– egy kiállítás vizuális világának zenei ihletforrásáról
2023-ban a Bolyai Matematikai Társulat felkérésére lehetőséget kaptam, hogy elkészítsem Bolyai János temesvári levelének kétszázadik évfordulójára rendezett kiállítás teljes grafikai anyagát.
Ez a levél a hiperbolikus geometria történetének egyik legfontosabb alapdokumentuma, amelyben Bolyai János megírta édesapjának, Bolyai Farkasnak, hogy „A semmiből egy ujj, más világot teremtett”. (A mondatot korhű helyesírással kellett megjelenítenem, tisztelegve a levél eredeti formája előtt.)
Nagy lelkesedéssel fogtam a munkához, és egy olyan képi világ megszületését tűztem ki célul, amely az esztétikai élményen túlmutató mélyebb jelentéseket is hordoz, és egy sajátos világban enged barangolni. A témával való összhang érzete miatt különösen fontos volt számomra, hogy hordozzon három pillért: természetesen a matematikát, valamiféle filozófiát, és talán legkevésbé egyértelmű idekapcsolásként: a zenét is.
zene – matematika – filozófia hármas
A zene mint olyan, gyermekkorom óta jelenti számomra az elsődleges menedéket, hidat a tudatos és a tudattalan között, ezenfelül pedig egy absztrakt gondolkodási teret: struktúrák, arányok, feszültségek és feloldások rendszerét és kifejeződési terét.
Később, amikor mélyebben elkezdtem foglalkozni a matematikával, lassacskán felismertem, mennyi közös vonást hordoz ez a két világ. Nemcsak hasonló szerkezetekre épülnek, hanem egyes elemeiben egészen konkrét analógiák figyelhetők meg.
Ezzel egy időben az is feltételezhetővé vált, hogy a matematikának lehet mély, filozófiai tartalma is, elvégre ógörög matematikusaink legnagyobbjai szinte kivétel nélkül filozófusok voltak. Azt hiszem, ez a kérdés élethosszig kutatható, és – bármilyen vallástól függetlenül – hiszem, hogy nem véletlenül nevezték a matematikát Isten nyelvének.
A tervezés kezdete (Debussy és a matematikai témájú kiállítás)
A tervezés legelső szakaszától fogva a számomra egyik legtöbbet jelentő zongoradarab, Debussy: Doctor Gradus ad Parnassum volt ebben a hármasságban az, ami zenei háttérként kísérte végig a munkát.
De vajon mi köze lehet Claude Debussy zenéjének a matematika ezen ágához és témájához? Hogyan kapcsolódhat egy látszólag játékos zongoradarab a hiperbolikus geometria világához, ahhoz az új térszemlélethez, amelynek alapjait Bolyai János fektette le mintegy kétszáz évvel ezelőtt?
Ezeket a kérdéseket járja körül ez a tanulmány.
Célom nem csupán az, hogy általam feltételezett párhuzamokat mutassak be zene és matematika között, hanem hogy az olvasó számára is átélhetővé tegyem azt a belső inspirációt, amely a kiállítás grafikai anyagának megszületését alakította. Azt, hogy egy zongoradarab miként válhat színek, formák, vizuális megjelenítések forrásává, és hogyan segíthet megközelíteni egy olyan magasan absztrakt fogalmat, mint a hiperbolikus tér.
A darab
Mielőtt azonban a zene és a matematika lehetséges kapcsolódási pontjait vizsgálnánk, szeretném röviden bemutatni az érintett darabot.
A mű eredetileg a Children’s Corner (Gyermekkuckó) ciklus részeként született, és egyben egy játékos, ironikus áthallás, afféle válaszreakció Muzio Clementi Gradus ad Parnassum etűd-gyűjteményére. Clementi műve a technika iskoláját képviselte és dicsérte, Debussy viszont ezt a világot mintha átemelte volna egy könnyedebb, képzeleti térbe – ahol a gyakorlás nem igényel monotóniatűrést, nem kényszer, hanem játék. Talán feltételezhetjük: épp úgy, mint Bolyai János számára a matematika.
E térben barangol Doctor Gradus Professzor, akinek útját Debussy kvázi mesehősként mutatja be, amelynek során a professzor felér a mítikus hegy csúcsára: a Parnasszusra. Ő lesz a narratíva kulcseleme.
Clementi műve eredetileg „lépcsőfokokat a Parnasszushoz” jelent. A Parnasszushoz, ami a tudomány és a művészetek hegye. Clementi a feljutást a csúcsra a zongoratechnika nem kimerülő gyakorlásán keresztül látta lehetségesnek, míg Debussy majdnem azonos című darabja a komoly felkészülést inkább egyfajta lazított közegű játékra cserélte. Ami technikailag ugyanúgy kihívás, a darab nem gyerekek szintjére íródott.
Debussy mégis az egész ciklust kislánya, Chouchou számára komponálta, aki ekkor mindössze 3-4 éves volt. Aligha tekinthető egy teljesítendő pedagógiai programnak vagy gyakorlóanyagnak egy 3 éves kislány számára. Sokkal inkább egy szeretettel és képzelettel átszőtt világ megteremtése ez, ahol a tanulás és a fantázia természetes módon fonódhat össze.
Itt hallgatható meg a rövid zongoradarab (Arturo Benedetti Michelangeli 1962-es felvételén): https://youtu.be/iEQWBu5CCks?si=Ij5FiXxVRnzdHXq8
A közös pont: Új világok létrehozási vágya
Amikor Bolyai a híres temesvári levélben arról ír, hogy a semmiből egy új, más világot teremtett, nem pusztán egy matematikai eredményt jelentett be ekkor, hanem egy addig elképzelhetetlen szellemi tér megszületéséről adott hírt. Debussy és Bolyai jóllehet egészen más nyelven alkottak, mégis mindkettőjük munkájában felfedezhető az új világok létrehozásának vágya.
Debussy játékos, mégis mélyen átgondolt zenei univerzuma számomra ugyanannak a fajta felfedezésnek az örömét hordozta, amelyet Bolyai munkásságában is feltételezhetünk: a kíváncsiságot, amely nem fogadja el a világot olyannak, amilyennek találja, hanem kibővíti, vagy picit inkább újraalkotja azt.
A képek felépítése
A felső rész
A kompozíciók felső részében olyan lebegő ábrákat találhatunk, amelyek az Appendix anyagából származnak: ezek matematikai elemek, amelyek kiszakadnak eredeti funkciójukból: nem tételek illusztrációi többé, hanem önállóan lebegő „vizuális entitások”, amelyek egy időtlen térben kezdenek el létezni.
Az Appendix („Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens”) „a tér abszolút igaz tudományát bemutatva” Bolyai János 1832-ben megjelent munkája, amely a Tentamen című, édesapja, Bolyai Farkas által írt könyv kiegészítéseként látott napvilágot. Ez az úttörő függelék jelentette a nemeuklideszi (hiperbolikus) geometria első alapköveinek letételét.
A fenti, időtlen térben lebegő jegyzetanyag lesz tehát a képsorozatot összefogó felső elemsor.
Itt szeretném megjegyezni, hogy hatalmas becsben és nagy hálával őrzöm a Bolyai János Matematikai Társulattól kapott tiszteletpéldányt, amelyből ezek az ábrák a képekre kerültek.
Az alsó rész
A sorozat minden egyes darabján ugyanígy szerepel egy közös alsó vizuális elemsor: egy hullámzó, dombszerű tér, amely egyszerre idéz tájat, absztrakt geometriát, és hordoz egyfajta zeneiséget.
Az alsó szegmens egy másik típusú tér- és időélmény: ez adja kvázi a képek lineáris bejárhatóságát. Üres kis dombok ezek, amelyeken Debussy főhőse – mint egy hegyháton – egykor barangolhatott. Dallamos hullámzású, a hiperbolikus geometriát illusztráló dombvilág. A beletűzött zászlók nem is dekorációk, sokkal inkább útbaigazítók, amelyek segítenek tájékozódni ebben az időparadox kompozícióban: a kiállítás minden információja és teljes szöveges tartalma ezeken szerepel.
A felső és alsó szegmens között két – érezhetően eltérő – sajátos időérzet feszül.
A dombok, mint Gradus Professzor egykori barangolási terepe
A Professzor útját Debussy nem lineáris felemelkedésként képzelte el. Inkább egy olyan pályaként, amelyet matematikai nyelven lokális maximumok és minimumok tagolnak: csúcsok és völgyek; elbizonytalanodások és újra indulások váltakoznak benne. Időnként fennsíkokra érkezik, ahol nincs semmilyen aktuális kihívás – ezek a megállás, a szemlélődés, a „rátekintés” pillanatai. Egyfajta nyugalmi állapot. Ilyenkor mintha kívülről látná az egész utat: amit már bejárt, és azt is, ami még előtte van.
Ez fontos kapcsolódási pontot jelentett számomra Bolyai világához, hiszen egyetlen tudományos felfedezés útja sem egyenletes emelkedésből áll. Feltételezhetjük, hogy matematikai kutatásai során ő maga is számtalanszor megtapasztalta a bizonytalanság, a megtorpanás, majd a felismerés felszabadító pillanatait – ahogyan minden kutató, aki ismeretlen területekre merészkedik.
Matematika és a Remény
Ezen felül ez a fajta pályamodell nem csupán a kutatói pályákat jellemzi, hanem olyan, mint maga az élet. Olykor kimerülünk, megállunk, muszáj új erőt gyűjteni, és aztán egy újrakezdésnek hangzó folytatással – ahogy a darabban is ez az ismétlődő, ám lényegében is eltérő struktúra hallható – továbbmenni. A 2026-os évben a Matematika Nemzetközi Világnapja Unesco által válaszott idei témaneve „Mathematics and Hope” volt. Azaz, Matematika és a Remény. Valahányszor ezt a darabot hallom, vagy gyakorlom magam is, mindig benne van ez a fajta remény: hogy egy új lendülettel talán eljuthatunk oda, ahova az előzővel még nem sikerült.
Legvégül a mű természetesen eléri a globális maximumát: a Parnasszus tetejét, ahol azonban nem egy diadalmas megérkezés és „fentragadás” következik, hanem egy olyan visszaereszkedés, ami sokkal inkább az örömteli leszaladás, sőt még inkább legurulás érzetét kelti.
Poincaré körmodellje a darabban
Eddig az egész darab felfogható volt tulajdonképpen egy lineáris idővonalú és geometriájú térként, ugyanakkor ennél bonyolultabb struktúrát is felfedezhetünk benne: a nemlineáris építkezés leképeződését.
Alapvető fontosságúnak éreztem, hogy az ábrákon helyet kapjon a Poincaré-féle körmodell is, amely a hiperbolikus teret hivatott szemléltetni két dimenzióban, ám a zenében ez csak utólag lett számomra felfedezhető, mint véletlenszerű egybeesés.
A műben a skálák és a futamok a legkevésbé sem lineárisan fejlődnek, hanem körbe-körbe járnak, ezzel kvázi hurkokat leírva. Épp úgy, mint Poincaré kétdimenziós körmodelljében. A darabban nagyon gyakori a motívum-visszahajlás, hurkok, amelyekben rövid figurák visszatérnek, ám részben vagy egészében módosult harmóniakörnyezetben.
Közben mégis egyértelműen tartani kíván valahová, nem hagy meg bennünket egy absztrakt térbeli lebegés érzetében egy percig sem. Így ezek éppen azt az időparadox érzetet hordozzák, ami a kép alsó és felső sávja közt kifeszül.
A képek alsó szegmensein a Poincaré körmodell „buborékjait” tudatosan helyeztem el lineárisan kiterítve.
A találkozási pontoknál derékszög-jelölések jelennek meg. Ezeket nem illusztratív matematikai jelekként szántam, hanem a tér nemeuklideszi mivoltát hivatottak erősíteni, egy olyan „semmiből teremtett új világét”, amiben a derékszögek is görbülnek.
Egy olyan tér ez, ahol a megszokott euklideszi határok feloldódnak, és egy másfajta geometriai érzékelés jön létre.
Eukleidész – Bolyai; a lineáris skálák – Debussy
Ha külön figyelmet fordítunk arra, hogy ez a darab alapvetően, ahogy fentebb már említettük, egyfajta paródia is, és ezt a Bolyai-féle térrel összehasonlítjuk, akkor érdekes kép alakul ki: a „klasszikus etűd” egy „euklideszi lineáris gyakorlótér” lesz (felfelé haladunk, egyértelmű a fejlődés) , a Debussy-féle etűd-paródia egy „görbített gyakorlótér”, ahol a mindvégig hallható hurkok rendszere adja a körmodell érzetet.
A Bolyai–Lobacsevszkij által megalkotott nemeuklideszi geometria olyan, mintha a megszokott tér „szabályai elengednék magukat”– és ez részben rezonál is Debussy koncepciójával, már ami a zongoragyakorlás iskolájának kvázi kifigurázását illeti.
paródia vagy sem
Ez a darab azonban messze nem csak egy paródia. A Doctor Gradus ad Parnassum ugyan játékosan indul, de nagyon mély zenei intelligencia van benne: egyszerre etűd, irónia, kommentár, emlékezet, és önreflexió. Ezért is működik ennyire érett műként és ezért is tudja a hallgatót is nagyon mélyen bevonni — nem lebontja a hagyományt, hanem újraszervezi egy másik logikában. Ahogyan Bolyai maga is tette. Világalkotás ez, két eltérő, de kölcsönösen megfeleltethető receptforma szerint.
Bolyai és Debussy új világalkotása
A Doctor Gradus ad Parnassum nem tekinthető egyszerű zongoragyakorlatnak vagy könnyed zenei tréfának. Sokkal inkább egy zeneszerző önreflexiója, aki távolságból szemléli az életet és a zenei iskolákat. Ezt a távolságot a képeken a nagy terek, a tágasság és a légiesség vizuális érzetével kívántam összekapcsolni, felidézve a régi tudományos világ időtlen szemléletét, vagy akár a szférák zenéjének gondolatát. Debussy úgy játszik a zongorapedagógia évszázados formáival, hogy közben pontosan ismeri azok minden paraméterét, és ismeri az értékeit, ám ugyanakkor a korlátait is.
Bolyaival az alábbi párhuzam rajzolódik ki: ő már nagyon fiatalon felismerte, hogy az a geometriai világ, amelyet évszázadokon át megkérdőjelezhetetlennek tartottak, nem az egyetlen lehetséges világ. Ugyanúgy ismerte már ekkorra a matematika addigi értékeit és korlátait, mint ahogy Debussyről feltételezhetjük ezt zenei vonatkozásban.
zárszó
A Parnasszus nem csupán egy hegy, amelyre fel kell kapaszkodnunk. Sokkal inkább egy út, amin odáig eljutunk. Konsztantinosz Kavafisz Ithaka című verse szerint ezt minél hosszabb, de tartalmasabb úton tesszük meg, annál jobb. A görög költő a versben kifejezetten tanácsolja, hogy NE siettessük a folyamatot. Lehet, hogy nem is maga a Parnasszus lesz a tudás értékes kincsének lelőhelye, hanem az odavezető út.
Gradus professzor is a tapasztalatai alapján gazdagszik meg igazán, mely által szert tesz a tudásra, ahogy Bolyai útját is és vívmányait is egészében érdemes tekintenünk. Természetesen van a folyamatnak globális maximuma, de nem biztos, hogy az a fontos.
Amikor magunk is felismerjük, hogy egyes dolgok nem szükségszerűen olyanok, amilyennek addig hittük, rövid időre magunk is részeseivé válunk annak a szellemi emelkedésnek, amely kétszáz évvel ezelőtt egy fiatal matematikust elvezetett egy új világ megalkotásához, alappillérei letételéhez.
Egyúttal részeseivé válunk annak is, ahogyan egy zeneszerző gondolt az életre, mint hullámzó hegyhátra, és adta segítő receptjét ahhoz, hogy miképp érdemes elrugaszkodni a rögzült eszmerendszerektől.
Talán ez lehetett az oka, hogy – ennyire csak utólag tudatosult mélységekben ugyan, de – Debussy zenéje végigkísérte bennem a kiállítás tervezésének folyamatát.
A Doctor Gradus ad Parnassum nem a hiperbolikus geometria adekvát illusztrációja, de ugyanazt a felfedező kíváncsiságot hordozza magában. Azt a ritka pillanatot, amikor valaki elég bátor ahhoz, hogy a Semmiből egy új, más világot teremtsen.
Somogyvári Andrea
