Mennyit teszteljünk? 2. rész

Cikkünk második részében folytatjuk a betegek arányának becslésével kapcsolatos, gyakran használt valószínűségszámítási, statisztikai ismeretek összefoglalását annak a kérdésnek a kapcsán, hogy hány tesztet érdemes végezni, ha az arányt adott pontossággal szeretnénk megbecsülni egy véletlenszerűen választott minta alapján. A kiindulás a következő:

• Tegyük fel, hogy egy országban egy bizonyos betegségben szenvedők aránya \(p\), ennek értékét azonban nem ismerjük.
• Kiválasztunk \(n\) embert véletlenszerűen. Őket megvizsgálva, \(X\) beteget találunk az \(n\) közül. Itt \(X\) véletlen érték, tehát egy valószínűségi változó, míg \(n\) vagy adott, vagy általunk megválasztható.
• \(X\) és \(n\) segítségével, pontosabban az \(X/n\) arány segítségével becsüljük \(p\)-t – kérdés, hogy mennyire megbízható a becslésünk, hiszen egyáltalán nem mindegy, hogy \(n=10\) vagy \(n=100000\) embert vizsgáltunk meg.

Az alábbi feltételezésekkel éltünk (bár, ahogyan az első rész [3] végén láttuk, ezek némelyike nagyon nehezen vagy egyáltalán nem érhető el a valóságban):

• a mintavételnél az embereket egymástól függetlenül választjuk (egy-egy ember többször is szerepelhet);
• minden alkalommal mindenkit azonos valószínűséggel választunk;
• a tesztek tökéletesen megbízhatók.

Ezen feltételek mellett az első részben arra a kérdésre kerestük a választ, hogy adott pontosság eléréséhez hány vizsgálat elvégzésére van szükség. Ugyanakkor a tesztek számát gyakran nem mi választjuk meg, így az is jogos kérdés, hogy a tesztek adott számának és az eredményeknek az ismeretében hogyan fejezhetjük ki, hogy a betegek ismeretlen arányára kiszámított becslésben mennyire vagyunk biztosak, például hány tizedesjegy pontosságig vállalkoznánk \(p\) becslésére. Ha például \(n=6000\) ember közül \(X=492\) beteget találtunk, akkor \(p\)-nek az ötödik (vagyis a százezredekre vonatkozó) vagy annál későbbi tizedesjegyeiről teljesen megalapozatlan lenne bármit is állítani, viszont az első tizedesjegyről elég magabiztosan mondhatjuk, hogy 0, hiszen \(p\geq 0{,}1\) esetén a betegek számának várható értéke legalább 600, és annak valószínűsége, hogy ettől legalább 108 az eltérés, nem lehet túl nagy. A  binomiális eloszlás képlete alapján ezt pontosan ki is számíthatjuk: annak valószínűsége, hogy \(p=0{,}1\) esetén pontosan 492 beteget találunk, \(2\cdot 10^{-7}\), nagyobb \(p\) esetén még ennél is kisebb. Ezzel szemben például \(p=0{,}08\) mellett a betegek számának várható értéke 480, és annak valószínűsége, hogy pontosan 492 beteget találunk, \(1{,}6\%\). Vagyis a bekövetkezett esemény \(p\geq 0{,}1\) esetén nagyságrendekkel kevésbé valószínű, mint a \(492/6000=0{,}082\)-höz jóval közelebbi \(p\) esetén. Ez erős érv amellett, hogy az első tizedesjegy 0. Ugyanakkor biztosat sosem állíthatunk egyik tizedesjegyről sem, hiszen tetszőleges 0 és \(n\) közötti érték (a határokat is beleértve) előfordulhat bármely \(0<p<1\) esetén. Célunk olyan állítások megfogalmazása, hogy például ha \(n=6000\) ember közül \(X=492\) volt beteg, akkor a betegek valódi \(p\) aránya \(7\%\) és \(9\%\) közé esik, és ebben \(95\%\)-ban biztosak vagyunk. Ez a megfogalmazás így még nem pontos, nem mondtuk meg, hogy mit jelent nagy valószínűséggel biztosnak lenni valamiben. Ennek egy lehetséges értelmezéseként mutatjuk be a konfidenciaintervallum fogalmát, amely a példaként említett 492-es betegszámhoz tartozó olyan intervallum, amelyben a keresett \(p\) érték adott, általunk választott valószínűséggel benne van. A cikkben ezt mutatjuk be először, alkalmazva a magyar COVID-19 járványhoz kapcsolódó 2020. májusi reprezentatív felmérésre, ahol \(n=10474\) vizsgált ember közül \(X=69\) olyat találtak, aki már átesett a betegségen [8]. Ezután rátérünk a maximum-likelihood módszer ismertetésére, amely magát a becslési módszert, vagyis a \(p\) valószínűségnek az \(X/n\) relatív gyakorisággal (a betegek arányával) való becslését támasztja alá. Ez az eljárás arra a kérdésre ad választ, hogy mely \(p\) érték esetében a legvalószínűbb, hogy pont 492 beteget találunk a 6000 ember között. A binomiális eloszlás esetében kiderül, hogy éppen \(p=492/6000\) esetén. Persze ezen kívül is számtalan természetes érvet lehet felhozni a relatív gyakorisággal való becslés mellett (például hogy torzítatlan [4], vagyis \(X/n\) várható értéke megegyezik a becsülni kívánt \(p\)-vel), de van ellenérv is: ha egyetlen beteget sem találunk, akkor a becslésünk mindig 0 lesz, holott egészen mást jelent \(p\)-re nézve, ha \(n=3\), \(10\), \(100\), \(1000\), \(10\,000\) vagy \(n=100\,000\) embert tesztelve nem találunk egyetlen beteget sem. A relatív gyakoriság ezt a különbséget nem veszi észre. Többek között ezt küszöböli ki a Bayes-becslés módszere, amelyre most nem térünk ki, de amiből például \((X+5)/(n+10)\) alakú becslés kapható (megfelelő előzetes feltételezés mellett), amire már \(X=0\) esetén is igaz, hogy minél nagyobb \(n\), annál kisebb a becslés. (A Bayes-becslésnek többek között Bolla és Krámli könyvében [4] lehet utánaolvasni.) Vagyis a relatív gyakoriság nem az egyetlen és nem minden szempontból a legjobb lehetőség, szólnak érvek mellette és ellene is. A  cikkben egy mellette szóló módszert, a maximumlikelihood-becslést mutatjuk be, aminek az alkalmazási lehetőségei természetesen jóval szélesebbek, mint konkrétan a \(p\) becslése a mi esetünkben [4, 7].

Cikkünkben a valószínűségszámítás és az analízis alapvető eszközeinek (binomiális eloszlás, deriválás), illetve az első részben szerepelt néhány állításnak a felhasználásával ismertetjük az említett fogalmakat azok számára, akik ezekkel az egyetemi statisztika órákon is gyakran szereplő módszerekkel nem találkoztak, vagy szeretnék az ezzel kapcsolatos ismereteiket felidézni.

1. Konfidenciaintervallum a betegek arányára

Célunk tehát elsőként az, hogy az \(X\) (a talált betegek száma) és az \(n\) (a vizsgált emberek száma) ismeretében a \(p\)-re olyan becslést adjunk, amelyből a kapott érték pontossága vagy bizonytalansága is kiderül. Ezt a következő módon szeretnénk megvalósítani:

• az elvégzett vizsgálatok és a talált betegek száma (vagyis \(X\) és \(n\)) alapján mondunk határokat \(p\)-re, például hogy \(7\%\) és \(9\%\) közé esik;
• megadjuk azt is, hogy mennyire vagyunk biztosak abban, hogy \(p\) a megadott határok között lehet, és minél megbízhatóbb becslést szeretnénk;
• az intervallumot megpróbáljuk a lehető legrövidebbre választani, hogy minél informatívabb legyen az állításunk: az, hogy \(p\) értéke \(7\%\) és \(9\%\) közé esik, sokkal többet mond, mint például az, hogy \(p\) értéke \(5\%\) és \(25\%\) közé esik.

Vegyük észre, hogy a második és a harmadik szempont egymással szembe megy. Csak a második feltételt nagyon könnyű lenne teljesíteni: a \([0,1]\) intervallum egészen biztosan tartalmazza a betegek valódi arányát, és ha ezzel megelégednénk, még a tesztelés költségét is megtakaríthatnánk. A zonban épp ez az, amit a harmadik szemponttal kizárunk: minél rövidebb intervallumot szeretnénk, ami azonban még elég tág ahhoz, hogy nagy megbízhatósággal tartalmazza \(p\)-t.

Kicsit másképpen fogalmazva próbálhatjuk pontosítani a célt: olyan intervallumot szeretnénk, ami nagy valószínűséggel, például \(95\%\) valószínűséggel tartalmazza \(p\)-t. Azt azonban fontos tisztázni, hogy mit jelent itt a valószínűség: hiszen úgy gondolkoztunk, hogy a \(p\), vagyis a betegek valódi aránya ugyan számunkra ismeretlen, de nem véletlen paraméter. Az tehát nem tűnik jó értelmezésnek, hogy az intervallum határai rögzítettek, amibe egy véletlenül kisorsolt \(p\) vagy beleesik, vagy sem. Azonban, ha például \(n=6000\) vizsgált lakos közül \(X=492\) beteg, akkor nyilvánvalóan egészen más intervallum lesz jó, mint ha például 4328 beteget találtunk volna. Így az általunk meghatározott intervallum határai függnek \(X\)-től, a talált betegek számától, ez pedig a véletlen mintavételünktől függ. Ezért az intervallum maga lesz az, amit véletlenszerűen adunk meg – a feltétel pedig az, hogy minden \(p\)-re teljesüljön, hogy \(p\) ebbe a véletlen intervallumba essen, kellőképpen nagy valószínűséggel. Ezt nevezzük konfidenciaintervallumnak. Megjegyezzük, hogy a „minden \(p\)-re teljesüljön” feltétel értelmezéséhez körültekintőnek kell lennünk. Ugyanis \(p\) különböző értékeire maga a binomiális eloszlás is megváltozik, tehát az adott intervallumba kerülés valószínűsége is más lesz, amint alább hamarosan látni fogjuk. A konfidenciaintervallumot meghatározó nagy valószínűségnek egy szokásos választása \(q=95\%\), ami egy előre rögzített érték, és bármi is a betegek valódi aránya vagy az általunk megtalált betegek száma, az ismeretlen \(p\) legalább ennyi valószínűséggel az általunk megadott határok közé esik. A \(q\) értékét nevezik a konfidenciaintervallum megbízhatósági szintjének, ezt mindig előzetesen adjuk meg.

Most már tehát tudjuk, hogy milyen intervallumot szeretnénk, kérdés, hogy hogyan készítsük el. Bár nem minden esetben ez a legjobb választás (ahogy azt az \(X=0\) példán láttuk), abból indulunk ki, hogy \(p\)-t az \(X/n\) relatív gyakorisággal becsüljük, és ez lesz a konfidenciaintervallum közepe. A nehezebb feladat az, hogy mi legyen a konfidenciaintervallum hossza. Ehhez olyan \(a>0\) számot kell keresnünk, amelyre az \((X/n-a, X/n+a)\) intervallum legalább \(q=95\%\) valószínűséggel tartalmazza \(p\)-t (a megbízhatósági szintet a szokásos értéknek választva). Vagyis az kellene, hogy minden \(0<p<1\)-re \[\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)\geq 95\%\tag{1}\] teljesüljön. A betegek valódi arányáról tehát nincs semmilyen előzetes feltételezésünk, olyan módszert keresünk, ami minden lehetséges \(p\)-re ebből a szempontból megfelelően működik. Fontos hangsúlyoznunk, hogy \(a\) értéke az \(X\)-től, a talált betegek számától függni fog, \(p\) értékét viszont nem használhatjuk fel a kiszámításához, hiszen éppen ezt akarjuk megbecsülni. A  megbízhatósági szint, amit most szokásos módon \(q=95\%\)-nak választottunk, előre adott érték, de ennek is van hatása \(a\)-ra: minél nagyobb a \(q\), annál nagyobb lesz \(a\) is – miközben persze arra is figyelünk, hogy \(a\) a megadott feltételek mellett a lehető legkisebb legyen, hogy minél informatívabb legyen az állításunk.

Ahhoz, hogy ezt az \(a\)-t megtaláljuk, az (1) egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezést kellene kiszámítanunk. Cikkünk első részében ezt lényegében meg is tettük [3]. Ha ugyanis olyan átrendezést végzünk, hogy a feltétel az \(X/n\)-nek a \(p\)-től vett távolságára vonatkozzon, ehhez jutunk: \[\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)=\mathbb{P}\left(-a\leq p-\frac Xn \leq a \right)=\mathbb{P}\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|\leq a\right).\]

A cikk első részében pedig a de Moivre–Laplace-tételt az \(X\) binomiális eloszlású valószínűségi változóra alkalmazva azt láttuk, hogy a fenti valószínűség közelíthető a standard normális eloszlásfüggvény, a \(\Phi\) függvény segítségével. Pontosabban, az első rész (6) egyenletében az ott megadott \(0{,}01\) helyébe a most keresett \(a\)-t írva: \[\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)=\mathbb{P}\left(\left|\frac{X}{n}-p\right|\leq a\right)\approx 2\Phi\left(\frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1.\]

Itt a \(\Phi(t)=\int_{-\infty}^t {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-x^2/2}\, dx\) függvény egy \(t\) valós számhoz az 1. ábrán a \(t\)-től balra eső, függvény alatti területet rendelte hozzá (a teljes görbe alatti terület 1). Magát a \(\Phi\) függvényt a 2. ábra bal oldalán láthatjuk. A közelítés azonban természetesen csak elég nagy mintaelemszám, pontosabban az \(n\) és a \(p\) megfelelő viszonya esetén érvényes, ezt az \(np(1-p)\geq 10\) feltétellel szokták például kifejezni [10]. Ha viszont ez teljesül, akkor az (1) egyenlőtlenség feltétele alapján olyan \(a\) számot keresünk, amelyre \[\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)\approx 2\Phi\left(\frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1\geq 0{,}95 ~\Leftrightarrow~ \Phi\left(\frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\right)\geq 0{,}975.\]

Ennek megoldásához a 0,975-nek a \(\Phi^{-1}\) inverz függvénynél vett értékét kell meghatároznunk. A zt a legkisebb \(t\) számot keressük tehát, amire \(\Phi(t)=\int_{-\infty}^t {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-x^2/2}\, dx\geq 0{,}975\), vagyis amitől balra legalább 0,975 terület esik az 1. ábrán. Mivel \(1-0{,}021-0{,}001=0{,}978\), ez a szám kettőnél kicsit kisebb kell, hogy legyen. Számítógéppel számolva \(\Phi^{-1}(0{,}975)=1{,}96\) adódik, ezt a 2. ábra jobb oldali részéről is leolvashatjuk, ahol a \(\Phi^{-1}\) inverz függvényt ábrázoltuk. Vagyis a keresett \(a\) számra az alábbi feltételt kapjuk: \[\displaystyle \frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\geq \Phi^{-1}(0{,}975)=1{,}96~~\Leftrightarrow~~a\geq 1{,}96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}.\]

Ezzel azonban nem vagyunk kész. Az, hogy egy egyenlőtlenséget kaptunk, holott csak egy szám kellene, nem jelent gondot, hiszen \(a\)-t minél kisebbnek szeretnénk választani. A gond az, hogy a jobb oldalon álló kifejezésben nem csak \(n\), a vizsgált emberek száma szerepel, hanem \(p\) is, ami a betegek valódi aránya. Ez viszont éppen a keresett, ismeretlen érték, amire a konfidenciaintervallumot adjuk. Ezért a becslésben ez nem szerepelhet, azt az általunk rendelkezésre álló mennyiségek alapján kell felépítenünk. Egy lehetséges megoldás a \(p(1-p)\leq 1/4\) egyenlőtlenség alkalmazása, ami sajnos indokolatlanul hosszú intervallumot (túl nagy \(a\) értéket) eredményezhet. A lternatívaként alkalmazhatjuk a már egyszer bevált stratégiát, nevezetesen azt, amikor a konfidenciaintervallum közepének a \(p\)-re vonatkozó becslésünket, vagyis a betegek \(\hat p=X/n\) relatív gyakoriságát választottuk.

Ezt alkalmazva tehát közelítőleg érvényes gondolatmenetünk van (amely precízzé tehető a statisztika megfelelő tételeinek segítségével) arra, hogy ha \(n\) megkérdezett közül \(X\) beteget találunk, akkor az alábbi intervallum \(\boldsymbol{95\%}\)-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum \(p\)-re, vagyis az alább megadott véletlen határok legalább \(\boldsymbol{95\%}\) valószínűséggel közrefogják \(p\)-t, bármi is legyen annak értéke: \[\displaystyle \left(\frac Xn-1{,}96\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n},\quad \frac Xn+1{,}96\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n} \right).\tag{2}\]

A korábban említett példában, ha \(n=6000\) ember közül \(X=492\) beteg, akkor tehát \(\hat p=X/n=0{,}082\), és a konfidenciaintervallum: \[\displaystyle \left(0{,}082-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}082(1-0{,}082)}}{\sqrt {6000}}, 0{,}082+1{,}96\frac{\sqrt{0{,}082(1-0{,}082)}}{\sqrt{6000}} \right)=(0{,}075; 0{,}089).\]

Tehát ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a betegek valódi aránya \(7{,}5\%\) és \(8{,}9\%\) közé esik, és ezt egy \(95\%\)-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum alapján állíthatjuk. Ugyanerre az intervallumra az alábbi jelölést is használni fogjuk: \(8{,}2\% \pm 0{,}7\%\). Ez tehát nem azt jelenti, hogy a \(p\) biztosan ebbe az intervallumba esik, ha például a valódi \(p=0{,}5\), akkor is előfordulhat, hogy úgy alakul a véletlen mintavételezés, hogy \(X=492\) beteget találunk csak a várt 3000 helyett, és \(p\) a legkevésbé sem esik bele az általunk megadott \(8{,}2\% \pm 0{,}7\%\) intervallumba – de az ilyen típusú tévedések valószínűsége összesen sem több \(5\%\)-nál.

A fenti képlettel a H-UNCOVER 2020. május 1-16-ig végzett vizsgálata alapján azt mondhatjuk, hogy a SARS-CoV-2 vírussal korábban megfertőződött (aktívan beteg vagy már meggyógyult) emberek aránya Magyarországon \(0{,}66\%\pm 0{,}15\%\) lehetett ebben az időszakban (a 14 éven felüli, nem intézményben lakó emberek között). Itt ugyanis \(n=10474\) teszt alapján \(X=69\) embernél mutatták ki, hogy átestek ezen a betegségen [8]. Ugyanakkor ne felejtsük el, hogy végig a legideálisabb esettel számoltunk, és azt sem vizsgáltuk, hogy a feltehetően kicsi \(p\) miatt nem romlik-e el a közelítés (bár azt megállapíthatjuk, hogy ha \(p=X/n\)-t helyettesítünk, akkor az \(np(1-p)\geq 10\) feltétel teljesül), ezért az intervallum hosszát inkább csak alsó becslésnek tekinthetjük. Ugyanebben a vizsgálatban \(X=3\) aktív beteget találtak az \(n=10474\) vizsgált ember között. Ekkor azonban az \(n p(1-p)\) érték a becsült \(p\)-vel számolva 3-nál is kevesebb, a feltételünk egyáltalán nem teljesül, a módszerünk közelítésből adódó hibája annyira nagy, hogy jobb, ha nem alkalmazzuk a képletünket konfidenciaintervallum készítésére. Ebben a konkrét esetben közvetlenül a binomiális eloszlást használva (a korábbi számoláshoz hasonlóan) azonban észrevehetjük, hogy ha például \(p\geq 0{,}1\%\), akkor annak valószínűsége, hogy legfeljebb 3 beteget találunk ennyi vizsgált ember között, 0,0067. Vagyis azt mondhatjuk, hogy 1 ezreléknél nem lehetett lényegesen több az aktív betegek aránya (a relatív gyakoriság 0,28 ezrelék), de a nagyságrendről sokkal pontosabbat nem állíthatunk, a konfidenciaintervallumhoz pedig ennél alaposabb vizsgálatra lenne szükség.

2. Mitől függhet a konfidenciaintervallum hossza?

Most már tehát van egy képletünk a konfidenciaintervallumra, ezt vizsgáljuk meg részletesebben. Elsőként szögezzük le, hogy a becslések és közelítések miatt ennek a módszernek számos hátulütője lehet, hiszen nem adtunk meg pontosan, hogy mekkora a hiba a normális eloszlással való közelítésnél (erről szól a Berry–Esséen-tétel, [6]), és azt sem, hogy mekkorát hibázunk, amikor a valódi \(p\)-t a becsült értékkel helyettesítettük az utolsó lépésben. Sőt, semmi nem zárja ki, hogy csak nagyon kevés, esetleg 0 beteget találunk, és ilyenkor a bal végpont negatív lesz, márpedig nem túl szerencsés egy költséges vizsgálat végén megállapítani, hogy a valószínűség \(–2\%\) és \(2\%\) közé esik – az állítás egy részéhez ugyanis egyetlen mérésre sem lett volna szükség. Erre nem térünk ki, de a fentinél természetesen sokkal kifinomultabb módszerek is használhatók a konfidenciaintervallum építésére [1, 9], amelyek ezeket a hátrányokat legalább részben kiküszöbölik. Ugyanakkor már a fenti képlet alapján is megfogalmazhatjuk a konfidenciaintervallumnak néhány olyan tulajdonságát, amelyek lényegében módszertől függetlenül érvényesek. Ehhez először tekintsük a táblázatot, amely néhány különböző \(n\) és \(X\) esetén ad \(95\%\)-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumot (az intervallum helyett áttérünk a \(\pm\)-os jelölésre, vagyis \(X/n\)-t és az intervallum hosszának felét adjuk meg, amelyet korábban \(a\)-val jelöltünk).

Ebből és a (2) képletből az alábbi következtetéseket vonhatjuk le.

Mintaelemszám. A betegek arányát rögzítve (a táblázatban például a vonalak alatti sorokat tekintve, az utolsó kivételével) a konfidenciaintervallum hossza közelítőleg fordítottan arányos a mintaelemszám gyökével. Tehát feleolyan hosszú intervallumhoz négyszerannyi, tizedolyan hosszú intervallumhoz százszorannyi teszt szükséges. Ez összhangban van a cikkünk első részében tett megállapításokkal, ott ezt úgy mondtuk, hogy a pontosságot növelve négyzetesen növekszik a szükséges tesztek száma.

Ritkaság. Minél közelebb van a betegek aránya a 0-hoz vagy az 1-hez (legalábbis a mintában), vagyis minél ritkább a betegség vagy épp a nem-betegség, annál rövidebb a konfidenciaintervallum. A zonban, ahogy szintén az első részben is láttuk, ha ezt a hosszt a \(p\)-hez viszonyítjuk, vagyis azt kérdezzük, hogy \(p\)-nek hányszorosa a hiba, akkor már egész más válasz adódik. A táblázatban a „legritkább eset” az utolsó sor, amely a H-UNCOVER felmérés adatait tartalmazza [8], ahol SA RS-CoV-2 koronavírussal való, korábbi vagy aktív fertőzöttséget mutatták ki (tehát a már gyógyultak is számítanak, amíg a szervezetükben megtalálható a vírussal szembeni ellenanyag). Itt a konfidenciaintervallum \((0{,}51\%; 0{,}81\%)\), vagyis az alsó és felső végpont között több mint másfélszeres szorzó van, ez meglehetősen nagy bizonytalanság például az \(n=10000\), \(X=1000\) esethez hasonlítva, ahol a tesztek száma majdnem ugyanaz, de a betegségen átesettek aránya jóval nagyobb (ez persze csak elképzelt eset). Valójában pedig még hosszabb konfidenciaintervallumot kellene megadnunk, hiszen nem modelleztük a tesztek hibáját és más valós, torzításhoz vezető jelenségeket, és a közelítésünk hibáját is elhanyagoltuk (ezekről részletesebben az első rész [3] végén írtunk). A táblázathoz visszatérve, például \(n=1000\) esetén \(X=100\)-ra az intervallum hosszának és az \(X/n\)-nek az aránya \(38\%\), míg \(X=300\)-ra csak \(18{,}7\%\), vagyis a középső értékhez viszonyítva a második esetben rövidebbnek számít az intervallum. A  képletből erre a hányadosra \(\sqrt{(1-p)/p}\) jellegű válasz adódik, ami annál nagyobb, minél kisebb a \(p\). A zaz relatív értelemben a fertőzöttek kis száma esetén csak jóval hosszabb konfidenciaintervallumot tudunk adni. Persze ilyenkor a fenti módszer sem feltétlenül használható, elromlik a közelítés (valójában a táblázatunk vonalak alatti soraiban sem volt teljesen jogos a feltételezés, hogy használhatjuk a közelítést), de ez a megállapítás érvényes marad. Hasonlóképpen az is látható a képletből, hogy rögzített (páros) \(n\) esetén a leghosszabb konfidenciaintervallumot akkor kapjuk, ha \(X/n=1/2\), azaz ugyanannyi fertőzött és egészséges embert találunk.

Megbízhatósági szint. A zt is kérdezhetjük, hogy hogyan függ a konfidenciaintervallum hossza a megbízhatósági szinttől, amit eddig \(q=95\%\)-nak választottunk. Általánosan felírva ugyanezt a számolást, ha \(q\) megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumot szeretnénk: \[\displaystyle \left(\frac{X}{n}-\Phi^{-1}\left(\frac{1+q}{2}\right)\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n},\frac{X}{n}+\Phi^{-1}\left(\frac{1+q}{2}\right)\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n} \right).\tag{3}\]

Az világos, hogy minél nagyobb \(q\), vagyis minél nagyobb eséllyel kell tartalmaznia az intervallumnak a valódi értéket, annál nagyobb lesz a hossz. A képletből ez onnan látszik, hogy \(\Phi\) monoton növő függvény, ezért az inverze is az (2. ábra). Kérdés azonban, hogy mennyivel kell hosszabb intervallumot mondanunk, ha mondjuk \(5\%\) helyett csak \(1\%\) valószínűségű tévedést engedünk meg. Itt néhány szokásos választással, ahogy a 2. ábráról is leolvashatjuk: \(q=90\%\) esetén \(\Phi^{-1}((1+q)/2)=1{,}65\), ahogy már láttuk, \(q=95\%\) esetén 1,96 adódik, \(q=98\%\) esetén \(2{,}32\), és \(q=99\%\) esetén \(2{,}58\). Ezeket megfigyelve megállapíthatjuk, hogy a konfidenciaintervallum hossza a szokásos értékek tartományában a megbízhatósági szinttől nem túl érzékenyen függ: az előbbi példában a tévedés valószínűségének ötödére csökkentése is csak nagyjából harmadával növeli az intervallum hosszát. Ugyanakkor egyrészt \(q\rightarrow 1\) esetén a \(\Phi^{-1}((1+q)/2)\) és így a konfidenciaintervallum hossza is végtelenhez tart, másrészt minél nagyobb megbízhatósági szintet írunk elő, annál nagyobb szerepe lehet a módszerből adódó hibáknak is, vagyis a konfidenciaintervallum hossza a képletből adódónál még nagyobb is lehet.

A  3. ábrán \(n=100\) és \(n=1000\) teszt esetén, \(q=95\%\) és \(q=99\%\)-os megbízhatósági szint mellett ábrázoltuk a konfidenciaintervallumot. A vízszintes tengelyen az \(X/n\) szerepel, ez tehát a betegek aránya a vizsgált emberek között, amit megfigyelünk. Ha ezt, illetve \(n\)-t és \(q\)-t tudjuk, a két azonos színű pont adja meg a konfidenciaintervallum alsó, illetve felső határát. A  konfidenciaintervallumok tehát a két-két azonos színű görbe között helyezkednek el. Itt is láthatjuk, hogy a \(95\%\) helyett \(99\%\)-os megbízhatósági szint nem jelent nagyságrendi különbséget a konfidenciaintervallum hosszában, azonban tízszer annyi tesztet elvégezve is csak nagyjából elharmadolni tudjuk a konfidenciaintervallumot. Azt is láthatjuk, hogy adott \(n\) esetén a leghosszabb konfidenciaintervallum \(X/n=1/2\) környékén adódik, a ritka, illetve nagyon gyakori betegség esetében pedig egyre rövidebb intervallumokat kapunk.

3. Becslés a valószínűségek alapján

A  konfidenciaintervallum esetében is természetesnek vettük, hogy az \(X/n\), vagyis a betegek relatív gyakorisága kerül középre – cikkünk második felében egy olyan gyakran használt statisztikai becslési módszert mutatunk be, ami ennek alátámasztására is alkalmazható.

Példaképpen tegyük fel, hogy \(n=6000\) ember közül \(X=312\) beteget találtunk, vagyis nagyjából minden huszadik ember volt beteg. A kérdés az, hogy mennyi lehet a betegek valódi aránya, vagyis mennyi annak \(p\in (0,1)\) valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott ember beteg. A lehetőségek száma végtelen, úgyhogy először megpróbálhatunk megelégedni azzal, hogy két lehetőségből megpróbáljuk eltalálni, hogy melyik lehetett a jó. Például tegyük fel, hogy a laboratóriumba ez a minta egy másikkal együtt érkezett, és azt is tudjuk, hogy ezek közül az egyik egy ritkábban lakott vidéki terület településeiből származik, ahol a fertőzöttek aránya egyéb vizsgálatok alapján \(p_r=0{,}002\), míg a másikat egy sűrűn lakott nagyváros lakosaitól gyűjtötték, ahol a fertőzöttek valódi aránya \(p_s=0{,}06\). A zonban elmulasztották a dobozokon feltüntetni, hogy melyik minta melyik, így el kellene dönteni, hogy a fenti \(n=6000\) nagyságú minta a ritkán vagy a sűrűn lakott területről származik-e. Kizárni egyik lehetőséget sem tudjuk, hiszen mindkét esetben előfordulhat, hogy pontosan 312 beteget találunk. A betegek várható száma a ritkán lakott vidéken \(n\cdot p_r=6000\cdot 0{,}002=12\), és ebből azt is sejthetjük, hogy óriási balszerencse kellene ahhoz, hogy ennek majdnem harmincszorosa legyen a talált betegek száma. A sűrűn lakott városban \(n\cdot p_s=6000\cdot 0{,}06=360\) a betegek számának várható értéke, ez alapján a 312 egyáltalán nem tűnik elképzelhetetlennek. Vagyis, bár a 312 beteg mindkét esetben előfordulhat, a sűrűn lakott városban ez jóval valószínűbb lehetőség, mint a ritkán lakott vidéken. Ezeket a valószínűségeket szerencsére ki is tudjuk számolni, az alapján, hogy az \(X\) valószínűségi változó binomiális eloszlású [2, 5, 10].

Annak valószínűsége, hogy a ritkán lakott vidéken pontosan 312 beteget találunk 6000 ember között: \[\displaystyle \mathbb{P}_r(X=312)=\binom{6000}{312} 0{,}002^{312}\cdot 0{,}998^{5688}=7{,}28\cdot 10^{-317},\] vagyis valóban, lehetséges, hogy a ritkán lakott vidéken ennyi beteget találunk, de ennek valószínűsége kisebb, mint hogy 40 egymást követő héten telitalálatunk lesz a lottón (egy-egy héten \(1/\binom{90}{5}=2{,}28\cdot 10^{-8}\) valószínűséggel lesz ötből öt találatunk).

Annak valószínűsége, hogy a sűrűn lakott városban pontosan 312 beteget találunk 6000 ember között: \[\displaystyle \mathbb{P}_s(X=312)=\binom{6000}{312} 0{,}06^{312}\cdot 0{,}94^{5688}=0{,}0007,\] ami szintén nem túlságosan nagy, de az előző lehetőségnél sok nagyságrenddel nagyobb (például több, mint a lottón a négy találat valószínűsége). Vagyis, az alapján, hogy az általunk megfigyelt történés mennyire valószínű a \(p_r=0{,}002\), illetve \(p_s=0{,}06\) esetekben, arra következtethetünk, hogy ez az a minta a kettő közül, ami a sűrűn lakott nagyvárosból származik. A  tévedésünk nincs kizárva, de a valószínűségek közötti nagyságrendi különbség nyomós érv az állításunk mellett.

Ez tehát akkor működött, amikor feltételeztük, hogy a betegség valószínűsége két lehetséges érték valamelyike. Ha nincs semmilyen előzetes információnk, akkor a \(p\) értéke bármilyen 0 és 1 közötti szám lehet (a határokat nem beleértve), kizárni egyik lehetőséget sem tudjuk. A zonban a fent látott módszer akkor is működik, ha több lehetőségünk van. A nnyit kell csak tennünk, hogy felírjuk, hogy ha adott \(p\) mellett mennyi annak valószínűsége, hogy a 6000 vizsgálatból pontosan 312 jelez betegséget, majd megkeressük azt a \(p\)-t, amire ez a legnagyobb – hiszen éppen ezt tettük az előbb is, a két lehetőségből a nagyobb valószínűséget adó \(p\)-t választva. A kérdés tehát az, hogy milyen \(0<p<1\) esetén lesz a legnagyobb az alábbi valószínűség: \[\displaystyle \mathbb{P}(X=312)=\binom{6000}{312}p^{312}(1-p)^{5688}.\tag{4}\]

Ezt a függvényt a 4. ábrán láthatjuk (bal oldalon a teljes \((0,1)\) intervallumon, a jobb oldalon belenagyítva a maximum környékére). Azt látjuk, hogy a korábbi \(p_s=0{,}06\) nem a lehető legnagyobb valószínűséget adja, ennél kicsit kisebb \(p\)-vel még nagyobb lesz a valószínűsége a 312 betegnek. A maximumhely (az a szám, ahol a függvény a legnagyobb értéket veszi fel) meghatározására az analízisből ismert deriválás módszerét használjuk – de csak egy előkészítő lépés után. Ugyanis az előző egyenlet jobb oldalán egy szorzat szerepel, és szorzatot deriválni ugyan nem lehetetlen, de bonyolultabb, mint összeget deriválni, ahol tagonként végezhető el ez a művelet. Ezért kéne egy függvény, ami szorzatból összeget csinál, és ami ráadásul lehetőleg monoton növő, hogy a maximumhelyet ne mozgassa el. Éppen ilyen függvény a logaritmus. Ezért azt a kérdést, hogy milyen \(p\)-re lesz a \(\mathbb{P}(X=312)\) valószínűség a lehető legnagyobb, a következőképpen fogalmazzuk át. Milyen \(0<p<1\) számra lesz az alábbi kifejezés maximális: \[\displaystyle \log \mathbb{P}(X=312)=\log \binom{6000}{312} +312 \log p +5688 \log (1-p).\tag{5}\]

Itt tehát a (4) egyenlet jobb oldalának logaritmusát vettük. Ez a függvény az 5. ábrán látható, amit az előzővel összehasonlítva le is olvashatjuk, hogy bár a két függvény eltérő alakú és más értékeket vesz fel, a maximumhelyük ugyanaz – ami a logaritmus monoton növő tulajdonságából következik is. Tehát nincs más hátra, mint hogy deriválással megkeressük azt a \(p\) számot, amelyre az (5) értéke maximális. A jobb oldalt deriválva (az első tag nem függ \(p\)-től, ennek deriváltja 0, ezen kívül a \((\log x)’=1/x\) összefüggést és az összetett függvény deriválására vonatkozó szabályt használjuk): \[\displaystyle \left(\log \binom{6000}{312} +312 \log p +5688 \log (1-p)\right)’=\frac{312}{p}-\frac{5688}{1-p}.\]

A  maximumhelyet ott kell keresnünk, ahol a derivált, vagyis az érintő meredeksége nulla, ahogy ezt az 5. ábra is sugallja. Az egyenletet megoldva: \[\displaystyle \frac{312}{p}-\frac{5688}{1-p}=0 ~~\Leftrightarrow~~ 5688p=312(1-p) ~~\Leftrightarrow~~ 6000p=312 ~~\Leftrightarrow~~p=\frac{312}{6000}.\]

Sajnos, ahogy analízisórán minden bizonnyal felhívták rá a figyelmünket, az, hogy a derivált 0, nem elég ahhoz, hogy szélsőértékhelyet találjunk. A zonban ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a második derivált, \(-312/p^2-5688/(1-p)^2<0\), és ebből következik, hogy itt lokális maximumhely van, az intervallum szélein pedig \(-\infty\) a határérték, ott nem lehet maximumhely, vagyis ez globális maximumhely is. Egy másik érvelés ugyanerre: az egyenlet helyett egyenlőtlenségeket írva az is látható, hogy a derivált pontosan akkor pozitív, ha \(p<312/6000\). Vagyis \(p<312/6000\) esetén a függvény szigorúan monoton növő, \(p>312/6000\) esetén pedig szigorúan monoton csökkenő, ebből már következik, hogy ebben a pontban veszi fel a legnagyobb értéket.

A gondolatmenetet a következőképpen fejezhetjük be: deriválás segítségével megállapítottuk, hogy \(\log \mathbb{P}(X=312)\) a \(p=312/6000=5{,}2\%\) érték esetén a legnagyobb. Mivel a logaritmusfüggvény szigorúan monoton növő, azaz minél nagyobb \(\log \mathbb{P}(X=312)\), annál nagyobb \(\mathbb{P}(X=312)\) is, ebből következik, hogy \(p=312/6000\) lesz az érték, amelyre \(\mathbb{P}(X=312)\) a legnagyobb (ez összhangban van az ábrával is). És, bár természetesen \(p\) becslésekor más szempontokat is lehetne választani, most azt tűztük ki célnak, hogy azt a \(p\)-t választjuk, amelyre a legnagyobb a valószínűsége annak az esetnek, amit megfigyeltünk. Tehát \(p\) becslése \(312/6000=5{,}2\%\) lesz a fent vázolt módszer alapján, amelyet maximumlikelihood-módszernek neveznek. A  fenti érvelésben a számokat tetszőlegesen választhatjuk, vagyis azt láttuk be, hogy ha \(n\) vizsgált ember közül \(X\) beteget találtunk, akkor a betegség valódi gyakoriságának \(p\) értékére a maximumlikelihood-módszerrel adott becslés \[\displaystyle \hat p=\frac{X}{n},\] azaz a betegek aránya a vizsgált mintában. Ezzel a (3) képlet olyan értelemben megerősítést nyert, hogy ez alapján a módszer alapján jogos az ismeretlen \(p\) helyébe \(X/n\)-t helyettesíteni a konfidenciaintervallum építésekor. Illetve, mivel a H-UNCOVER vizsgálatban \(n=10474\) vizsgált ember közül \(X=69\) teszt lett pozitív, a 2020 májusáig COVID-19 fertőzésen átesett magyar állampolgárok arányát az \(X/n=0{,}66\%\) értékkel becsülhetjük az előzőek alapján [8].

A maximumlikelihood-módszer más esetekben is használható [4, 7]. Általában van egy ismeretlen mennyiség (paraméter), ez volt esetünkben \(p\), a betegek valódi aránya. Elvégzünk valamilyen kísérletet, ez alapján becsüljük az ismeretlen értéket. Ha ezt úgy tesszük, hogy azt az értéket választjuk, amely esetén annak valószínűsége, hogy az általunk a kísérlet során megfigyelt esemény következik be, a lehető legnagyobb legyen, akkor a maximumlikelihood-módszert alkalmaztuk. Nem minden esetben, de az is gyakori, hogy ilyenkor a valószínűség logaritmusának maximumhelyét keressük meg deriválás segítségével. Azonban, ahogy a legtöbb statisztikai módszer, a maximumlikelihood-becslés sem minden esetben működik, például nincs mindig egyértelmű maximumhely, és egyéb hátrányai is lehetnek, például a várható értéke eltérhet a becsülni kívánt értéktől (vagyis torzíthat), vagy a példában \(X=0\)-ra kevésbé jól működik. Ugyanakkor megfelelő feltételek mellett (és ezek a fenti példában is teljesülnek) a mintaelemszámmal végtelenhez tartva már jó tulajdonságokkal rendelkezik, a várható értéke tart a valódi paraméterhez, és a szórása is a lehető legkisebb értékhez, vagyis a bizonytalanságot minimalizálja. Ezzel együtt, bár ezekre nem térünk ki, statisztikai feladatokban érdemes több módszert is megvizsgálni (például momentummódszer, Bayes-becslés [4, 7]) és azt választani, amelyikkel az adott problémát a legjobban meg tudjuk oldani.

4. Összefoglalás

Kétrészes cikkünkben azt vizsgáltuk, hogy milyen valószínűségszámítási és statisztikai módszerek alkalmazhatók, ha egy betegség gyakoriságát véletlenszerű teszteléssel akarjuk megbecsülni. Láttuk, hogy az, hogy a betegek valódi arányához képest hány százalékot tévedhetünk felfelé vagy lefelé, nagyobb hatással lehet az elvégzett tesztek számára, mint az, ha a helyes döntés valószínűségére adunk meg egy szigorúbb korlátot: kétszer nagyobb pontossághoz vagy feleolyan hosszú konfidenciaintervallumhoz négyszer annyi teszt kellett, viszont \(95\%\) helyett \(99\%\)-os megbízhatóságot előírva nem nőtt ennyire a szükséges vizsgálatok száma. Azt is láttuk, hogy ha az abszolút hiba helyett a relatív hibát akarjuk alacsonyan tartani, akkor ritka, \(1\%\) vagy \(0{,}1\%\) körüli gyakoriság esetén is jelentősen nagyobb mintaelemszámmal kell számolnunk. Az alkalmazott módszer a binomiális eloszlásnak a normális eloszlással való közelítése volt a de Moivre–Laplace-tétel, vagyis a centrális határeloszlástétel egy speciális esete alapján, itt szintén arra kellett figyelni, hogy ha a betegség túlságosan ritka, akkor vagy más módszert kell keresnünk, vagy ismét csak nagy mintaelemszámot választani – ez azonban valamennyire természetes is, \(0{,}1\%\) nagyságrendű valószínűség esetén 10 vagy 100 teszt semmilyen módszerrel nem lenne megfelelő egy pontos becsléshez. Emellett arra is kitértünk, hogy a valós alkalmazásokban milyen nehezítő körülmények lépnek fel (a tesztek hibája, az egyenletes mintavételezés nehézségei), amelynek következtében a számolások egy ideális eset vizsgálatának, a kapott eredmények pedig a szükséges tesztek számának alsó becslésének tekinthetők.

Irodalomjegyzék

[1] Douglas Altman, David Machin, Trevor Bryant, Martin Gardner, Statistics with Confidence: Confidence Intervals and Statistical Guidelines. Second Edition, John Wiley & Sons, New York, 2000.

[2] Arató Miklós, Prokaj Vilmos, Zempléni A ndrás, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal, 2013. https://ttk.elte.hu/dstore/document/901/zempleni.pdf

[3] Backhausz Ágnes, Simon L. Péter, Mennyit teszteljünk? 1. rész, Érintő, 2020. június. https://ematlap.hu/index.php?option=com_content&view=article&id=956:mennyit-teszteljunk-take-1&catid=234&Itemid=827

[4] Bolla Marianna, Krámli András, Statisztikai következtetések elmélete. Második kiadás, Typotex, 2012.

[5] Csiszár Villő, Valószínűségszámítás 1. http://csvillo.web.elte.hu/mtval/jegyzet.pdf

[6] William Feller, An introduction to probability theory and its applications. Vol. I. Third edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1968.

[7] David Freedman, Robert Pisani, Roger Purves, Statistics. Fourth edition, W. W. Norton & Company, New York, 2007.

[8] Béla Merkely, Attila J. Szabó, A nnamária Kosztin et al., Novel coronavirus epidemic in the Hungarian population, a cross-sectional nationwide survey to support the exit policy in Hungary. GeroScience 42, 1063–1074 (2020). https://link.springer.com/article/10.1007/s11357-020-00226-9

[9] R. G. Newcombe, Confidence intervals for proportions and related measures of effect size. Chapman & Hall/CRC Biostatistics Series, CRC Press, Boca Raton, FL, 2013.

[10] Sheldon Ross, A first course in probability. Second edition, Macmillan Co., New York, 1984.

Backhausz Ágnes
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Matematikai Intézet,
Simon L. Péter
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Matematikai Intézet
ELKH-ELTE Numerikus A nalízis és Nagy Hálózatok Kutatócsoport