Az emberiséget hosszú idő óta elbűvölik a különféle szimmetriákat megjelenítő, ismétlődő motívumok. Bolyai János (1802–1860) magyar matematikus és hadmérnök 1823. évi felfedezése, a hiperbolikus geometria megszületése fordulópontot hozott a 19. század matematikájában. Ez a felfedezés sokkal gazdagabb mintázatokat tett lehetővé. Közülük néhányat a holland grafikus, Maurits Cornelis Escher (1898–1972) népszerűsített a híres Circle Limit (Körhatár) fametszet-sorozatában, amelyen a Poincaré-féle körmodellt csempézte ki periodikus mintákkal. A hiperbolikus sík körmodellje nevét Jules Henri Poincaréről (1854–1912) kapta. Számítógép segítségével nem nehéz escher-szerű képeket létrehozni. Szimmetriáról hagyományosan az euklideszi transzformációk – eltolás, forgatás, tükrözés – alkalmazásakor beszélünk. Szimmetria azonban olyan leképezések alkalmazása során is előáll, mint a Möbius-transzformációk, amelyekkel torzítás, nyújtás, csavarás valósítható meg. \(\mathbb{C}\)-vel jelölve a komplex számok halmazát, az \[\displaystyle a(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta},\qquad \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{C},\quad \alpha \delta – \beta \gamma \neq 0,\] alakú leképezést, ahol \(z\) a \(\mathbb{C} \cup \infty \) Riemann-gömb eleme, Möbius-transzformációnak nevezzük, August Ferdinand Möbius (1790–1868) emlékére. A Riemann-gömb Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) nevét őrzi. Az ilyen transzformációk az \(M=\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\) alakú mátrixokkal reprezentálhatók. Nem távolságtartók, de megőrzik a szögeket és a Riemann-gömb bármely körét a Riemann-gömb egy körére képezik le (lásd [1] Állítás 8.2, 34. o.). Továbbá előállnak a \(T_1(z)=z+b\), \(b \in \mathbb{C}\), eltolás, a \(T_2(z)=a z\), \(a \in \mathbb{C}\), origó körüli forgatva nyújtás és \(T_3(z)=\frac{1}{z}\) leképezések kompozíciójaként. A \(T_3(z)\) leképezés a \(z \mapsto \bar{z}\) komplex konjugáció, azaz a valós tengelyre való tükrözés és a \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) leképezés, azaz az origó középpontú egység sugarú körre vonatkozó inverzió kompozíciója. Az \(M\) mátrix nyoma \(\text{Tr}(M)=\alpha+\delta\). A Möbius-leképezéseket az őket leíró mátrix nyoma szerint a loxodromikus, az elliptikus és a parabolikus leképezések osztályába sorolhatjuk. A loxodromikus leképezéseknek két fixpontjuk van, amelyeket forrás és nyelő fixpontnak nevezzünk. Ilyen leképezések hatására a pontok spirális pályán futnak a leképezés forrás fixpontjából kiindulva a nyelő fixpont felé. Minden loxodromikus leképezés egy \(T(z)=k z\), \(\vert k\vert >1\) leképezés konjugáltja. A loxodromikus leképezéseket leíró mátrix nyoma egy \(\mathbb{C} \setminus[-2,2]\)-beli szám. Azokat a Möbius-transzformációkat, amelyeknek egyetlen fixpontjuk van, azaz a forrás és a nyelő fixpontjuk egybeesik, parabolikusnak nevezzük. Minden parabolikus leképezés egy \(T(z)=z+b\), \(b \in \mathbb{C}\), eltolás konjugáltja. A parabolikus leképezésekhez tartozó mátrix nyoma \(\pm 2\) (lásd [3] 3. fejezetében).
Ebben az írásban egy rövid ismertetést szeretnék adni egy olyan mintázatról, amely invariáns marad egy \(a(z)\)-vel jelölt loxodromikus és egy \(b(z)\)-vel jelölt parabolikus transzformáció által generált \(G=\langle a(z), b(z) \rangle \) csoport hatására nézve. A \(G\) csoportban az összes lehetséges transzformációt meg lehet adni egy „szóval”, ábécéként az \(a(z)\), \(b(z)\), \(a^{-1}(z)\), \(b^{-1}(z)\) betűket használva. Ezt nevezzük az \(a(z)\) és \(b(z)\) által generált Schottky-csoportnak, Friedrich Hermann Schottky (1851–1935) emlékére. Ha egy szóban az \(a(z)\) elem közvetlenül az inverze, \(a^{-1}(z)\), mellett szerepel, akkor a szó leegyszerűsíthető az \(a(z)\), \(a^{-1}(z)\) pár elhagyásával, és hasonlóan a \(b(z)\) és a \(b^{-1}(z)\) pár esetén. Így a \(G\) csoport szabad csoport (lásd [1] 23.3 Tétel, 92. o., és [3] 4. fejezetében).
Az 1. ábrán látható fekete csipkemotívum a \(G\) csoport „határpontjainak” a halmaza. Határpont alatt azokat a pontokat értjük, amelyeket megközelíthetünk, ha valamely más pontra alkalmazzuk \(G\)-beli leképezések egy végtelen sorozatát. Az euklideszi tapétázásoknak csak egy határpontja van. Escher Körhatár munkáinak határpontjai egy kört alkotnak (lásd [1] 50.o.). Az általunk vizsgált fenti mintázat határpontjainak halmaza végtelen sok körből és ezek torlódási pontjaiból áll (lásd 1. ábra).
Az \(a(z)\) és \(b(z)\) leképezések hatását a 2. ábra mutatja be, amelyen az 1. ábra egy véges részlete, egymást érintő körlapok láthatók. Az \(a(z)\) transzformáció az ibolya színű körlemezeket mozgatja balról jobbra, egyikről a következőre a piros nyilak irányába. Az \(a(z)\) transzformáció loxodromikus, a pontokat egy végtelen dupla spirálon mozgatja a forrás fixpontból a nyelő fixpont irányába.
A \(b(z)\) transzformáció, melynek hatására a mozgást a kék nyilak jelölik, a két világoskék körlemezt invariánsan hagyja. A \(b(z)\) leképezés egyetlen fixpontja a két kék kör érintési pontja. Így \(b(z)\) egy parabolikus leképezés, a pontokat a fixpontjából induló kör alakú pályákon mozgatja, azokon az óramutató járásával megegyező irányba haladva. A hozzá tartozó mátrix nyoma \(\pm 2\). Mátrixok nyomára vonatkozó azonosságok felhasználásával (lásd [3] 6. fejezetében) ez egy polinomiális összefüggést ad az \(a(z)\) és a \(b(z)\) generátorokra.
A 2. ábrán látható körháló komplementere négy fehér tartomány, ezeket a képen \(a\), \(A\), \(b\), \(B\) jelöli. Az \(a(z)\) leképezés az \(A\) tartományt határoló köröket mozgatja az \(a\) tartományt határoló körökbe, és hasonlóan mozgatja a \(b(z)\) transzformáció a \(B\) és a \(b\) tartományokat határoló köröket. Az \(a(z)\) leképezés a \(A\) tartomány külsejét az \(a\) tartomány belsejére képezi le és hasonlóan a \(b(z)\) leképezés az \(A\) tartomány külsejét az \(a\) tartomány belsejére képezi le. Az \(a(z)\) és a \(b(z)\) leképezéseket ismételve, egymásba ágyazott tartományok sorozatát kapjuk. Az egymásba ágyazott tartományok torlódási pontjai alkotják a Schottky-csoport határhalmazát.
A 3. ábrán a körlemezek közötti transzformációkat jelképező nyilak zárt hurkait látjuk. Követve a nyilakat, melyek az \(a(z) \circ b^{-1}(z) \circ a^{-1}(z) \circ b(z)\) leképezések kompozícióját mutatják – először egy kék nyíl hat előre a nyíl irányába [\(b(z)\)], utána egy piros nyíl hat a nyíllal ellenkező irányba [\(a^{-1}(z)\)], aztán egy kék nyíl hat visszafelé [\(b^{-1}(z)\)], végül egy piros nyíl előre [\(a(z)\)] –, azt látjuk, hogy ez a transzformáció invariánsan hagyja a nagy külső „körlemezt”, azaz az \(\vert z\vert \ge 1\) pontok halmazát, mely tartalmazza \(\infty\)-t. Ezt \(D_1\)-gyel fogjuk jelölni. Ugyancsak invariánsan hagyja a bal oldali legnagyobb fehéreslila körlemezt. Ezt jelöljük \(D_2\)-vel. Ebből adódik, hogy az \(a(z) \circ b^{-1}(z) \circ a^{-1}(z) \circ b(z)\) leképezés is parabolikus transzformáció. Így az \(a(z) \circ b^{-1}(z) \circ a^{-1}(z) \circ b(z)\) leképezéshez tartozó mátrix nyoma ismét \(\pm 2\). Ha feltesszük, hogy \(\operatorname{Tr}(ab^{-1}a^{-1}b)=-2\), akkor a mátrixok nyomára vonatkozó \[\displaystyle \operatorname{Tr}(ab^{-1}a^{-1}b)=(\operatorname{Tr}(a))^2+(\operatorname{Tr}(b^{-1}))^2+(\operatorname{Tr}(ab^{-1}))^2-\operatorname{Tr}(a) \operatorname{Tr}(b^{-1}) \operatorname{Tr}(ab^{-1})-2\] azonosság a \[\displaystyle (\operatorname{Tr}(a))^2+(\operatorname{Tr}(b^{-1}))^2+(\operatorname{Tr}(ab^{-1}))^2=\operatorname{Tr}(a) \operatorname{Tr}(b^{-1}) \operatorname{Tr}(ab^{-1})\]
Markov-azonossággá egyszerűsödik, amely Andrej Andrejevics Markov (1856–1922) nevét őrzi. Így a \(\operatorname{Tr}(ab^{-1}a^{-1}b)=\pm 2\) feltétel újabb polinomiális összefüggést ad az \(a(z)\) és a \(b(z)\) traszformációk között. A mátrixok nyomára vonatkozó azonosságok alkalmazása lehetővé teszi, hogy a \(G\) csoport minden „szavának” nyomát kifejezhessük a \(\operatorname{Tr}(a)\), \(\operatorname{Tr}(b)\) és a \(\operatorname{Tr}(ab)\) nyomok segítségével (lásd [3] 6. fejezet, 189–192. o.).
Továbbá ha \(D_2\)-nél kezdünk, és pontosan \(15\)-ször alkalmazzuk egymás után az \(a(z)\)-t (a piros nyilakkal jelölt transzformációkat a nyilak irányában), akkor a jobb oldali szimmetrikusan elhelyezkedő legnagyobb fehéreslila körlemezhez érkezünk. És innen visszaugorhatunk \(D_2\)-re a \(b^{-1}(z)\) leképezés hatására (a kék nyíl által jelölt leképezést egyszer visszafelé, a nyíllal ellenkező irányban alkalmazva). Ugyanez a kompozíció invariánsan hagyja az \(a^{-1}(D_2)\) körlemezt, melyet éppen egy piros nyíl hatása képez \(D_2\)-re. (Az \(a^{-1}(D_2)\) a \(D_2\)-t kívülről érintő kékesfehér körlemez.) Ezért \(b^{-1}(z) \circ a(z)^{15}\) is parabolikus leképezés. Fixpontja a \(D_2\) és az \(a^{-1}(D_2)\) körlemezek érintési pontja. A \(b(z)\), \(a(z) \circ b^{-1}(z) \circ a^{-1}(z) \circ b(z)\), \(b^{-1}(z) \circ a(z)^{15}\) parabolikus leképezések által adott polinomiális feltételek (konjugálás erejéig) egyértelműen meghatározzák a mintázatot.
A körlemezek színezése a következőképpen történik: A \(b(z)\) leképezés alkalmazása nem változtatja meg a színt. Az \(a(z)\) leképezést alkalmazva a körlemez színe a következő színre vált 15 szín ciklusában.
A 4. ábra a körlemezeknek a \(G\) hatására vonatkozó két ekvivalenciaosztályát mutatja.
Ez kiterjeszti a körlemezek színezését az eredeti körhálóban. Minden körlemez invariáns a transzformációk egy részcsoportjának hatásával szemben. Például láttuk, hogy a \(D_1\) külső körlemez invariáns marad a \(b(z)\) és az \(a(z) \circ b^{-1}(z) \circ a^{-1}(z) \circ b(z)\) leképezések hatására. Ez a két szó generálja a \(D_1\) körlemez stabilizátor részcsoportját. Ebben a részcsoportban az összes szó olyan, hogy a bennük előforduló \(a(z)\) kifejezések kitevőinek az összege 0. Így a \(D_1\) körlemez képének a színét a \(G\) csoport szavainak hatására éppen a szavakban levő \(a(z)\) kifejezések kitevőinek az összege határozza meg.
Hasonlóan a \(D_2\) körlemez stabilizátora az \(a(z) \circ b^{-1}(z) \circ a^{-1}(z) \circ b(z)\) és a \(b^{-1}(z) \circ a(z)^{15}\) leképezések által van generálva. Ezen részcsoport minden szavában az \(a(z)\) kitevőinek az összege \(15\) többszöröse. Ennélfogva a színezésünk konzisztens, ha \(15\) színt használunk.
A teljes mintázaton keresztül a következő szabályt látjuk: Ha a \(D_1\) és a \(D_2\) körlemez színét ugyanannak választjuk, akkor két érintő körlemez pontosan akkor tartozik különböző ekvivalenciaosztályhoz, ha ugyanaz a színük. Az ekvivalenciaosztályok a \(G\) csoport egy 2 indexű részcsoportjához tartoznak.
Ha kinagyítjuk a kép közepét, az \(a(z)\) transzformáció fixpontjai mintha szemek lennének (lásd az 5. ábrát).
Az olyan csoportot, amelynek a határhalmaza kör, Fuchs-féle csoportnak nevezzük. A csoport elnevezése Immanuel Lazarus Fuchs (1833–1902) emlékét őrzi. Möbius-transzformációk egy csoportját, amelyek határhalmaza egy összefüggő hurok, kvázifuchs-féle csoportnak nevezzük. A \(G\) csoportot azért hívja David J.Wright „dupla csúcsú csoportnak” [4] cikkében, mert ez utal arra, hogy \(G\) kétgenerátorú kvázifuchs-féle csoportok extrém „deformációja” (lásd [3] 6. és 9. fejezeteit).
Hasonló tulajdonságú csoportokról és határhalmazukról Felix Cristian Klein (1849-1925) kutatásai úttörő jelentőséggel bírnak. Ez motiválta ennek az írásnak a címét. Munkássága során Klein fizikailag is vizualizált szimmetrikus mintázatokat. Azonban a határhalmaz ábrázolása olyan nehézségekkel szembesítette, amelyekről 1894-ben így írt (lásd [2]):
„A kérdés az, hogy milyen konfigurációt alkot a körök összessége és hogy mi lesz a határpontjaiknak a halmaza. Ezekre a kérdésekre nem nehéz választ adni tisztán logikai úton; de az érzékeltetésükben úgy látszik, meghiúsul a teljesség, ha megpróbáljuk az eredményt képként ábrázolni.”
További mintázatok elemzése és a számítógépes vizualizációjukhoz szükséges programok találhatók [3]-ban.
Ebben a cikkben az összes ábra szerzői joga David J. Wrightot illeti, aki David Mumforddal közösen írt „kleini” programukkal állította elő azokat, és újraközlésüket az Érintő számára engedélyezte.
Irodalomjegyzék
[1] T. K. Carne, Geometry and Groups, Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, University of Cambridge, https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tkc/GeometryandGroups/GeometryandGroups.pdf
[2] F. Klein, Lectures on Mathematics, Amer. Math. Soc., 2000.
[3] D. Mumford, C. Series, and D. Wright, Indra’s Pearls: The Vision of Felix Klein, Cambridge Univ. Press, 2002.
[4] D. Wright, Double Cusp Group, Notices of the AMS, 51, no. 11 (2004), 1332–1333.
Figula Ágota
Debreceni Egyetem, Természettudományi és Technológiai Kar,
Matematikai Intézet, Debrecen
A munkát a Nemzeti Kutatási, Fejlesztési és Innovációs Hivatal (NKFI) K132951 és az EFOP-3.6.1-16-2016-00022 projekt támogatta. A második projektet az Európai Unió és az Európai Szociális Alap finanszírozza.
