Ebben az írásban egy rövid bevezetést szeretnék adni azokhoz a fogalmakhoz és állításokhoz, amelyek a méhkaptár-modell felhasználásával a Horn-sejtés egy bizonyításához vezetnek. Az 1. tételben megadjuk a hermitikus mátrixok és összegmátrixuk sajátértékei közötti kapcsolat átfogalmazását egy síkbeli problémára, a méhkaptár-modellre.
1912-ben Hermann Weyl fogalmazta meg a következő kérdést: Legyen \( A\) és \( B\) két \( n \times n\)-es hermitikus mátrix. Hogyan lehet az \( A+B\) összeg összes lehetséges sajátértékeinek halmazát meghatározni az \( A\) és \( B\) sajátértékeinek ismeretében?
Ha \( n=1\), akkor az \( A+B\) mátrix sajátértéke az \( A\) és a \( B\) mátrix sajátértékeinek összege. Jelöljük egy \( (n \times n)\)-es hermitikus mátrix sajátértékeit valós számok egy monoton csökkenő \( n\)-esével, \( \lambda=( \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_n )\)-nel. Például a \( \operatorname{diag}(3,2,5,3)\) sajátértékeket \( (5,3,3,2)\)-vel. Az \( A\), \( B\) és \( A+B\) mátrix sajátértékeit pedig rendre a \( \lambda \), \( \mu \) és \( \nu \) \( n\)-esekkel, így \( \lambda_2\) a második legnagyobb sajátértéke \( A\)-nak, stb. Könnyen kaphatunk szükséges feltételeket a \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) hármasra. Például: az \( A+B\) mátrix nyoma egyenlő az \( A\) és a \( B\) mátrix nyomainak összegével, így kapjuk azt a feltételt, hogy \[\displaystyle \nu_1 + \dots + \nu_n= \lambda_1 + \dots + \lambda_n + \mu_1 + \dots + \mu_n.\tag{1}\]
Egy másik feltétel az, hogy \[\displaystyle \nu_1 \le \lambda_1 + \mu_1,\tag{2}\]
mivel az \( A+B\) mátrix legnagyobb sajátértéke legfeljebb annyi, mint az \( A\) és \( B\) mátrixok legnagyobb sajátértékeinek az összege. Hasonló szükséges feltételeket, mint például \[\displaystyle \nu_{i+j+1} \le \lambda_{i+1}+ \mu_{j+1}, \quad 0 \le i,j,i+j <n,\tag{3}\]
Weyl bizonyított. Ha \( n=1,2\), akkor a fenti feltételek szükségesek és elégségesek. Például ha az \( A\) és a \( B\) mátrixok sajátértékei \( (3,0)\) és \( (5,0)\), akkor az \( A+B\) mátrix sajátértékei a \( (8-a,a)\), \( 0 \le a \le 3\), párok lesznek, de nem lehet például a \( (9,-1)\), \( (7,0)\), \( (4,4)\).
Magasabb dimenzióban más szükséges feltételek is vannak. Ezek mindegyike homogén lineáris egyenlőtlenség, és általánosan a minimax módszerrel vannak bebizonyítva. Ez a módszer azonban nem ad egy általános sémát, amellyel ezen egyenlőtlenségek egy szisztematikus és teljes listáját megkaphatnánk.
Alfred Horn 1962-ben megmutatta, hogy a szükséges feltételek egy teljes listája megadható az (1) által és a \[\displaystyle \nu_{k_1}+ \dots + \nu_{k_r} \le \lambda_{i_1}+ \dots + \lambda_{i_r}+\mu_{j_1} + \dots + \mu_{j_r}\] formájú lineáris egyenlőtlenségek egy listája által, ahol \( 1 \le r <n\) és az összes \( 1 \le i_1 < \dots <i_r \le n\), \( 1 \le j_1 < \dots <j_r \le n\), \( 1 \le k_1 < \dots <k_r \le n\) indexhármast egy bizonyos \( T_{r,n}\) véges halmazból választjuk. A probléma ezután a hármasok \( T_{r,n}\) halmazainak a leírására redukálódott. Horn meghatározta ezt a \( T_{r,n}\) halmazt \( n \le 8\) esetén és az általános esetben megmutatta, hogy az \( i_1, \dots, k_r\) indexekre teljesül a nyomfeltétel \[\displaystyle i_1 + \dots + i_r + j_1 + \dots + j_r= k_1 + \dots + k_r + r(r+1)/2\tag{4}\] és olyan lineáris egyenlőtlenségek, mint például \( i_1 + j_1 \le k_1 + 1\). Ez vezetett a Horn sejtéshez (lásd: [2]):
Horn-sejtés: A \( T_{r,n}\) halmaz megegyezik az összes \( 1 \le i_1 < \dots <i_r \le n\), \( 1 \le j_1 < \dots <j_r \le n\), \( 1 \le k_1 < \dots <k_r \le n\) indexek halmazával, amely teljesíti (4)-et és \[\displaystyle i_{a_1}+ \dots + i_{a_s}+j_{b_1} + \dots + j_{b_s} \ge k_{c_1} + \dots + k_{c_s}+ s(s+1)/2-t\] minden \( 1 \le s <r\)-re és minden \( T_{s,r}\)-beli \( 1 \le a_1 < \dots <a_s \le r\), \( 1 \le b_1 < \dots <b_s \le r\), \( 1 \le c_1 < \dots <c_s \le r\) indexhármasokra.
Ez a sejtés egy rekurzív algoritmust adna a \( T_{r,n}\) halmazok generálására a korábbi \( T_{s,r}\) generátorok segítségével és így a Weyl-problémának egy teljes megoldásához vezetne minden dimenzióban. A Weyl-probléma újrafogalmazására a méhkaptár-modellt használva, és a Horn-sejtés egy bizonyítására 1999-ben A. Knutson és T. Tao [4] cikkében került sor.
Most definiálni fogjuk a méhkaptárt és megadjuk a kapcsolatát Weyl feladatával. Az \( n=1\) esetben a szükséges és elegendő feltételek halmaza \( \lambda, \mu, \nu \)-re, hogy \( \lambda + \mu= \nu \). Ennek az esetnek az analógiájára definiáljuk a \[\displaystyle \lambda \oplus \mu \sim_c \nu\tag{5}\] relációt, amely akkor áll fenn ha léteznek \( A\), \( B\), \( C\) hermitikus mátrixok \( \lambda, \mu, \nu \) sajátértékekkel úgy, hogy \( A+B=C\). Így a Weyl-probléma az (5) megoldáshalmazának a meghatározása. Azt mondjuk, hogy a \[\displaystyle \lambda \oplus \mu \oplus \nu \sim_c 0\tag{6}\] reláció teljesül, ha léteznek \( A\), \( B\), \( C\) hermitikus mátrixok \( \lambda, \mu, \nu \) sajátértékekkel úgy, hogy \( A+B+C=0\). \[\displaystyle \lambda \oplus \mu \sim_c \nu \leftrightarrow \lambda \oplus \mu \oplus (-\nu) \sim_c 0,\] ahol \( -\nu:=(- \nu_{n}, \dots, – \nu_1)\). Ezért a Weyl-probléma megoldásához elégséges meghatározni az olyan \( \lambda, \mu, \nu \) hármasok halmazát, amelyek teljesítik (6)-ot. A (6) előnye, hogy \( S_3\) szimmetriájú \( (\lambda, \mu, \nu )\)-ben, míg az (5) \( S_2\) szimmetriájú \( (\lambda, \mu )\)-ben. \( n=1\) esetén \( \lambda \oplus \mu \oplus \nu \sim_c 0 \leftrightarrow \lambda + \mu + \nu = 0\). Magasabb dimenzióban \[\displaystyle \lambda_{1}+ \dots + \lambda_{n}+\mu_{1} + \dots + \mu_{n}+ \nu_{1}+ \dots + \nu_{n}= 0\] analóg (1)-gyel, a (2) analógja pedig \[\displaystyle \lambda_{1}+ \mu_{1} + \nu_{n} \ge 0.\]
Ezen relációkra alapozva vezessük be az \( \mathbb{R}^3_{\Sigma =0}:=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x+y+z=0 \}\) síkot. Ezt a síkot a \( (0,1,-1)\), \( (-1,1,0)\), \( (-1,0,1)\), \( (0,-1,1)\), \( (1,-1,0)\), \( (1,0,-1)\) vektorok generálják, ezeket kardinális irányoknak nevezzük. Ezt a síkot ábrázolhatjuk úgy, hogy a felsorolt vektoroknak megfeleltetjük \( \mathbb{R}^2\)-ben rendre az észak-nyugati, északi, észak-keleti, dél-keleti, déli, dél-nyugati irányokat úgy, hogy az észak-nyugati és észak-keleti irányok illetve a dél-keleti és dél-nyugati irányok \( 60^{\circ}\)-os szöget zárnak be az északi illetve a déli iránnyal, nem pedig \( 45^{\circ}\)-t. Diagramnak nevezünk olyan \( \mathbb{R}^3_{\Sigma =0}\)-beli intervallumokból (lehet egyik irányban végtelen intervallum) álló konfigurációt, amelynek minden éle párhuzamos a kardinális (észak-déli, északkelet-délnyugati, északnyugat-délkeleti) irányok egyikével és minden intervallum meg van számozva egy pozitív egész számmal, amelyet az intervallum multiplicitásának vagy tenziójának hívunk. Minden diagramhoz hozzárendelhetünk egy mértéket, amelyet úgy kapunk, hogy vesszük a Lebesgue-mértékek összegét minden intervallumon a multiplicitással súlyozva. Azt mondjuk, hogy a \( d\) és \( d’\) diagramok ekvivalensek ha a hozzájuk tartozó mértékek egyenlők.
Ha \( h\) egy diagram és \( \kappa \) egy \( \mathbb{R}^3_{\Sigma =0}\)-beli pont, akkor azt mondjuk, hogy \( \kappa \) egy zéró-tenziójú pontja \( h\)-nak, ha \( \kappa \)-nak egy elég kis környezetében, \( h\) ekvivalens \( \kappa \)-ból kiinduló sugarak egy uniójával, amelyek koordináta vektorainak az összege megszorozva a multiplicitásukkal, 0-val egyenlő. Mivel a \( \kappa \)-ból kiinduló egység hosszúságú vektorok összegének, súlyozva a multiplicitásukkal, zérónak kell lennie, ha egy irány és ennek negatívja pozitív multiplicitással fordul elő, akkor kivonhatjuk őket egymásból. Két eset érdekel minket: 1) ha egy pont egy intervallumra esik, ebben az esetben a zéró-tenzió feltétel azt jelenti, hogy a pontból induló két sugárnak ugyanaz a multiplicitása; 2) ha egy pont egy \( Y\) alakú rész centruma, ebben az esetben a pontból induló három sugár ismét egyenlő multiplicitású. Ez és pár további eset látható az ábrákon, ahol az ábécé kis betűi a multiplicitást jelölik.
Egy méhkaptár egy olyan diagram (pontosabban diagramok ekvivalencia osztálya), hogy
1.) minden \( \mathbb{R}^3_{\Sigma =0}\)-beli pont zéró-tenziójú,
2.) csak véges sok olyan pont létezik, amelyből több, mint két sugár indul ki, ezeket csúcsoknak fogjuk hívni, (ezek csak a 2., 3., 4., 5., 6. ábrákon levő pontok lehetnek, itt a pontból kiinduló sugarak a multiplicitásukkal vannak számozva)
3.) a félig végtelen intervallumok csak észak-keleti, észak-nyugati és déli irányokba futnak. Ezeket az intervallumokat a méhkaptár határéleinek nevezzük.
Minden méhkaptár esetén mindhárom kardinális irányba ugyanannyi számú határél mutat az éleket a multiplicitásukkal együtt számolva, mivel a méhkaptár hálózat tenziója 0. \(n\)-méhkaptárnak nevezzük a mindhárom irányban \( n\) határéllel rendelkező méhkaptárt.
A 7. és a 8. ábrák két méhkaptárt mutatnak. Az 7. ábrán egy 4-méhkaptárat látunk, amelynek minden éle 1 multiplicitású, és csak olyan csúcspontjai vannak, ahol a pont egy \( Y\) alakzat centruma (lásd a 2. ábrát). A 8. ábrán egyetlen él van, amely 2 multiplicitású, ez déli irányú határél, a többi él multiplicitása 1. Van egy 1 multiplicitású déli irányú határél is, ezért a déli irányba 3 határél mutat, az észak-nyugati irányba és az észak-keleti irányba három-három 1 multiplicitású határél mutat. Ezért ez egy 3-méhkaptár.
Mivel egy méhkaptárban minden él párhuzamos a kardinális irányok egyikével, és ezen irányok három koordinátájának egyike 0-val egyenlő, minden méhkaptárélnek van egy konstans koordinátája (ez a koordinátája közös az él menti összes pontnak). Vegyük a határélek konstans koordinátáit és írjuk, hogy \[\displaystyle (\lambda_{1}, \dots , \lambda_{n}, \mu_{1}, \dots , \mu_{n}, \nu_{1}, \dots , \nu_{n})=(\lambda, \mu, \nu ),\] mint a 9. ábrán, ahol a görög betűk jelölik a konstans koordinátákat.
A következő tétel átfogalmazza a hermitikus mátrixok és az összegmátrixuk sajátértékei közötti problémát a síkbeli méhkaptár ábrázolásra:
1. tétel: Legyen \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) valós számok monoton csökkenő \( n\)-esei. Akkor és csak akkor léteznek \( A\), \( B\) és \( A+B\) hermitikus mátrixok \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) sajátértékekkel, ha létezik egy méhkaptár, amely határéleinek konstans koordinátái \( (\lambda , \mu , -\nu )\).
Az 1. tétel bizonyítása A. Knutson és T. Tao [4] cikkéből következik. Ennek a tételnek az átfogalmazása a (6) szimmetrizált relációra vonatkozóan:
2. tétel: A (6) reláció akkor és csak akkor teljesül, ha létezik egy méhkaptár \( (\lambda, \mu, \nu )\) konstans határél-koordinátákkal.
Hogy érzékeltessük az 1. (vagy 2.) tétel igazságát, megadjuk az 1- és a 2-méhkaptárt: Ha \( n=1\), akkor \( \lambda =(\lambda_1)\), \( \mu=(\mu_1)\), \( \nu=(\nu_1)\). A (6) reláció akkor és csak akkor teljesül, ha \( \lambda_1+\mu_1+\nu_1=0\). 1-méhkaptárat akkor és csak akkor kapunk, ha a három határél koordinátáinak összege 0. Az élek a konstans koordinátájukkal vannak számozva. Ezért az 1-méhkaptár \( Y\) alakú (lásd a 10. bal oldali ábrát).
Most tekintsük az \( n=2\) esetet. Ekkor \( \lambda =(\lambda_1, \lambda_2)\), \( \mu=(\mu_1, \mu_2)\), \( \nu=(\nu_1, \nu_2)\). A 2-méhkaptár (lásd a 11. ábrát) egyértelműen meg van határozva a határél-koordinátákkal. Ezeknek teljesíteniük kell a nyomfeltételt, (1)-et. Továbbá az élek hosszúsága nem lehet negatív. Az éleket a konstans koordinátájukkal számozzuk. Az élek hosszát kiszámolhatjuk (egy irreleváns \( \sqrt{2}\) faktor erejéig) úgy, hogy kivonjuk két párhuzamos szomszédos él konstans koordinátáit. Például a \( \lambda_2\)-vel, \( \mu_2\)-vel, \( \nu_2\)-vel számozott élek hossza: \( \lambda_1+\mu_2+\nu_1\), \( \lambda_1+\mu_1+\nu_2\), \( \lambda_2+\mu_1+\nu_1\). Mivel ezek nem negatívak, megkapjuk a (3) szükséges feltételek analógjait, hogy \( \lambda_1+\mu_2+\nu_1 \ge 0\), \( \lambda_1+\mu_1+\nu_2 \ge 0\), \( \lambda_2+\mu_1+\nu_1 \ge 0\). \( n=2\) esetén ezek szükséges és elégséges feltételét adják a (6) reláció teljesülésének.
Magasabb dimenzióban több méhkaptár is létezik ugyanolyan határél-koordinátákkal. Az 1. tétel bizonyításához szükség van a tétel egy kvantált verziójára és annak bizonyítására. Először az (5) reláció kvantum verzióját adjuk meg. Ebben a relációban a \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) \( n\)-esekben csak egész számok fordulnak elő, míg az (5) relációban valós \( (\lambda, \mu, \nu )\) \( n\)-esek vannak. A kvantált relációt egy kombinatorikai feladattal, a Littlewood-Richardson ferde táblázat létezésével vezetjük be. Ez a táblázat a \( GL_n(\mathbb{C})\) csoport reprezentáció-elméletében kap fontos szerepet, amelyet az Appendixben írunk le. A Littlewood-Richardson ferde táblázat fogalmához a Young-diagram és -táblázat fogalmán keresztül jutunk.
Legyen \( \alpha \) egy pozitív egész szám. \( \alpha \) minden \( \alpha=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n\), \( \alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \ldots \ge \alpha_n\), nemnegatív monoton csökkenő egész számok összegére történő felbontásához hozzárendeljük azt a diagramot, amely \( \alpha \) cellából áll, amelyek balra záródó sorokba rendeződnek úgy, hogy az első sorban \( \alpha_1\), a második sorban \( \alpha_2\), …, \( n\).-sorban \( \alpha_n\) cella van. Ezt a diagramot Young-diagramnak hívjuk. \( \alpha \) felbontását pedig \( \alpha=(\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \ldots \ge \alpha_n)\)-nel fogjuk jelölni. A felbontáshoz tartozó cellákat pozitív egész számokkal töltjük ki úgy, hogy
\( (*)\) a számok minden sorban balról jobbra monoton növekedően helyezkednek el és minden oszlopban fentről lefelé szigorúan monoton növekedően állnak. Ekkor Young-táblázatról beszélünk.
A sztenderd Young-táblázat egy olyan táblázat, amelynek celláiba 1-től \( \alpha \)-ig írjuk be a számokat, mindegyiket egyszer. Általában egy táblázatban a számok többször is ismétlődhetnek. Például: A 12. ábra \( (6,4,4,2)\) Young-táblázatokat mutat, és a jobb oldali táblázat sztenderd.
Ha két diagram az \( \alpha=(\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \ldots \ge \alpha_n)\) és a \( \beta=(\beta_1 \ge \beta_2 \ge \ldots \ge \beta_n)\) felbontásokhoz tartozik úgy, hogy \( \beta_i \le \alpha_i\) minden \( i\)-re, akkor azt mondjuk, hogy a \( \beta\) Young-diagramját tartalmazza az \( \alpha \) Young-diagramja, és úgy jelöljük, hogy \( \beta \subset \alpha \). Ferde diagramot, \( \alpha / \beta \)-t akkor kapunk, ha egy nagyobb diagramból \( \alpha \)-ból kitöröljük egy kisebb diagram \( \beta\) celláit. Ferde táblázatról akkor beszélünk, ha egy ferde diagramot úgy töltünk ki pozitív egész számokkal, hogy teljesüljön a \( (*)\) feltétel. Például: Ha \( \alpha =(5,5,4,3,2)\) és \( \beta=(4,4,1,0,0)\), akkor a 13. ábra bal oldala egy ferde diagramot, a jobb oldala egy ferde táblázatot mutat.
Az \( \alpha / \beta \) diagram celláit úgy rendezzük, hogy először felsoroljuk a legfelső sorban a cellákat jobbról balra, utána a második sorban a cellákat jobbról balra és így tovább. A \( \alpha / \beta \) alakú ferde diagram \( \gamma =(\gamma_1 \ge \gamma_2 \ge \ldots \ge \gamma_n)\) tartalmú, ha a diagramot \( \gamma_1\) 1-gyel, \( \gamma_2\) 2-vel, \( \gamma _n\) \( n\)-nel töltjük ki úgy, hogy teljesüljön a következő tulajdonság: Minden \( p\)-re, \( 1 \le p < \sum \gamma_i=\gamma \), és minden \( i\)-re, \( 1 \le i < n\), az a szám, ahányszor \( i\) előfordul a rendezés szerinti első \( p\) cellában, legalább akkora, mint ahányszor az \( i+1\) előfordul ebben az első \( p\) cellában. Az így kitöltött táblázatot nevezzük Littlewood-Richardson ferde táblázatnak \( \alpha / \beta \) alakkal és \( \gamma \) tartalommal. Például: Ha \( \alpha =(5,4,3,2)\), \( \beta =(3,3,1,0)\), és \( \gamma \) rendre \( (5,2,0,0)\), \( (5,1,1,0)\), \( (4,3,0,0)\) akkor a 14. ábrán látható Littlewood-Richardson ferde táblázatokat kapjuk:
Az (5) reláció kvantum analógja \[\displaystyle \lambda \oplus \mu \sim_q \nu,\tag{7}\] akkor áll fenn, ha létezik legalább egy Littlewood-Richardson ferde táblázat \( \nu / \lambda \) alakkal és \( \mu \) tartalommal.
Látható, hogy a \( \sum \nu_i= \sum \lambda_i+ \sum \mu _i\) feltétel, amely az (1) nyomfeltétel, szükséges ahhoz, hogy létezzen Littlewood-Richardson ferde táblázat \( \nu / \lambda \) alakkal és \( \mu \) tartalommal. A kapcsolat a klasszikus és a kvantum reláció között a következő:
3. tétel: Legyenek \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) egész számok monoton csökkenő \( n\)-esei.
2. Fordítva, ha (5) teljesül, akkor létezik egy \( N >0\) egész szám úgy, hogy \( N \lambda \oplus N \mu \sim_q N \nu \), ahol \( N \lambda=(N \lambda _1, \dots, N \lambda _n)\).
Továbbá teljesül a következő állítás:
4. állítás: A fenti tételben \( N=1\)-nek vehető, azaz (5) és (7) ekvivalens egész \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) \( n\)-esekre.
A 4. állítás saturation-sejtésként volt ismert, és az első bizonyítását A. Knutson és T. Tao adták [4]-ben.
Az 1. tétel kvantum analógjának megfogalmazásához megadjuk az egész méhkaptár definicióját.
Egy méhkaptárt egész méhkaptárnak nevezzük, ha csúcspontjai (amelyekből legalább két él indul ki) egész koordinátájúak, azaz \( \mathcal{Z}^3_{\Sigma =0}:= \mathbb{R}^3_{\Sigma =0} \cap \mathbb{Z}^3\)-beliek.
Egy egész méhkaptár határél-koordinátái szükségszerűen egészek.
5. tétel: A (7) reláció pontosan akkor teljesül, ha létezik egy egész méhkaptár \( (\lambda , \mu , -\nu )\) határél-koordinátákkal.
A 5. és a 3. tételekből következik az 1. és a 2. tétel. A. Knutson és T. Tao leredukálták [4]-ben a saturation-sejtést a következő méhkaptárral kapcsolatos problémára, amelyet [4]-ben be is bizonyítottak.
6. tétel: Legyen \( h\) egy valós értékű méhkaptár egész határél-koordinátákkal. Ekkor létezik egy \( h’\) egész méhkaptár ugyanazokkal a határél-koordinátákkal, mint \( h\).
Ezzel megadták a saturation-sejtés első bizonyítását. Most újra fogalmazzuk a Horn sejtést, felhasználva A. A. Klyachko eredményét (lásd. [3]). Horn bebizonyította [2]-ben, hogy az (5) reláció megoldáshalmaza megadható az (1) által, és véges számú \[\displaystyle \lambda_{i_1+r}+ \ldots+ \lambda_{i_r+1}+ \mu_{j_1+r} +\ldots+ \mu_{j_r+1} \ge\nu_{k_1+r}+\ldots+ \nu_{k_r+1}\tag{8}\] alakú egyenlőtlenség által, ahol \( 1 \le r <n\), és \( i=(i_1 \ge \ldots \ge i_r)\), \( j=(j_1 \ge \ldots \ge j_r)\), \( k=(k_1 \ge \ldots \ge k_r)\) egész számok monoton csökkenő sorozatai 0 és \( n-r\) között inkluzívan. Egy ilyen formájú \( (i,j,k)\) hármast megengedettnek nevezünk. Például (2) a \( ((0),(0),(0))\) megengedett hármassal (8) alakú. Indukcióval megmutatható, hogy a Horn-sejtés ekvivalens a következővel:
7. sejtés: Legyenek \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) valós számok monoton csökkenő sorozatai. Ekkor az (5) reláció akkor és csak akkor teljesül, ha (1) fennáll és (8) teljesül mindannyiszor, amikor \( i\), \( j\), \( k\) megengedett és \( i \oplus j \sim_c k\).
A. A. Klyachko a [3]-ban megmutatta, hogy a Horn-sejtés igaz, ha a klasszikus \( \sim_c \) relációt a kvantum \( \sim_q \) relációval helyettesítjük \( (i,j,k)\)-n:
8. tétel: Legyenek \( \lambda \), \( \mu \), \( \nu \) valós számok monoton csökkenő sorozatai, amelyek teljesítik (1)-et.
1. Ha (5) reláció teljesül, akkor (8) mindannyiszor teljesül, amikor \( i\), \( j\), \( k\) megengedett és \( i \oplus j \sim_q k\).
2. Fordítva, ha (8) teljesül mindannyiszor, amikor \( i\), \( j\), \( k\) megengedett és \( i \oplus j \sim_q k\), akkor teljesül az (5) reláció.
Így az \(m<n\) dimenziós kvantumprobléma megoldhatósága meghatározza a Weyl-feladat megoldhatóságát a klasszikus \( n\)-dimenziós problémára (( \( n \times n\))-es hermitikus mátrixok összegére). A saturation-tétel bizonyítása, amely azt mondja, hogy minden ilyen kvantumprobléma pontosan akkor megoldható, ha a hozzá tartozó klasszikus probléma (ugyanabban a dimenzióban) megoldható, rekurzív módot ad a Horn-sejtés bizonyítására.
A [6] cikkben A. Knutson, T. Tao és C. Woodward megadták a 8. tételnek egy tisztán méhkaptár-elméleti bizonyítását, ezzel a Horn-sejtésnek egy bizonyítását, direkt módon a saturation-sejtésből. Az [5] cikket szeretném ajánlani mindazoknak, akik szeretnének megismerkedni ezen gondolatkör bizonyításának az ötleteivel.
Appendix
A \( \lambda \oplus \mu \sim_q \nu\) kvantumreláció az \( U_n\) unitér csoport irreducibilis reprezentációival vagy ami ezzel ekvivalens, a \( GL_n(\mathbb{C})\) véges dimenziós irreducibilis holomorf reprezentációival áll szoros kapcsolatban. Minden ilyen reprezentációnak van egy legnagyobb súlya, amely egy monoton csökkenő \( \lambda=( \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_n )\) egész számokból álló \( n\)-es. \( GL_n(\mathbb{C})\) irreducibilis polinomiális reprezentációi a következőképpen adhatók meg (lásd [1], Section 8, Representations of the general linear group): A konstrukcióhoz szükségünk lesz a korábban definiált Young -diagramra. A \( GL_n(\mathbb{C})=GL(V)\), ahol \( V\) egy \( n\)-dimenziós komplex vektortér, irreducibilis polinomiális reprezentációi a \( \lambda \) maximálisan \( n\) sorból álló Young-diagramjai által paraméterezhetők, és bázisaik a \( \lambda \) Young-táblázataihoz rendelhetők, amelynek elemei \( [n]=\{1,2,\ldots,n\}\)-beliek. Ha \( \lambda =(n)\), (azaz a \( \lambda \) Young-diagramja egy sorban levő \( n\) cellából áll) akkor a \( V_{\lambda}\) reprezentáció (Schur- vagy Weyl-modul) a \( \operatorname{Sym}^n V\) \( n\)-edik szimmetrikus hatványa \( V\)-nek. Ha \( \lambda =(1^n)=(1+1+\ldots+1)\), (azaz a \( \lambda \) Young-diagramja egy oszlopban levő \( n\) cellából áll) akkor a \( V_{\lambda}\) reprezentáció az \( n\)-eddik \( \wedge^n V\) külső hatványtér.
A további reprezentációk megkonstruálásához szükséges a kicserélés fogalma. Ez egy \( \lambda \) Young-diagram két oszlopának és a két oszlopban ugyanannyi számú cellának a kiválasztásától függ. A \( \lambda \) diagram minden \( T\) kitöltését megengedjük (tetszőlegesen rendezhetjük el a cellákban az elemeket). A \( T\) kitöltött diagramból a kicserélés után úgy kapjuk \( S\)-et, hogy a kiválasztott két oszlopban felcseréljük a két kiválasztott cellahalmazban levő elemeket, megtartva mindkettő merőleges rendezését, és a többi elemet változatlanul hagyjuk. Például: Ha \( \lambda =(4,3,3,2)\) és a harmadik oszlopból a felső két cellát, a második oszlopból a második és a negyedik cellát választjuk, akkor a kicserélés eredményéül a \( T\) kitöltött diagramból az \( S\)-t kapjuk (lásd 15. ábrát).
Jelölje \( V^{\times \lambda}:=V \times V \times \ldots \times V\) a \( V\) vektortér \( m= \sum \lambda_i\) másolatának a Descartes-szorzatát, amely a \( \lambda \) Young-diagramjának \( m\) cellája szerint van számozva. Így egy \( v \in V^{\times \lambda}\) elem megadható \( \lambda \) minden cellájára \( V\) egy speciális eleme által. Legyen \( F\) egy komplex vektortér. Tekintsük a \( \varphi: V^{\times \lambda} \to F\) leképezéseket, amelyek teljesítik a következő tulajdonságokat:
(1) \( \varphi \) \( \mathbb{C}\)-multilineáris,
(2) \( \varphi \) alternáló \( \lambda \) minden oszlopának elemeiben, azaz \( \varphi \) eltűnik, ha két elem ugyanabban az oszlopban megegyezik. Az (1)-gyel együtt ebből az következik, hogy \( \varphi (v)=-\varphi (v’)\), ha \( v’\)-t úgy kapjuk \( v\)-ből, hogy felcserélünk két elemet egy oszlopban.
(3) Minden \( v \in V^{\times \lambda}\)-ra \( \varphi (v)=\sum \varphi (w)\), ahol az összegzés az összes olyan \( w\)-re történik, amelyet \( v\)-ből kapunk úgy, hogy két adott oszlop között kicseréljük a jobb oldali választott oszlop egy adott cellahalmazát. Például: Ha \( \lambda=(2,2,2)\) és a második oszlopban a felső cellát választjuk, akkor a 16. ábrán levő egyenletet kapjuk.
A \( V_{\lambda}\) Schur-modul egy \( \mathbb{C}\)-vektortér úgy, hogy létezik egy \( V^{\times \lambda} \to V_{\lambda}:v \mapsto v_{\lambda}\) leképezés, amely teljesíti (1)–(3)-t, és minden \( \varphi: V^{\times \lambda} \to F\) leképezésre, amely teljesíti (1)–(3)-t létezik egy egyértelmű \( \tilde{\varphi}: V_{\lambda} \to F\) homomorfizmus, amelyre \( \varphi(v)=\tilde{\varphi}(v_{\lambda})\) teljesül minden \( v \in V^{\times \lambda}\) esetén. \( V_{\lambda}\) megkonstruálásához először vegyük észre, hogy az (1) tulajdonságú univerzális modul a \( V^{\otimes \lambda}\) tenzorszorzata \( V\) \( m\) másolatának, ahol a faktorok \( \lambda \) cellái szerint vannak indexelve. Az (1) és (2) tulajdonságú univerzális modul a hányados modulja \( V^{\otimes \lambda}\)-nak azzal a részmodullal, amelyet \( V\) elemeiből képzett olyan tenzorok generálnak, amelyeknek van két egyező eleme ugyanabban az oszlopban. Az ebben a lépésben kapott modul azonosítható a \( \wedge^{\delta_1} V \otimes_{\mathbb{C}} \ldots \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^{\delta_l} V\) modullal, ahol \( \delta_i\) a Young diagram \( i\)-dik oszlopának hossza, azaz \( \delta =\tilde {\lambda}\). Például: a 17. ábra esetén \( \lambda \) egy \( (6,4,4,2)\) diagram, a konjugáltja \( \tilde {\lambda}\) egy \( (4,4,3,3,1,1)\) diagram.
Ha adott egy vektor \( V^{\times \lambda}\)-ban, akkor tekintsük minden oszlopban az elemek külső szorzatát az oszlop tetejétől az aljáig, és vegyük ezeknek az osztályoknak a tenzorszorzatát (lásd a 18. ábrát)
Jelöljük ezt a \( V^{\times \lambda} \to \wedge^{\delta_1} V \otimes_{\mathbb{C}} \cdots \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^{\delta_l} V\) leképezést \( v \mapsto \wedge v\)-vel. Ekkor \( V_{\lambda}\) a \( \wedge^{\delta_1} V \otimes_{\mathbb{C}} \cdots \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^{\delta_l} V/Q^{\lambda}(V)\) hányadosmodul, ahol \( Q^{\lambda}(V)\) az a részmodul, amely az összes \( \wedge v- \sum \wedge w\) alakú elem által van generálva, ahol az összegzés az összes olyan \( w\) elemre megy, amelyet \( v\)-ből a (3)-ban leírt kicseréléssel kapunk. Például: \( V_{(2,1)}\) a hányadosa \( \wedge^2 V \otimes V\)-nek az összes \( u \wedge v \otimes w-w \wedge v \otimes u-u \wedge w \otimes v\) alakú vektorok által generált részmodullal.
Tegyük fel, hogy van egy rendezett \( e_1\), …, \( e_n\) halmaza \( V\) elemeinek. Ekkor minden \( T\) kitöltésére a \( \mu \) diagramnak \( [n]\) elemeivel, megkapunk \( V^{\times \mu}\)-nek egy elemét, ha helyettesítjük a \( T\) celláiban minden \( i\)-t \( e_i\)-vel. Ennek az elemnek a képe \( V_{\mu}\)-ben legyen \( e_{T}\). Legyen \( H \subset GL(V)\) a diagonális mátrixok részcsoportja és jelöljük \( x=\operatorname{diag}(x_1,\ldots,x_n)\)-nel az \( x_1\), …, \( x_n\) elemű diagonális mátrixot \( H\)-ban. Egy \( v \in V_{\mu}\) vektort súlyvektornak nevezünk a \( \mu =(\mu_1 \ge \ldots \ge \mu_n)\) súllyal \( \mu_i \in \mathbb{Z}\), ha \( x \cdot v=x_1^{\mu_1} \cdots x_n^{\mu_n} v\) minden \( x \in H\) esetén. Legyen \( B \subset GL(V)\) a felső trianguláris mátrixok Borel-részcsoportja. Egy \( v\) súlyvektort legnagyobb súlyú vektornak nevezzük, ha \( B \cdot v=\mathbb{C}^{\ast} \cdot v\). Egy nemnulla skalárszorzás erejéig az egyetlen legnagyobb súlyú vektor a \( V_{\mu}\) reprezentációban az \( e_T\) vektor, ahol \( T=U(\mu )\) a \( \mu \)-nek az a táblázata, amelynek \( i\)-dik sora csak az \( i\) egész számot tartalmazza. Például: \( \mu =(4,4,3,2)\) esetén a 19. ábra mutatja a \( U(\mu )\) táblázatot.
\( GL_n(\mathbb{C})\) minden véges dimenziós irreducibilis reprezentációjának egyetlen legnagyobb súlyvektora van. Két reprezentáció pontosan akkor izomorf, ha a legnagyobb súlyvektoruk súlya megegyezik. Ha \( \lambda \) maximálisan \( n\) sorból áll, akkor \( GL_n(\mathbb{C})\)-nek minden \( V_{\lambda}\) reprezentációja egy irreducibilis reprezentáció a \( \lambda =(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n)\) legnagyobb súllyal. Ezek \( GL_n(\mathbb{C})\) összes irreducibilis polinomiális reprezentációi. Minden \( \alpha =(\alpha_1 \ge \ldots \ge \alpha_n)\), \( \alpha_i \in \mathbb{Z}\), esetén egyetlen \( \alpha \) legnagyobb súlyú irreducibilis reprezentációja létezik \( GL_n(\mathbb{C})\)-nek, ez a \( V_{\lambda} \otimes D^{\otimes k}\) tenzorszorzattal adható meg, ahol \( k \in \mathbb{Z}\) úgy, hogy \( \lambda_i=\alpha_i -k \ge 0\) minden \( i\)-re. Itt \( D=\wedge ^n V\) és \( D^{\otimes k}\) a \( GL(V) \to \mathbb{C}^{\ast}\), \( g \mapsto \hbox{det} (g)^k\) 1-dimenziós reprezentáció.
Ha adott két \( V_{\lambda}\), \( V_{\mu}\) irreducibilis reprezentációja \( GL_n(\mathbb{C})\)-nek a \( \lambda =(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n)\) és \( \mu =(\mu_1 \ge \mu_2 \ge \dots \ge \mu_n)\), \( \lambda_i, \mu_i \in \mathbb{Z}\), legnagyobb súllyal, akkor a \( V_{\lambda} \otimes V_{\mu}\) tenzorszorzat egy másik véges dimenziós holomorf reprezentációja \( GL_n(\mathbb{C})\)-nek. A \( V_{\lambda} \otimes V_{\mu}\) tenzorszorzat felbomlik irreducibilis reprezentációk direkt összegére, és az a szám \( c_{\lambda \mu}^{\nu}\), hogy egy adott \( V_{\nu}\) irreducibilis reprezentáció hányszor fordul elő ebben az összegben, független a felbontás választásától. Ezt nevezzük Littlewood-Richardson együtthatónak. Ez éppen a \( \nu / \lambda \) alakú és \( \mu \) tartalmú Littlewood-Richardson ferde táblázatok száma. A (7) kvantumrelációt úgy definiáljuk, hogy akkor áll fenn, ha a \( V_{\nu}\) irreducibilis reprezentáció egy másolata legalább egyszer előfordul a \( V_{\lambda} \otimes V_{\mu}\) tenzorszorzatban, azaz ha \( c_{\lambda \mu}^{\nu}>0\).
A (7) reláció szimmetrikus alakját pedig úgy definiáljuk, hogy a \[\displaystyle \lambda \oplus \mu \oplus \nu \sim_q 0\] reláció akkor teljesül, ha \( V_{\lambda} \otimes V_{\mu} \otimes V_{\nu}\) tenzor szorzat tartalmaz egy nemtriviális \( GL_n(\mathbb{C})\) invariáns vektort.
A saturation-sejtés a 4. állítás formájában a \( GL_n(\mathbb{C})\) csoportra igaz.
Figula Ágota
Debreceni Egyetem Matematikai Intézete
Irodalomjegyzék
[1] W. Fulton, Young Tableaux, Cambridge Univ. Press, 1997.
[2] A. Horn, Eingenvalues of sums of Hermitian matrices, Pacific J. Math. 12 (1962), 225–241.
[3] A. A. Klyachko, Stable vector bundles and Hermitian operators, Selecta Math. (N.S.) 4 (1998), 419–445.
[4] A. Knutson and T. Tao, The honeycomb model of \( GL_n(\mathbb{C})\) tensor products I: Proof of the saturation conjecture, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 1055–1090.
[5] A. Knutson and T. Tao, Honeycombs and Sums of Hermitian Matrices, Notices in AMS, (2001), 175–186.
[6] A. Knutson, T. Tao and C. Woodward, The honeycomb model of \( GL_n(\mathbb{C})\) tensor products II: Facets of the Littlewood-Richardson cone, J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 19–48.
