Riesz Frigyes: Fourier-sorok, komplex és valós függvénytan előadások, (Ábel Kiadó, Kolozsvár, 2024.)
Megvásárolható a Typotex Kiadónál vagy a könyv szerkesztőinél: Fialowski Alice-nál (alice.fialowski@gmail.com)
vagy Komornik Vilmosnál (vil
Riesz Frigyes 1880. január 22-én született Győrben, középiskolás tanulmányait is itt végezte, felsőfokú tanulmányait Zürichben, Budapesten, illetve Göttingenben folytatta. Egyetemi tanári pályafutását Kolozsváron kezdte, ahonnan az első világháború után 1921-ben Szegedre költözött. Haar Alfréddal közösen itt alapították meg a „Szegedi Acta” (Acta Scientiarum Mathematicarum) folyóiratot, mely évtizedeken át a kor vezető matematikai folyóiratának számított. 1945-től az 1956. február 28-án bekövetkezett haláláig a budapesti Pázmány Péter Tudományegyetemen (1950-től Eötvös Loránd Tudományegyetem) tanított mint tanszékvezető egyetemi tanár.
Riesz nevét elsősorban a funkcionálanalízis és az integrálelmélet területén alkotott eredményei tették világszerte ismertté. Alaptételeit (mint például a Riesz-reprezentációs tétel, vagy a Riesz–Fischer-tétel) a világ minden táján tanítják matematika és fizika szakos hallgatók számára. Tanítványával, a szintén nemzetközi hírű Szőkefalvi-Nagy Bélával közösen írták meg a Leçons d’analyse functionnelle című alapművet, amely a funkcionálanalízis és az operátorelmélet akkoriban ismert anyagát dolgozta fel. Monográfiájuk 1952-ben jelent meg, először francia nyelven, de azóta számos más nyelvre lefordították (magyarul először 1988-ban jelent meg Funkcionálanalízis címen az Akadémiai Kiadó gondozásában). Könyvük a páratlanul elegáns és máig modernnek mondható stílusának köszönhetően tudományos „bestsellernek” számít.
A kolozsvári Ábel Kiadó által Fourier-sorok, komplex és valós függvénytan előadások címmel megjelentetett könyv Riesz Frigyes négy félévnyi, egyetemi hallgatók számára írt előadásjegyzetét közli, változatlanul. Ezek közül három Kolozsváron az 1910-es években született, és csupán kézzel írott formában maradt meg, az utolsó pedig a késői budapesti tartózkodása alatt íródott, ez gépelt változatban volt fellelhető.
A Komplex függvénytan (eredeti nevén csupán Függvénytan) címet viselő első fejezet Riesz két szemeszternyi (1911/12-re és 1914/15-re datált) előadásjegyzetét tartalmazza, melyek a holomorf függvények klasszikus elméletét dolgozzák fel. Az első rész a komplex számtest topológiájának ismertetésétől a vonalintegrál fogalmán át az elmélet alapvető eredményeiig jut el (Cauchy-féle integrálformula, Liouville-tétel, Laurent-sorok, Mittag–Leffler-tétel, reziduumszámítás), majd ezt folytatja a második rész, amely már a témakör mélyebb fejezeteibe tesz betekintést (elliptikus függvények, analitikus kiterjesztés kérdése, Riemann-felületek, konform leképezések).
A második fejezet Riesz Fourier-sorokról szóló előadásjegyzetét tartalmazza. Ez a téma a jegyzet keletkezésének időpontjában már sokat vizsgált, klasszikus problémakörnek számított, hisz a trigonometrikus sorok elméletének születése legalább d’Alembert 18. században folytatott, a rezgő húr problémájával kapcsolatos munkásságáig nyúlik vissza. Azonban a Fourier-sorok vizsgálata éppen az 1900-as évek elején kapott új lendületet, elsősorban Fejér Lipót 1900-ban írt korszakalkotó tanulmányának köszönhetően, amelyben a róla elnevezett Fejér-féle közepek konvergenciáját vizsgálta. De legalább ekkora hatással volt a terület fejlődésére a Lebesgue által kifejlesztett új integrálfogalom megjelenése is. Riesz az elsők között ismerte fel ennek az általános integrálfogalomnak a jelentőségét. Ezt jól mutatja az is, hogy előadásjegyzetében a trigonometrikus soroknak a Riemann-féle integrálra épülő „elemi” elméletének ismertetése mellett behatóan foglalkozik a sorok konvergenciájával és divergenciájával kapcsolatos kérdésekkel is, amihez már használja a Lebesgue-integrál modern eszközeit. Hangsúlyozzuk, hogy a jegyzet 1913/14-ben íródott, de szerepel benne az akkor alig tíz éves Lebesgue-integrál felépítése, valamint az 1907-ben publikált Riesz–Fischer-tétel. Ezeket figyelembe véve határozottan kijelenthetjük, hogy Riesz kolozsvári diákjai akkoriban a kor legmodernebb analíziselőadásait hallgathatták.
A harmadik fejezetnek a szerkesztők a Valós függvénytan címet adták. Ez már Riesz késői, budapesti tartózkodása alatt született, és a Lebesgue-integrál saját maga által kidolgozott konstrukcióját tartalmazza. Ennek a tömör, de világos felépítésnek egy sarkalatos pontja, hogy nem a mérhető halmazokra, illetve a Lebesgue-mértékre, hanem csupán a fogalmilag jóval egyszerűbb nulla-mértékű halmazokra épít. A Lebesgue-féle integrálnak ugyanezen konstrukciója jelenik meg a fentiekben már idézett Riesz–Szőkefalvi-féle Funkcionálanalízis könyvben, az itteninél részletesebb, ugyanakkor kevesebb történeti áttekintést nyújtó formában.
A Lebesgue-integrálnak ez a bravúrosan elegáns Riesz-féle felépítése azóta is mérföldkőnek számít a valós függvénytan oktatásában. Számos matematikai előadó ezt a konstrukciót tartja a legegyszerűbbnek, és sokan a mai napig ezt követik az szemináriumaikon. Szintén említésre méltó, hogy a jegyzetben megtalálható Riesz saját elemi bizonyítása Lebesgue egy kimondottan mély eredményére, amely a monoton függvények majdnem mindenütt való differenciálhatóságáról szól.
Összefoglalva tehát, ez a most megjelent monográfia egy igazi hiánypótló mű, amely először teszi hozzáférhetővé nyomtatásban Riesz Frigyes három, korábban kiadatlan előadásjegyzetét. Riesz összesített munkái ugyan két kötetben (közel 1600 oldalnyi terjedelemben) az Akadémiai Kiadó gondozásában már megjelentek az 1960-as években, azonban az a most közreadott kéziratokat nem tartalmazza. Jelentős műről van szó, hiszen Riesz Frigyes szellemi örökségének újabb darabját teszi elérhetővé a nagy nyilvánosság számára. Ezenfelül nemcsak a Riesz életművével foglalkozó szakemberek, hanem a matematika iránt érdeklődő szélesebb közönség, diákok és oktatók számára is értékes olvasmány. Külön kiemelendő a jegyzetek világos, élvezetes stílusa.
Tarcsay Zsigmond egyetemi docens
Budapesti Corvinus Egyetem
és Eötvös Loránd Tudományegyetem
