Különböző egyenesek négyeseit1 elláthatjuk egy egyértelmű invariánssal, a projektív kettősviszonnyal: két négyes akkor és csak akkor vihető át egymásba valamely lineáris transzformációval, ha megegyezik a kettősviszonyuk. A projektív kettősviszonnyal írható le a projektív egyenes geometriája. Négy egyenes projektív kettősviszonya kiszámolható mint két alkalmas, belőlük alkotott hármas osztóviszonyának hányadosa, innen az elnevezés.
Tekintsünk négy, páronként különböző, az origón áthaladó \((x,y,z,t)\) egyenest a síkon. Ekkor léteznek lényegében egyértelmű koordináták, amelyekben \(x\) az \((1,0)\) pontot, \(y\) a \((0,1)\)-et, \(z\) az \((1,1)\)-et, és \(t\) a \((b,1)\)-et tartalmazó, fenti tulajdonságú egyenes, ahol \(b=\mathbf{b}(x,y,z,t)\) a négy egyenes projektív kettősviszonya. A projektív kettősviszony kielégíti függvényegyenletek bizonyos \(\mathcal{R}\) halmazát. Emeljünk ki ezek közül kettőt: az első két változóra vonatkozó multiplikatív kociklus-szabályt és egy additív szabályt: \[\displaystyle \begin{align} \mathbf{b}(x,y,z,t)&=\mathbf{b}(x,w,z,t) \mathbf{b}(w,y,z,t)\tag{1}\\ \mathbf{b}(x,y,z,t)&=1 – \mathbf{b}(t,y,z,x).\tag{2} \end{align}\]
Fordítva is igaz: bármely halmaz, ellátva a négyesein egy olyan \(\mathbf{b}\) függvénnyel, amely teljesíti \(\mathcal{R}\) egyenleteit, előállítható a projektív egyenes valamely részhalmazaként úgy, hogy \(\mathbf{b}\) a projektív kettősviszony megszorítása. Ez az elemi, ám figyelemre méltó állítás azt jelenti, hogy a projektív kettősviszony teljesen meghatározza a projektív egyenest. Következésképpen, értelmezhetjük a projektív kettősviszonyt úgy, mint pontnégyeseken értelmezett, bizonyos függvényegyenleteket kielégítő függvényt.
A projektív kettősviszonynak sok leszármazottja létezik az algebrai geometriában: síkok, egyenesek vagy zászlók elrendezéseinek invariánsai. Ezek kifejtését most mellőzzük; ehelyett maradunk a valós és komplex projektív egyenesnél és a kettősviszony negatív görbületű sokaságokkal, hiperbolikus dinamikával és a Teichmüller-elmélettel való kapcsolatánál.
A valós hiperbolikus sík leírható a valós projektív egyenes metrikus kiterjesztéseként. A \(\mathbb{C}\) komplex egyenesen (amelyet a komplex projektív egyenes egy affin térképeként tekintünk) a valós egyenesek részhalmaza egy körvonalat alkot2, amely ezáltal bijekcióban áll a valós projektív egyenessel. A Poincaré-féle körlap-modellben a hiperbolikus sík az \(\mathbb{U}\) egységkörvonal (mint valós projektív egyenes) által határolt körlap. A hiperbolikus sík geodetikusai az \(\mathbb{U}\)-ra merőleges körvonalak3. Az \(\mathbb{U}\) valós projektív egyenes két tetszőleges pontjára pontosan egy geodetikus illeszkedik. A projektív kettősviszony a következő módon áll kapcsolatban a hiperbolikus távolsággal.
Egy \(\mathbb{U}\)-t érintő körvonal a Poincaré-körmodellben az \(x\) érintési pont mint középpont körül egy horoszféra. Legyen \(A,B\) két különböző pont a hiperbolikus síkon, és jelöljük \(\gamma\)-val a rájuk illeszkedő egyetlen geodetikust. Jelöljük továbbá \(x,y\)-nal \(\gamma\) végtelen távoli pontjait4. Legyenek \(C_x\) és \(C_y\) azon horoszférák \(x\) illetve \(y\) körül, amelyek áthaladnak \(A\)-n illetve \(B\)-n. Végül, legyenek \(z,t\) azon \(C_z, C_t\) horoszférák középpontjai, amelyek érintik egymást és \(C_x\)-et illetve \(C_y\)-t. Ekkor, \(A\) és \(B\) egymástól vett hiperbolikus távolsága az \(x,y,z,t\) pontok projektív kettősviszonyának logaritmusa. Evvel az eljárással a hiperbolikus távolság és a projektív kettősviszony kölcsönösen meghatározza egymást.
Megfordítva, a valós projektív egyenes a hiperbolikus sík végtelenbeli pereme. A Poincaré-körmodellben két irányított geodetikus akkor és csak akkor végződik azonos \(\mathbb{U}\)-beli pontban, ha aszimptotikusak egymással, azaz korlátos távolságban maradnak egymástól5. Ez lehetővé teszi a fentiek kiterjesztését Hadamard-felületekre. Egy \(M\) kétdimenziós Riemann-sokaság Hadamard-felület, ha egyszeresen összefüggő, negatív görbületű és teljes. \(M\) végtelenbeli pereme irányított geodetikusai aszimptotikus ekvivalencia-osztályainak \(\partial_{\infty} M\) halmaza. A hiperbolikus sík végtelenbeli pereme a valós projektív egyenes. Egy horoszféra egy adott pontot tartalmazó metrikus körvonalak határértéke, amint azok sugara tart a végtelenbe.
J.-P. Otal a fenti eljárást visszájára fordítva általánosította a kettősviszonyt egy tetszőleges \(M\) Hadamard-felület \(\partial_{\infty} M\) végtelenbeli peremére: négy, \(\partial_{\infty} M\)-beli \(x,y,z,t\) pontból kiindulva tekintsük az ábrán jelölt horoszférákat, és értelmezzük \(x,y,z,t\) kettősviszonyát úgy, mint az \(A\) és \(B\) pontok (meghatározott előjellel vett) távolságának exponenciálisát. Általában, az így nyert függvény kielégíti \(\mathcal{R}\)-et, kivéve a (2) additív egyenletet! Értelmezzünk most egy kettősviszonyt egy olyan függvénynek, amely kielégíti ezt a gyengített feltétel-rendszert. Ezt az ötletet felhasználva Otal bebizonyította, hogy egy felületen egy negatív görbületű metrikát határoz meg a zárt geodetikusainak hossza. Bourdon pedig hasonló kettősviszonyok segítségével értelmezett egy durva geometriát egy általános negatív görbületű metrikus tér végtelenbeli peremén.
Térjünk most át a hiperbolikus dinamikára és Teichmüller-elméletre! Tegyük fel, hogy \(M\) az univerzális fedőfelülete egy \(S\) zárt felületnek. Noha \(\partial_{\infty} M\) fogalmát \(M\) metrikus geometriájából vezettük be, valójában kizárólag a \(\pi_1 (S)\) fundamentális csoporttól függ, tehát jelölhetjük a következőképpen is: \(\partial_{\infty} \pi_1 (S)\). Ez a végtelenbeli perem homeomorf a körvonallal, és természetes módon hat rajta \(\pi_1 (S)\). Tehát, minden negatív görbületű Riemann-metrika \(S\)-en meghatároz egy \(\pi_1 (S)\)-invariáns kettősviszonyt \(\partial_{\infty} \pi_1 (S)\)-en.
Egy kettősviszonynak létezik dinamikai interpretációja is: tekintsük \(\partial_{\infty} \pi_1 (S)\) páronként különböző ponthármasainak \(US\) hányadosát a \(\pi_1 (S)\) diagonális hatására nézve. Ez a hányados egy kompakt tér. Egy kettősviszony megadja \(US\) transzformációinak egy \(\{ \phi_t \}\) egy-paraméteres részcsoportját a következő szabály szerint: \(\phi_t (x,y,z)=(x,y,w)\), ahol \(t=\mathbf{b}(x,y,z,w)\). Ekkor az (1) multiplikatív kociklus-szabály így írható: \(\phi_{ts}=\phi_t \circ \phi_s\)6. Amennyiben a kettősviszony egy negatív görbületű Riemann-metrikából származik, e konstrukció éppen az adott metrika geodetikus áramát adja. Általánosságban, a kettősviszony közeli viszonyban áll a dinamikával.
Mi a \(\partial_{\infty} \pi_1 (S)\)-en értelmezett kettősviszonyok \(\mathcal{M}_S\) tere? Az \(S\) feletti hiperbolikus struktúrákat alkotó Fricke-tér (amelyet Riemann Uniformizációs tétele segítségével gyakran azonosítunk az \(S\) feletti komplex struktúrák \(\mathcal{T}(S)\) Teichmüller-terével) alkotja \(\mathcal{M}_S\)-ben a projektív kettősviszonyok részhalmazát. Minden ilyen kettősviszony azonosítja \(\partial_{\infty} \pi_1 (S)\)-et a projektív egyenessel, és ezáltal ábrázolja \(\pi_1 (S)\)-et \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})\)-ben. Hasonlóan, a szerző megmutatta, hogy a \(\pi_1 (S)\) csoport \(\operatorname{PSL}(n,\mathbb{R})\)-beli ábrázolásainak egy altere – az úgynevezett Hitchin-komponens – megfelel a (2) bizonyos általánosításait kielégítő kettősviszonyok terének. Végül, \(\mathcal{M}_S\) tartalmazza az \(S\) feletti negatív görbületű Riemann-metrikák terét is.
Az \(\mathcal{M}_S\) tér feltehetőleg rendelkezik egy érdekes struktúrával, amely általánosítja a Hitchin-komponens Goldman által leírt Poisson-struktúráját. Egy Poisson-struktúra egy \(Y\) halmazon nem más, mint egy Lie-algebra struktúra az \(Y\) feletti függvények valamely osztályán, amely teljesíti a függvények szorzatára vonatkozó Leibniz-szabályt. E fogalom a klasszikus mechanikából ered, és a kvantummechanikához vezet. Definíció szerint, a végtelenbeli perem minden \((x,y,z,t)\) pontnégyese megad \(\mathcal{M}_S\)-en egy \(\mathbf{b}\mapsto \mathbf{b}(x,y,z,t)\) függvényt. E függvények megszorítása a Fricke-térre származtat egy természetes függvényosztályt, amelyen Wolpert és Penner kiszámolta a Poisson-struktúrát. Később Csehov, Fock és Penner kvantálta e függvényeket (azaz: ábrázolta őket egy Hilbert-téren ható operátorokként), egy agyafúrtabb módszerrel pedig Fock és Goncsarov a Hitchin-komponenst kvantálta.
Másrészt, a kettősviszonyok alapvetőek a klasszikus Teichmüller-elmélet több tulajdonságának – úgymint például a McShane-azonosságok – általánosításában egy magasabb Teichmüller-Thurston elméletté, ami a Hitchin-komponens vizsgálatát jelenti.
A komplex projektív kettősviszony továbbá szoros viszonyban áll a háromdimenziós hiperbolikus geometriával. Két friss és szép példa erre W. Neumann tanulmánya Hilbert harmadik problémájának hiperbolikus változatáról, és a Baseilhac, Bonahon, Benedetti, Kashaev, stb. által kidolgozott kvantumhiperbolikus geometria.
A mindenütt jelenlévő kettősviszony által kielégített egyszerű függvényazonosságok elég rugalmasak ahhoz, hogy leírjanak különféle geometriai és dinamikai kérdéseket, azonban elég merevek ahhoz, hogy fontos információt hordozzanak dinamikáról, Poisson-struktúráról és felületek fundamentális csoportjának ábrázolásairól.
François Labourie szövegét fordította és megjegyzésekkel ellátta: Szabó Szilárd
François Labourie, “What is…a Cross Ratio?” Notices Amer. Math. Soc. 55 (November 2008), 1234-1235. © 2008 by the American Mathematical Society.
Irodalomjegyzék
[1] F. Labourie, Cross ratios, surface groups, \(\operatorname{PSL}(n,\mathbb{R})\) and diffeomorphisms of the circle, Publ. Math. IHES (2007), no. 106, 139-213.
[2] J.-P. Otal, Sur la géométrie symplectique de l’espace des géodésiques d’une variété à courbure négative, Rev. Mat. Iberoamericana (1992), no. 3, 441-456.
[3] W. D. Neumann, Hilbert’s 3rd problem and invariants of 3-manifolds, The Epstein Birthday Schrift, 383-411 (electronic), Geom. Top. Monogr., 1, Geom. Topol. Publ., 1998
[4] W. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, vol. 1, Princeton University Press (1997).
