Ismert, hogy Nash (Nash (1950a)[11]) és (Nash (1951)[13]) cikkeiben tanulmányozta elsőként az \(n\)-személyes nemkooperatív játékelmélet – egyébként kézenfekvő – egyensúlyát, amelyet hamarosan róla neveztek el. De sokan még ma sem tudják, milyen rögös út vezetett el a definícióhoz és az egzisztenciatétel kimondásához. Ebben a rövid írásban az említett felfedezést a matematika alkalmazásai iránt érdeklődők számára vázolom (vö. Raussen–Skau 2015-ös interjúja John Nash-sel (Raussen, Skau (1015)[18]), amely Nash 2015-ös Abel-díja alkalmából készült, és Nasar (Nasar (1944)[10]) kiváló életrajza).1 Nash kiindulópontja Neumann 1928-as kétszemélyes nullaösszegű játékelméleti modellje volt (Neumann (1928)[14]), pontosabban annak Neumann–Morgenstern 1944-es változata (Neumann, Morgenstern (1944)[15]). (Furcsa, hogy hősünk még a 2015-ös interjújában is a következő történetileg téves állítást teszi: „Nem emlékszem pontosan, mikor történt, de Neumann és Morgenstern Princetonban találtak egy bizonyítást a kétszereplős játékok megoldására, ami egy speciális esete az én általános tételemnek \(n\)-szereplős játékokra.” A nevezett bizonyítást valójában Neumann már 1928-ban közölte.) A döntő lépés nem annyira az volt, hogy Nash a szereplők számát 2-ről \(n\)-re emelte, hanem az, hogy szakított a társasjátékokra jellemző, de nagyon megszorító nullaösszegűséggel. Ez az általánosítás viszont speciális esetben már (Cournot (1838)[3])-ban megjelent, csak sem Neumann, sem Nash nem tudott róla.
1. Cournot duopólium modellje
A többszemélyes stratégiai döntések közgazdasági elmélete felé az első lépést egy francia tudós, Cournot (Cournot (1838)[3]] tette meg, amikor bevezette a duopólium fogalmát, és meghatározta az egyensúlyt. Emlékeztetőül: egy piacon két vállalat árusít azonos áron azonos terméket, amelynek ár–keresleti függvénye, \(P(Q)\) csökkenő. A két vállalat \(Q_1\) és \(Q_2\) mennyiséget dob a piacra (értékük tetszőleges pozitív valós szám), és ennek összegeként adódik a piaci kínálat: \(Q=Q_1+Q_2\). Elhanyagolva a közösnek feltételezett egységköltséget, mindkét vállalat árbevétele, egyben profitja nemcsak saját, hanem a vetélytársa kínálatától is függ: \[\displaystyle \pi_1(Q_1,Q_2)=P(Q_1+Q_2)Q_1 \quad\text{és}\quad \pi_2(Q_1,Q_2)=P(Q_1+Q_2)Q_2.\]
Hogyan lehet megfogalmazni a megfelelő piaci egyensúlyt? Egyensúlynak nevezünk egy olyan kínálatpárt, amelytől egyik vállalatnak sem érdemes egyedül eltérnie.
Cournot zseniális gondolata szerint mindkét vállalat adottnak veszi a másik kínálatát, és meghatározza saját profitjának feltételes maximumát. Folytonosan változtatva a másik kínálatát, megkapjuk a reakciófüggvényt: \(q_1(Q_2)\) és \(q_2(Q_1)\). Képletben: \[\displaystyle \pi_1(q_1(Q_2),Q_2)\ge \pi_1(Q_1,Q_2)\quad\text{és}\quad\pi_2(Q_1,q_2(Q_1))\ge \pi_1(Q_1,Q_2).\]
Egyszerű feltételek mellett létezik egy olyan, konzisztensnek nevezett kínálati pár: \((Q_1^*,Q_2^*)\), amelyre \[\displaystyle Q_1^*=q_1(Q_2^*)\quad\text{és}\quad Q_2^*=q_2(Q_1^*).\]
A reakciófüggvények nélkül is definiálható az egyensúly: minden \((Q_1,Q_2)\) párra fennáll \[\displaystyle \pi_1(Q_1^*,Q_2^*)\ge \pi_1(Q_1,Q_2^*)\quad\text{és}\quad\pi_2(Q_1^*,Q_2^*)\ge \pi_2(Q_1^*,Q_2).\]
Hangsúlyozom, hogy a két vállalat nem kooperál egymással, pedig összejátszás esetén mindketten kínálhatnák a monopolista egyensúly felét, és megfelezhetnék a monopolista hasznot. Másképp szólva, létezhet olyan kínálatpár: \((\bar Q_1,\bar Q_2)\), amely mindkét félnek előnyösebb, mint az egyensúly, de összejátszás nélkül nem valósítható meg: \[\displaystyle \pi_1(\bar Q_1,\bar Q_2)> \pi_1(Q_1^*,Q_2^*)\quad\text{és}\quad\pi_2(\bar Q_1,\bar Q_2)> \pi_2(Q_1^*,Q_2^*).\]
Ha lineáris keresleti függvényt tételezünk föl, akkor az egyensúly explicite is meghatározható (lásd a későbbi 2. példát \(n\ge 2\) vállalat esetére).
Cournot elképzelését vitatta egy neves francia matematikus (Bertrand (1883)[2]): kínálati verseny helyett árversenyt modellezett, ezt azonban most figyelmen kívül hagyjuk. Jellemző, hogy a matematikai közgazdászok egyrészt folytatták (például Hotelling (1929)[5]), másrészt hevesen bírálták Cournot elméletét. Schumpeter 1954-es elmélettörténete (Schumpeter (1954)[19]) is érdemben tárgyalta, lásd 979–983. o., bár ő is kételkedett a Cournot-egyensúly széleskörű használhatóságában.2
2. Neumann modellje
Egészen más úton indult el Neumann 1928-as cikkében (magyarul Neumann (1965)[16]). Ő egy elvontabb feladatot vizsgált. Legyen két játékos: 1. és 2., absztrakt stratégiai halmazuk rendre \(S_1, S_2\), tetszőleges stratégiája \(s_1\in S_1, s_2\in S_2\), és hasznosságfüggvénye \(u_1(s_1,s_2), u_2(s_1,s_2)\). Neumann-nál a stratégiák nemcsak valós számok lehetnek, mint Cournot-nál, hanem például a társasjátékokból ismert véges lépések sorozatai. A társasjátékok iránti heves érdeklődés magyarázza, hogy Neumann (1928)[14] főleg nullaösszegű játékokat vizsgált: \[\displaystyle u_1(s_1,s_2)+ u_2(s_1,s_2)\equiv 0.\]
Történetünk szempontjából közömbös, hogy Neumann az egyensúlyt az ún. minmax-elvvel határozta meg, mi megelégszünk a Neumann-definícióval ekvivalens Cournot-egyensúly elvont felírásával: \[\displaystyle u_1(s_1^*,s_2^*)\ge u_1(s_1,s_2^*),\quad s_1\in S_1\quad\text{és}\quad u_2(s_1^*,s_2^*)\ge u_2(s_1^*,s_2),\quad s_2\in S_2.\]
Már a legegyszerűbb esetben is problematikus az egyensúly létezése.
1. példa. Érmepárosítás. Két játékos egymástól függetlenül, egyidejűleg elhelyez 5–5 Ft-ot Fejre vagy Írásra. Ha azonos állásút választanak, az 1. nyer; ha különbözőt, akkor a 2., mindkétszer 5 Ft-ot.
| 2. játékos | Fej | Írás |
|---|---|---|
| 1. játékos | ||
| Fej | \((5,{-5})\) | \(({-5},5)\) |
| Írás | \(({-5},5)\) | \((5,{-5})\) |
Könnyű belátni, hogy itt nem létezik egyensúly. Ahhoz, hogy létezzen egyensúly, általánosítani kell a játékot kevert stratégiákra. Válasszon az 1. és a 2. játékos egy-egy \(p,q\in [0,1]\) valós számot, és \(p,q\) független valószínűséggel játssza az F-stratégiát, míg \(1-p,1-q\) valószínűséggel játssza az Í-stratégiát. Ezzel mindkét játékos kiismerhetetlenné teszi viselkedését a másik előtt, matematikailag viszont ezáltal folytonossá válik az eredetileg diszkrét feladat. Ha elfogadjuk az ún. várható hasznosság elvét, akkor a két játékos hasznosságfüggvénye \[\displaystyle u_1(p,q)=5pq-5p(1-q)-5(1-p)q +5(1-p)(1-q)\quad\text{és}\quad u_2\equiv -u_1.\]
Ugyancsak könnyű igazolni, hogy ebben az általánosított játékban, ahol \((p,q)\) a stratégiapár, létezik egyensúly: \(p^*=q^*=1/2\), és mindkét játékos nyeresége 0.
1. példa (folytatás). A továbbiak miatt érdemes felírni az 1. játékos legjobb válaszát a 2. választására: \[\displaystyle \tilde p(q)=\begin{cases}0,&\text{ha }0\le q< 1/2;\\ \in [0,1],&\text{ha }q= 1/2;\\ 1,&\text{ha }1/2<q\le 1.\end{cases}\]
A második válaszfüggvény, \(\tilde q(p)\) is hasonló. Figyelemre méltó, hogy a legjobb válasz – éppen az \((1/2,1/2)\) egyensúlyi pontban – halmazértékű. Emellett a két másik feltételes optimum sarokoptimum, amelyet a hagyományos kalkulus nehezen kezelt.
Komoly matematikai eredmény volt, hogy Neumann az egyensúly létezését általánosította kétszemélyes (véges) mátrixjátékokra, ahol az 1. játékos \(k\ge 2\), a 2. játékos pedig \(m\ge 2\) számú tiszta stratégia között választhat, és ezeket \[\displaystyle p_1+\cdots+p_k=1\quad\text{és}\quad q_1+\cdots+q_m=1\] feltételek mellett kombinálja. Ha ellenfele a \(j\)-edik stratégiáját játssza, az 1. játékos az \(i\)-ediket, és hasznossága \(u_{ij}\) valós szám, akkor az 1. játékos várható hasznosságfüggvénye \[\displaystyle u_1(p,q)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{m} p_i u_{ij}q_j=pUq, \text{ahol} U=(u_{ij})\] a nyeremények \(k\times m\)-es mátrixa. Ezeket a játékokat mátrixjátékoknak nevezzük.
1. Tétel (Neumann (1928)[14]). Minden kétszereplős nullaösszegű mátrixjátéknak létezik legalább egy egyensúlya.
A továbbiak miatt utalunk arra, hogy a létezés bizonyításához Neumann egy nevezetes tételt alkalmazott.
2. Tétel (Brouwer-féle fixponttétel, 1911). Legyen \(N>0\) egy természetes szám. Tetszőleges folytonos \(f\) leképezésnek, amely az \(S\in R^N\)-beli korlátos és zárt konvex halmazt önmagára képezi le, létezik legalább egy \(x^*\) fixpontja: \(x^*=f(x^*)\).
Neumann azt is belátta, hogy ha több egyensúly létezik, akkor azok csereszabatosak. Például jelölje a másik egyensúlypárt \((\bar s_1,\bar s_2)\). Ekkor \(( s_1^*,\bar s_2)\) és \((\bar s_1, s_2^*)\) is egyensúly, valamint \(i=1,2\)-re \[\displaystyle u_i(s_1^*,s_2^*)= u_i(\bar s_1,s_2^*)= u_i( s_1^*,\bar s_2) = u_i( \bar s_1,\bar s_2).\]
Morgenstern közreműködésével Neumann 1944-ben publikálta játékelméleti könyvét, amelyben azonban nehezen tudott elszakadni a kétszemélyes nullaösszegű játéktól, legalábbis a nemkooperatív részben. A könyvet számos kutató korszakalkotóként üdvözölte,3 a játékelmélet áttörésére azonban még meg kellett várni Nash egyensúlyelméletét. Érdekes, hogy (Neumann, Morgenstern (1944)[15]) nem hivatkozik Cournot-ra!
A kétszemélyes nullaösszegű játékoknál megjelent dualitás később nagy hangsúlyt kapott Neumann 1938-ból származó gazdasági növekedési modelljében és Dantzig 1947-ben született lineáris programozásában (ez utóbbit Kantorovics 1939-ben publikálta először oroszul).
3. Nash felfedezése
Nash egy tehetséges matematikus diák volt Princetonban, ahol 21 éves korában, 1949-ben felfedezte az \(n\)-személyes nemkooperatív játék általános egyensúlyi fogalmát. Legyen a játékosok száma \(n\ge 2\), indexük \(i=1,2,\dots,n\); a stratégiahalmazok \(S_i\), a stratégiák \(s_i\in S_i\), a skalárértékű hasznosságfüggvények \(u_i(s_1,\dots,s_n)\).
A továbblépés előtt célszerű lesz definiálni a kétszemélyes játékbeli domináns stratégiáját. Az 1. játékos \(s_1^*\in S_1\) stratégiája domináns, ha bármely \(s_2\in S_2\) esetén legalább akkora hasznosságot nyújt az 1. játékosnak, mint bármely másik stratégiája. A 2. játékos \(s_2^*\in S_2\) stratégiája is domináns, ha bármely \(s_1\in S_1\) esetén legalább akkora hasznosságot nyújt a 2. játékosnak, mint bármely másik stratégiája. Együttesen az \((s_1^*,s_2^*)\) domináns egyensúly, amelytől egyoldalúan egyik játékosnak sem érdemes eltérnie: \[\displaystyle u_1(s_1^*,s_2)\ge u_1(s_1,s_2)\quad\text{és}\quad u_1(s_1,s_2^*)\ge u_1(s_1,s_2).\]
Talán a legnevesebb nem nullaösszegű kétszemélyes játék a közismert fogolydilemma (1950 körül, névadója, Tucker, Nash témavezetője volt), amelynek van domináns stratégiapárja. Mivel nem tudnak összebeszélni, mindkét fogoly jobban jár, ha elárulja a másikat, bármit tesz a másik. A legtöbb játékban azonban nincs domináns egyensúly (vö. a 2. és a 3. példát), ezért szélesebb érvényű definíciót kell keresni.
A folytatáshoz célszerű bevezetni egy Nash-től származó szellemes jelölést, amellyel az \(n\)-személyes játék szinte 2-személyesre vezethető vissza: legyen \[\displaystyle s_{-i}=(s_1,\dots,s_{i-1},s_{i+1},\dots,s_n)\] az \(i\)-edik játékos ellenfeleinek stratégiavektora, és \(u_i(s_i,s_{-i})\) a megfelelő hasznosság.
Nash egyensúlyi definíciója a következő: minden \(s_i\in S_i\)-re \[\displaystyle u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\ge u_i(s_i,s_{-i}^*),\qquad i=1,2,\dots,n.\]
Szóban: semelyik játékosnak nem érdemes egyedül eltérnie az egyensúlytól.
Bemutatunk egy kétszemélyes, nem nulla összegű játékot, amelyben nem létezik domináns stratégiapár, de két Nash-egyensúly is létezik, amelyek azonban nem csereszabatosak.
2. példa. A nemek harca. A Fiú és a Lány szeret együtt lenni, de a Fiú inkább meccsre menne, a Lány inkább moziba. A kifizetési mátrixpár most legyen a következő:
| Lány | mérkőzés | mozi |
|---|---|---|
| Fiú | ||
| mérkőzés | \((3,2)\) | \((1,1)\) |
| mozi | \((0,0)\) | \((2,3)\) |
Valóban, a Fiú számára a „meccs” stratégia jobb, mint a „mozi”, ha a lány is meccsre megy (\(3>0\)), és a Lánynak is jobb, mint ha moziba menne (\(2>1\)). Hasonló érveléssel belátható, hogy a (mozi, mozi) pár is Nash-egyensúly. Felvetődik a kérdés: a résztvevők melyiket válasszák a két egyensúly közül? Hogyan koordinálja a szerelmespár a választást? (Hogy ne a lány menjen a meccsre és a fiú a moziba!)
Nash nemcsak definiálta az \(n\)-személyes egyensúlyt, hanem létezését általános mátrixjátékokra bizonyította.
3. Tétel (Nash, 1951 [13]). Véges számú játékos véges mátrixjátékának mindig létezik legalább egy egyensúlya.
Érdekes, hogy Nash-nek nem jutott eszébe, hogy elszakadjon a mátrixjátékoktól, és olyan keretet alkosson, amelybe például a korábban említett Cournot-modell is belefér. Ezt a viszonylag könnyű feladatot követői végezték el. Megfelelő módon általánosítva a stratégiahalmazokat és a hasznosságfüggvényeket, maximálisan kiterjesztették az alaptételt. A következő definíciókra lesz szükségünk:
Definíciók. 1. Halmazértékű leképezésnek nevezünk két absztrakt halmaz, \(X\) és \(Y\) közötti \(f:X \rightarrow Y\) hozzárendelést, amely minden \(x \in X\) ponthoz egy \(f(x) \subseteq Y\) halmazt rendel. (Ha \(f(x)\) minden esetben pont, akkor függvényről beszélhetünk.)
2. A folytonos függvény egyik lehetséges általánosításaként egy leképezést felülről félig folytonosnak nevezünk, ha bármely olyan \(\{x^m\}\subseteq X\) sorozatra, amely konvergál \(x \in X\)-hez, és bármely \(y^m \in f(x^m)\subseteq Y\), \(\{y^m\}\) konvergál \(y\in Y\)-hoz, akkor \(y\in f(x)\) teljesül. Kompakt \(X\) tér esetén ez azt jelenti, hogy az \([x,f(x)]\) gráf zárt halmaz.
3. Egy \(f\) leképezésnek az \(x \in X\) pont fixpontja, ha \(x\in f(x)\).
4. Az \(f(x,y)\) függvény kvázikonkáv, ha minden szintvonala konvex, azaz minden \(c\)-re az \(f(x,y)=c\) egyenletet kielégítő \(y(c,x)\) görbe konvex.
4. Tétel (Nikaido, Isoda (1955)[17]). Egy \(n\)-személyes játéknak létezik legalább egy Nash-egyensúlya, ha teljesülnek a következő feltételek:
a) az \(S_i\) stratégiahalmaz egy \(m_i\)-dimenziós euklideszi tér nemüres, konvex és kompakt halmaza;
b) Az \(i\)-edik játékos \(u_i(s_1,\dots,s_i,\dots,s_n)\) hasznosságfüggvénye folytonos minden változójában és kvázikonkáv \(s_i\)-ben, \(i=1,\dots,n\).
Érdekes módon a legkézenfekvőbb bizonyítási eszköz a Cournot-féle reakciófüggvényen alapul, amelyet a játékelméletben legjobb válasznak neveznek, és nem pont-, hanem halmazértékű: \(b_i(s_{-i})\) az \(i\)-edik játékosnak olyan stratégiai részhalmaza, hogy bármely elemét válasszuk is, nincs nála jobb válasz \(s_{-i}\)-re: \[\displaystyle u_i(s_i’,s_{-i})\ge u_i(s_i,s_{-i}), \quad s’\in b_i(s_{-i}),\qquad i=1,2,\dots,n.\]
Ekkor a Nash-egyensúly tömörebben is megfogalmazható: \[\displaystyle s_i^*\in b_i(s_{-i}^*),\qquad i=1,2,\dots,n.\]
Megismételjük, Nash egy fixpontként adódó \(s^*\) stratégiavektor létezését igazolta. A technikai bonyodalmakat elkerülendő, csak utalunk a bizonyítás alapötletére. Legyen \(s=(s_1,\dots,s_n)\) a stratégiák vektora, és legyen \[\displaystyle b(s)=(b_1(s_{-1}),\dots, b_n(s_{-n}))\] a legjobb válaszfüggvények vektora, s ennek \(s^*\) fixpontja: \[\displaystyle s^*\in b(s^*).\]
A fixpont létezésének a bizonyítása már csak matematikai technika kérdése.
5. Tétel (Kakutani fixpont-tétele, 1941). Ha \(X\) egy véges-dimenziós euklideszi tér nemüres, konvex és kompakt halmaza; ha \(f\) az \(X\)-nek egy önmagára való, felülről félig folytonos leképezése, amely minden \(x \in X\)-hez nemüres konvex halmazt rendel, akkor \(f\)-nek létezik fixpontja: \(x^* \in f(x^*)\).
Nash (1951)[13] sem hivatkozik Cournot-ra,4 de még Neumann (1928)[14]-ra sem, csak Neumann, Morgenstern (1944)[15]-re! Őt is túlzottan érdekelték a társasjátékok, ez magyarázza a szimmetrikus játékok külön tárgyalását és a póker modellezését. A következő példában azonban egy valódi közgazdasági modellben, egy \(n\) vállalatból álló oligopólium egyensúlyát mutatjuk be.
3. példa. Tegyük föl, hogy \(P(Q)=a-bQ\) a piaci ár–keresleti függvény, és mindegyik vállalat költségfüggvénye \(cQ_i\), ahol \(c<a\). Az \(n\)-szereplős oligopolista egyensúlyban mindegyik vállalat egyensúlyi kibocsátása azonos, és fordítva arányos \(1+n\)-nel: \[\displaystyle Q_i^*(n)=\frac{a-c}{(n+1)b},\qquad i=1,2,\dots,n.\]
Hangsúlyozzuk, hogy minél több egyforma vállalat verseng egymással, annál nagyobb az össztermelés: \[\displaystyle Q^*(n)=\frac{(a-c)n}{(n+1)b}.\] és annál alacsonyabb a piaci ár: \[\displaystyle P^*(n)=c+\frac{a-c}{n+1},\qquad n=1,2,\dots.\]
Határértékben megvalósul a tökéletes verseny: \[\displaystyle Q^*(\infty)=\frac{a-c}{b}\quad \text{és}\quad P^*(\infty)=c.\]
Szomorú, hogy amikor Nash személyesen közölte Neumann-nal korszakalkotó eredményét, Neumann képtelen volt felkarolni az eredményt: „Fixponttétel” – utalt a bizonyítás számára nyilvánvaló alapjára, és másra terelte a beszélgetést. (Az említett interjúban Nash nem szomorkodik, és még egy tévedést elkövet: „a játékelméletben ő [Neumann] nem használt fixpont-tételeket.” Dehogynem. Más kérdés, hogy a konvex halmazokat elválasztó síkjának létezését kimondó tétel is elegendő lett volna a mátrixjátékok minmax-tételének bizonyításához.)
Bár a Kuhn–Tucker cikkben (Kuhn, Tucker (1958)[7]), amely Neumann játékelméleti és közgazdaságtani eredményeit tekinti át, már megjelenik Nash (1951)[13], de eléggé haloványan. Ugyanakkor az általános egyensúlyelmélet klasszikus kifejtésében a létezési tétel bizonyítása (Arrow, Debreu (1954)[1]) már a Nash-egyensúlyra épült.5
Zárásként megemlítjük, hogy 1950/51-es megjelenése óta a Nash-egyensúly a nemkooperatív játékelmélet alapja lett. Ez nem jelenti azonban azt, hogy a Nash-egyensúly minden nemkooperatív játékelméleti kérdést megold. Az elméletnek csupán két problémáját említem meg, azokat is csak távirati stílusban:
- Ha több egyensúly létezik (nemek harca), akkor hogyan koordinálják a játékosok a választásukat (Selten, 1965)?
- Mi történik, ha a játékosok nem ismerik egymás stratégiahalmazait és hasznosságfüggvényeit (Harsányi, 1967)?
A Nash-egyensúly beérését jól jelzi, hogy 1994-ben először kaptak játékelméleti kutatók közgazdasági Nobel-díjat. Nash mellett a másik két díjazott az imént említett Harsányi és Selten volt. Ha az 1903-ban született Neumann megéri a díj 1969-es alapítását, akkor nagy valószínűséggel az első díjazottak közt lett volna – akár a növekedési modelljéért, akár a Neumann–Morgenstern-féle hasznosságfüggvény megalkotásáért.
Irodalomjegyzék
[1] K. Arrow, G. Debreu (1954) „Existence of Equilibrium for a Competitive Economy”, Econometrica 22, 265–290. o.
[2] J. Bertrand (1883) „Theorie mathematique de la richesse sociale et recherches sur les principles mathematiques de la theorie des richesses”, Journal de Savants 67, 499–508. o.
[3] A. Cournot (1838) Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth francia eredeti angol fordítása, 1897.
[4] W. Fellner (1949) Competition among the Few. New York, Knopf.
[5] H. Hotelling (1929) „Stability of Competition”, Economic Journal 39 41–57. o.
[6] L. Hurwicz (1945) „The Theory of Economic Behavior,” American Economic Review, 35, 909–925. o.
[7] H. Kuhn, A. W. Tucker (1958) „John von Neumann’s Work on the Theory of Games and Mathematical Economics”, Bulletin of American Mathematical Society, 1958.
[8] R. J. Leonard (1994) „Reading Cournot, Reading Nash: The Creation and Stabilization of the Nash Equilibrium,” The Economic Journal, 104, 492–511. o.
[9] J. Marschak (1946) „Von Neumann and Morgenstern’s New Approach to Statc Economics”, Journal of Political Economy 54, 97–115. o.
[10] S. Nasar (1998) Egy csodálatos elme, az angol eredeti magyar fordítása, Bp. Gabo, 2002.
[11] J. Nash (1950a) „Equilibrium Points in \(N\)-Person Games”, Proceeding of the National Academy of Scieneces of the USA, 36:1, 48–49. o.
[12] J. Nash (1950b) „The Bargaining Problem”, Econometrica, 18, 155-162. o.
[13] J. Nash (1951) „Non-Cooperative Games”, Annals of Mathematics, 2nd series, 54:2, 286–295. o.
[14] J. Neumann (1928) „Zur Theories der Gesellschaftsspiele”, Math. Ann. 100, 295–320.
[15] J. Neumann, O. Morgenstern (1944) Theory of Games and Economic Behavior, Princeton Univ. Press, Princeton NJ, első kiadás.
[16] J. Neumann (1965) Válogatott előadások és tanulmányok, Budapest, KJK, 1965.
[17] H. Nikaido, K. Isoda (1955) „Note on Noncooperative Convex Games”, Pacific Journal of Mathematics 5, 807–815. o.
[18] M. Raussen, C. Skau (2015) Interjú Nash-sel, fordította Matolcsi Máté, Érintő, 2016, szept. https://ematlap.hu/interjuk-portrek-2016-09/326-interju-a-2015-ben-abel-dijat-nyert-john-f-nash-jr-professzorral
[19] J. Schumpeter (1954) 19 [19] History of Economic Analysis. NYC, Oxford University Press.
[20] H. von Stackelberg (1934) The Theory of the Market Economy, London, W. Hodge, a német eredeti angol fordítása.
Simonovits András
ELKH KRTK KTI, BME, MI
