A közgazdaságtan matematikai elméletében szokásos a befektetők pénzhez való viszonyát ún. hasznossági függvényekkel jellemezni. Egy ilyen \( U\colon (0,\infty)\to\mathbb{R}\) függvény \( U(x)\) értéke azt fejezi, ki hogy az adott befektető mennyire elégedett \( x\in (0,\infty)\) forinttal, mennyi hasznot jelent számára ez az összeg, szubjektív értelemben.
Az \( U\) függvény jellemző tulajdonságai vita tárgyát képezik. Abban talán mindenki egyetért, hogy \( U\) folytonos (hiszen kis változás a vagyoni helyzetben csak kis mértékben változtatja meg az elégedettség szintjét), és monoton növő (több pénznek jobban örülünk). Mi mostantól feltesszük, hogy \( U\) szigorúan monoton növő és folytonosan differenciálható.
Még egy fontos jellemző tulajdonság lehet, hogy \( U\) konkáv, ez a feltevés azonban már vitatható, amint azt alább részletesebben kifejtjük. Már Daniel Bernoulli úttörő [1] cikkében is konkáv \( U\) szerepelt. Ezt a tulajdonságot a befektetők kockázatkerülő magatartásával szokás magyarázni: egy kis \( \Delta>0\) csökkenés a vagyonban \( U(x)-U(x-\Delta)\approx \Delta U'(x)\)-szel csökkenti a hasznosságot. Ha \( U\) konkáv, akkor \( x\) csökkenésével ez a mennyiség egyre nő, azaz az elégedettség egyre gyorsuló ütemben csökken. Különösen igaz ez a 0 (= csőd) közelében, ezért általában olyan \( U\)-t használnak, melyre \( U'(x)\to\infty\), \( x\to 0\), például \( U(x)=\gamma x^{\gamma}\) valamely \( \gamma<1\), \( \gamma\neq 0\) számra, vagy \( U(x)=\ln(x)\).
Egyelőre tegyük fel, hogy \( U\) konkáv (a későbbiekben majd tárgyalunk egyéb eseteket is). Nézzük meg, hogyan tűzhető ki az optimális befektetési feladat az adott hasznossági függvénnyel bíró piaci szereplő számára!
A lehetséges portfólió stratégiák halmazát célszerű egy \( \Phi\) vektortérrel leírni (mely általában végtelen dimenziós és valamely topológiával is el van látva). A vektortér struktúra annak felel meg, hogy ha \( \phi_1,\phi_2\in\Phi\) portfóliók kereskedhetők, akkor általában azok egyesítése \( \phi_1+\phi_2\) is, valamint valós konstansszorosa is, tehát \( \alpha\phi_1\) minden \( \alpha\in\mathbb{R}\)-re. Negatív \( \alpha\) azt jelenti, hogy az adott portfóliót nem vesszük, hanem eladjuk, erre sok piacon van lehetőség. A \( \phi\in\Phi\) portfólió ára \( p(\phi)\), kézenfekvő feltenni, hogy \( p(\cdot)\) lineáris függvény. Az adott \( \phi\) portfólió hozama a \( Z(\phi)\) valószínűségi változó (hiszen a legtöbb befektetés bizonytalan kimenetelű). A \( \phi\to Z(\phi)\) hozzárendelés is lineáris. Ha a befektetőnek \( c>0\) kezdeti tőkéje van, akkor olyan portfóliók közül választhat, melyekre \( p(\phi)\leq c\) teljesül. Ha a \( \phi\) befektetés mellett dönt, akkor vagyona \( c\)-ről \( c-p(\phi)+Z(\phi)\)-re változik.
Csak azokat a befektetéseket engedjük meg, melyek a csődöt elkerülik, ezért a megengedett portfóliók halmaza \[\displaystyle \mathcal{A}(c):=\{\phi\in\Phi\colon p(\phi)\leq c,\ c-p(\phi)+Z(\phi)\geq 0\}.\] Ez \( \Phi\)-nek konvex részhalmaza.
Az adott piaci szereplő célja, hogy ezek közül kiválassza a számára legmegfelelőbbet. Az optimális befektetési feladat tehát így fogalmazható meg: keressük azt a \( \phi^*=\phi^*(c)\in\mathcal{A}(c)\) befektetést, melyre
| \(\displaystyle u(c):=\sup_{\phi\in\mathcal{A}(c)}E[U(c-p(\phi)+Z(\phi))]=E[U(c-p(\phi^*)+Z(\phi^*))],\) | \((1)\) |
azaz \( E\)-vel jelölve a várható érték operátort, a várható hasznosság a \( \phi^*\) stratégiát követve lesz a legnagyobb. Itt valójában feladatok egy családjáról beszélhetünk, amit a \( c>0\) paraméterez.
A feladat helyesen kitűzött, ha \( u(c)<\infty\) minden \( c>0\)-ra. Láthatóan konkáv funkcionálokat kell maximalizálni egy (topologikus) vektortér valamely konvex részhalmazán. Mivel \( \Phi\) többnyire végtelen dimenziós, az ilyen \( \phi^*\) létezésének bizonyítása nem egyszerű feladat, még konkrét modellek esetében sem.
A probléma abban rejlik, hogy ha pl. \( \Phi\) egy Banach-tér, \( \mathcal{A}(c)\) pedig annak korlátos részhalmaza (általában még csak nem is korlátos!), akkor sem kompakt a normatopológiában. Tehát, ha \( \phi_n\in\mathcal{A}(c)\) egy sorozat, melynek mentén az (1)-ben szereplő a szuprémum eléretik, akkor nem feltétlenül lehet belőle konvergens részsorozatot kiválasztani!
Természetesen léteznek ügyes technikák a nehézségek leküzdésére. Példaképpen az alábbi fontos tételt idézzük.
Tétel. (Komlós János, [4]) Ha \( (\Omega,\mathcal{F},P)\) egy valószínűségi mező, \( f_n\), \( n\in\mathbb{N}\) pedig valószínűségi változók olyan sorozata, amelyre \( \sup_n E[f_n]<\infty\), akkor van olyan \( n_k\), \( k\in\mathbb{N}\) részsorozat és egy \( f\) valószínűségi változó, amelyre \[\displaystyle \frac{f_{n_1}+\ldots+f_{n_k}}{k}\to f,\ k\to\infty\] fenáll a \( P\)-majdnem mindenütt konvergencia értelmében.
Azaz kiválasztható majdnem mindenütt értelemben Césaro-konvergens részsorozat. Ehhez hasonló eredmények számos topologikus vektortérben ismeretesek: egy megfelelő értelemben korlátos sorozatnak vannak olyan konvex lineáris kombinációi (a fenti tételben átlagai), amelyek konvergálnak.
Ha tehát a fentebb említett \( \phi_n\) sorozat alkalmas értelemben korlátos (ez rendszerint következik abból, hogy aszimptotikusan optimális stratégiákat tekintünk), akkor valamely \[\displaystyle \tilde{\phi}_n=\sum_{j=1}^{N(n)} \beta_j^n \phi_j,\ \beta_j^n\geq 0,\sum_{j=1}^{N(n)}\beta^n_j=1,\] konvex lineáris kombinációi konvergálnak valamely \( \phi^*\in\mathcal{A}(c)\) stratégiához (egy alkalmas topológiában), itt \( N(n)\) a konvex kombinációk tagszáma, \( \beta^n_j\) pedig a konvex súlyok. (Ehhez persze kell az is, hogy \( \mathcal{A}(c)\) zárt legyen a tekintett topológiában.)
Mivel \( U\) konkáv, \( p(\cdot)\), \( Z(\cdot)\) lineárisak,
| \(\displaystyle E[U(c-p(\tilde{\phi}^n)+Z(\tilde{\phi}^n))]\geq \sum_{j=1}\beta^n_j E[U(c-p(\phi_n)+Z(\phi_n))],\) | \((2)\) |
ezért a \( \tilde{\phi}^n\) stratégiák várható hasznossága továbbra is az (1)-beli-beli szuprémumhoz tart. Ezek után remélhető (de messze nem nyilvánvaló), hogy a \( \phi^*\) stratégia eléri a szuprémumot, tehát optimális lesz.
Az imént vázolt gondolatmenet közvetlenül általában nehezen alkalmazható a pénzügyi matematika modelljeiben. Segít azonban a lineáris programozásban is használatos duális probléma bevezetése. A jelen esetben ez a következő problémacsaládhoz vezet: minden \( h>0\)-ra keressük azt az \( M^*=M^*(h)\in\mathcal{M}\)-et, amelyre \[\displaystyle v(h):=\inf_{M\in\mathcal{M}}E[V(hM)]=E[V(hM^*)]\] teljesül. Itt \( V(y):=\sup_{x>0}[U(x)-xy]\), \( y>0\) az \( U\) Fenchel-Legendre konjugáltja, \( \mathcal{M}\) pedig (nagyjából) a \( Z({\Phi})\) anullátora, vagyis \[\displaystyle \mathcal{M}:=\{\psi\in\Psi^*\colon \psi(Z(\phi))=0,\ \phi\in\Phi\},\] ahol \( \Psi^*\) egy olyan \( \Psi\) topologikus vektortér duális tere, mely tartalmazza a \( \{Z(\phi),\phi\in\Phi\}\) halmazt.
A fenti elvont leírást talán jobban megvilágítja egy konkrét példa. Ha például egy részvénnyel kereskedünk, akkor \( \mathcal{M}\) (nagyjából) azonosítható azon \( Q\sim P\) valószínűségi mértékek halmazával, melyekre nézve a részvényárfolyamat martingál.
Általában viszonylag könnyű igazolni, hogy a duális problémának van megoldása, amiből (1) megoldása egy explicit transzformációval megkapható (persze mindez a modelltől függő, cseppet sem egyszerű meggondolásokat igényel). Igazolható az is, hogy a \( v\) függvény az \( u\) Fenchel-Legendre konjugáltja, illetve a primál/duál problémák közötti szokásos összefüggések is bizonyíthatók.
A duális problémán alapuló megoldási módszer először [5]-ben lett részletesen kidolgozva. Ez az elegáns és hatékony megközelítés azonban nem mindig működik. Például ha bizonytalan a \( P\) mérték, csak annyit tudunk róla hogy valószínűségi mértékek egy \( \mathcal{P}\) családjába esik, akkor modellbizonytalanság áll fenn, és célszerű (1) helyett inkább az
| \(\displaystyle u(c):=\sup_{\phi\in\mathcal{A}(c)}\inf_{P\in\mathcal{P}}E_P[U(c-p(\phi)+Z(\phi))],\) | \((3)\) |
problémát tekinteni. Ez jóval nehezebb, és ismert, hogy duális problémájának nincsen mindig megoldása. Ilyen és hasonló okok rákényszerítenek arra, hogy (3) megoldását közvetlenül, a duális problémát mellőzve találjuk meg.
Ilyen eredmények először [7]-ben bukkantak fel \( (0,\infty)\)-en definiált \( U\)-ra. Nagyon fontos azonban \( U\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) hasznossági függvényeket is vizsgálni, ezekkel elemezhető a veszteségek hatása is: \( x<0\) esetén \( U(x)\) a befektető „csalódottságának” mértéke. Az ilyen \( U\)-k használatán számos kockázetelemzési módszer alapul. Ilyenkor az (1) feladat nehezebb (és persze a stratégiák \( \mathcal{A}(c)\) osztályát is módosítani kell). Közvetlen, a duális problémát elkerülő megközelítést sikerült adnunk [6]-ben, mely a fenti Komlós tétel egy új, [2]-ból származó változatán alapszik. A felhasznált topologikus vektorterek az ún. Orlicz-terek, melyek a funkcionálanalízisből jól ismert \( L^p\) terek általánosításai.
A [3] cikk szerzői kísérletekkel támasztották alá, hogy a befektetők \( U\) hasznossági függvénye ún. „S-alakú”: valamely \( b>0\)-ra konvex a \( (0,b)\) és konkáv a \( (b,\infty)\) intervallumokon. (Ezért 2002-ben Kahnemann közgazdaságtani Nobel-díjat kapott.) Ilyenkor a duális probléma értelmét veszti, és a Komlós tétel változatai sem használhatóak (mert (2) nem igaz). Ilyen esetekben teljesen más módszerek szükségesek és csak kevés eredmény ismeretes.
A téma iránt mélyebben érdeklődőknek a [8] könyv 7. fejezete ajánlható (a megfelelő előismeretek elsajátítása után), illetve a [7] jegyzet is jól olvasható.
Rásonyi Miklós
MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
Irodalomjegyzék
[1] D. Bernoulli. Exposition of a new theory on the measurement of risk. Econometrica, 22:23—36, 1954. (Az 1738-ban megjelent latin eredeti angol fordítása.)
[2] F. Delbaen, K. Owari. Convex functions on dual Orlicz spaces. arXiv:1611.06218
[3] D. Kahnemann, A. Tversky. Prospect theory: An analysis of decision under risk. Econometrica, 47:263–291, 1979.
[4] J. Komlós. A generalization of a problem of Steinhaus. Acta Mathematica, 18:217–229, 1967.
[5] D. Kramkov, W. Schachermayer. The condition on the Asymptotic Elasticity of Utility Functions and Optimal Investment in Incomplete Markets. Annals of Applied Probability, 9:904–950, 1999.
[6] M. Rásonyi. On optimal investment without passing by the dual problem. arXiv:1702.00982
[7] W. Schachermayer. Portfolio Optimization in Incomplete Financial Markets. Notes of the Scuola Normale Superiore Cattedra Galileiana, Pisa, 2004. Letölthető a http://www.mat.univie.ac.at/~schachermayer/pubs/index.php honlapról a [116]-os publikáció.
[8] H. Pham. Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications, Springer, 2009.
Fotó: https://www.pexels.com/photo/u-s-dollar-bills-pin-down-on-the-ground-164474/
