Bolla Marianna és Szabados Tamás könyve, Multidimensional Stationary Time Series − Dimension Reduction and Prediction címmel a CRC Press (Taylor and Francis Group) kiadásában jelent meg 2021-ben. A szerzők 2023-ban átdolgozták a kötetet, a kiadó már ezt terjeszti elektronikusan és nyomtatásban is.
Az átfogó kötet a többdimenziós (vektorértékű, gyengén stacionárius) idősorok elméletét tárgyalja, azon belül kiemelten foglalkozva a predikció, illetve a dimenziócsökkentés kérdésével. Az irodalomjegyzék és a könyv függeléke minden olyan szükséges anyagot tartalmaz, amelyek ismerete elengedhetetlen a részletes matematikai levezetések megértéséhez, de jelentős előnyben vannak azok az olvasók, akik jártasak a valószínűségszámítás, a lineáris algebra, illetve a valós és komplex analízis fontos alapfogalmaiban.
Előre bocsátva: a könyv izgalmas olvasmány, amely a gyengén stacionárius folyamatok elméletének egy fontos szeletére koncentrál. Hogyan lehet — valamilyen pontosan definiált értelemben — jól közelíteni egy kellően bonyolult szerkezetű vektorértékű gyengén stacionárius sztochasztikus folyamatot? Sokféleképpen lehetne értelmezni a jól közelítést. Például, hogy a közelítő folyamat alapján az eredeti folyamat jövőbeli viselkedését minél pontosabban meg lehessen sejteni. Ennek precízebb definiálásához szükséges tudni, hogy az eredeti folyamat pontos ismeretében a múltbeli megfigyelésekből hogyan és mennyire jelezhető előre a folyamat jövőbeli alakulása. Ezen kérdés körüljárása adja a könyv vezérmotívumát.
Míg determinisztikus input/output rendszerek esetében például a rendszer ún. Hankel-normában való közelítése erre pontos választ ad, sztochasztikus (stacionárius) input esetén a kérdés egyáltalán nem megoldott.
Újra és újra érdemes hangsúlyozni a valószínűségszámítás, a sztochasztika ezen ágának azt a különös báját, hogy bár a probléma felvetése a sztochasztikus idősorok területéről fakad, de a könyvben tárgyalt válaszokhoz egyáltalán nem a szokásos valószínűségszámítási gondolatmenetek, hanem a komplex függvénytan, a harmonikus analízis, a lineáris algebra eszközei szükségesek.
A skalárértékű stacionárius idősorok elméletének kiépítése majd egy évszázaddal ezelőtt kezdődött — Herglotz, Wold, Cramer, Bochner, Hincsin, Kolmogorov, Rozanov, Wiener, Masani stb. munkáiban. Az akkor kialakult idő– illetve frekvenciatartománybeli leírásukra a jelen munka szerzői is építenek. Az elmélet felépítéséhez szükség van többek között a harmonikus analízis, illetve a lineáris algebra területéhez tartozó módszerekre. Az állapotteres leírást használó lineáris, időinvariáns szűrők elmélete elsősorban a lineáris algebra eszközeit használja, a spektrálsűrűségfüggvény faktorizációja inkább a harmonikus analízist, míg a spektrálsűrűségmátrix rangját csökkentő módszerek mindkettőt.
Idősorelemzéssel foglalkozó doktorandusz hallgatók ismereteit tovább bővítheti a könyv, de alapul szolgálhat a gyengén stacionárius sztochasztikus folyamatok elméletének kutatásával foglalkozók számára további eredmények eléréséhez.
Az 1. fejezet tartalmazza a vektorértékű, gyengén stacionárius idősorok definícióját Rámutat ennek a kovariancia sorozat, illetve vele ekvivalensen a spektrálmérték segítségével történő karakterizációjára, továbbá Hilbert-térbeli értékű sztochasztikus integrál alakú reprezentációjára. Több különböző konstrukciót tárgyal, ahogyan stacionárius idősorok előállíthatóak. Kezdve a véges időtartományon már definiált idősor kiterjesztésével, folytatva adott spektrálmértékhez tartozó idősor előállításával, diszkrét Fourier-transzformálttal.
A fejezet befejező része az idősorok klasszikus paraméterbecslési (várható érték, kovariancia sorozat, spektrálsűrűségfüggvény) módszereit ismerteti röviden.
A 2. fejezetben a szerzők bemutatják az egydimenziós stacionárius idősorok lényeges osztályaira vonatkozó alapvető elméleteket. A fejezet célja a vektorértékű idősorok hasonló analízisének előkészítése, megalapozása. A fejezet tárgyalja az MA, AR illetve ARMA (autoregressziós mozgóátlag) folyamatokat, a lineáris időinvariáns szűrőt (LFT). Ez utóbbi, ún. fehérzaj-folyamatra alkalmazva, MA(\(\infty\)) folyamatot eredményez.
A Wold-felbontás egy dimenzióban arra mutat rá, hogy minden nem szinguláris (csak hibával előrejelezhető) folyamat előáll MA(\(\infty\)) és egy szinguláris (egymással korrelálatlan) folyamat összegeként. A szárazabb, részletes matematikai elemzéseket a különböző folyamatok trajektóriát, spektrumát bemutató ábrák teszik színesebbé. A fejezetben a szerzők Lamperti (2012) ötleteit kölcsönözik az analitikai részletek levezetéséhez. A fejezet záró része kapcsolatot teremt a spektrálsűrűségfüggvény logaritmusának integrálhatósága és a stacionárius folyamat egy lépéses előrejelzési hibája között. (Kolmogorov–Szegő-tétel.) A szerzők mesteri módon használják a komplex függvénytan és a Hilbert-terek elmélete közötti kapcsolatot.
A szerzők a 3. fejezetben speciális többdimenziós stacionárius idősorok véges dimenziós állapottér leírásával foglalkoznak. Ez az ún. belső leírás adott időponthoz tartozó állapottér vektor és egy új input segítségével adja meg a következő outputot. A külső leírás az input/output leképezés. A fejezet részletesen taglalja, hogy az ún. redukált input/output leképezésből kiindulva hogyan és milyen feltételek mellett lehet eljutni véges dimenziós állapottér leíráshoz. Részletesen elemzi az egyértelműség és a minimalitás feltételeit is. Ez utóbbihoz a Kálmán Rudolf által bevezetett elérhetőségi és megfigyelhetőségi tulajdonságokra van szükség. A redukált input/output leképezés által meghatározott Hankel-mátrix rangja adja a minimális állapottér-dimenziót. Ez a rendszer ún. McMillan-foka. Ekkor a redukált input/output leképezéshez tartozó átviteli függvény mátrixértékű racionális függvény.
A fejezet záró része sztochasztikus rendszerekre alkalmazza az állapottér elméletet. Ezekben az input folyamat többdimenziós stacionárius idősor/fehézaj-folyamat.
A későbbi fejezetek pusztán az itt kialakított fogalmat használják, a fejezetben szereplő részletes levezetések ismerete nélkül is követhető a könyv további része.
A 4. fejezet a vektorértékű, gyengén stacionárius idősorok tulajdonságait vizsgálja, hasonlóan a 2. fejezetben bemutatott egydimenziós esethez. A szerzők nagy mértékben építenek az irodalom hasonló témájú publikációira (pl. Brockwell & Davis, 2009; Hannan 2009; Hannan & Deistler 2012; Krámli 1968; Lindquist & Picci, 2015; Lütkepohl 2005; Rozanov & Feinstein, 1967; Tsay 2013; Wiener & Masani, 1958).
A többdimenziós esetben előfordulhat, hogy a mátrixértékű spektrálsűrűségfüggvény nem teljes rangú, de nem is azonosan nulla. Köztes esetet jelent a konstans, de nem feltétlen teljes rangú eset. A szerzők megmutatjuk, hogy ekkor a folyamat adott dimenziós fehérzaj-folyamatból keletkezik két oldali mozgóátlag-folyamatként. Speciális eset, amikor a folyamat rendelkezik egyoldali (kauzális) mozgóátlag leírással.
A nem-szinguláris folyamatoknak, az egydimenziós esethez hasonlóan, létezik Wold-felbontásuk. A reguláris rész kauzális mozgóátlag-folyamat lesz. Az ennek megfelelő spektrálsűrűségfüggvény konstans rangú lesz. Az egydimenziós esettől eltérően azon folyamatok karakterizációja, amelyek szinguláris komponense nulla, már nem olyan egyszerű. Ennek feltétele, hogy a spektrálsűrűségfüggvény konstans rangú legyen, és létezzen ún. admissibilis spektrálfaktor. A teljesen általános esetben ez utóbbi tulajdonság közvetlen jellemzése nem teljesen megoldott. Ugyanakkor a teljes rangú esetben továbbra is érvényes marad a Kolmogorov–Szegő-tétel, amely szerint most az egylépéses előrejelzési hiba kovarianciamátrixának determinánsa fejezhető ki a spektrálsűrűségfüggvény determinánsa logaritmusának integráljával. (Wiener–Masani-tétel.)
A reguláris folyamatok további speciális alosztályát alkotják a racionális spektrálsűrűségfüggvénnyel rendelkező stacionárius folyamatok. Ekkor használhatóak a racionális átviteli függvénnyel rendelkező input/output rendszerek vizsgálata során a 3. fejezetben már alkalmazott transzformációs módszerek. Ezek segítségével megmutatható, hogy ilyenkor létezik állapotteres, VARMA (vektorértékű autoregressziós mozgóátlag), illetve mátrix törtfüggvény leírás. Ez utóbbi modellek végesen paraméterezhetők és előrejelezhetők a modell múltbeli megfigyelései alapján.
Az utolsó, 5. fejezetben a téma a dimenziócsökkentés és az előrejelzés. Ízelítőül az egyetlen változónak több változóval való közelítését mutatják be, a szokásos regressziós megoldáshoz rekurziós módszerrel jutva el. Idősorok esetén ez elvezet a Yule–Walker-egyenletekhez, továbbá a Kálmán-szűrőhöz. A teljes végtelen múltra való vetítés kovariancia mátrix algebrai Riccati-egyenletnek tesz eleget. Az időtartományban folytatott elemzések motivációs elve, hogy a rekurziós regressziós eljárásban könnyen azonosítható és kényelmesen használható mátrixokat találjanak, melyek segítségével leírható – esetleg approximálható – az előrejelzés.
A szerzők által részletesen vizsgált dimenziócsökkentési eljárás az ún. dinamikus faktoranalízis. Ekkor a klasszikus faktoranalízis mintájára az adott gyengén stacionárius folyamatot alacsonyabb \(k\)-dimenziós gyengén stacionárius sorozatból véges hosszú mozgóátlagú szűrűvel kapott folyamat plusz egy ezzel korrelálatlan hibafolyamat összegeként állítjuk elő. A \(k\)-dimenziós faktorfolyamatról feltesszük, hogy fehérzaj-folyamat, a hibafolyamatról pedig, hogy komponensei korrelálatlanok. Frekvenciatartományban ekkor minden egyes frekvenciában a klasszikus faktoranalízis modellt kapjuk.
Minden fejezet számos tételt és bizonyítást tartalmaz. A későbbi állítások motivációinak, mondandójának teljes megértése érdekében az olvasónak célszerű tanulmányoznia ezeket a bizonyításokat is.
Azoknak az olvasóknak, akiknek a bizonyítások a matematikai előfeltételek hiánya miatt nehézséget okoznak, a szerzők függelékeket biztosítanak, ahol az olvasó megtalálhatja a gyengén stacionárius idősorok elméletének megértéséhez szükséges anyagot. A függelékek a lineáris algebra, a mátrixelmélet és a komplex analízis fogalmait fedik le, és átfogó listát is tartalmaznak a könyvben elszórt hivatkozásokról.
Michaletzky György
professzor emeritus
Eötvös Loránd Tudományegyetem
