1. Bevezető
Mielőtt rátérünk a cikk tartalmi részére – nevezetesen a mértékelmélet egyik alaptételének egy olyan bizonyítására, amely a lineáris altérre vett zárlat tulajdonságaival operál – röviden felidézünk néhány alapfogalmat.
Egy \( X\) halmaz részhalmazaiból álló \( \mathcal{A}\neq\emptyset\) halmazrendszer \( \sigma\)-algebra, ha zárt a komplementer és a megszámlálható unió képzésére. Egy \( A\in\mathcal{A}\) halmaz karakterisztikus függvényét \(𝟙_A\)-val jelöljük, azaz \[\displaystyle 𝟙_A(x)=\begin{cases}1 & \text{ha } x \in A,\\ 0 & \text{ha } x \notin A. \end{cases} \]
Egy \( \mu\colon \mathcal{A}\to[0,\infty)\) halmazfüggvényt nemnegatív véges mértéknek nevezünk, ha az alábbi két feltételt teljesíti:
(i) \( 0\leq\mu(X)<+\infty\),
(ii) ha \( (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) egy olyan \( \mathcal{A}\)-ban haladó halmazsorozat, hogy tetszőleges \( j\neq k\) esetén \( A_j\cap A_k=\emptyset\), akkor \[\displaystyle \mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j).\]
Az \( \mathcal{A}\) \( \sigma\)-algebrához természetes módon asszociálódik a valós \( \mathcal{A}\)-lépcsős függvények \( \mathcal{E}\)-vel jelölt vektortere. Emlékeztetünk, hogy egy \( f\colon X\to\mathbb{R}\) függvényt \( \mathcal{A}\)-lépcsős függvénynek nevezünk, ha \( \mathcal{A}\)-beli halmazok karaktersztikus függvényeinek véges lineáris kombinációja. Azaz ha van olyan \( A_1,\dots,A_n\) véges \( \mathcal{A}\)-beli halmazrendszer és \( c_1,\dots,c_n\) valós szám \( n\)-es, amelyre \[\displaystyle f=\sum_{j=1}^n c_j\cdot𝟙_{A_j}.\]
Hasonlóan természetes módon adódik egy egyszerű integrálfogalom az \( \mathcal{A}\)-lépcsős függvények vektorterén. A fenti felírású \( f\) függvény \( \mu\) szerinti integrálján az \[\displaystyle \int_X f~\mathrm{d}\mu:=\sum_{j=1}^n c_j\cdot\mu(A_j)\] számot értjük. Az így kapott integrál jóldefiniált, azaz az integrál értéke nem függ \( f\) előállításától. Megjegyezzük, hogy két \( \mathcal{A}\)-lépcsős függvény szorzata is \( \mathcal{A}\)-lépcsős függvény, így ha \( f,g\in\mathcal{E}\), akkor \( \int_X fg~\mathrm{d}\mu\) továbbra is egy véges összeget jelöl, tehát a fentinél bonyolultabb integrálfogalomra nem lesz szükségünk. Végül bevezetünk egy jelölést: az \( f\) \( \mathcal{A}\)-lépcsős függvény tartóját, azaz az \( \{x\in X\mid f(x)\neq0\}\) halmazt röviden \( [f\neq0]\)-val jelöljük.
2. Abszolút folytonosság és altérre vonatkozó zárlat
Mostantól \( \mu\) és \( \nu\) mindig két nemnegatív véges mértéket jelöl. Azt mondjuk, hogy \( \mu\) abszolút folytonos a \( \nu\)-re nézve (jelekkel: \( \mu\ll\nu)\), ha \[\displaystyle \forall A\in\mathcal{A}\colon \nu(A)=0\Longrightarrow\mu(A)=0.\]
Megjegyezzük, hogy ez a folytonosság fogalom azért képes ilyen egyszerű, ránézésre meglehetősen algebrai alakot ölteni, mert a \( \sigma\)-additivitás rásegít a \[\displaystyle \forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall A\in\mathcal{A}\colon\nu(A)<\delta \Longrightarrow \mu(A)<\varepsilon\] definícióra. Az abszolút folytonosság fogalmának jelentőségére a Radon-Nikodym tétel világít rá: a \( \mu\) mértéknek pontosan akkor létezik sűrűségfüggvénye a \( \nu\)-re vonatkozóan, ha \( \mu\ll\nu\).
De mi köze van a mértékek abszolút folytonosságának a mátrixok alterekre vonatkozó zárlatához? Pozitív szemidefinit (és így önadjungált) mátrixok esetén a képtér és a magtér, azaz a \[\displaystyle \operatorname{ran}A=\{Ax\mid x\in H\}\qquad\text{és}\qquad\ker A=\{x\in H\mid Ax=0\}\] alterek egymásra merőlegesek, és így a \( \operatorname{ran}A\subseteq\operatorname{ran}B\) tartalmazás ekvivalens azzal, hogy \( \ker B\subseteq\ker A\). Ez utóbbit másképp felírva azt kapjuk, hogy \[\displaystyle \forall x\in H\colon Bx=0 \Longrightarrow Ax=0,\] ami pedig az abszolút folytonosság fogalmára legalábbis formailag nagyon hasonlít. Két tetszőlegesen választott \( A\) és \( B\) pozitív szemidefinit mátrixra a \( \operatorname{ran}A\subseteq\operatorname{ran}B\) tartalmazás természetesen nem teljesül. De az altérre vonatkozó zárlat fogalma (az \( \mathcal{S}=\operatorname{ran}B\) választással) épp azt garantálja, hogy az \[\displaystyle M(A,\operatorname{ran}B):=\big\{C\in\mathbf{B}_+(H)\mid C\leq A\quad\text{és}\quad\operatorname{ran}C\subseteq\operatorname{ran}B\big\}\] halmaznak van legnagyobb eleme, nevezetesen \( A_{/\operatorname{ran}B}\). Más szóval, \( A\)-nak van egy olyan extremális tulajdonságokkal bíró része, amelynek képtere része \( B\) képterének. Könnyű megmutatni, hogy a maradék, azaz az \( A-A_{/\operatorname{ran}B}\) mátrix képtere a \( B\) mátrix képterétől már amennyire csak lehet, diszjunkt: \[\displaystyle \operatorname{ran}(A-A_{/\operatorname{ran}B})\cap\operatorname{ran}B=\{0\}.\]
Ez a képterekre vonatkozó állítás (a Douglas majorizációs és faktorizációs tétel értelmében) ekvivalens azzal, hogy ha egy \( C\in\mathbf{B}_+(H)\) mátrixra \( C\leq A\) és \( C\leq B\) egyidejűleg teljesül, akkor \( C\) a nulla mátrix.
Ezt a sémát akarjuk tehát követni nemnegatív véges mértékek esetén is. Igaz-e, hogy ha \( \mu\) maga nem is abszolút folytonos \( \nu\)-re nézve, akkor is le lehet választani belőle egy lehető legnagyobb \( \nu\)-abszolút folytonos részt? Milyen értelemben lesz a maradék a \( \nu\)-től diszjunkt?
Először is, ahhoz hogy beszélhessünk legnagyobb elemről, be kell vezetnünk egy részbenrendezést a nemnegatív mértékek halmazán: \[\displaystyle \mu_1\leq\mu_2\Leftrightarrow\forall A\in\mathcal{A}\colon \mu_1(A)\leq\mu_2(A).\]
Azt mondjuk, hogy \( \mu\) és \( \nu\) szingulárisak (jelekkel: \( \mu\perp\nu\)), ha van olyan \( P\in\mathcal{A}\) halmaz, amelyre \( \mu(P)=\nu(X\setminus P)=0\). Ez a tulajdonság ekvivalens azzal, hogy ha \( \eta\) egy olyan nemnegatív véges mérték, amelyre \( \eta\leq\mu\) és \( \eta\leq\nu\) egyszerre teljesül, akkor \( \eta\) szükségképpen a nulla mérték. Világos tehát az analógia, az a kérdés, hogy hogyan profitáljunk belőle. Természetes ötlet, hogy valahogy fogalmazzuk át a mértékek nyelvére a \[\displaystyle \forall x\in H\colon(A_{/\operatorname{ran}B}x,x)=\inf\limits_{y\in\ker B}(A(x-y),x-y)\] formulát. Az első kérdés, hogy mivel helyettesítsük a skalárszorzatot? Ha az \( A\) mátrixot \( \mu\)-re, az \( x\in H\) vektort \( f\in\mathcal{E}\)-re akarjuk fordítani, akkor az \( (Ax,x)\) kifejezés átírására az \( \int_X \vert f\vert^2~\mathrm{d}\mu\) a kézenfekvő választás. Ha a \( B\) mátrixot a \( \nu\)-re akarjuk lefordítani, akkor a \( \ker B=\{x\in H\mid Bx=0\}\) lineárisaltér megfelelője \( \mathcal{E}\)-ben \[\displaystyle \mathscr{N}=\left\{\varphi\in\mathcal{E}\ \Big\vert\ \int_X\vert\varphi\vert^2~\mathrm{d}\nu=0\right\}.\]
Ezek után már könnyű kiokoskodni, hogy az \( A_{/\operatorname{ran}B}\) mátrix megfelelője a \[\displaystyle \mu_{\mathrm{ac}}(A):=\inf\limits_{\psi\in\mathscr{N}}\int_X|𝟙_A-\psi|^2~\mathrm{d}\mu= \inf\limits_{{\psi\in\mathscr{N}\atop [\psi\neq0]\subseteq A}} \int_X|𝟙_A-\psi|^2~\mathrm{d}\mu\qquad(A\in\mathcal{A})\] halmazfüggvény. Mint azt a következő fejezetben látni fogjuk, azzal hogy a fordítás kész, lényegében minden munkát elvégeztünk. Mielőtt rátérnénk a bizonyításra, teszünk még egy megjegyzést. Ahogy arra az abszolút folytonosság definíciójánál utaltunk, az egyszerűség hátterében ott munkálkodik a \( \sigma\)-additivitás. Az olvasóban felébredhet a gyanú, hogy valami a mátrixokra vonatkozó fogalom hátterében is munkálkodik, hiszen ott tényleg csak egy lineáris algebrai definícióról van szó, topológiának semmi nyoma. Való igaz, az hogy ez a fogalom ilyen egyszerű alakot öltött, az annak köszönhető, hogy \( H\) véges dimenziós volt, és így a \( \operatorname{ran}B\) képtér automatikusan zárt. Ha \( H\) nem véges dimenziós, akkor a \( B\)-ről külön fel kell tenni, hogy zárt képterű.
3. A Lebesgue-felbontás
Tétel: Legyen \( \mu\) és \( \nu\) két tetszőleges nemnegatív véges mérték az \( \mathcal{A}\) \( \sigma\)-algebrán. Ekkor \( \mu\)-nek létezik egy és csak egy olyan \( \mu=\mu_1+\mu_2\) felbontása, ahol \( \mu_1\ll\nu\) és \( \mu_2\perp\nu\).
Bizonyítás: Mivel egy nemnegatív függvény integrálja nemnegatív, \(𝟙_{\emptyset}\in\mathcal{N}\), és \( \nu(A)=0\) esetén \(𝟙_A\in\mathcal{N}\), ezért a \( \mu_{\mathrm{ac}}\) definícióra ránézve világos, hogy \( \mu_{\mathrm{ac}}\) nemnegatív, \( \mu_{\mathrm{ac}}\leq\mu\), és hogy \( \mu_{\mathrm{ac}}(A)=0\). Azt is könnyű ellenőrizni, hogy \( \mu_{\mathrm{ac}}\) végesen additív, mert ha \( A_1\) és \( A_2\) diszjunkt \( \mathcal{A}\)-beli halmazok, akkor \[\displaystyle \Big\{\psi\in\mathscr{N}~\Big|~[\psi\neq0]\subseteq A_1\cup A_2\Big\}=\Big\{\psi_1+\psi_2\in\mathscr{N}~\Big|~[\psi_i\neq0]\subseteq A_i,~i=1,2\Big\}.\]
Ebből viszont már következik \( \mu_{\mathrm{ac}}\) \( \sigma\)-additivitása, ugyanis \[\displaystyle \mu_{\mathrm{ac}}\Big(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\Big)-\sum\limits_{k=1}^n\mu_{\mathrm{ac}}(A_k)=\mu_{\mathrm{ac}}\Big(\bigcup\limits_{k>n}A_k\Big)\leq\mu\Big(\bigcup\limits_{k>n}A_k\Big)\to0\] teljesül minden olyan halmazsorozatra, amelynek tagjai páronként diszjuntak. Már csak azt kell megmutatnunk, hogy a \( \mu_{\mathrm{s}}:=\mu-\mu_{\mathrm{ac}}\) és \( \nu\) mértékek szingulárisak, és hogy a felbontás egyértelmű. Mindkét állítás könnyen következik majd abból, hogy \( \mu_{\mathrm{ac}}\) a legnagyobb elem azon \( \vartheta\) nemnegatív véges mértékek között, amelyekre \( \vartheta\leq\mu\) és \( \vartheta\ll\nu\) egyszerre teljesül. Ahhoz hogy ezt belássuk, válasszunk egy \( \psi\in\mathscr{N}\) függvényt, és vegyük észre, hogy \[\displaystyle \vartheta(A)=\int_X|𝟙_A|^2~\mathrm{d}\vartheta=\int_X|𝟙_A-\psi|^2~\mathrm{d}\vartheta\leq\int_X|𝟙_A-\psi|^2~\mathrm{d}\mu.\]
Az \( \mathscr{N}\) elemeire infimumot véve azt kapjuk, hogy \( \vartheta\leq\mu_{\mathrm{ac}}\).
Ezek után legyen \( \eta\) egy olyan nemnegatív véges mérték, amelyre \( \eta\leq\nu\) és \( \eta\leq\mu_{\mathrm{s}}\). Ekkor \( \mu_{\mathrm{ac}}+\eta\leq\mu\) és \( \mu_{\mathrm{ac}}+\eta\ll\nu\), következésképp \( \eta=0\), ami épp azt jelenti, hogy \( \nu\perp\mu_{\mathrm{s}}\).
Ha \( \mu=\mu_1+\mu_2\), a \( \mu\)-nek egy olyan felbontása, amelyre \( \mu_1\ll\nu\) és \( \mu_2\perp\nu\) teljesül, akkor \( \mu_{\mathrm{ac}}-\mu_1\) egy olyan nemnegatív véges mérték, amely egyszerre abszolút folytonos és szinguláris \( \nu\)-re nézve. Ebből pedig az következik, hogy \( \mu_1=\mu_{\mathrm{ac}}\), és így \( \mu_2=\mu_{\mathrm{s}}\). Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
A cikk az Emberi Erőforrások Minisztériumának ÚNKP-18-4-BGE-3 kódszámú „Új Nemzeti Kiválóság Program” pályázatának támogatásával készült.
A fénykép Henri Louis Lebesgue-et ábrázolja, forrás: https://dka.oszk.hu/021400/021493 (OSZK MEK)
Ujszászi Zoltán
ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék,
Titkos Tamás
MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet
és Budapesti Gazdasági Egyetem
