Kalmár László Rédei Lászlóhoz írott levelében, amely a Kalmárium, Szabó Péter Gábor által összeállított gazdag [6] gyűjtemény 196–199. oldalain olvasható) találtam a következő állítást, amely négyszámtétel néven szerepel Kalmár sokkal korábbi [4] cikkében is.
1. Tétel Ha \( a,b,c\) és \( d\) olyan pozitív egész számok, hogy \[\displaystyle ab=cd\] akkor van négy olyan természetes szám, \( x,y,z\) és \( u\), hogy \[\displaystyle a=xy, b=zu, c= xz, d=yu.\tag{1}\]
Ott a bizonyítás nagyjából másfél oldal terjedelmű, teljes indukción alapul, és Kalmár egy kanadai kollégája (De Witte) a múlt század hatvanas éveinek végén a bizonyítás publikálását javasolja annak egyszerűsége miatt. A teljes Kalmár-bibliográfia [5] szerint úgy tűnik, mégsem készült a cikknek angol változata.
Adunk itt egy „csúnya” bizonyítást arra, hogy a feltétel nemcsak elégséges, hanem szükséges is.
Bizonyítás. Jelölje tetszőleges \( \xi\) természetes szám logaritmusát \( \overline{\xi}\). Akkor a bennünket érdeklő kérdés az, hogy mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a \[\displaystyle\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{x} \\ \overline{y} \\ \overline{z} \\ \overline{u} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{b} \\ \overline{c} \\ \overline{d} \\ \end{pmatrix}\] lineáris egyenletrendszernek létezik megoldása. Erre a közismert válasz [3, 184. oldal, 1. tétel] vagy [2, 86. oldal, 3.4.3. tétel]: pontosan akkor, ha az \(\textbf{A}:=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\) együtthatómátrixnak és az \((\textbf{A}\vert\textbf{b})\) úgynevezett kibővített mátrixnak (ahol \(\textbf{b}:=\begin{pmatrix} \overline{a} \\ \overline{b} \\ \overline{c} \\ \overline{d} \\ \end{pmatrix}\)) a rangja megegyezik. Néhány sorművelet után könnyen látszik, hogy ez épp akkor teljesül, ha a feltétel fennáll.
Be kell még látnunk, hogy a feltétel teljesülése esetén léteznek alkalmas egész számok. Az egyenletrendszer explicit megoldása ilyen alakban írható: \[\displaystyle \overline{y}=\overline{a}-\overline{x}\quad \overline{z}=\overline{c}-\overline{x}\quad \overline{u}=\overline{b}-\overline{c}+\overline{x}.\]
Legyen \(c=c_1c_2\), és írjuk fel az \( a\) és \( b\) számot \( a=c_1\alpha, b=c_2\beta\) alakban (a \( c_1,c_2,\alpha,\beta\) pozitív egész számokkal), akkor \[\displaystyle x=c_1\quad y=\alpha\quad z=c_2\quad u=\beta\] egy kívánt előállítás.\(\Box\)
Természetesen a feltétel elegendőségének bizonyításához a második rész elegendő. A feltétel szükségessége pedig az (1) egyenlet megfelelő oldalainak összeszorzásával azonnal adódik.
A négyszámtétel messzemenően általánosítható ([4, 3. §, 12.]). Ezek közvetlen vagy közvetett hasznossága azonban nem nyilvánvaló, míg Kalmár eredeti tételét nemcsak saját maga használta, hanem (természetes számok helyett bizonyos polinomokra) Rédei is, amint ezt szintén a levélgyűjteményben olvashatjuk. Kalmár dolgozatában érdekes gráfelméleti szemléltetés is szerepel.
A csúfság például abban áll, hogy a számelmélet alaptétele nélkül az \( a\) és \( b\) szám fenti felbontása nem látszik bizonyíthatónak. Igazából a négyszámtétel egyenértékű az alaptétellel. Az [1] Erdős–Surányi könyv éppen a négyszámtételen keresztül jut el az alaptételhez, és a négyszámtételre (10. oldal, 2. tétel) éppen egy ilyen független – geometriai jellegű – bizonyítást ír le. Mint fentebb említettük, a korai Kalmár-féle bizonyítás [4] teljes indukción alapul.
A szépség, ha van, talán abban, hogy monomokat tartalmazó összefüggések lineárissá tehetők a logaritmus alkalmazásával – még ha nem is erre szokás a logaritmust és iteráltjait a számelméletben használni.
Be kell azt is vallanom, hogy a fenti módszer olyan bonyolultabb állítások bizonyítására, amilyen például Vass J. [7] 2.1. lemmája (amiben az oszthatóság fontos szerepet játszik), nem látszik egyszerűen alkalmazhatónak.
A szerző köszönettel tartozik Freud Róbertnek hasznos megjegyzéseiért.
Tóth János
Irodalomjegyzék
[1] Erdős P., Surányi J.: Válogatott fejezetek a számelméletből, POLYGON, Szeged, 1996.
[2] Freud R.: Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1996.
[3] Fried E.: Lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. (ELTE TTK Egyetemi jegyzet)
[4] Kalmár L.: A számelmélet alaptételéről. Matematikai és Fizikai Lapok, 43 (1936), 27–45.
[5] Kalmár László: munkássága. Kalmár Bibliográfia. http://www.inf.u-szeged.hu/projectdirs/kalmar/pages/munkassaga_bibliografia.php
[6] Szabó P. G. (szerk.): KALMÁRIUM. Kalmár László levelezése magyar matematikusokkal, Polygon, Szeged, 2005.
[7] Vass, J.: A generalization of Euler’s criterion to composite moduli, arXiv preprint arXiv:1507.00098 (2015).
