Sok egységtávolság: az OpenAI megcáfolta Erdős híres sejtését

2026. május 20-án az OpenAI bejelentette¹, hogy egy modellje megcáfolta Erdős Pál egyik leghíresebb sejtését a síkbeli egységtávolságokról. Az egységtávolságok maximális számának meghatározása nem egy mellékes, kevésbé vizsgált Erdős-kérdés volt, mint más, az utóbbi időben a mesterséges intelligencia segítségével megoldott Erdős-sejtések, hanem a kombinatorikus geometria egyik klasszikus problémája. Erdős már 1946-ban írt róla [10], és később egy 500 dolláros pénzdíjat is kitűzött annak eldöntéséért, hogy az általa adott alsó korlát lényegében optimális-e; az OpenAI modellje most azt mutatta meg, hogy nem az. Az ilyen Erdős-pénzdíjak persze nem a pénzről szólnak: inkább azt jelezik, hogy a kérdés a terület központi problémái közé tartozik; Bloom a tíz legfontosabb Erdős-kérdés² közé sorolta nemrég.

De mi is ez a probléma? A kérdés egyszerűen az, hogy legfeljebb hány pontpár lehet \(n\) síkbeli pont között pontosan egységnyi távolságra. Ha a ponthalmazt \(P\) jelöli, és \(\nu(P)\) a benne előforduló egységtávolságok száma, akkor a keresett függvény \(\nu(n)=\max_{|P|=n}\nu(P).\) Gráfelméleti nyelven: a csúcsok a sík néhány (különböző) pontja, és él köt össze két csúcsot, ha a megfelelő pontok távolsága pontosan \(1\) egység; így ún. egységtávolsággráfokat³ kapunk. A megfogalmazás annyira egyszerű, hogy egy gyereknek is elmondható, a megoldáshoz szükséges módszerek viszont hamar elvezetnek gráfelmélethez, incidenciageometriához, és számelmélethez.

A pontos értékek jelenleg \(n\le 21\)-ig ismertek, Schade 1993-as szakdolgozatában megkezdett listát Alexeev, Mixon és Parshall [1] egészítette ki \(21\)-ig, nagyobb \(n\)-ekre csak becslések vannak. Néhány kicsi \(n\)-re az 1. ábrán láthatók a maximális élszámot realizáló egységtávolsággráfok.

Egy egyszerű felső becslés kijön abból az észrevételből, hogy egy egységtávolsággráfnak nem lehet \(K_{2,3}\) részgráfja, mert két adott ponttól a síkon legfeljebb két másik pont lehet egyszerre egységnyi távolságra. Ebből a Kővári–T.Sós–Turán-tétellel egyből adódik a \(\nu(n)=O(n^{3/2})\) becslés. A ma ismert legjobb felső korlát ennél erősebb: \(\nu(n)=O(n^{4/3}).\) Ezt először Spencer, Szemerédi és Trotter bizonyították [24], majd később Székely László [26] adott rá egyszerű bizonyítást a keresztez(őd)ési lemmát (angolul: crossing lemma) használva a pontok köré berajzolt egységkörök által adott síkbarajzolt gráfra.

Aki nem ismeri a problémát, annak jó bevezető feladat, hogy mutassuk meg, hogy \(\nu(n)\ge cn\log n\) valamilyen \(c>0\) számra. Ennél erősebb, az eddig ismert legjobb alsó korlát Erdős 1946-os rácskonstrukciója volt, ami azon alapult, hogy a Pitagorasz-tétel miatt a négyzetrácsban sok \(\sqrt\ell\) hosszúságú szakasz fordul elő, ha \(\ell\) sokféleképpen írható fel két négyzetszám összegeként, vagyis \(\ell=x^2+y^2\) alakban. Ilyen \(\ell\)-et Fermat kétnégyzetszám-tétele segítségével tudunk találni, miszerint minden \(4k+1\) alakú prímszám felírható két négyzetszám összegeként, és ha sok ilyen prímet szorzunk össze, akkor minden prímtényező kétszerezi az opciókat az \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\] azonosság miatt. Például \(65=5\cdot 13\) esetén \[65=(1^2+2^2)(2^2+3^2)=(2-6)^2+(3+4)^2=(2+6)^2+(3-4)^2\] miatt \(65=4^2+7^2=8^2+1^2\). Hasonlóan kaphatjuk, hogy \[1105=5\cdot 13\cdot 17=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2=23^2+24^2.\] Az, hogy ezek a választások valóban mindig különböző felírásokat adnak, a Gauss-egészek faktorizációjának egyértelműségéből következik. A Pitagorasz-tétel miatt a sok négyzetösszegre bontási lehetőség sok különböző rácsvektort ad ugyanazzal a hosszal, és innen a többi már csak számolás, a prímek számára vonatkozó számelméleti eredményeket használva. Az egész konfigurációt \(1/\sqrt{\ell}\) szorzóval lekicsinyítve ezekből egységtávolságok lesznek, így Erdős megmutatta, hogy \(\nu(n)\ge n^{1+c/\log\log n}\) egy alkalmas pozitív \(c\) konstansra. Erdős és mások is azt sejtették, hogy ez a helyes nagyságrend [17].

A fenti érvelésből látszik, hogy a kérdés nagyon érzékeny arra, hogy hogyan mérjük a távolságot. Ha a sík vagy a magasabb dimenziós tér euklideszi normája helyett egy általános normát veszünk, akkor a tipikus viselkedés egészen más. Alon, Bucić és Sauermann [3] nemrég megmutatták, hogy egy tipikus \(\mathbb R^d\)-beli normában legfeljebb \(\frac12 d\,n\log_2 n\) egységtávolság lehet, és ez lényegében éles is: minden normára van olyan konstrukció, ami nagyjából egy hiperkocka beágyazásának felel meg. Ez jól mutatja, hogy az euklideszi norma különleges merevsége és rejtett algebrai szerkezete mennyire fontos. Euklideszi normánál \(d=3\) dimenzióban \(n^{4/3}\)-nál is több egységtávolság lehet a kétdimenziós esethez hasonló számelméleti érvelés szerint [11], a jelenlegi legjobb ismert felső korlát pedig \(O(n^{295/197+\varepsilon})\) [28]. Sőt, \(d\ge 4\) dimenziótól már négyzetes számú egységtávolság is elérhető: vehetünk két egymásra merőleges síkot, bennük egy-egy közös középpontú kört olyan sugarakkal, hogy a sugarak négyzetösszege \(1\) legyen; ekkor az egyik kör bármely pontja a másik kör bármely pontjától egységnyi távolságra van.

Az új eredmény. Az OpenAI modellje Erdős \(\nu(n)\le n^{1+C/\log\log n}\) sejtését cáfolta meg azzal, hogy bebizonyította, hogy \(\nu(n)\ge n^{1+\delta}\) valamilyen rögzített \(\delta>0\) mellett, végtelen sok \(n\)-re; ezt tartalmazza az AI által írt Planar Point Sets with Many Unit Distances⁴ című kézirat. Vagyis az alsó korlát kitevője nem lassan tart \(1\)-hez, hanem egy fix pozitív darabbal fölötte marad. Az új alsó korlátban szereplő \(\delta\) eredetileg nem volt igazán explicit, de az azzal nagyjából egy időben megjelenő, az eredeti bizonyítást is ellenőrző Sawin cikke [20] már konkrét \(\delta\ge 0{,}014\) becslést ad, pontosabban megmutatja, hogy tetszőlegesen nagy \(n\)-ekre létezik \(n\) pontú síkbeli halmaz több mint \(n^{1{,}014}\) egységtávolsággal. Ez nem tartalmaz új típusú konstrukciót, csak az OpenAI modelljének bizonyítását finomítja. Azóta sokan kezdtek el további javításokon dolgozni, a jelenlegi legjobb (nem ellenőrzött) alsó korlát \(\delta\ge 0{,}03583\).⁵

A kézirat közli az eredeti, AI-nak adott promptot is:

Legyen \(P\subset\mathbb R^2\) véges halmaz, amely különböző pontokból áll. Legyen \[\nu(P)=\#\left\{\{p,q\}\in {P\choose 2}:\|p-q\|_2=1\right\},\] és minden \(n\ge 1\) egészre legyen \(\nu(n)=\max_{\substack{P\subset\mathbb R^2\\ |P|=n}}\nu(P).\)

Oldd meg teljesen Erdős síkbeli egységtávolság-problémáját: igaz-e, hogy \(\nu(n)\le n^{1+O(1/\log\log n)}\), ha \(n\to\infty?\) Ekvivalensen: döntsd el, léteznek-e abszolút \(C>0\) és \(N\in\mathbb N\) állandók úgy, hogy \(\nu(n)\le n^{1+C/\log\log n}\) minden \(n\ge N\) egészre. Itt \(\log\) a természetes logaritmust jelöli, és \(N\) vehető elég nagynak ahhoz, hogy \(\log\log n>0\) legyen. Az \(O(1/\log\log n)\) jelölésben rejlő állandó abszolút, és független \(P\)-től és \(n\)-től.

A teljes megoldásnak pontosan az alábbi kettő közül az egyiket kell bizonyítania.

Pozitív megoldás. Bizonyítsd be, hogy léteznek abszolút \(C>0\) és \(N\in\mathbb N\) állandók úgy, hogy minden \(n\ge N\) különböző pontból álló \(P\subset\mathbb R^2\) halmazra \(\nu(P)\le n^{1+C/\log\log n}.\)

Negatív megoldás. Bizonyítsd be, hogy ilyen állandók nem léteznek. Ekvivalensen: bizonyítsd be, hogy minden \(C>0\) és minden \(N\in\mathbb N\) esetén létezik \(n\ge N\) egész és \(n\) különböző pontból álló \(P\subset\mathbb R^2\) halmaz úgy, hogy \(\nu(P)>n^{1+C/\log\log n}.\)

A párok rendezetlenek, a távolság a szokásos euklideszi távolság \(\mathbb R^2\)-ben, és az aszimptotikus állítás minden elég nagy egész \(n\)-re vonatkozik, nem csupán végtelen sok \(n\)-re.

Részleges előrehaladás nem számít, hacsak nem implikálja a fenti két megoldás egyikét. Konkrétan: javított korlátok, például \(O(n^{4/3-\varepsilon})\), jobb konstansok az \(n^{4/3}\)-os korlátban, véges ellenőrzések, speciális esetek, strukturális redukciók vagy heurisztikus bizonyítékok nem elegendők, hacsak nem bizonyítják a teljes Erdős-korlátot vagy nem cáfolják meg azt.

A konstrukció Erdős eredeti, számelméleti ötletét viszi sokkal tovább, Gauss-egészek helyett bonyolultabb számtestek és algebrai fogalmak jelennek meg. Ez elsőre meglepőnek tűnhet, de valójában a kombinatorikus geometriában gyakran használnak ilyen típusú kapcsolatokat: Elekes György fontos úttörője volt az algebrai módszerek kombinatorikus geometriai alkalmazásainak, az 1946-os Erdős cikk másik híres kérdését, a különböző távolságok problémáját, az általa Sharirral közösen felvázolt programmal [8] oldotta meg Guth és Katz 2011-ben [15]. Solymosi József és Pach János munkáiban is sokszor megjelenik az additív kombinatorika és az incidenciageometria közötti kapcsolat [19, 21, 23], legfrissebb közös munkájuk [18] éppen a \(\nu(n)\) felső korlátját próbálja merevségi módszerekkel javítani. Különböző testbővítéseket is sokszor használnak egységtávolságok vizsgálatánál, hogy melyik bővítésben milyen irányú egységszakaszok jöhetnek elő. Schwartz, Solymosi és de Zeeuw például azt mutatták meg, hogy ha csak racionális szögű egységszakaszokat engedünk meg, akkor az Erdős-féle majdnem lineáris felső korlát valóban teljesül [22].

Az OpenAI konstrukciójának lényege, hogy nem egyetlen síkbeli rácsban keres sok azonos hosszúságú vektort, hanem növekvő fokú ún. CM-számtestek egészgyűrűit ágyazza be egyszerre az összes komplex beágyazásba. Sok olyan algebrai számot talál, amelyek minden beágyazásban \(1\) abszolút értékűek, és közben a nevezőjük sem száll el. Ez három korábbi eredményre támaszkodik, melyeket a ChatGPT-m így foglal össze: Ellenberg és Venkatesh [9] osztálycsoport-torzióról szóló cikkében a kis, teljesen felbomló prímek és a skatulyaelv együtt adnak kis arkhimédészi méretű elemeket a számtestben. Golod és Shafarevich [14] azt mutatta meg, hogy alkalmas számtesteknek végtelen osztálytesttornya lehet; ez itt azért fontos, mert így a fok nőhet, miközben a gyökdiszkrimináns kontroll alatt marad. Hajir, Maire és Ramakrishna [16] ,,toronyvágó” módszere pedig olyan végtelen tornyokat is előállít, amelyekben előírt prímek teljesen felbomlanak. Míg Erdős eredeti érvelésében a rácsban sok azonos hosszúságú szakaszt talál a rácspontok között, az új bizonyításban ezek a szakaszok már nem a szokásos egész rácsban élnek, hanem egy számtest sok beágyazásából kapott nagy dimenziós rácsban. A számelmélet feladata az, hogy elég sok olyan szakaszt adjon, amelyek egyszerre viselkednek jól minden koordinátában, a geometria feladata pedig az, hogy ezekből végül a komplex síkban sok valódi egységtávolság maradjon.

A bejelentéshez tartozik még egy híres matematikusok által írt kísérőcikk [2] is. Ez a fő eredmény rövid összefoglalása után a matematikusok személyes véleményét is tartalmazza az áttörésről, például Tim Gowers szerint ,,ez egy fontos mérföldkő a mesterséges intelligenciának, és ha emberi szerző küldte volna be a cikket az Annals of Mathematicsba, habozás nélkül elfogadásra javasolnám.” Az általam megkérdezett szakértők közül Solymosi József azt írta, hogy ,,többen is próbáltunk ellenpéldát konstruálni, ilyen szemszögből nem meglepő [az új eredmény]. Az AI-t kiváló matematikusok képezték ki, hogy keressen és találjon megoldásokat. Az eredmény fantasztikus, engem a megoldás mélysége lepett meg leginkább.” Pach János véleménye pedig az, hogy ,,Erdős Pált az olthatatlan kíváncsiság hajtotta. Ha élne, kitörő lelkesedéssel fogadná ezt a meglepő, új eredményt, amely egyik kedvenc problémájával kapcsolatos.”

Szintén nyilvánosságra hozta az OpenAI az átírt chain of thought⁶, röviden CoT fájlt. Talán ez a legszokatlanabb szöveg: olyan, mintha egy kutató agyába látnánk bele, talán leginkább a szépirodalomból ismert tudatfolyam (stream of consciousness) hasonlítható hozzá, amelyre a leghíresebb példa James Joyce Ulyssesének némely fejezete. Különösen feltűnő benne, mennyire szkeptikus a saját ötleteivel szemben a mesterséges intelligencia: a szöveg újra meg újra ellenőrzi, hogy egy-egy ígéretes ötlete nem mond-e ellent ismert eredményeknek (ezeket ,,sanity check”-nek hívja). Például a 125 oldalas szöveg 89. oldalán oldja meg a sejtést, de utána még több mint 30 oldalon keresztül újra végiggondolja a részleteket a biztonság kedvéért. Érdemes azért is beleolvasni, mert olyan kifejezéseket használ, amiket nagyon emberinek tartunk, például egy korábbi, gyengébb alsó korlátjáról azt írja saját magának, hogy ,,aranyos (angolul: cute), de sokkal gyengébb, mint a rácsos alsó korlát.”

Nyitott kérdések. Habár az eredeti Erdős-sejtést megcáfolta az OpenAI, még rengeteg kérdés maradt. Például meglepő módon azt nem sikerült bizonyítani, hogy létezik olyan \(\delta>0\), melyre minden elég nagy \(n\)-re teljesül, hogy \(\nu(n)\ge n^{1+\delta}\). Minden bizonnyal azért ezt nemsokára be fogják látni, de akkor is marad a pontos kitevő meghatározása; vajon a felső \(O(n^{4/3})\)-os korlát javítható?

Korábban említettük már a szintén megoldatlan \(3\)-dimenziós esetet, és természetesen más helyzetet is megkövetelhetünk a pontoktól. Például ha a pontok konvex helyzetben vannak, Edelsbrunner és Hajnal [7] konstrukciója \(2n-7\) egységtávolságot ad, de felülről csak \(O(n\log n)\) ismert, amelyet elsőként Füredi bizonyított [13].

Ha a pontoknak egy \(\mathbb S^2\) gömb felszínén kell lenniük, akkor Leo Moser azt sejtette, hogy csak lineárisan sok egységtávolság léphet fel köztük, ezt azonban Erdős, Hickerson és Pach egy frappáns konstrukcióval megcáfolták [12]. Vajon itt is el lehet érni \(n^{1+\delta}\) élt minden elég nagy sugarú gömbre? A jelenlegi legjobb ismert alsó korlát nagyságrendje csak \(n\sqrt{\log n}\) [25].

Szintén továbbra is nyitott, hogy legfeljebb mekkora lehet egy egységtávolsággráf kromatikus száma, erről annyit tudunk, hogy \(5\) és \(7\) között van. Az alsó korlát de Grey 2018-as eredménye [6], amelyről az Érintőben is olvashattunk: A sík kromatikus száma. Mi történt az elmúlt pár hónapban és mi történhet még?

Végül nagyon rokon téma az 1-távolságot kerülő mérhető halmazok kérdése is: mekkora lehet egy olyan síkbeli halmaz sűrűsége, amely nem tartalmaz két pontot egymástól pontosan \(1\) távolságra? Itt a válasz nagyjából \(0{,}22936\) [5] és \(0{,}2470\) [4] között van, erről is olvashattunk az Érintőben: Az Erdős–Moser-sejtés bizonyítása.

Zárás helyett. A matematika sokáig különleges tudomány volt abból a szempontból, hogy kevés műszer kellett hozzá. Persze a jó iskola/tanár/könyv és valamennyire a kapcsolatok is számítottak, de mégis megvolt az az érzésünk, hogy végső soron mindenki ugyanazzal a ceruzával ül az asztalnál.⁷ Most ez a kommunista utópia, ami a természettudományok közül a matematikában valósult leginkább meg, úgy tűnik véget ért. A helyzet kicsit olyan, mint amikor egy évszázadok óta halászatból élő falu mellett megjelenik egy ipari halászhajó. Továbbra is lehet próbálkozni halászattal, de a legtöbb halat a hajó fogja kifogni. Akár még az is lehet, hogy a hajó megosztja a fogást a faluval, de mit fognak ezentúl csinálni azok, akik egész életükben halászok voltak? Ahogy Székely László fogalmazott: ,,Azok az országok, ahol csak gyengébb AI-hoz férnek hozzá, végletes lemaradásba fognak kerülni, és nemcsak a tudományban.” Az AI óriási nagy üzlet lesz és a híres Erdős-sejtések megoldása remek reklám a cégeknek, nem véletlen, hogy az OpenAI bejelentését követően pár napon belül a Google csapata is kiadott egy cikket, melyben több (kevésbé fontosnak tartott) Erdős-problémát oldott meg a modelljük [27], az Anthropic által fejlesztett Mythos pedig állítólag szintén megcáfolta az egységtávolságokra vonatkozó Erdős-sejtést egy hasonló módszerrel, valamivel gyengébb alsó korláttal.⁸ Az biztos, hogy a matematikakutatás szerkezete alapvetően átalakul és egy új korszak kezdődik, de erre a témára egy másik cikkben kéne visszatérni.

Pálvölgyi Dömötör
ELTE TTK Kombinatorikus Geometria Kutatócsoport,
HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet

Hivatkozások

[1] B. Alexeev, D. G. Mixon, H. Parshall: The Erdős unit distance problem for small point sets. https://arxiv.org/abs/2412.11914

[2] N. Alon, T. F. Bloom, W. T. Gowers, D. Litt, W. Sawin, A. Shankar, J. Tsimerman, V. Wang, M. M. Wood: Remarks on the disproof of the unit distance conjecture. https://arxiv.org/abs/2605.20695

[3] N. Alon, M. Bucić, L. Sauermann: Unit and distinct distances in typical norms, Geometric and Functional Analysis 35 (2025), 1–42. https://arxiv.org/abs/2302.09058

[4] G. Ambrus, A. Csiszárik, M. Matolcsi, D. Varga, P. Zsámboki: The density of planar sets avoiding unit distances, Mathematical Programming 207 (2024), 303–327. https://arxiv.org/abs/2207.14179

[5] H. T. Croft: Incidence incidents, Eureka 30 (1967), 22–26.

[6] A. D. N. J. de Grey: The chromatic number of the plane is at least 5, Geombinatorics 28 (2018), no. 1, 18–31. https://arxiv.org/abs/1804.02385

[7] H. Edelsbrunner, P. Hajnal: A lower bound on the number of unit distances between the vertices of a convex polygon, Journal of Combinatorial Theory, Series A 56 (1991), no. 2, 312–316.

[8] Gy. Elekes and M. Sharir: Incidences in three dimensions and distinct distances in the plane, Combinatorics, Probability and Computing 20 (2011), 571–608. https://arxiv.org/abs/1005.0982

[9] J. S. Ellenberg, A. Venkatesh: Reflection principles and bounds for class group torsion, International Mathematics Research Notices 2007 (2007), rnm002, 18 pp.

[10] P. Erdős: On sets of distances of \(n\) points, American Mathematical Monthly 53 (1946), no. 5, 248–250.

[11] P. Erdős: On sets of distances of \(n\) points in Euclidean space, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. 5 (1960), 165–169.

[12] P. Erdős, D. Hickerson, J. Pach: A problem of Leo Moser about repeated distances on the sphere, American Mathematical Monthly 96 (1989), no. 7, 569–575.

[13] Z. Füredi: The maximum number of unit distances in a convex \(n\)-gon, Journal of Combinatorial Theory, Series A 55 (1990), no. 2, 316–320.

[14] E. S. Golod, I. R. Shafarevich: On the class field tower, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964), 261–272 (oroszul); angol fordítás: Amer. Math. Soc. Transl. (2) 48 (1965), 91–102.

[15] L. Guth, N. H. Katz: On the Erdős distinct distances problem in the plane, Annals of Mathematics 181 (2015), 155–190. https://arxiv.org/abs/1011.4105

[16] F. Hajir, C. Maire, R. Ramakrishna: Cutting towers of number fields, Annales Mathématiques du Québec 45 (2021), 321–345. https://arxiv.org/abs/1901.04354

[17] J. Pach: Finite point configurations, in J. E. Goodman, J. O’Rourke, Cs. D. Tóth, szerk.: Handbook of Discrete and Computational Geometry, 3rd ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 2017, Chapter 1. https://www.csun.edu/~ctoth/Handbook/chap1.pdf

[18] J. Pach, O. E. Raz, J. Solymosi: Erdős’s unit distance problem and rigidity. https://arxiv.org/abs/2507.15679

[19] J. Pach, M. Sharir: On the number of incidences between points and curves, Combinatorics, Probability and Computing 7 (1998), no. 1, 121–127.

[20] W. Sawin: An explicit lower bound for the unit distance problem. https://arxiv.org/abs/2605.20579

[21] J. Solymosi: Bounding multiplicative energy by the sumset, Advances in Mathematics 222 (2009), no. 1, 402–408. https://arxiv.org/abs/0806.1040

[22] R. Schwartz, J. Solymosi, F. de Zeeuw: Rational distances with rational angles, Mathematika 58 (2012), no. 1, 181–197. https://arxiv.org/abs/1008.3671

[23] J. Solymosi, T. Tao: An incidence theorem in higher dimensions, Discrete & Computational Geometry 48 (2012), no. 2, 255–280. https://arxiv.org/abs/1103.2926

[24] J. H. Spencer, E. Szemerédi, W. T. Trotter: Unit distances in the Euclidean plane, in: B. Bollobás (ed.), Graph Theory and Combinatorics, Academic Press, London, 1984, 293–303. Proceedings of the Cambridge Conference, 1983.

[25] K. Swanepoel, P. Valtr: The unit distance problem on spheres, Discrete & Computational Geometry 32 (2004), no. 4, 473–491.

[26] L. A. Székely: Crossing numbers and hard Erdős problems in discrete geometry, Combinatorics, Probability and Computing 6 (1997), no. 3, 353–358.

[27] G. Tsoukalas, A. Kovsharov, S. Shirobokov, A. Surina, M. Firsching, G. Bérczi, F. J. R. Ruiz, A. Suggala, A. Z. Wagner, E. Wieser, L. Yu, A. Huang, M. Z. Horváth, A. Ferrauiolo, H. Michalewski, C. Grosu, T. Hubert, M. Balog, P. Kohli, S. Chaudhuri: Advancing Mathematics Research with AI-Driven Formal Proof Search. https://arxiv.org/abs/2605.22763

[28] J. Zahl: Breaking the \(3/2\) barrier for unit distances in three dimensions, International Mathematics Research Notices 2019 (2019), no. 20, 6235–6284. https://arxiv.org/abs/1706.05118

Lábjegyzetek