Tekintsük a következő (nem igazán életszerű) problémát: adott egy gödrünk, és azt kérdezzük, hogy készíthető-e hozzá egy olyan négyzet keresztmetszetű cövek, amely épp befér a gödrünkbe, vagyis alapjának csúcsai épp a gödör szélén vannak. Mi a helyzet, ha téglalap keresztmetszetű cövekekkel szeretnénk dolgozni?
A fenti (a gyakorlati életben azért, valljuk be, ritkán előforduló) probléma vezethette Otto Toeplitz neves német matematikust a következő, nagyon egyszerűen megfogalmazható, de meglepően mély eszközöket kívánó probléma felvetéséhez. Legyen \(f\) egy, az \(S^1\) körvonalról az \(\mathbb{R}^2\) síkba mutató folytonos, injektív függvény, vagyis az \(f(S^1)\) kép egy egyszerű (önátmetszések nélküli) folytonos zárt görbe \(\mathbb{R}^2\)-ben. Az ilyen \(f\) függvényt (injektivitása okán) néha beágyazásnak is hívjuk, a képként előálló \(f(S^1)\) görbét pedig Jordan-görbének is szokás nevezni. (Ez a görbe jelképezné a kiásott gödrünk peremét kertünkben, amelyet síknak képzelünk.)
Négyzetes cövek sejtés (Topelitz [10], 1911): Minden fenti \(f\) esetén létezik négy különböző olyan \(t_1, t_2, t_3, t_4\in S^1\) pont, hogy \(f(t_1), f(t_2), f(t_3), f(t_4)\) képük egy négyzet négy csúcsát határozzák meg, lásd az alábbi ábrát.
Az \(f(t_1)f(t_2)f(t_3)f(t_4)\) négyzetet (a fogalmat kicsit tágítva) a továbbiakban beírt négyzetnek is fogjuk hívni, bár nemkonvex \(f(S^1)\) Jordan-görbe esetén ez a négyzet nem lesz feltétlen része a görbe által határolt körlapnak – de legalább csúcsai a görbén vannak. (A gödrökkel megfogalmazott analógiában általában konvex görbékre gondolunk; a cövek nem feltétlenül fér be a gödörbe a nemkonvex esetben.) A fenti matematikai problémában az \(f(S^1)\)-ről konvexitást nem tételezünk fel.
A matematikai feladat gyengíthető úgy, hogy a négy képponttól azt követeljük meg, hogy egy (nemelfajuló, tehát nem szakasznak kinéző) téglalap négy csúcsát alkossák.
A feladat nehezíthető is: megkérdezhetjük, hogy rögzített görbére és tetszőlegesen rögzített téglalapra van-e négy olyan pont, amely a rögzített téglalapunkhoz hasonló téglalap négy csúcsát alkotja. Emlékezzünk, hogy két téglalap pontosan akkor hasonló, ha az oldalhosszaik aránya (amiről az oldalak felcserelése árán feltehető, hogy legalább 1) egyenlőek. A négyzet esetét kapjuk akkor, amikor ez az arányszám 1-gyel egyenlő. A sejtés utóbbi két változatát téglalapos cövek problémának szokás hívni.
Az alábbiakban ezen problémák rövid története és a megoldásukban a közelmúltban történt áttörések kerülnek bemutatásra. (A probléma jóval részletesebb tárgyalását Benjamin Matschke kitűnő cikkében [5] lehet megtalálni.)
1. A négyzetes cövek probléma
A probléma megoldását már 1913-ban megtalálta Arnold Emch [2] abban az esetben, ha az \(f\) függvény szakaszonként analitikus. A simasági feltételt gyengítette Schnirelman [8] egy 1929-ben írt dolgozatában (melynek javított változata 1944-ben jelent meg). Mindkét bizonyítás alapötlete megtalálható Matschke fent említett [5] cikkében. Első pillantásra az ember azt gondolhatná, hogy a sima (differenciálható) eset kezelésével a probléma megoldódik: egy tetszőleges \(f\) beágyazást közelítsünk \(g_n\) sima beágyazások egy sorozatával, melyekre már tudjuk, hogy léteznek a megkívánt beírt négyzetek. Vegyük ilyen négyzetek egy sorozatát, és érveljünk úgy, hogy ennek a négyzetsorozatnak van konvergens részsorozata. Valójában ez az érvelés percízzé tehető; az egyetlen probléma az, hogy a kapott négyzetsorozat könnyen elképezelhetően egy degenerált (0 oldalhosszúságú) négyzethez fog konvergálni (amikor is a sejtésben megkívánt \(t_1,\ldots , t_4\) pontok egybeesnek). Mivel ezt a sejtés kizárja, így a fenti gondolatmenet nem visz közelebb a megoldáshoz.
Mint kiderült, a probléma nehézsége valóban az \(f\) beágyazás analitikus tulajdonságaiban rejlik. Napjaink egyik kiemelkedő matematikusa, Terence Tao is egy hosszú cikket szentelt a problémának [9] abban az esetben, ha az \(f\) képeként előálló görbe két (további tulajdonságoknak is eleget tevő) Lipschitz-függvény grafikonjából rakható össze. Az általános, folytonos \(f\)-re vonatkozó négyzetes cövek sejtés még ma is nyitott.
2. A téglalapos cövek probléma
Látványosabb volt a fejődés a téglalapos cövek probléma terén. Az egyszerűbb kérdésre, hogy vajon mindig létezik-e egy beírt téglalap, Vaughan már a 70-es években megtalálta a megoldást (ez Meyerson [6] cikkében jelent meg). Érdekes módon, a bizonyítás topológiai alapgondolatokon nyugszik. (A megoldás egy animált változata megtekinthető a youtube-on.)
Téglapos cövek tétel: Legyen \(f\colon S^1\to \mathbb{R}^2\) egy folytonos beágyazás. Ekkor létezik négy különböző olyan \(t_1, t_2, t_3, t_4\) pont, hogy képük egy téglalap négy csúcsát adja.
Bizonyítás: Vegyük azt a körvonal pontpárjain értelmezett \[\displaystyle F\colon S^1 \times S^1\to \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_{\geq 0}\] függvényt, mely a \((t, s)\in S^1\times S^1\) pontpárhoz az \[\displaystyle F(t, s)=\left( \frac{f(t)+f(s)}{2}, |f(t)-f(s)|\right) ,\] a háromdimenziós tér felső félterébe eső vektort rendeli. Könnyen látható, hogy \(F\) szimmetrikus a két változóban, így valójában az \(S^1\times S^1/{\mathbb{Z}}_2\) faktoron is értelmezhető (ahol a faktorizálással egybeejtjük a \((t,s)\) és \((s,t)\) alakú párokat). Vegyük észre, hogy a \((t,t)\) alakú elemeknek nincs párja. Nem teljesen triviális, de nem is nehéz látni, hogy az \(S^1\times S^1/{\mathbb{Z}}_2\) faktor épp a nevezetes \(M\) Möbius-szalaggal lesz azonos, melynek körvonal pereme épp a \((t,t)\) alakú elemekből áll. (Például, ha az \((x,y)\) pontpárból azon az \((u_1(t), u_2(t))\) úton indulunk, amelynél \(u_1(t)\) az \(x\)-ből \(y\)-ba mutató egyik köríven megy végig, míg \(u_2(t)\) az \(y\)-ből \(x\)-be mutató másikon, így érve \((y,x)\)-be, akkor az \(S^1\times S^1/{\mathbb{Z}}_2\) faktorban egy irányításfordító hurkon haladunk végig.)
Ilymódon \(F\) helyett nézhetjük az \({\overline {F}}\colon M \to \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_{\geq 0}\) indukált leképezést. Vegyük észre, hogy pontosan akkor létezik az \(f\) által adott görbe esetén beírt téglalap, ha \({\overline {F}}\) nem beágyazás: valóban, ha \((t_1, s_1)\) és \((t_2, s_2)\) is ugyanoda képződik \({\overline {F}}\) mentén, akkor az \({\overline {f(t_1)f(s_1)}}\) és \({\overline {f(t_2)f(s_2)}}\) szakaszok egyforma hosszúak és közös a felezőpontjuk, tehát egy téglalap két átlóját adják.
Tegyük fel indirekten tehát, hogy egy adott \(f\) esetén nincs beírt téglalapunk. Ekkor \({\overline {F}}\) beágyazás, mely a Möbius-szalag peremét (a \((t,t)\) alakú párokat) viszi csak az \(\mathbb{R}^2\times \{ 0\}\) síkba, és ezeket a párokat épp az \(f(t)\) pontokba képezi. A topológia egy ismert tétele szerint az \(f(S^1)\) Jordan-görbe a síkot két részre bontja: egy körlapra, és egy nemkompakt részre. (Ezt a tételt Jordan görbetételeként ismerhetjük.) Ilymódon a beágyazott \({\overline{F}}(M)\) Möbius-szalaghoz hozzáragaszthatjuk a körlapot, amivel egy beágyazott projektív síkot kapunk a szokásos \({\mathbb{R}}^3\) háromdimenziós terünkben. (Azt nem részletezzük, hogy miért igaz az, hogy a körlap és a Möbius-szalag összeragasztása az \({\mathbb{RP}}^2\) projektív síkot adja, de megjegyezzük, hogy ezt nem nehéz belátni.) Az algebrai topológia standard eszközeivel (például egész együtthatós homológiacsoportokkal, és az azokra vonatkozó Mayer-Vietoris hosszú egzakt sorozattal) azonban belátható, hogy \(\mathbb{R}^3\)-ba nem lehet a projektív síkot beágyazni, vagyis hogy egy folytonos \(g\colon {\mathbb{RP}}^2\to \mathbb{R}^3\) függvény soha nem lehet injektív. (Többszörös pontokkal rendelkező függvényt persze lehet találni, egy nevezetes ilyen leképezést ad a Boy-felület, melynek szobrászati megvalósítása az oberwolfachi konferenciaközpont előtt is megcsodálható.)
A talált ellentmondás szerint \({\overline {F}}\) nem lehet injektív, így megvan a téglalapunk. Mivel a projektív sík folytonosan sem ágyazható be háromdimenziós terünkbe, a fenti gondolatmenetben \(f\)-ről csak folytonosságát kellett feltegyük.
3. Újabb fejlemények
Vegyük észre, hogy a fenti bizonyítás semmifajta információt nem adott arra nézve, hogy a görbe milyen téglalapot tartalmaz (hasonlóság erejéig). A téglalapos cövek probléma erős változata szerint (hasonlóság erejéig) minden téglalapnak elő kellene fordulnia egy \(f\colon S^1\to \mathbb{R}^2\) injektív függvény beírt téglalapjai között. Ebbe az irányba indult el Cole Hugelmeyer (első éves doktoranduszként) a következő eredményével:
Tétel (Hugelmeyer, [4]) Ha \(f\colon S^1\to \mathbb{R}^2\) egy differenciálható beágyazás, akkor van olyan beírt téglalapunk, mely oldalainak aránya \(\sqrt{3}\).
(Hugelmeyer eredménye ennél valamivel általánosabb, de ez a leglátványosabb, legegyszerűbben megfogalmazható eset, egyben bizonyítása tartalmazza az összes alapötletet.)
Hugelmeyer bizonyításának fő ötlete egyrészt az, hogy (az \(\mathbb{R}^2\cong {\mathbb{C}}\) azonosítást használva) a korábbi \(F\) függvény egy \(G\colon M\to{\mathbb{C}}^2\) függvényre cserélhető, melyet a \[\displaystyle G(t,s)=\left( \frac{f(t)+f(s)}{2}, (f(t)-f(s))^6 \right)\] formula ad meg. Ismét, \(G\) injektivitása azt eredményezné, hogy nincs megfelelő téglalap – vegyük észre, hogy most a második koordináta egy komplex szám (alkalmas hatványa), így \(G\) két pontban való egyezősége nemcsak a szakaszok hosszát teszi egyenlővé, de információt ad a lehetséges bezárt szögükről is. Persze a projektív sík \({\mathbb{C}}^2\cong \mathbb{R}^4\)-be már beágyazható, így a korábbi ellentmondás itt nem várható. Itt következik Hugelmeyer másik ötlete: a beágyazást egy a \({\mathbb{C}}\times \{ 0\}\) egy kis környezetének \(N\) peremével (ami az \(\mathbb{R}^2\times S^1\) háromdimenziós térrel azonosítható) elmetszve egy csomót kapunk, amely egy Möbius-szalagot határol. Ezt a csomót (a Möbius-szalagjával együtt) aztán úgy tudja az \((S^3, D^4)\) (a háromdimenziós gömb és az általa határolt négydimenziós golyó) párba beágyazni, hogy a \(G(M)\cap N\) metszet olyan csomóba képződik, amely nem határol Möbius-szalagot a négydimenziós térben. Az utóbbi állítást (nevezetesen, hogy egy, a háromdimenziós térben lévő csomó nem határol beágyazott Möbius-szalagot a négydimenziós térben) nem is olyan egyszerű belátni. Erre igazán effektív módszert J. Batson talált 2013-ban [1], majd (hasonló, csomó Floer homológiai módszereket alkalmazva) Ozsváth, Szabó, és a jelen írás szerzője fejlesztették módszerét tovább [7].
A \(G\) definíciójában a második koordinátában levő kitevőt azért választottuk 6-nak, hogy épp a \(\sqrt{3}\) oldalarányú téglalapokra vonatkozó eredmény jöjjön ki; magasabb páros kitevők választásával hasonló (de gyengébb) eredmények következnek.
4. A téglalapos cövek sejtés megoldása
A fenti okoskodást további (nagyon komoly felkészülést igénylő) technikákkal ötvözve Joshua Greene és Andrew Lobb [3] látta be a következő tételt, pontot téve a téglalapos cövek probléma erős változatának sima esete végére.
Tétel (Greene–Lobb, [3]): Legyen \(f\colon S^1\to \mathbb{R}^2\) egy sima Jordan-görbe, és legyen \(r\in \mathbb{R}\) pozitív szám. Ekkor van \(S^1\)-ben négy olyan \(t_1, t_2, t_3, t_4\) pont, hogy képük egy olyan téglalapot határoz meg, melyre az oldalak aránya épp \(r\).
Bizonyításuk mélyén egy új technika lapul, ami azon alapszik, hogy Hugelmeyer Möbius-szalagból \({\mathbb{C}}^2\)-be mutató leképezésének képterét szimplektikus sokaságnak tekintik. (Egy \(M^{2n}\) \(2n\)-dimenziós sokaságon egy szimplektikus struktúra nem más, mint egy zárt, nemelfajuló 2-forma, vagyis egy olyan \(\omega \in \Omega ^2 (M)\), amelyre \(d\omega =0\) és \(\wedge^n \omega \neq 0\) teljesül.) A szimplektikus topológia és geometria a matematika egy fiatal ága, és komplex analitikus eszközök továbbfejlesztésével speciális, a szimplektikus struktúrát is figyelembe vevő leképezéseket vizsgál. Ezen eszközök segítségével lehet megmutatni például azt, hogy a Klein-kancsó (mely \(\mathbb{R}^4\)-be beágyazható) nem ágyazható be a szimplektikus \({\mathbb{C}}^2\)-be mint Lagrange-féle részsokaság. (Egy \(L\subset (M, \omega )\) szimplektikus sokaság-beli \(L\) részsokaság Lagrange-féle, ha \(\omega\vert _{TL}\equiv 0\).) A fenti fogalmak bőven a jelen dolgozat keretein túl mutatnak, bemutatásukra itt nincs lehetőség, de talán felemlegetésük és az itt tárgyalt egyszerű(nek látszó) probléma megoldásában játszott szerepük alapján felkeltik a kedves olvasó érdeklődését.
Irodalomjegyzék
[1] J. Batson: Nonorientable slice genus can be arbitrarily large, Math. Res. Lett. 21 (2014), no. 3, 423–436.
[2] A. Emch: Some properties of closed convex curves in a plane, Amer. J. Math. 35 (1913), 407–412.
[3] J. Greene, A. Lobb: The Rectangular Peg Problem, arXiv:2005.09193
[4] C. Hugelmeyer: Every smooth Jordan curve has an inscribed rectangle with aspect ratio equal to \(\sqrt{3}\), arXiv:1803.07417
[5] B. Matschke: A survey on the square peg problem, Notices Amer. Math. Soc. 61 (2014), no. 4, 346–352.
[6] M. Meyerson: Balancing acts, Topology Proc. 6 (1981), no. 1, 59–75.
[7] P. Ozsváth, Z. Szabó, A. Stipsicz: Unoriented knot Floer homology and the unoriented four-ball genus, Int. Math. Res. Not. IMRN 2017, 17, 5137–5181.
[8] L. Schnirelman: On some geometric properties of closed curves, (in Russian) Usp. Mat. Nauk 10 (1944), 34–44.
[9] T. Tao: An integration approach to the Toeplitz square peg problem, Forum Math. Sigma 5 (2017), Paper No. e30, 63 pp.
[10] O. Toeplitz: Über einige Aufgaben der Analysis situs, Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn 4 (1911), 197.
5. Appendix: a Greene–Lobb bizonyítás alapelemei
Nem nehéz megadni a Greene–Lobb tételben szereplő függvényeket sem. Lássuk el a \({\mathbb{C}}\) komplex egyenest a szokásos \(z=x+iy\) valamint a \(w=re^{i\theta}\) polárkoordinátákkal. Ekkor \({\mathbb{C}}^2\)-en az \(\omega =dx\wedge dy +r\cdot dr\wedge d\theta\) forma adja majd a megkívánt szimplektikus formát. Adjuk meg az \(l,g\colon{\mathbb{C}}^2\to {\mathbb{C}}^2\) függvényeket az \[\displaystyle l(z,w)=\Big( \frac{z+w}{2}, \frac{z-w}{2}\Big) \qquad g(z,r,\theta )=(z, \frac{r}{\sqrt{2}}, 2\theta )\] formulákkal. Legyen \(L=l (f(S^1), f(S^1))\) tórusz, és legyen \(M\) ennek \(g\)-menti képe. Nem nehéz látni, hogy \(g(l(z,w))=g(l(z’,w’))\) pontosan akkor, ha \(\{ z, w\}=\{ z’,w’\}\), vagyis \(M\) továbbra is egy Möbius-szalag.
Vegyük az \(R_{\phi}(z,r, \theta )= (z,r,\theta +\phi )\) leképezést, mely tehát \({\mathbb{C}}^2\)-ből \({\mathbb{C}}^2\)-be mutat. Megmutatható, hogy \(M\) és \(M_{\phi}=R_{\phi}(M)\) a peremüktől különböző metszéspontjai épp olyan, az \(f(S^1)\) görbébe írt tégalapoknak felelnek meg, amelyekre az átlók által bezárt szög épp \(\phi\). (Téglalapok hasonlósága az átlók bezárt szögével is megragadható.)
Ha azonban \(M\) és \(M_{\phi}\) valamilyen \(\phi\)-re nem metszik egymást a peremükön kívül, akkor az \(M\cup M_{\phi}\) unió egy beágyazott Klein-kancsót ad. (A simasághoz a perem mentén simítani kell, ami egy messze nem triviális, lokális modellen való számítást igényel.)
Annak belátása, hogy az \(M\cup M_{\phi}\) Klein-kancsó (illetve simítása) Lagrange-féle, még nem nehéz. Annak belátása azonban, hogy a szimplektikus \(({\mathbb{C}}^2, \omega )\) térben nincs beágyazott Lagrange-féle Klein-kancsó, nagyon komoly technikai előkészületeket igényel.
Stipsicz András, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
