Bátkai András (Budapest, Wuppertal), Marjeta Kramar Fijavž (Ljubljana) és Abdelaziz Rhandi (Salerno) Nemnegatív operátor-félcsoportok (a végestől a végtelen dimenziókig) című 379 oldalas monográfiája 2016 második felében jelent meg elektronikusan a Birkhäuser Kiadó gondozásában. A könyv nyomtatott formában várhatóan ez év februárjától lesz elérhető. Az eBook ára 56, míg a nyomtatott változat 72 dollárért lesz kapható.
A monográfia a nemnegatív (a könyvben a positive angol szó utal erre a tulajdonságra) operátor-félcsoportok tulajdonságait vizsgálja, és különböző alkalmazási feladatokon bemutatja az elméleti eredmények több felhasználási lehetőségét. Mik is azok a nemnegatív operátor-félcsoportok, és miért fontos ezek vizsgálata? Ismert, hogy az \(\exp(x)\) exponenciális függvény előállítható hatványsor formájában. Ezen hatványsor segítségével négyzetes mátrixokra is definiálható az exponenciális függvény. Így egy tetszőleges \(A\) négyzetes mátrix esetén minden nemnegatív \(t\) paraméterre definiálható a \(T(t):=\exp(tA)\) mátrix, és az így kapott mátrixok rendelkeznek az alábbi két alapvető tulajdonsággal: (1) \(T(0)=I\) (\(I\) az egységmátrix), (2) \(T(s+t)=T(s)T(t)\) tetszőleges \(s\) és \(t\) nemnegatív paraméterek esetén. Az \(\exp(tA)\) kifejezés hatékony számolásának és tulajdonságainak fontos szerepe van a gyakorlati alkalmazásokban. Példaként említhetjük, hogy a számtalan valós folyamat modellezésére alkalmas \(y’(t)=Ay(t)\) (\(y(0)\) adott vektor) kezdetiérték-feladat megoldása az \(y(t)=\exp(tA)y(0)\) alakban írható. Így a megoldás tulajdonságait az \(\exp(tA)\) függvény tulajdonságai határozzák meg. Több alkalmazásban garantálnunk kell, hogy a megoldás komponensei ne legyenek negatívok (például mert koncentrációt, valószínűséget stb. jelentenek). Nyilvánvalóan igaz, hogy a megoldás pontosan akkor lesz nemnegatív minden nemnegatív \(y(0)\) kezdővektor esetén, ha az \(\exp(tA)\) mátrix minden \(t\)-re nemnegatív. Ez a követelmény feltételt szab az \(A\) mátrixra, így fontos kérdés ezen feltételek feltárása. Az operátorfélcsoportokhoz az előző – mátrixokra végiggondolt – fogalmak általánosításával jutunk. Legyen \(X\) egy Banach-tér, és minden nemnegatív \(t\) paraméterhez rendeljük hozzá az \(X\) tér egy korlátos lineáris operátorát. Jelöljük ezt a hozzárendelést \(T(t)\)-vel. A \(T(t)\) leképezést operátorfélcsoportnak nevezzük, ha teljesíti az (1) \(T(0)=I\) (\(I\) az identitás operátor) és a (2) \(T(s+t)=T(s)T(t)\) ún. félcsoport-tulajdonságokat. A mátrixok nemnegativitása pedig így általánosítható operátor-félcsoportokra: egy Banach-hálókon értelmezett operátor nemnegatív, ha megőrzi a nemnegatív kúpokat.
A szerzőket azon kívül, hogy ugyanazon kutatási területen dolgoznak, az is összeköti, hogy közösen szervezték a 2013/14-es tanévben a 17. Nemzetközi Internet-szemináriumot Nemnegatív operátor-félcsoportok és alkalmazásaik címmel. Az erre a szemináriumra készített anyagokat – kiegészítve több, differenciálegyenletekre vonatkozó fontos alkalmazással, ill. a tárgyalás egységességét elősegítő bevezető fejezetekkel – olvashatjuk most könyv alakban. Mindhárom szerző mentorának tekinti a könyv ajánlását is író Rainer Nagel és Ulf Schlotterbeck (Tübingen) professzorokat. Ők mindketten nemzetközileg elismert kutatói a félcsoportok elméletének, és szerzői több, a témával kapcsolatos, alapműnek tekinthető könyvnek. Az 1986-os kilencszerzős monográfiájuk részletesen bemutatta a nemnegatív operátor-félcsoportok elméletét. Már akkor felmerült a monográfia kibővítése az elmélet hatékonyságát jól mutató, gyakorlati alkalmazásokból vett példákkal. Ennek megvalósulására egészen mostanáig kellett várniuk, így nem csoda, hogy erősen ösztönözték a könyv létrejöttét.
A monográfia lényegében három nagy és megközelítően egyforma hosszúságú részből áll.
Az I. részben a véges dimenziós eset tárgyalására kerül sor, azaz a fejezet a fent említett mátrixfélcsoportokról szól. Ezt a részt – amely jól előkészíti a későbbi fejezeteket – az ajánlást írók egy korábbi, nemnegatív mátrixokról írt, befejezetlen jegyzete inspirálta. Az I. rész csak a lineáris algebra alapvető fogalmainak ismeretét feltételezi. A szerzők az állításokat praktikus – de az irodalomban ritkán követett – módon koordinátafüggetlen alakban fogalmazzák meg, ami jól segíti majd a véges és végtelen dimenziós esetek közti eltérések és párhuzamok megértését. Ebben a részben megismerkedünk a nemnegatív mátrixokkal és alapvető tulajdonságaikkal. Bevezetik a vektor- és mátrixnormákat, ill. a mátrixok spektrális jellemzőit. Megtudjuk, hogy bizonyos valós-valós függvények hogyan értelmezhetők mátrixokra, ill. hogy hogyan viselkednek a mátrixok, ha hatványozzuk őket és a kitevővel végtelenhez tartunk. A kiemelkedően fontos mátrixexponens számításának külön fejezetet szenteltek a szerzők. Megtudhatjuk, hogy \(\exp(tA)\) pontosan akkor lesz nemnegatív, ha \(A\) főátlón kívüli elemei nemnegatívok, ill. hogy milyen állítások érvényesek \(A\) spektrumára, ill. a félcsoport aszimptotikájára abban az esetben, ha \(\exp(tA)\) nemnegatív. A nemnegatív mátrixokról szóló fejezet részletesen bemutatja a Perron-, Frobenius- és Wielandt-tételeket, melyek nemnegatív mátrixok spektrális tulajdonságait jellemzik. Például a Perron-tétel szerint egy nemnegatív mátrix spektrálsugara egyben sajátérték is, és a hozzá tartozó sajátvektor (ez az ún. Perron-vektor) választható nemnegatívnak. Ezen tételek segítségével leírható például a kezdetiérték-feladatok megoldásának viselkedése abban az esetben, ha a \(t\) paraméterrel végtelenhez tartunk, így számtalan alkalmazásukat találhatjuk meg különböző gyakorlati feladatokban. Az alkalmazási lehetőségekre a szerzők is mutatnak példákat. Nemnegatív mátrixok esetén bemutatják például, hogy hogyan használja a Google a honlapok rangsorolására a Google-mátrix Perron-vektorát. Ezen kívül láthatunk példákat gráfokkal, Markov-láncokkal, ill. életkor-strukturált populációs modellekkel kapcsolatban. A nemnegatív mátrixfélcsoportok alkalmazására is látunk példákat többek között betegségterjedési, versenypiaci, ill. sorbanállási modellek esetén.
A II. rész – az első rész által alaposan előkészített – végtelen dimenziós eset tárgyalását adja. Ez a rész tartalmazza a könyv fő mondanivalóját. Olvasásához már lineáris algebrai és funkcionálanalízisbeli ismeretekre is szükség van, de a szerzők sikerrel törekednek arra, hogy a könyv önmagában is jól olvasható legyen. Ennek megfelelően a II. rész egy gyorstalpalóval indul az operátor-félcsoportok, a Banach-hálók és a nemnegatív operátorok elméletéről. Ezek után részletesen tárgyalják a generálási tételeket, a spektrálelméletet és a nemnegatív operátor-félcsoportokra vonatkozó perturbációs tételeket.
A III. rész tovább folytatja a mélyebb elméleti vizsgálatokat. Megtudhatjuk, hogy a Perron– Frobenius-elmélet hogyan általánosítható a végtelen dimenziós esetre, és hogy milyen fontos tulajdonságai vannak az irreducibilis félcsoportoknak. Azt láthatjuk, hogy a mátrixfélcsoportokra érvényes állítások végtelen dimenzióban is érvényben maradnak. Ezen kívül a szerzők bemutatják, hogy hogyan lehet a félcsoportok generátorának spektrális tulajdonságaiból következtetni a félcsoport aszimptotikus tulajdonságaira, például az aszimptotikus periodicitásra vagy a kiegyensúlyozott exponenciális növekedésre. A III. rész második fele a korábban bemutatott elmélet gyakorlati alkalmazásait veszi sorra. A szerzők saját érdeklődési körüknek megfelelően összeválogattak olyan differenciálegyenletekkel leírt matematikai modelleket, melyeknél a félcsoportelméletre támaszkodva hatékonyan lehet a megoldás tulajdonságait vizsgálni. Így részletesen tárgyalják a késleltetett differenciálegyenletek témakörét, a nemlineáris közönséges differeniálegyenlet-rendszerekhez tartozó Koopman-félcsoport tulajdonságait és alkalmazásait, a lineáris Boltzmann-féle transzportegyenleteket, hálózatok transzportfolyamatait és a diffúziós populációs egyenleteket.
Minden fejezet egy irodalmi kitekintéseket és megjegyzéseket tartalmazó résszel és egy megoldani javasolt feladatsorral zárul. A feladatokhoz nem közölnek megoldásokat a szerzők. Az Appendix tartalmazza a könyv megértéséhez szükséges legfontosabb definíciókat és összefüggéseket a lineáris algebra és a funkcionálanalízis témaköréből. A könyvet 158 művet felsoroló, átfogó irodalomjegyzék és részletes szószedet zárja.
Összefoglalva elmondható, hogy a monográfia következetesen felépített, jó angolsággal megírt és könnyen olvasható munka. A könyv a nemnegatív operátor-félcsoportok terén eljut az alapoktól a legfrissebb tudományos eredményekig, így széleskörű érdeklődésre tarthat számot a matematikával foglalkozók körében. Haszonnal forgathatják az egyetemi hallgatók, de a matematika különböző alkalmazási lehetőségei és szép elméletei iránt nyitott kutatók is.
A. Bátkai, M. Kramar Fijavž, A. Rhandi, Positive Operator Semigroups, From Finite to Infinite Dimensions, Series: Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 257, Birkhäuser, Basel, 2016, 364 p.
Horváth Róbert
