approx \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}.\]
A legegyszerűbb alkalmazás a \(\beta>0 \) szám négyzetgyökének megkeresése, ekkor \(f(x)=x^2-\beta\): \[\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{\beta}{x_n}\right).\]
Külön érdekesség, hogy ezt a módszert már az ókori babilóniaiak is ismerték [1]. Vélhetőleg ennek segítségével határozta meg Arkhimédész \(\sqrt{3}\) jó közelítő értékét i.e. 240 körül, amikor az egységátmerőjű kör kerületét szoros alsó–felső korlátok közé szorította.
A valóság azonban bonyolultabb, és visszavezet az 1960-as években még a középiskolában oktatott speciális négyzetgyökvonási algoritmushoz, amelyet a matematikatörténet Vieta nevéhez fűz (1600 előtt). Az egyszerűség kedvéért itt is a babiloni \(\sqrt{2}\)-es példát vesszük, és a 100-szoros \(\beta=200\)-zal folytatjuk. Kezdő lépésként egy olyan természetes számot választunk, amely alulról jól közelíti a \(\sqrt{200}\)-at: \(x_0=14\), amelynek négyzete 196.
Ahhoz, hogy pontosítsuk ezt a becslést, jelölje az első tizedesjegyet \(y\), azaz \(\sqrt{200}\approx 14+0{,}1y_1\)-gyel próbálkozunk. Elvégezve a négyzetre emelést, a \(200\approx 196+2{,}8y_1+0{,}01y_1^2\) közelítést kapjuk, amelyből eldobjuk a négyzetes tagot, és csak az első értékes jegyet tartjuk meg: \[\displaystyle 4=2{,}8y_1,\]azaz\[y_1=1.\]
Még egy lépéssel tovább lépünk: \(\sqrt{200}\approx 14{,}1+0{,}01y_2\), azaz újbóli négyzetreemeléssel \[\displaystyle 200\approx (14{,}1+0{,}01y_2)^2\approx 198{,}81+0{,}282y_2,\] azaz \(y_2=1{,}19/0{,}282=4{,}\dots \) A közelítő eredmény \(\sqrt{2}=1{,}414\dots\)
Sem Newton 1671-ben, sem Raphson 1690-ben nem tudott elszakadni a Vieta-módszer algebrai hatókörétől, bár ők nem ragaszkodtak a tizedesjegyek egymás utáni meghatározásához. Valóban, a fenti módszerben már az első közelítésben megkaphattuk volna a 0,14-ot.
A korra jellemző, hogy nem általános, hanem speciális polinomokat vizsgáltak, mi azonban kedvelt harmadfokú egyenletüket paraméteresen írjuk föl: \[\displaystyle f(x)=x^3 -px-q=0.\]
Itt a fokozatos megközelítésnél nincs szükség explicit deriválásra, elegendő az \(x_{n+1}=x_n+e_n\) lineáris közelítése: \[\displaystyle 0\approx f(x_{n+1})=(x_n+e_n)^3 -p(x_n+e_n)-q\approx x_n^3-px_n-q+(3x_n^2-p)e_n,\] azaz \[\displaystyle e_n=\frac{x_n^3-px_n-q}{3x_n^2-p}.\]
Csak az \(f'(x_n)=3x_n^2-p\) (és az \(f(x_n)=x_n^3-px_n-q\)) jelölés bevezetésével kapjuk meg az érintőmódszert.
A Principia III. kiadásában (1726-ban) a Kepler-feladat megoldásával kapcsolatban Newton nem algebrai egyenletet is megoldott módszerével, ez azonban 1882-ig észrevétlenül maradt. Ezt leszámítva, mindkét szerző kizárólag polinomiális egyenletekre szorítkozott.
Simpson volt az első (neve az integrálási szabályáról maradt fenn), aki 1740-ben nem algebrai (négyzetgyökös) függvényeket vizsgált, és a levezetésnél explicite differenciálta a függvényeket. De az igazi érintőmódszert, az általunk is alkalmazott jelöléssel csak Lagrange publikálta 1798-ban, ő Newton mellett még Raphson nevét is megemlítette. Fourier 1831-ben már csak Newtonra hivatkozott, és ez okozhatta azt, hogy Raphsont és Simpsont sokáig elfeledték.
Zárásként megemlítjük, hogy bár Newton valóban évtizedekkel Raphson után publikálta kezdetlegesebb módszerét, nem lopott el semmit sem Raphsontól, és nem is volt köztük prioritási vita. De a matematika vonzerejét mutatja, hogy hollywoodi filmekben is megjelennek komoly matematikai problémák, még ha időnként eltorzítva is.
Irodalomjegyzék
[1] Boyer, C. B. (1968): A History of Mathematics, Princeton, Princeton University Press. Kiegészített kiadás: Revised by Uta C. Merzbach (1991), Wiley.
[2] Ypma, T. (1995): Historical development of the Newton–Raphson-method, SIAM Review, 37:4, 531–551.
Simonovits András
