Mordechai Ben-Ari: Mathematical Surprises, Open Access Book, Springer, 2022
Mordechai Ben-Ari, az izraeli Weizmann Institute of Science professzora egy igazi matematikai gyöngyszemmel ajándékozta meg az olvasókat. Matematikai meglepetések című könyve a matematika számos területéről mutat be olyan, jellemzően kevésbé ismert összefüggéseket, kapcsolódási pontokat, amelyek mind a középiskolai, mind az egyetemi oktatást megszínesíthetik, de akár új kutatási ötletek születéséhez is hozzájárulhatnak. Mindemellett óriási élmény csak olvasni is.
A könyv egyik különlegessége, hogy szabadon elérhető és letölthető a kiadó honlapjáról:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-031-13566-8
A szerző a könyv LaTeX forrásait is elérhetővé tette a https://github.com/motib/surprises oldalon.
Az első fejezet olyan geometriai szerkesztési feladatokkal foglalkozik, amelyekben a hagyományos körző helyett egy olyan körzőt használhatunk, amely csak addig tartja meg a távolságot, amíg a tűs végét fel nem emeljük. Ilyen körzőt a legkönnyebb úgy készíteni, hogy egy függőlegesen álló ceruzára rögzítünk egy zsinórt, amelyet a kör középpontjához illesztünk, s azt ujjal lefogva kört vagy körívet tudunk rajzolni. Abban a pillanatban azonban, amikor felengedjük a zsinórt, már nem tudjuk megmondani, hogy melyik pontja volt a kör középpontja (a zsinórt nem lehet csípve megfogni).
Noha a hagyományos szerkesztés Eukleidész nevét viseli, ilyen „nyeklő” körzővel már ő is foglalkozott, például a szakaszhossz másolására (ami a hagyományos körzővel egyetlen mozdulat) kidolgozott módszere az 1.3. alfejezetben található. Ezt követi egy másik, csak látszólag helyes megoldás. A könyvben később is számos hasonló, csak első ránézésre helyes gondolatmenet szerepel, amelyekhez kapcsolódóan az a feladat, hogy keressük meg a hibát.
A második és harmadik fejezet témája szintén a szerkeszthetőség. Ki ne próbált volna (tetszőleges) szöget harmadolni vagy kört négyszögesíteni, akár még azután is, hogy elmondták, hogy ez lehetetlen? A könyv is számos próbálkozást – köztük Ramanujanéit is – tárgyal, amelyekből legalább annyit lehet tanulni, mint a megoldható feladatok helyes megoldásaiból: a legtöbb közelítő megoldáshoz ugyanis hibabecslések is társulnak.
A szerkeszthető számok – mint az euklideszi lépésekkel szerkeszthető szakaszok hossza – algebrai tulajdonságai vezetnek el a polinomok egy speciális osztályához, majd pedig a szögharmadolás, vagy köbgyökvonás lehetetlenségéhez.
Ha ismét kilépünk a hagyományos szerkesztések korlátai közül, akkor a szögharmadolás többféleképpen elvégezhető. A neuszisz egy olyan vonalzó, amelyen az egységnyi hosszúságú szakasz végpontjai is szerepelnek. Segítségével tetszőleges szög esetére elvégezhető a szögharmadolás és bármely egész szám köbgyöke is megszerkeszthető. Egy másik eszköz a Hippiász-féle kvadratix – két, egymással pontban illeszkedő szakasz egyidejű mozgásából keletkező – görbe. A kvadratix segítségével a szögharmadolás és a körnégyszögesítés is megoldható.
A negyedik és ötödik fejezet síkgráfok színezhetőségéről szól, középpontban az 1852 és 1976 között sokakat lázban tartó négyszíntétellel. A hat-, majd ötszíntétel igazolását egy újabb hibás – a négyszíntételre vonatkozó – bizonyítás követi, amelynek didaktikai jelentőségét nehéz túlbecsülni. A négyszíntételre jelenleg sem ismerünk rövid, számítógépet nem használó bizonyítást. A színezhetőség egy meglepő, diszkrét geometriai alkalmazását is megismerjük: hány teremőrrel érhető el, hogy egy (konkáv) sokszög alapú galériában minden falra rálásson legalább egy őr?
A hatodik fejezet az indukció-rekurzió eszköztárát mutatja be olyan izgalmas példákon keresztül, mint a Fibonacci-sorozat, a Fermat-számok, McCarthy 91-es függvénye, valamint a Josephus-probléma.
A hetedik fejezetben a matematika egy, szintén évszázadokon keresztül kutatott területére, a polinomok megoldására evezünk. Míg a második fejezetben az algebra eszköztára segített geometriai problémák megoldásában, itt épp fordítva történik: geometriai megfontolásokra is építve kapunk megoldóképleteket. Matematikatörténeti szempontból is elgondolkodtató, hogy Cardano és Bombelli évszázadokkal a képzetes számok nevesítése és kanonizálása előtt ugyanolyan magától értetődő természetességgel számoltak a negatív számok négyzetgyökeivel, mint a valós számokkal.
A nyolcadik fejezet ismét a diszkrét matematika, azon belül néhány Ramsey-típusú probléma régi és új eredményei köré szerveződik. A Schur-, ill. pitagoraszi számhármasokat (amelyek később logikai kielégítési (SAT) problémák kapcsán is előkerülnek) van der Waerden egy színezési feladata követi. A 8.5. alfejezetben Erdős Pálnak a Ramsey-számok becslésére vonatkozó valószínűségszámítási módszere szerepel, amellyel egy új, nem konstruktív bizonyítási eszközt adott bizonyos matematikai struktúrák létezésére.
A kilencedik fejezetben tárgyalt feladatot egy ártalmatlannak tűnő gyermekjáték ihlette. Langford figyelte, ahogyan a kisfia két piros, két kék és két zöld színű építőjátékkal játszott, azokat egy sorba rendezve (ZPKPZK). Előfordulhat-e ezen kívül más elrendezésben is, hogy a két piros elem egy, a két kék kettő, a két zöld elem pedig három másik elemet fog közre? A válasz messze nem magától értetődő már e látszólag egyszerű méretben sem, pláne nem az általános esetben.
A tizedik, tizenegyedik és tizenkettedik fejezet az origami matematikai meglepetéseit tárgyalja. Már maga az axiomatikus felépítés is egy igazi csemege, pláne amikor szembesülünk azzal, hogy a hajtogatások egy speciális szerkesztés alaplépései. S hogy mi mindent lehet így megszerkeszteni? Polinomok valós gyökeit, szabályos kilencszöget, tetszőleges szög harmadát – azaz csupa olyan mennyiséget, amit euklideszi szerkesztéssel nem. Dancsó Zsuzsanna Youtube videójában szemléletesen elmagyarázza , hogy például a szögharmadolás esetén a titok abban rejlik, hogy egy-egy hajtogatás – legyen akármilyen természetes mozdulat is – valójában egy harmadfokú egyenlet megoldásával egyenértékű.
A következő két fejezetben visszatérünk a hagyományos szerkesztésekhez, egy-egy eszköz megvonásával. A tizenharmadik fejezetben csak körzőt használhatunk, vonalzót nem. A tizennegyedik fejezetben csak vonalzót használhatunk, de adott még egy kör. 450, ill. 200 éve tudható, hogy valójában egyik korlátozás sem szűkíti le a mozgásterünket: mindent, amit körzővel és vonalzóval meg lehet szerkeszteni, azt meg lehet csak körzővel is, ill. csak vonalzóval és egy adott körrel is.
A tizenötödik fejezet egyetlen kérdést vizsgál: lehet-e két, azonos kerületű és területű háromszög nem egybevágó? Az igenlő, de egy ellenpélda (17-25-28, 20-21-29 oldalhosszúságú háromszögek) mutatásánál általánosabb válaszhoz vezető úton megjelennek a többváltozós polinomrendszerek és az elliptikus görbék is.
Ha nem a tizenhatodik lenne az utolsó fejezet, biztosan a tizenhetedikbe került volna Gauss 1796-ban, a szabályos tizenhétszög szerkesztésére talált módszere.
A könyvet rövid függelék zárja, benne alapvető geometriai és trigonometriai tételekkel.
A fejezetek egymástól függetlenül is remekül olvashatók. Ahol mégis szükség van egy másik fejezet előzetes olvasására, a szerző világosan jelzi. A szerző rendkívül jó érzékkel válogatott a problémák ismertsége, érdekessége, valamint a váratlan kapcsolódási pontjai tekintetében. Minden fejezet végén szerepel, hogy a szerző mit tart meglepőnek – ezek a rövid gondolatok önmagukban is igen tanulságosak, mert a matematika egészére vonatkoznak, de időnként még annál is többre:
„We tend to think that humans are smarter today then they used to be thousands of years ago. It can be a surprise to find out that four thousand years ago Babylonian mathematics was sufficiently advanced to discover that {12709, 13500, 18541} is a Pythagorean triple. ” (103. oldal)
Meglepő-e, hogy ez a könyv csak most született meg?
Bozóki Sándor
SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem
