Matematikai tehetséggondozás a Kaposvári Táncsics Mihály Gimnáziumban

A kezdetek kezdete. Gimnáziumunk születése és korai története remek példázata a somogyi emberek kitartásának és akaratának. A megye irányítói az 1790. május 19-i megyegyűlésen mondták ki, hogy

„ilyen népes és kiterjedt vármegye székhelyén többé nem nélkülözheti a gimnáziumot”.

A megyei rendek egy örök kérdéssel találták szembe magukat (nincs új a nap alatt), jelesül az anyagi források hiányával. 1791-ben az országgyűléshez intézett kérésüket a budai királyi helytartótanács utasította el, hangsúlyozva, hogy nemcsak anyagi alapot nem biztosít, de még a népiskolához sem járul hozzá – ami azért jelentett komoly hátrányt, mert annak idején a népiskola előfeltétele volt a gimnázium alapításának. 1792-ben a kérést előbb herceg Esterházy Antal földesúr, majd Batthyány József hercegprímás utasította el. 1793-ban a „kaposvári bíró, esküttek és lakósok” a város „elhagyott vendégfogadóját” kérték iskolaépületnek „árendába”, de ez sem valósult meg. 1794-ben Esterházy Miklós, Antal utódja az újabb kérésre (azaz támogassa az iskola létesítését) már igenlő választ adott: „az épülethez téglát, cserépzsindelyt, épületfát” ajánlott fel. 1796-ban, királyi felkérésre a pécsi tankerületi „Fő-Director” a helyszínt megvizsgálva már a feltételek létrejöttét konstatálta. Az 1802. évi országgyűlésre a megyei küldöttek úgy utaztak, hogy a „gymansium ügyét sürgessék” – mellettük szólt, hogy ekkorra működött a háromosztályos népiskola és volt épülete a gimnáziumnak. 1804-ben a helytartótanács bár zöld utat adott, de pénzt nem. Az 1805-ös elutasítás után a polgárok megelégelték a helyzetet és társadalmi közadakozásból – Esterházy Miklós, Kaposvár mezőváros és a vármegye lakói – előteremtették a szükséges anyagi forrásokat. Így 1806 november 1.-én, 16 évvel a szándék megfogalmazása után elindult a „kis gymnasium”. (Igen, akkoriban ezen a napon kezdődött meg a tanév.)

A Kaposvári Magyar Királyi Állami Főgimnázium 1912-es jubileumi kiadványában többek között e szavakkal emlékezett meg a megalakulás óta eltelt időről Makfalvay Géza főispán:

„S most száz év multán a szerény mécses helyén itt lobog a tudományoknak a világosságot messze terjesztő fáklyája. A szerény kis községből virágzó várossá fejlődött Kaposváron ime itt ragyog a főgimnázium díszes palotája 12 osztállyal, nagy és jeles tanári karral és százakra menő növendékkel.„

Régi idők diákjai. Iskolánk egykori diákja, a „főgimnazista” Löbl Vilmos 1893-ban érettségizett, később pedig – már Löbl doktor úrként – a budapesti mentőegyesület főorvosa lett. 1912-ben leírt szavai tanúsítják, hogy Kaposváron „táncsicsosnak” lenni minden időben ugyanazt jelenti:

„A kaposvári állami főgimnázium volt növendéke írja e sorokat, ki nagy szeretettel és büszkeséggel, folyton fokozódó ragaszkodással gondolok mindenkoron arra az iskolára, ahol tudásom alapját lerakták, ahol lelkiismeretes munkára tanítottak, ahol haladó, természettudományos gondolkodásra neveltek.”

Két állandót kiemelnénk a fenti sorokból. A nép akaratából, nehéz körülmények között születő, forradalmak, világháborúk során is útjelzőként, biztos pontként álló iskola máig nagyon szoros kapcsot jelent a tanítványainak. Mindez pedig azért lehetséges, mert tanárai a mai napig elkötelezettek a modern, stabil tudományos alapokra és logikus gondolkodásra épített tudás átadása mellett. Ezen kitérő után térjünk vissza Löbl Vilmos utolsó gimnazista évéhez.

Fellapozva a főgimnázium 1893. évi értesítőjét megtudhatjuk a következőket. Főszereplőnk osztályába 16 fő járt, közülük Stampfer Elek kitűnő eredményt ért el, egy fő nem mehetett érettségizni. A későbbi Löbl doktor 1,5 tizedes átlaga a negyedik legjobb volt az osztályban (ebben az időben 1-es volt a legjobb, 4-es a legrosszabb jegy). Mennyiségtanból egyébként év végén senki sem bukott, de nem volt kedvenc tantárgy a maga 2,375-ös átlagával. Összehasonlításképp az ének átlag 1,3 volt…

Főszereplőnk így „érettségi vizsgálatra mehetett”, amin „jól érett” (lelki füleinkkel halljuk: „A Stampfer bezzeg jelesen!”). Mennyiségtanból az érettségi vizsgálaton 5 jeles, 2 jó és 7 elégséges tanuló lett. Nem csoda, hogy sokan éppen csak megfeleltek, hiszen a mennyiségtan feladatok a következők voltak a Kaposvári M. Kir. Főgimnáziumban 1893-ban:

E1. Valamely község a szomszédos urodalomnak hidak helyreállitásáért minden 35.-ik évben 2500 forintot tartozik fizetni. Miként válthatná meg a község egy ép teljesített fizetés után kötelezettségét egyszer s mindenkorra fizetendő összeggel, és hogyan törleszthetné utólagosan a 2500 forintot minden év elején fizetendő egyenlő részletekben, ha 4½ %-ot számítanak?

E2. Mekkora oly egyenlő oldalú kúp alapjának sugara, mely azonos köbtartalmú egy szabályos nyolcoldalú gúlával, ha az utóbbinak 38.64^dm nagyságú oldaléle a magassággal 43° 26’ 10” -nyi szöget alkot?

Ma már elképzelhetetlen, hogy ebben az időben a főgimnáziumi tanárok állították össze az érettségi vizsgát. (Az 1883. évi XXX. törvényczikk és a vallás- és közoktatásügyi miniszter kir. m. 1884./10288. sz. rendelete, vagyis az első középiskolai törvény és az első Érettségi vizsgálati utasítás Hóman Bálint 1934. évi XI. középiskoláról szóló törvénycikkéig kisebb módosításokkal, de érvényben maradt.) Az érettek egyébiránt papi, tanári, mérnöki, gazdasági pályára készültek, orvos egyedül Löbl Vilmos lett.

Természettudományos oktatás a Táncsicsban. 1924-től a természettudományos oktatásban mutatott eredmények elismeréseként az iskola megkapja a „reálgimnázium” címet. 1950-től reáltagozat, 1959-től matematika-fizika szakosított tantervű osztályok indulnak.

1986-ban aztán két méltán híres tanáregyéniség, Kiss Zoltán munkaközösség vezető és Kubatov Antal irányításával elindult az akkor speciális matematika tanterv alapján működő “matekos” osztály. Mellettük olyan egyéniségek tanították a matematika mellett a fizikát is, mint Terlaky Edit, Drankovics József vagy Szabó József. Azóta tudjuk: az elmúlt közel 40 évben kisebb átalakulásokkal ugyan, de a mai napig ez az iskola egyik legnépszerűbb – és általában a legjobb érettségi, felvételi mutatókkal rendelkező – osztálya, csoportja.

Kubatov tanár úr nemcsak az iskolai falai között, hanem azon kívül is nagy hatással volt és van a mai napig a magyar matematikaoktatásra. Hosszú ideig a Nemzetközi Magyar Matematikaverseny (gimnáziumunk 1997-ben és 2018-ban fogadta házigazdaként a versenyt) anyaországi régiójának vezetője volt. Alapítója az Erdős Pál Tehetséggondozó Iskolának, amelynek foglalkozásain a diákok a mai napig találkozhatnak vele. Munkáját Beke Manó, Graphisoft, Arany Katedra, Ericsson, MOL-MesterM, Somogy Polgáraiért és Kiváló Versenyfelkészítő díjjal, illetve Rátz Tanár Úr Életműdíjjal ismerték el.

Az iskola legújabb kori történetében meg kell említenünk az Arany János Tehetséggondozó Program elindulását, amelyhez iskolánk nem egyszerű résztvevőként csatlakozik: az AJTP Országos Informatika Versenyt minden évben iskolánk informatika tanárai szervezik. A Program – bár általában, valamely területen tehetségesnek ígérkező nehéz sorsú diákok számára nyújt segítséget – több, kifejezetten matematikából tehetséges fiatalt juttatott már el számos remek versenyeredményig, illetve a legkülönbözőbb egyetemi tanulmányokig. A távolabbi és közelebbi múltból – a teljesség legcsekélyebb igénye nélkül – említjük meg a tőlünk indult Buzsáki Dávid logisztikai és Szabó Viktória mechatronikai mérnököket, Papp Zsombor fizikust. És ha már a volt diákok szóba kerültek…

Tanítványok és tanárok. A Táncsics egészére, benne a „matekos” osztályra jellemző, hogy az idők során számos, főleg – de nem kizárólag – természettudományos területen híressé vált tanítványt „művelt ki”. A teljesség igénye nélkül álljon itt néhány volt tanítvány neve:

• Nagy Imre, Boross Péter miniszterelnökök,
• Rippl-Róni József, Vaszary János, Kunffy Lajos, Szász Endre festőművészek,
• Takáts Gyula, Fodor András, Papp Árpád költők,
• Rózsa György, D. Tóth Kriszta médiaszemélyiségek,
• Rauss Károly mikrobiológus, Zrínyi Miklós kémikus, Kaposi Mór bőrgyógyász,
• Frankl Péter matematikus, Sas Elemér fizikus,
• Balogh János kétszeres OKTV győztes, Borbényi Márton MEMO és IMO, Tóth Viktor MEMO aranyérmes matematikai diákolimpikonok.

Az iskola mindig gondoskodott a tanár utánpótlásról is. Néha ugyan vargabetűkkel, de nagyon sokan visszataláltak az alma mater ölelő karjaiba. Az idők során a tanítványokból tanárrá válók hihetetlenül hosszúra duzzadó listájából csak a legújabb kori, jelenleg is a Táncsicsban matematikát tanító kollégák említésére szorítkozunk. Tóthné Berzsán Gabriella igazgatóhelyettes és Borbényiné Molnár Hajnalka az első „matekos” osztályban érettségiztek, őket Ruffné Szakály Zsuzsanna, Lévai-Benda Gabriella tanárnők és Matics Martin tanár úr követi időrendben. Nem matekos osztályban, de itt végeztek közvetlen kollégáink közül névsorban dr. Kimmelné Sovány Tímea, Horváth László, dr. Huszákné Miklós Dóra, Sárközy Andrea és e sorok képernyőre vetője. Szerencsére minden reményünk megvan, hogy néhány év múlva újabb volt tanítványt köszönthetünk a Táncsics matematikatanárainak soraiban. 😉

Beiskolázás. Természetesen eredmények (akár érettségi, továbbtanulási, versenyeken, munkában vagy kutatásban elért eredményekre gondolunk) nem születhetnek átgondolt, összehangolt és konzekvens tanítási rutinok, módszerek, sőt, beiskolázási eljárások nélkül.

Iskolánk a kor kihívásaira megfelelve igyekszik folyamatosan olyan képzési struktúrát nyújtani, amiben mind a humán, mind a reál érdeklődésű továbbtanulni vágyó fiatalok egyaránt megtalálják a számításaikat. Legstabilabb osztályunk egyik felében a biológia és kémia, másikban a matematika tudományában tudnak magas szinten és a keretek között biztosítható legmagasabb óraszámban elmélyülni a felvett tanulók. A többi osztály csoportjaiban hasonló szinten és óraszámban az angol, német, informatika, történelem területeket célozhatják meg, illetve akik még nem tudtak dönteni, az általános képzést választhatják. A tanulmányaik során aztán hasonló szisztéma szerint, a biztosítható legmagasabb óraszámokban választhatnak fakultációt, melyeket az adott képzéshez leginkább igazodva hirdetünk meg és minden tanuló kérését igyekszünk tiszteletben tartani és megoldani.

A beiskolázási eljárás a diákok számára alapvetően hetedik évfolyam utáni nyári szünet végén megkezdődik, ekkor tartjuk ugyanis az immár hagyományos Tehetség Tábort. A résztvevőket az általános iskolákhoz eljuttatott felhívással toborozzuk: minden iskola elküldheti a legjobb diákjait, tárgyi érdeklődéstől függetlenül. A tábor néhány napjára a diákok a szülőktől elválasztva, kollégiumban lakva, teljes ellátásban részesülnek, illetve reggeltől estig folyamatos programokban vesznek részt az ismerkedéstől kezdve speciális foglalkozásokon keresztül (rendhagyó tanórák, lovagi torna, flashmob, saját póló és egészségtudatos ételek készítése) az esti karaoke- és táncmulatsággal bezárólag. A munkába a tantestületnek körülbelül a fele bekapcsolódik.

Néhány feladat egy 2025-ös matekos foglalkozásról:

TT1. Két kisegér kuporog egy esernyő alatt. Egyiknek a füle, másiknak a farka lóg ki az esernyő alól. Melyik ázik meg jobban? Mielőtt válaszolunk, készítsünk rajzot!

TT2. Adott egy összetörhetetlen és megmozdíthatatlan oszlop, illetve egy ágyúgolyó, amit ha kilövünk, akkor állandó irányú és sebességű egyenes vonalú mozgást fog megállíthatatlanul végezni. Mi történik, ha rálövünk az ágyúgolyóval az oszlopra?

TT3. Egy árus elad egy papagájt a vevőnek: ‘Ez a madár mindent elismétel, amit hall.’ Két hét múlva a vevő felháborodva csap az asztalra: ‘Becsapott! Ez a madár nem ismétel semmit!’ Mindketten meg vannak bizonyosodva igazukról. Hogyan lehetséges ez? Vázoljunk fel minél több lehetőséget!

TT4. Egy ablaktalan zárt szobában van három villanyégő, kívül a zárt ajtó mellett három kapcsoló. A kapcsolókat addig és úgy kapcsolgathatod, ahogy akarod. De ha kinyitod az ajtót, már nem nyúlhatsz hozzájuk. Meg tudnád így mondani, hogy melyik égőt melyik kapcsoló irányítja? Gondoljuk tovább a dolgot!

TT5. Nézzük meg jól a színes vonalakat! Képzeljük el, hogy tovább folytatódnak és elemezzük őket! Mit jelenthetnek? (Segítségképp játsszunk akasztófát: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)

Fontos apróság például, hogy a diákok kollégiumi elhelyezésének az egyik szervező eleme a már említett érdeklődési kör, tehát igyekszünk az azonos irányba kacsingatókat már itt megbarátkoztatni egymással, hogy később még könnyebben és gyorsabban tudják egymást segíteni elérendő céljaik felé.

A következő lépcsőfok a nyolcadik évfolyamosok részére meghirdetett, az egyes szakokra való heti rendszerességű felkészítő foglalkozások megtartása. Ezeket azon tanár vagy tanárok tartják – egyrészt ismerkedési jelleggel, másrészt a konkrét felvételi eljárásra készülve –, akik a következő tanévben szaktanárként tanítják majd a kiemelt tantárgyat. Minden, a fentiekben részletezett szakra szervezünk előkészítőket.

A felvételi eljárást befolyásolni ugyan ez sem befolyásolja, de ismét csak remek bemutatkozási lehetőség a nyolcadikosok számára az előkészítők végére időzített Táncsics Verseny. A versenybe bárki nevezhet, semmiféle megkötésünk nincs az évfolyamon kívül: rendre feltűnnek olyan diákok ezen a megmérettetésen, akik nem jártak sem a táborban, sem az előkészítő foglalkozásokon. A feladatokat az előkészítőket tartó kollégák állítják össze és javítják ki, illetve adják át a jól megérdemelt jutalmakat. Nagyon fontosnak érezzük, hogy az eredményhirdetésen nemcsak a remek eredményt elért diákokat, hanem az őket felkészítő általános iskolai tanárokat is meghívjuk és jutalmazzuk, személyesen megköszönve a munkájukat.

A 2017-es Táncsics Verseny feladatai a következők voltak.

TV1. Enrico és Elfriede vitatkoznak. Enrico szerint egy konvex hétszög belső szögeinek összege 9 egység. Elfriede szerint a külsőké annyi. Mindkettejüknek igaza van, a vitát az váltotta ki, hogy Enrico spanyol egységben, Elfriede pedig német egységben számolt. Hány fok egy spanyol egység? Hány német egység egy spanyol?

TV2. Oldd meg az egyenletet az egész számpárok halmazán!\[xy + 25x + y + 25 = 2017\]

TV3. Egy \(8\times 8\)-as, sakktábla alakú torta minden mezőjére egy cukorgyöngyöt ragasztunk. Ezután három, tetszőleges irányú egyenes vágással részekre osztjuk a tortát. Eközben a torta részeit nem mozgathatjuk. El tudjuk-e kerülni, hogy legalább egy olyan rész kialakuljon, melyre legalább 10 gyöngy van ragasztva? (Gyöngy nem vágható ketté.)

TV4. Az alábbi ábrán két négyzet látható, melyeknek van egy közös csúcsuk. Mekkora a kérdőjellel jelzett sötétített háromszög területe, ha a felső sötét háromszög területe 2017 területegység?

TV5. Igaz-e, hogy bármely 5 szomszédos egész szám szorzata osztható 40-nel? Állíthatunk-e többet is?”

A beiskolázás utolsó interaktív elemeként a központi írásbelik, az előkészítő foglalkozások és a Táncsics Verseny után egy szóbeli elbeszélgetést tartunk minden jelentkezőnek, ezeken a kérdéseket és az azokra adott válaszokat ismét a következő évben a csoporttal dolgozó szaktanár vagy szaktanárok állítják össze és értékelik.

Iskolai élet és a mindennapok. A matematikai tehetséggondozás legfontosabb színterei az iskolai foglalkozások, a tanórák, szakkörök. Azt már említettük, hogy a matekos csoportokat két kolléga tanítja, egymás között felosztva a tananyagot – nagy általánosságban az egyikük geométer, a másik algebrista –, a többi témakört szabadon elosztják maguk között. A szakkörök tartására sincs előírás: van, hogy az egyikük, van, hogy felváltva, van, hogy mindkettő tart foglalkozásokat – akár az is lehet, hogy ez időben változik. Az egyetlen stabil pont, hogy azon vagyunk, a diákok életének természetes részévé váljon a matematikai és fizikai gondolkodás. Ehhez használjuk a közösségi oldalakat is, sokféle érdekességekre, videókra, új eredményekre hívva fel diákjaink figyelmét. Az alapcél az emelt érettségire való felkészülés, viszont nem muszáj emelt szinten érettségizni (a matekos csoportokból kerültek már ki jogászok – de tényleg, no problemo, szeretjük őket is! 🙂). Ezen felül viszont határ a csillagos ég: a szakkörök lehetőséget adnak gyakorlatilag bármilyen téma feldolgozására, az RSA algoritmustól a komplex számok és mátrixok geometriai felhasználásán át a járványterjedés modellezéséig. Nyugalom, az alábbi feladatsor nem egyetlen szakkör anyaga volt…

A Ravi-helyettesítés, avagy egyfajta ‘dualitási-elv’

Előzetes ismeretek: háromszögek hagyományos jelölései, nevezetes közepek \(n=3\) esetén, dualitási képletek, \(a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac\).

Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenségeket!

• \(\frac{(s-a)(s-b)}{s-c}+\frac{(s-b)(s-c)}{s-a}+\frac{(s-c)(s-a)}{s-b} \ge s\)
• \(\frac{s-a}{a}+\frac{s-b}{b}+\frac{s-c}{c} \ge \frac{3}{2}\) (\(\Rightarrow\) Nesbitt-egyenlőtlenség)
• \(\frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c} \ge 6\)
• \(\frac{t}{(s-a)^2}+\frac{t}{(s-b)^2}+\frac{t}{(s-c)^2} \ge \frac{s}{r}\)
• \(\frac{R}{r} \ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) (Sugáregyenlőtlenség, Feuerbach-kör, Euler-féle \(d^2 = R^2-2Rr\) összefüggés)
• \(\frac{r_a+r_b+r_c}{a+b+c} \ge \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(s^2 \ge 12Rr + 3r^2\)
• \(a\sqrt{r_b r_c}+b\sqrt{r_c r_a}+c\sqrt{r_a r_b} \ge 6t\)
• \(a^2+b^2+c^2 \ge 36r^2\)
• \(k \ge 6\sqrt{3}r\)
• \(k \ge 2\sqrt{3\sqrt{3}t}\)
• Órai feladat*
• \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}t\) (Weitzenböck-egyenlőtlenség, NMD, Moszkva, 1964)

• 

  \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}t + (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\) (Hadwiger-Finsler egyenlőtlenség)

*a) \(T_{\text{hatszög}} > 10T_{\Delta}\)

 b) \(\frac{x+y+z}{s_a+s_b+s_c}=?\)

A tanórákon kívül, de még az iskola falai között maradva diákjaink és kollégáink évente több alkalommal találkozhatnak országosan ismert és elismert előadókkal az MTA Alumni program és a Bolyai társulat szervezésében is.

A tanulmányi versenyeken, amennyiben lehetőség van rá, tanáraink is harcba szállnak. A Lévai-Benda Gabriella, Ruffné Szakály Zsuzsanna, Szigeti Tamás trió rendszeresen nemcsak kíséri, hanem indul is a Medve Szabadtéri Matematikaversenyen, és mivel a diákok általában a döntőig menetelnek, kollégáink sem szokták beérni kevesebbel. Mondanunk sem kell, milyen extra motiváció a diákoknak, ha látják, a tanáraik nemcsak beszélnek a matematikáról, hanem tevékenyen űzik is! 🙂

Diákjainkat igyekszünk az iskola falain és a versenyeken kívül is eljuttatni olyan helyekre, ahol matematikát, fizikát, informatikát tanulhatnak, illetve támogatni őket a részvételben. Csak az elmúlt néhány évben tanítványaink jártak, illetve járnak például olimpiai előkészítőkre ezekből a tárgyakból, rendszeresen részt vesznek az Erdős Pál Tehetséggondozó Iskola foglalkozásain, eljutnak a különböző táborokba. Hogy ezt nyugodtan megtehessék, tanáraik és diáktársaik lelki és technikai támogatásán túl az iskola Táncsics Mihály Gimnázium Matematikai Tehetségeiért Alapítványa képes nyújtani anyagi segítséget. Az alapítvány nemcsak ebből, hanem a kiváló diákok jutalmazásából is kiveszi a részét.

Tudományos szintű eredmények. A fentiek után talán nem is annyira meglepő, hogy diákjaink időnként olyan összefüggéseket fedeznek fel, amelyeket egy szakmai folyóirat szerkesztő bizottsága is közlésre érdemesnek tart. Ennek illusztrálására ismét csak az elmúlt néhány évből jöjjön pár olyan diákunk eredménye, felfedezése, amitől nekünk, sokat látott matematikatanároknak is leesett az állunk.

T1. Kübler Ákos tétele. Egy összemérhető kis- és nagytengelyű ellipszis valamely érintője és a fókuszpontok felezőpontját az érintési ponttal összekötő szakasz által bezárt szögnek van minimuma, és létezik olyan egész oldalú derékszögű háromszög, amelynek ez a szög az egyik hegyesszöge.

T2. Kiss Adorján és Puppi Barna tétele. Tekintsük a koordinátarendszer első síknegyedében azon \(\overline{AB}\) szakaszokat, melyekre \(B(a;0)\) és \(A\left( 0; \sqrt[n]{1-a^n} \right)\) valamely \(a\in[0;1]\) és \(n\) pozitív szám esetén. Ekkor a szakaszok által lefedett síkidom felső határoló görbéje az\[ f:[0;1]\to R,f(x)= \left( 1-x^\frac{n}{n+1} \right)^\frac{n+1}{n} \] függvény, továbbá az \(\overline{AB}\) szakaszokat az \(f\) függvénnyel vett \(E\) érintési pontjaik \(a^n : (1-a^n)\) arányban osztják.

T3. Papp Zsombor gyökközelítő algoritmusa. Ha \(b_0\) nem nulla és k pozitív valós szám, akkor az\[\begin{align}a_{n+1}&= (k-1)\cdot a_n + k\cdot b_n\\b_{n+1}&= a_n + (k-1)\cdot b_n\end{align}\] rekurzióval megadott sorozatok elemeiből alkotott \(\frac{a_n}{b_n}\) hányadossorozat konvergál \(\sqrt{k}\) értékéhez.

Utószó. Fantasztikus a Táncsicsba járni ma is. E sorok írója sem tudná néhai Löbl Vilmosnál jobban megfogalmazni – bár 101 évvel utána érettségizett! – mit jelent táncsicsosnak lenni. Esetleg annyit tenne hozzá minden kollégája nevében, ha egyáltalán lehet tovább fokozni: tanárként részt venni ebben a folyamatban még annál is csodálatosabb érzés. Látni, ahogy a diákjaink évről évre fejlődnek. Segíteni őket mindenben tanárként, osztályfőnökként, szinte barátként. Megélni napról napra ezt az alkotómunkát az ország – szerintünk biztosan(!) – egyik legjobb matematika-fizika-informatika munkaközösségében itt, a Kaposvári Táncsics Mihály Gimnáziumban.

Kaposvár, 2025. november 15.

Irodalom

1. A Kaposvári Magyar Királyi Állami Főgimnázium Értesítője 1892-1893. Kaposvár, 1893.
2. A Kaposvári Magyar Királyi Állami Gimnázium Emlékkönyve 1812-1912. Szabó Lipót Könyvsajtója, Kaposvár, 1913.
3. Miklós Endre: A kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990.
4. Mihályfalvi László: A Kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium története, igazgatói és tanárai 1806-2010. Magánkiadás, Kaposvár, 2013.
5. Récsei Miklós: Iskolapadból a magasba. Kiadó Dr. Kéki Zoltán, Kaposvár, 2023.