Az euklideszi geometriában, egy \(\mathbb{R}\) feletti vektortérben a hosszúságok és a szögek a legfontosabb mérőszámok, és a dolgok merevek. A szimplektikus geometriában a kétdimenziós mérőszámok a kulcsszereplők, és a komplex számok a természetes skalárok. Kiderül, hogy a szimplektikus struktúrák sokkal rugalmasabbak, mint a komplex függvénytan holomorf függvényei, vagy a Riemann-geometria metrikái.
A „szimplektikus” szó Hermann Weylnek a csoportokról szóló klasszikus könyvében bevezetett kifejezés tükörfordítása. A szó valójában a komplex görög megfelelője, azaz a latin com-plexus (egybefonva) szóösszetétel tagonkénti görög fordítása: \[\displaystyle \sigma\upsilon\mu-\pi\lambda\epsilon\kappa\tau\iota\kappa \omicron\zeta\]
Weyl annak a Lie-csoportnak a jelölésére javasolta ezt a szót, amely megtartja a nemelfajuló ferdén szimmetrikus bilineáris formát. Ezt megelőzően a szóbanforgó Lie-csoportot „egyenes komplex csoportnak” vagy „abeli lineáris csoportnak” nevezték (arra utalva, hogy Abel is tanulmányozta ezt a csoportot).
Egy (valós) \(M\) sokaságon lévő \(\omega\) 2-forma olyan matematikai objektum, amely minden \(p\in M\) pontban két érintővektort kap változóként, és ezekre egy valós számot ad, mégpedig ferdén szimmetrikus és bilineáris módon. Pontosabban, \(\omega\) egy \[\displaystyle \omega_p\colon T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}\] ferdén szimmetrikus leképezés-családot ad meg, amely \(p\in M\)-től sima módon függ. Az \(\omega\in\Omega^2(M)\) 2-forma szimplektikus, ha zárt (vagyis külső deriváltja, \(d\omega\) teljesíti a \(d\omega=0\) egyenletet) és nemelfajuló, vagyis minden \(\omega_p\) nemelfajuló. Ez utóbbi feltétel ekvivalens avval, hogy minden nemnulla \(v\in T_pM\) érintővektornak van egy szimplektikus „barátja”, vagyis egy olyan \(w\in T_pM\) vektor, amelyre \(\omega _p (v,w)=1\). Egy szimplektikus sokaság pedig egy \(\omega\) szimplektikus formával ellátott (valós) \(M\) sokaság.
A nemelfajulóságnak fontos következményei vannak. Tisztán lineáris algebrai alapon, a Gram–Schmidt-eljárás ferdén szimmetrikus analógját alkalmazva, minden \(p\in M\) pontban kiválaszthatjuk \(T_pM\)-nek egy \(\omega_p\)-vel kompatibilis bázisát. A bázis keresését egy \(v_1\) nemnulla vektorral kezdjük, majd megkeressük ennek \(w_1\) szimplektikus barátját. E két vektor a ferde szimmetria miatt lineárisan független. Ezután lehasítjuk a \(v_1\) és \(w_1\) által kifeszített kétdimenziós alteret, és rekurzívan folytatjuk az eljárást, míg egy \[\displaystyle v_1, w_1, \ldots , v_d, w_d\] bázist nem kapunk, ami páros sok báziselemet tartalmaz. Tehát a szimplektikus sokaságok páros dimenziósak. A fenti gondolatmenet alapján minden érintőtérre gondolhatunk komplex vektortérként is, ahol \(v_i\) és \(w_i\) egy komplex alteret feszítenek ki. Az \(\omega^d=\omega\wedge\ldots\wedge\omega\in\Omega^{2d}(M)\) legmagasabb ék-hatvány sehol sem tűnik el, hiszen minden érintőtéren \[\displaystyle \omega^d(v_1,\ldots,w_d)\neq 0.\]
Másszóval, \(\omega^d\) egy térfogati forma, így \(M\) szükségképp irányítható. A szimplektikus geometriának fontos kapcsolatai vannak az algebrai kombinatorika, az algebrai geometria, dinamika, matematikai fizika és reprezentációelmélet felé. Az ezen kapcsolatokat mutató legfontosabb példák a következők:
(1) \(M=S^2={\mathbb{CP}}^1\), és \(\omega _p(v,w)\) a \(v\) és \(w\) által meghatározott paralellogramma előjeles területe;
(2) \(M\) egy, az 1. ábrán mutatott tetszőleges Riemann-felület, és \(\omega\) az (1)-ben megismert területi forma;
(3) \(M=\mathbb{R}^{2d}\) és \(\omega_{std}=\sum_{i=1}^ddx_i\wedge dy_i\); ezt a formát standard szimplektikus formának is nevezik.
(4) \(M=T^*X\), az \(X\) sokaság koérintő nyalábja, amire fázistérként tekintünk, a \(p\)-koordináták \(X\)-ben a helyet jelölik, a \(q\)-koordináták pedig a koérintő irányban a momentumot, és \(\omega =\sum dp_i\wedge dq_i\)
(5) \(M\) egy sima komplex projektív varietás, és \(\omega\)-t a Fubini–Study-forma indukálja (ez a példa magában foglalja a sima normális tórikus varietásokat is);
(6) \(M={\mathfrak{O}}_{\lambda}\) egy kompakt, összefüggő féligegyszerű \(G\) Lie csoport koadjungált orbitja, amelyet az \(\omega\) Kostant–Kirillov–Souriau-formával látunk el. A \(G=SU(n)\) választással ezek a példák magukban foglalják a \({\mathbb{CP}}^{n-1}\) komplex projektív tereket, a \({\mathfrak{G}}r_k ({\mathbb{C}}^n)\) Grassmann-sokaságokat és az \({\mathfrak{F}}l ({\mathbb{C}}^n)\) teljes zászlósokaságokat, továbbá az összes részleges zászlósokaságokat is.
Számos irányítható sokaság nem hordoz szimplektikus struktúrát. Például a páros, legalább 4-dimenziós gömbök nem szimplektikusak. Ennek oka az, hogy egy kompakt sokaságon Stokes tétele biztosítja, hogy \([\omega]\neq 0\in H^2(M;\mathbb{R})\). Másszóval egy kompakt szimplektikus sokaságnak szükségképpen van nemtriviális 2-dimenziós kohomológiája. \(S^2\) az egyetlen ilyen gömb.
A (3) példa különösen érdekes Gaston Darboux tizenkilencedik századi matematikus differenciálformákra vonatkozó munkája alapján. Munkájának egy következménye
Darboux tétele. Legyen \(M\) egy \(2d\)-dimenziós sokaság \(\omega\) szimplektikus formával. Ekkor minden \(p\in M\) pontra létezik egy olyan \(U\), \(x_1, \ldots , x_d, y_1, \ldots , y_d\) koordinátákkal ellátott térkép, hogy ezen \[\displaystyle \omega=\sum_{i=1}^d dx_i\wedge dy_i=\omega_{std}.\]
Ez a tétel pontosítja azt az állítást, hogy a szimplektikus geometria flexibilis/rugalmas. A Riemann-geometriában lokális invariánsok (mint például a görbület) különböztetik meg a metrikákat. Darboux tétele szerint lokálisan minden szimplektikus forma identikus. Ilymódon csak olyan globális topologikus kérdések maradnak, mint Mi egy adott szimplektikus sokaság kohomológia-gyűrűje?, vagy a finomabb, szimplektikus kérdés: Milyen nagy lehet egy adott szimplektikus sokaságon egy Darboux-térkép?.
Az 1970-es és 80-as években kifejlesztett két eszköz drámai fejlődést tett lehetővé a szimplektikus geometriában és a topológiában. Marsden és Weinstein, Atiyah, valamint Guillemin és Sternberg a momentumleképezés tulajdonságait leírva megoldhatóvá tették az első, kohomológiákra vonatkozó kérdést. Gromov pedig pszeudoholomorf görbék bevezetésével adott eszközt a második típusú kérdések megtámadására. Nézzünk néhány példát mindkét fajta problémára.
Amennyiben egy szimplektikus sokaságon egy Lie-csoport hatásában megmutatkozó szimmetria figyelhető meg, akkor a sokaság ellátható egy momentumleképezéssel. Ez megmaradó mennyiségeket ad, például a perdületet. A 2-dimenziós gömbfelületen értelmezett magasságfüggvény (ld. a 2. ábrát) adja az első pélát egy ilyen leképezésre.
Ez esetben a megmaradó mennyiség épp a perdület, és a magasságfüggvény egyszerű példáját adja egy perfekt Morse-függvénynek \(S^2\)-n. Amennyiben a Lie-csoport az \(S^1\) körvonal \(T=S^1\times \ldots \times S^1\) hatványa, azt mondjuk, hogy a sokaság egy Hamilton-féle \(T\)-tér, a momentumleképezést pedig \(\phi\colon M \to \mathbb{R} ^n\) jelöli. 1982-ben Atiyah, és tőle függetlenül Guillemin és Sternberg a következő konvexitási tételt látta be (ld. a 3. ábrát):
Konvexitási tétel. Egy \(M\) kompakt Hamilton-féle \(T\)-tér esetén a \(\phi (M)\) kép egy konvex politóp, amely épp az \(M^T\) \(T\)-fixpontok \(\phi (M^T)\) képének konvex burka.
E tétel szoros kapcsolatot teremt egyrészt a szimplektikus és az algebrai geometria, másrészt a diszkrét geometria és a kombinatorika között. Atiyah bizonyítása azt is megmutatja, hogy a momentumleképezés (Bott értelmében) Morse-függvényt ad \(M\)-en, így a differenciáltopológia eszköztárát is elérhetővé teszi ahhoz, hogy \(M\) globális topológiai tulajdonságait megértsük. Momentumleképezéseket szimplektikus hányadosok készítéséhez is használni lehet.
(2) példánk szerint a kétdimenziós szimplektikus geometria nem más, mint területmegőrző geometria. Mivel egy szimplektikus forma egy térfogati formát ad, természetesen vetődik fel a kérdés, hogy magasabb dimenziókban is így van-e ez, vajon a szimplektikus geometria ott is ugyanolyan flexibilis, mint a térfogatmegőrző geometria: egy szimplektikus sokaság bárhogy nyújtható és/vagy összenyomható, feltéve, hogy a térfogatát megőrizzük? Pszeudoholomorf görbék alkalmazásával Gromov megmutatta, hogy ez nem így van, a szimplektikus leképezések sokkal merevebbek, mint térfogatmegőrző társaik. Jelölje \(B^{2d}(r)\) az \(\mathbb{R} ^{2d}\) térben lévő \(r\) sugarú golyót. 1985-ben Gromov belátta nevezetes összenyomhatatlansági tételét (ld. a 4. ábrát):
Összenyomhatatlansági tétel. Pontosan akkor létezik egy olyan \(B^{2d}(R)\to B^2 (r)\times \mathbb{R} ^{2d-2}\) beágyazás, mely megőrzi az \(\omega _{std}\) standard szimplektikus formát, ha \(R\leq r\).
A tétel egyik iránya világos: ha \(R\leq r\), akkor a megkívánt beágyazás nyilván létezik. Hogy megtalálja egy ilyen leképezés akadályát, Gromov egy \(B^2 (r)\times \mathbb{R}^{2d-2}\)-beli pszeudoholomorf görbét és a szimplektikus beágyazást használta ahhoz, hogy egy \(B^{2d}(R)\)-beli minimális felületet adjon, ami már kikényszeríti az \(R\leq r\) egyenlőtlenséget. Másrészt viszont nyilván minden \(r\) és \(R\) választásra létezik térfogatmegőrző leképezés. Informálisan szólva, a szimplektikus teve nem tud átbújni a tű fokán. Gromov fenti munkája rengeteg további eredményhez vezetett a szimplektikus invariánsok elméletében, mindegyik pszeudoholomorf görbéket használva alapnak. Ezen konstrukciók bonyolult komplex analitikus elveket és Fredholm-elméletet alkalmaznak. Nagyon fontos részét képezik napjaink szimplektikus topológiai és türörszimmetriai kutatásainak, és fontos perspektívát nyújtanak négy-sokaságok invariánsainak megértéséhez is.
A momentumleképezésről további részletek [1]-ben találhatók, míg a pszeudoholomorf görbék elméletét [2] dolgozza fel.
Irodalomjegyzék
[1] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics, 1764, Springer-Verlag, Berlin, 2001. MR 1853077
[2] D. McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, New York, 1995. MR 1373431
Tara S. Holm
Tara S. Holm a Cornell Egyetem matematika professzora, és a Notices of the AMS külső munkatársa. Cikke a Simons Foundation támogatásával a 2016. decemberi számban jelent meg. Az Érintő a dolgozatot az AMS és a szerző engedélyével közli.
A fordítást Stipsicz András készítette.
Tara S. Holm: What is….Symplectic Geometry? Notices Amer. Math. Soc. Vol. 63 Num. 11.(December 2016) 1252-1254 (The graduate student section) ©2016 American Mathematical Society,
https://
