Jó egyetemi jegyzet megírásához elengedhetetlen, de messze nem elegendő a mély szakmai és átfogó jellegű tudás, oktatás területén szerzett tapasztalat, nyitottság, kreativitás és fantázia. Felszínesen gondolhatnánk, hogy idővel kikristályosodik egy ideális analízisjegyzet, hiszen a tárgya, a matematikai analízis, többszáz éves múltra tekint vissza, és a matematikatudomány egyik sajátossága, hogy a benne elért eredmények elévülhetetlenek. Mivel alapszinten az egyszerűbb, bevezető jellegűbb eredményeket illik csak tartalmaznia egy jegyzetnek, ezért speciális esetektől eltekintve az élvonalbeli kutatás nem befolyásolja akut módon tartalmát. Akkor mégis miért születnek újabb és újabb jegyzetek első ránéznésre roppant hasonló tartalommal? Akik most oktatnak vagy kutatnak, azok is tanultak valamilyen jegyzetből, miért nem jók azok a jegyzetek ma is?
Az oktatók nyitottsága lehet az egyik válasz. Évek, évtizedek alatt tapasztalják és felismerik a trendeket munkájuk körül, ilyen például a divatos kutatási területek vagy az alkalmazások szempontjából fontos területek változása, a hallgatók tanulásával kapcsolatos változások, például a hallgatók motiváltsága, absztrakciós szintje, befogadó képessége, problémamegoldó készsége, előképzettsége alapvetően befolyásolja – jó esetben – az oktatást. Ha egy oktató jól látja ezeket a folyamatokat, képes és hajlandó ehhez igazítani oktatási módszertanát és a leadni kívánt anyagot a hallgatók befogadóképességéhez tudja igazítani, akkor legalább gondolati szinten már egy új, modernebb jegyzet van születőben. Szerencsés esetben, mint a Valós analízis I., II. könyv esetén, a gondolati szint igényes, precíz kidolgozású, olvasmányos részekkel és ábrákkal tarkított testet ölt.
A matematikai témájú bevezető jellegű jegyzetek esetében többszörös válaszút előtt áll a szerző. A korszellemet és az oktatás időkereteit figyelembe véve kell döntenie arról, hogy hol kezdi a matematikát; a már meglévő tudást bővíti-e vagy új tudást épít; milyen ütemben, töménységgel adja át az ismeretet; mekkora sebességgel növeli az absztrakciós szintet; hajlandó-e kitekinteni az axiómarendszerek zárt világából, említ-e érdekes alkalmazást, anekdotát vagy történelmi kuriózumot; segíti-e példákkal az új ismeretek jobb megértését és elmélyülését, és végül, hogy tananyag tekintetében meddig szeretne eljutni.
A Valós analízis könyv címéhez hűen igyekszik a matematikai analízisre koncentrálni. Az absztrakt logikai fogalmakat bevezető tízoldalas rész hétköznapi példákkal operál és a mindennapos szemléletre épít, hasonlóan épül fel az azt követő pár oldalas halmazelméleti rész. Utána következik a valós analízis kiindulópontjának, a valós számok halmazának az axiomatikus bevezetése. Ezen a ponton el kell hinnie az olvasónak, hogy létezik a valós számok halmaza az axiómák által előírt tulajdonságokkal. A létezés bizonyítása ugyanis roppant hosszadalmas és érthető okokból nem témája egy analízisjegyzetnek. A hallgatók már meglévő tudását, mint például a hatványozás vagy a szögfüggvények tulajdonságai, az adott témakört érintve illeszti be egy egységes matematikai képbe. Például bizonyítja a testaxiómákból, hogy nullával szorozva egy számot nullát kapunk. Noha ez biztos előismeretként feltételezhető érettségi után, mégis ez a bizonyítás az, ami bevonja ezt a meglévő ismeretet a precíz matematikai világba. Hasonlóan jár el az analízishez kapcsolódó többi matematikai előismeret esetében is a könyv. Új fogalmak bevezetéséhez egy definíció is elég lenne szigorúan tudományos szempontból, azonban a könyvben minden esetben tartozik magyarázat vagy valamilyen kérdésfelvetés a definíció elé, így téve természetesebbé a bevezetni kívánt fogalmat. Érezhetően fontos szempontja a könyvnek, hogy az olvasónak ne alakuljon ki olyan életérzése, hogy érthetetlen dolgokról szól a matematika, hanem minden esetben leírja, hogy milyen természetes gondolatmenetek vezetnek az adott absztrakt fogalmakhoz.
Nem lehet említés nélkül hagyni a könyvben szereplő példák mennyiségét és minőségét. A pusztán definíciókat és tételeket ismerő tudás hiányosságát nem kell érvekkel alátámasztani matematikához közel álló körökben. A Valós analízis könyv nagy hangsúlyt fektet példákra. Ezek segítenek összefüggést találni fogalmak között, fejlesztik a technikai, számolás jellegű készségeket. A példák nagyon igényes kiválogatására vall, hogy fejezetek végén találni elemi, számolós példákból néhányat; olyanokat, amelyekhez egy-egy ötlet kell, amelyek sok esetben több fejezetet ölelnek fel; illetve még elviselhető szinten nehezebb feladatokat. Ezek a nehézségi szintek külön-külön jelölve is vannak a példák mellett, és a nehezebb példákhoz segítség is található az utolsó oldalakon.
Röviden összefoglalva: felépítésében, mélységében, módszertanában több egyetemi képzéshez időszerűen kapcsolódik a könyv, a benne szereplő igényesen válogatott példák pedig oktatók számára is hasznossá teszik.
Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Valós Analízis I., II., Typotex, 2012, 2013. (A Nemzeti Tankönyvkiadónál 2006-ban megjelent kötetek átdolgozott és bővített kiadása)
https://www.typotex.hu/book/5080/laczkovich_miklos_t_sos_vera_valos_analizis_1
https://www.typotex.hu/book/5755/laczkovich_miklos_t_sos_vera_valos_analizis_2
Andai Attila
A szerző az ELTE fizikus szakán végzett, majd PhD fokozatot szerzett a BME Matematika- és Számítástudományok Doktori Iskolában a nemkommutatív információgeometria témaköréből. Jelenleg analízishez kapcsolódó tárgyakat oktatat a BME-n, kutatási területe a matematikai fizika.
