Egyenletrendszerek megoldásai, így áttételesen az algebrai varietások vizsgálata a matematika egyik legrégebbi problémája. A számelmélet sok alapvető kérdése nyilvánvaló módon átfogalmazható egy \( X\) algebrai varietás racionális pontjainak létezésére vonatkozó kérdéssé. Például, az előző lapszámban Tóth Árpád cikkében taglalt, A. Wiles által 1994-ben belátott nagy Fermat-sejtés azzal ekvivalens, hogy az \[\displaystyle x^n+y^n – z^n=0, \quad n \geq 3\] egyenlet által meghatározott görbének nincs nem-triviális (az \( x=z, y=0\) és \( y=z, x=0\) triviális megoldásoktól különböző) megoldása \( \mathbf{Q}\) felett; ennek köze van az e lapszámban részletesen vizsgált \[\displaystyle y^2 – x^3 -Ax -B=0\] egyenletű elliptikus görbék tulajdonságaihoz. Az együtthatók legkisebb közös többszörösével beszorozva látható, hogy minden \( \mathbf{Q}\)-együtthatós egyenletrendszer ekvivalens egy \( \mathbf{Z}\)-együtthatóssal. Amennyiben az egyenletrendszer homogén polinomokból áll (azaz minden tag össz-fokszáma megegyezik, mint pl. a Fermat-egyenletben), akkor az így kapott varietás projektív lesz: mivel ekkor minden \( (x, y, z)\) megoldás és minden \(0\)-tól különböző \( t\) testbeli elemre \( (tx, ty, tz)\) is nyilván megoldás, ezért a „lényegesen” különböző (tehát, nem csak egy megoldáshármas minden elemét ugyanazzal az állandóval megszorozva kapott) megoldásokat úgy nyerjük, hogy a teljes megoldás-halmazt a \( \mathbf{Q}^*\) multiplikatív csoporttal leosztjuk. Az így kapott megoldáshalmaz esetünkben a \[\displaystyle \mathbf{Q}P^2=(\mathbf{Q}^3 \setminus \vec{0}) / \mathbf{Q}^*\] racionális projektív sík részhalmaza. Hasonló érvelés bármely változószámú, csupa homogén polinomból álló rendszerre is érvényes, azzal a különbséggel hogy a megoldás-halmaz esetleg valamely \( 2\)-től eltérő dimenziós projektív tér része. Amennyiben az egyenleteink nem homogének, akkor egy egyszerű eljárással azzá tehetők: bevezetünk egy új változót, és minden monomot megszorzunk az új változó valamely hatványával. Az elliptikus görbe esetében például \( z\)-vel jelölve az új változót ennek eredménye az \[\displaystyle y^2 z – x^3 -Ax z^2 -B z^3=0\] egyenlet. Természetesen, ezt az új változó lehető legalacsonyabb hatványaival hajtjuk végre.
Adott egész-együtthatós egyenletrendszer esetén bármely \( q\) prímhatványra redukcióval származtathatunk egy \( \mathbf{F}_q\)-együtthatós egyenletrendszert, ahol \( \mathbf{F}_q\) a \( q\)-elemű véges testet jelöli. Szintén érdekes kérdés az így nyert algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága egyre bővebb véges testekben: az úgynevezett Hasse-elv értelmében ilyen (és valós) megoldások bizonyos rendszereiből ugyanis néha konstruálható egész értékű megoldás. Az egyenletrendszert ismét tekinthetjük egy \( X\) algebrai varietás definiáló egyenleteinek \( \mathbf{F}_q\) felett. A véges testek feletti eset előnye, hogy a megoldás létezésén túl azok számát is vizsgálhatjuk, azaz bevezethetünk egy \[\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q^n}) \vert\] leszámláló-függvényt, ahol \( X (\mathbf{F}_{q^n})\) az \( X\) definiáló egyenleteinek \( \mathbf{F}_{q^n}\) feletti megoldás-halmazát jelöli.
Egy \( \mathbf{Q}\) feletti \( X\) algebrai varietáshoz természetes és egyértelmű módon társítható egy komplex algebrai varietás is: az azt megadó egyenletrendszer komplex test feletti megoldásainak halmaza. Egy sima komplex algebrai varietáson viszont többek között természetes módon adott egy \( X_{\mathbf{C}}\) komplex analitikus sokaság-struktúra is: ez azt jelenti, hogy minden pontjának egy elegendően szűk környezetében bevezethetők a megszokott \( d\)-dimenziós komplex vektortéréhez hasonló \( z_1, \ldots , z_d\) koordináták. Amennyiben \( X_{\mathbf{C}}\) teljesít egy topologikus feltételt (az összefüggőséget), akkor az itt szereplő \( d\) érték független a tekintett ponttól, és \( X\) dimenziójának nevezzük. Ha pedig \( X\) projektív, akkor a kapott \( X_{\mathbf{C}}\) kompakt. A továbbiakban \( X\)-ről feltesszük, hogy sima és projektív.
A fentiek alapján vizsgálhatjuk az \( X\)-hez rendelt \( X_{\mathbf{C}}\) komplex analitikus sokaságon az ilyen sokaságokhoz rendelt algebrai invariánsokat. Az egyik ilyen invariáns-fajta az úgynevezett komplex együtthatós de Rham kohomológia-csoportok, amelyek valójában véges dimenziós komplex vektorterek. Konkrétan, minden \( X\) komplex \( d\)-dimenziós sokasághoz és \( k \in \{ 0, \ldots , 2d \}\) számhoz tartozik egy \( H_{dR}^k(X, \mathbf{C})\) véges dimenziós komplex vektortér. A de Rham-kohomológia értelmezéséhez szükség van az úgynevezett komplex-értékű \( k\)-adfokú differenciál-forma fogalmára. Lokális komplex analitikus koordinátákban egy \( k\)-forma egy
| \(\displaystyle \alpha=\sum_{\vec{n}, \vec{m}} f_{\vec{n}, \vec{m}} (z_1, \ldots , z_d)\) | \((1)\) |
alakú kifejezés valamely sima \( f_{\vec{n}, \vec{m}}\) komplex-értékű függvényekre, ahol az összegzés az összes lehetséges
| \(\displaystyle k=p+q\) | \((2)\) |
felbontásra1, és \[\displaystyle \begin{aligned} \vec{n}&=(n_1, \ldots , n_p),\\ \vec{m}&=(m_1, \ldots, m_q), \end{aligned}\qquad\qquad\begin{aligned} 0 < n_1 <&\dots < n_p < d\\ 0 < m_1 <& \dots < m_q < d \end{aligned}\] vektorokra fut. Rögzített \( (p,q)\) pár esetén a megfelelő \( \alpha\) formát tiszta \( (p,q)\)-típusúnak nevezzük; komplex analitikus sokaságon egy \( k\)-forma \( (p,q)\)-típusú része jól meghatározott (azaz, a lokális koordinátarendszer választásától független). Az \( X_{\mathbf{C}}\)-n értelmezett \( k\)-formák vektorterét \( \Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\)-val, a tiszta \( (p,q)\)-típusú formák vektorterét pedig \( \Omega^{p,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\)-val jelöljük. Minden, a (2) egyenletet teljesítő rögzített \( (p,q,k)\) számhármas esetén természetesen adódik tehát egy \[\displaystyle\begin{aligned} \pi_{p,q}\colon\Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})&\to\Omega^{p,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\\ \alpha&\mapsto\sum_{\vert\vec{n}\vert=p, \vert\vec{m}\vert=q} f_{\vec{n}, \vec{m}} (z_1, \ldots, z_d)\mathrm{d} z_{n_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} z_{n_p} \wedge \mathrm{d}\bar{z}_{m_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}\bar{z}_{m_q} \end{aligned} \] projektor, ahol \( \alpha\) lokálisan (1) által adott, és a fenti összegzés az összes rögzített \( p\) hosszúságú \( \vec{n}\) vektorra fut. A \( \pi_{p,q}\) leképezés globális jól-definiáltsága a komplex sokaság-struktúrából következik.
Mivel minden komplex analitikus sokaság egyúttal valós analitikus sokaság is, emiatt értelmezhető a differenciál-formákon egy természetes elsőrendű lineáris differenciál-operátor, a külső deriválás. Bizonyos értelemben a külső deriválás analóg a szemléletes geometriai perem-fogalmunkkal: ahogyan egy \( k\)-dimenziós szimpliciális komplexus pereme egy \( (k-1)\)-dimenziós szimpliciális komplexus, éppúgy egy \( \alpha \in \Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\) differenciál-forma külső deriváltja egy \( (k+1)\)-edfokú \(\mathrm{d}\alpha \in \Omega^{k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\) differenciál-forma. Vagyis, minden \( k\)-ra adódik \[\displaystyle \mathrm{d}\colon \Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}) \to \Omega^{k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}).\]
Egy komplex sokaság esetében ennek az operátornak a konkrét alakját a linearitás miatt elegendő (1) egy tagjára megadni: \[\displaystyle\mathrm{d}(f_{\vec{n}, \vec{m}} (z_1, \ldots , z_d)\text{d}z_{n_1} \wedge \dots \wedge\mathrm{d}z_{n_p} \wedge \mathrm{d}\bar{z}_{m_1} \wedge \dots \wedge\mathrm{d}\bar{z}_{m_q})\] \[\displaystyle =\sum_{s=1}^d \left(\dfrac{\partial f_{\vec{n},\vec{m}}}{\partial z_s}\mathrm{d}z_s+\dfrac{\partial f_{\vec{n},\vec{m}}}{\partial\bar{z}_s}\right) \wedge\mathrm{d} z_{n_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} \bar{z}_{m_q}.\]
Az itt szereplő differenciálások a szokásos \( z=x+i y\) valós-képzetes felbontásban a \[\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}+i\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\]
Cauchy–Riemann operátor, valamint annak konjugáltja: \[\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac12 \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} – i \dfrac{\partial f}{\partial y} \right).\]
Ahhoz, hogy a külső deriváltban kapott \(\mathrm{d} z_s\) és \(\mathrm{d}\bar{z}_s\) formákkal bővített rendszert újra növekvő sorrendbe rendezhessük, a következő relációkat használhatjuk: \[\displaystyle\begin{aligned} \mathrm{d}z_s \wedge\mathrm{d}z_r&=-\mathrm{d}z_r \wedge\mathrm{d}z_s\\ \mathrm{d}\bar{z}_s \wedge\mathrm{d}z_r&=-\mathrm{d}z_r \wedge\mathrm{d}\bar{z}_s\\ \mathrm{d}\bar{z}_s \wedge$\mathrm{d}\bar{z}_r&=-\mathrm{d}\bar{z}_r \wedge\mathrm{d}\bar{z}_s. \end{aligned}\]
Azt mondjuk, hogy \( \alpha\) zárt, ha \(\mathrm{d}\alpha=0\), és \( \alpha\) egzakt, ha \( \alpha=\mathrm{d}\beta\) valamely \( \beta \in \Omega^{k-1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\) formára. Kiderül, hogy minden egzakt forma zárt, ennek fordítottja azonban általában nem igaz. A \( k\)-adik de Rham-kohomológia csoport pontosan azt méri, hogy ez mennyire nem teljesül: a \( H_{dR}^k(X, \mathbf{C})\) vektorér definíció szerint a zárt \( k\)-formák vektortere leosztva az egzakt \( k\)-formák vektorterével.
Algebrailag az előbb bevezetett hányados minden további meggondolás nélkül értelmes, az azonban nem világos, hogy véges dimenziós-e. Ennek megvizsgálásához hasznos W. Hodge tétele, amely kimondja, hogy a fenti hányados izomorf egy bizonyos \( X\)-en adott másodrendű elliptikus lineáris parciális differenciál-egyenlet \( L^2\) megoldásterével. Az derül ki ugyanis, hogy ha \( X\) sima projektív, akkor az \( X_{\mathbf{C}}\) komplex analitikus sokaságra a projektív térről egy speciális tulajdonságokkal rendelkező, úgynevezett Kähler-metrika öröklődik. A Kähler-metrika segítségével bevezethetjük az úgynevezett \[\displaystyle \Delta_{\mathrm{d}}=\mathrm{d}^* \mathrm{d}+\mathrm{d} \mathrm{d}^*\]
Hodge–Laplace operátort a \( \Omega^k (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\) téren, ahol \(\mathrm{d}^*\)-vel \(\mathrm{d}\) adjungált operátorát jelöljük az \( L^2\) metrikára. A következő eredmény ma már klasszikusnak számít [5]:
(https://www.geni.com/people/Sir-W…Hodge)
1. Tétel (Hodge) Legyen \( X_{\mathbf{C}}\)-n adott egy Kähler metrika. Jelöljük \( \mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}})\)-vel a belőle származtatott Hodge–Laplace operátor \( L^2\) magját. Ekkor \[\displaystyle H_{dR}^k(X_{\mathbf{C}}, \mathbf{C}) \cong \mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}}).\]
A \( \mathcal{H}^k (X_{\mathbf{C}})\) elemeit \( X_{\mathbf{C}}\) feletti harmonikus \( k\)-formáknak nevezzük. A kompakt sokaságokon definiált elliptikus lineáris parciális differenciálegyenletek általános elmélete ekkor garantálja, hogy \( X_{\mathbf{C}}\) de Rham kohomológia-terei véges dimenziósak.
A külső deriválásnak minden komplex sokaságon van egy természetes felbontása \[\displaystyle\mathrm{d}=\partial+\bar{\partial}\] alakban, ahol minden \( \alpha \in \Omega^{p,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\) esetén \[\displaystyle\begin{aligned} \partial \alpha&=\pi_{p+1, q}(\mathrm{d}\alpha ) \in \Omega^{p+1,q} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\\ \bar{\partial} \alpha&=\pi_{p, q+1} (\mathrm{d}\alpha ) \in \Omega^{p,q+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}). \end{aligned}\]
Hasonlóan a Hodge–Laplace operátorhoz, bevezethetjük a \[\displaystyle \Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}^* \bar{\partial}+\bar{\partial} \bar{\partial}^*\]
Dolbeault–Laplace operátort. Könnyen látszik, hogy ez az operátor egy tiszta \( (p,q)\)-típusú formát ugyanilyen típusú formába képez. A Kähler-geometria alapvető azonossága ekkor azt mondja ki, hogy \[\displaystyle \Delta_{\mathrm{d}}=2 \Delta_{\bar{\partial}}.\]
Ebből és az előző észrevételből azonnal következik, hogy a harmonikus \( k\)-formák vektortere felbomlik típus szerint: \[\displaystyle \mathcal{H}^k (X)=\bigoplus_{p+q=k} \mathcal{H}^{p,q} (X),\] ahol \( \mathcal{H}^{p,q} (X)\) a tiszta \( (p,q)\)-típusú harmonikus formák tere. Továbbá, mivel \( \Delta_{\mbox{d}}\) könnyen láthatóan valós operátor (azaz, kommutál a komplex konjugálással), azért létezik egy \[\displaystyle \overline{\mathcal{H}^{p,q} (X)}=\mathcal{H}^{q,p} (X)\] izomorfizmus. A fenti fogalmak és eredmények részletesebb kifejtése megtalálható például a [4] tankönyv bevezető fejezetében.
Az előző paragrafusban nyert struktúrát tetszőleges \( V\) véges-dimenziós, komplex konjugálással ellátott komplex vektortéren értelmezhetjük: azt mondjuk, hogy \( V\)-n egy \[\displaystyle V=\bigoplus_{p+q=k} {H}^{p,q}\] direkt-összeg felbontás megad egy tiszta \( k\)-súlyú komplex Hodge-struktúrát, ha minden \( p,q\) párosra teljesül a következő feltétel: \[\displaystyle \overline{{H}^{p,q}}={H}^{q,p}.\]
Ezzel a terminológiával élve tehát Hodge tétele azt mondja ki, hogy a \( H_{dR}^k(X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\) de Rham kohomológia-téren létezik egy természetes tiszta \( k\) súlyú Hodge-struktúra.
Kanyarodjunk vissza a kiinduló-pontunkhoz: a véges testek feletti algebrai varietások racionális pontjainak kérdéséhez, amelyről 1949-ben A. Weil négy mély tulajdonságot sejtett meg. A Weil-sejtések teljes bizonyítása P. Deligne nevéhez fűződik [1], amely eredményéért 1978-ban Fields-éremmel jutalmazták. Magukat a sejtéseket itt teljes részletességgel nem közöljük, csupán egy azokból következő, első látásra talán meglepő összefüggést egy \( X\) algebrai varietás leszámláló-függvénye és az \( X\)-hez rendelt \( X_{\mathbf{C}}\) komplex analitikus sokaság de Rham kohomológia-tereinek dimenziói között.
2. Tétel (Deligne) Legyen \( X\) egy sima projektív algebrai varietás \( \mathbf{Q}\) felett. Tegyük fel, hogy véges sok prím \( q\) hatványaitól eltekintve \( X\) leszámláló–függvénye polinom alakú: \[\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q}) \vert=b_d q^d+b_{d-1} q^{d-1}+\dots+b_0\] valamely (\( q\)-tól független) \( b_0, \ldots, b_d\) együtthatókra2. Ekkor, minden \( k \in \{ 0, \ldots, d \}\) esetén \[\displaystyle b_k=\dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2k} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})\] és minden \( k \in \{ 0, \ldots, d-1 \}\) esetén \[\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2k+1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=0.\]
A tétel feltétele erősnek tűnhet, ám kiderül hogy az így is lefed számos érdekes esetet. Lássunk ezek közül egyet!
Példa Legyen \( X\) a Fermat-görbe az \( n=2\) esetben, amelynek egyenlete könnyen láthatóan \[\displaystyle x^2=(z-y) (z+y)\] alakra hozható. Tegyük fel, hogy \( q \neq 2\). Mivel a megoldásokat átskálázás erejéig azonosnak tekintjük, különböztessük meg az \( x \neq 0\) és \( x=0\) eseteket. Az első esetben elérhetjük, hogy \( x=1\) legyen, és bevezethetjük az \( u=z-y, v=z+y\) új koordinátákat. Ekkor minden rögzített \( u \neq 0\) érték esetén \( v=u^{-1}\) már egyértelműen meghatározott. Mivel \( q \neq 2\), azért \( u\) és \( v\) pedig meghatározzák \( y\) és \( z\) értékét: \[\displaystyle y=2^{-1} (v – u), \quad z=2^{-1} (v+u).\]
Látjuk tehát, hogy a \( \mathbf{F}_{q}P^2\) projektív síkon \( q-1\) ilyen megoldás van: minden \( u \in \mathbf{F}_{q} \setminus \{ 0 \}\) esetén \( [2:u^{-1} – u: u^{-1}+u]\). Másrészről, amennyiben \( x=0\) akkor sem \( y\) sem \( z\) nem lehet \(0\), így átskálázással elérhetjük hogy \( y=1\) legyen. Ekkor azonban \( z=\pm 1\), amely a \( q \neq 2\) esetben két egymástól különböző megoldást ad. Összeadva a különböző megoldások számát tehát megkapjuk a leszámláló–függvényt: \[\displaystyle \vert X (\mathbf{F}_{q})\vert=q+1.\]
Mivel ez polinom, ezért alkalmazható Deligne tétele, és azt kapjuk hogy \[\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{0} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=1=\dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{2} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}}),\] és \[\displaystyle \dim_{\mathbf{C}} H_{dR}^{1} (X_{\mathbf{C}}, {\mathbf{C}})=0.\]
Ellenőrizzük most le geometriailag a kapott eredményt! A Fermat-egyenlet \( n=2\) esete egy sima másodfokú görbét határoz meg a projektív síkon. Ismert elemi projektív geometriából, hogy a komplex számok felett bármely sima másodfokú görbe homeomorf egy két-dimenziós \( S^2\) gömbbel. Az \( S^2\) kohomológia-csoportjainak dimenziója bizonyos standard technikák alkalmazásával egyszerűen kiszámolható: a \(0\)-adik kohomológia-csoportját az állandó függvények alkotják, amelyek értelemszerűen \( 1\)-dimenziós vektorteret határoznak meg. A második kohomológia-csoportját bármely rögzített térfogati formájának többszörösei alkotják. Végül, azt hogy az első kohomológia-csoportja eltűnik, kicsit körülményesebb szabatosan belátni; következik például abból a szemléletesen (de matematikailag nem teljesen) nyilvánvaló észrevételből, hogy \( S^2\)-n minden hurok „pontra húzható”.
Deligne fenti tételének eredménye csak sima projektív varietásokra igaz. A tiszta Hodge-struktúra fogalmának létezik egy kiterjesztése, az úgynevezett kevert Hodge-struktúra, amelynek kidolgozása szintén Deligne érdeme [2], [3]. Bebizonyította többek között, hogy amennyiben \( X\) nem sima vagy nem projektív, akkor a de Rham-kohomológia terein kevert Hodge-struktúra értelmezhető. Ennek a kevert Hodge-struktúrának a segítségével pedig bevezethető egy \( E_X(x,y)\) kétváltozós polinom. N. Katz általánosította Deligne tételeinek fenti következményét [6]: bebizonyította, hogy ha egy \( X\) algebrai varietás leszámláló-függvénye valamely \( P_X\) polinom, akkor \(\displaystyle E_X(x,y)=P_X(xy)\).
Ezen további elméletek magyarázata azonban már túlmutat jelen cikkünk keretein.
Szabó Szilárd
BME Matematika Intézet, Geometria Tanszék
Irodalomjegyzék
[1] P. Deligne, La conjecture de Weil: I, Publ. Math. IHES, 43, 1974.
[2] P. Deligne, Théorie de Hodge. II, Publ. Math. IHES, 40, 1971.
[3] P. Deligne, Théorie de Hodge. III, Publ. Math. IHES, 44, 1974.
[4] P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, 1978.
[5] W. Hodge, The Theory and Application of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, New York, 1941.
[6] N. Katz, \( E\)-polynomials, zeta-equivalence and polynomial count varieties, függelék itt: T. Hausel, F. Rodriguez-Villegas, Mixed Hodge polynomials of character varieties, Invent. Math. 174, 2008.
Lábjegyzetek
1Remélhetőleg, az olvasó nem téveszti össze az itt bevezetett \( q\) számot a korábban szintén \( q\)-val jelölt prímhatvánnyal – mivel mindkét jelölés bevett az elméletben, a szerző nem kíván eltérni egyiktől sem.
2A tétel ennél gyengébb feltételek mellett is igaz, amelyek kimondása azonban itt túl technikai lenne.
