Barátom, Partha Niyogi (1967-2010) emlékére
Vessünk egy pillantást Seurat egy képére, vagy egy régi újságra. Szemünk vagy agyunk egyik csodálatos képessége, hogy a különálló pontokból álló adathalmazból egy összefüggő képet – a diszkrétből folytonosat – alkot.
Adatok elemzése során rendszeresen felmerülnek hasonló problémák. A vizsgált minta eloszlása esetleg nem egyenletes, illetve folyton-folyvást meg kell küzdeni a jelenlévő zajjal is: egy adathalmaz sokféleképp torzulhat.
Azonban elméleti matematikusok is találkoznak efféle kihívásokkal. Gyakran előfordul, hogy egy burkoló tér tulajdonságait szeretnénk megismeri egy benne lévő diszkrét objektum segítségével, vagy fordítva: egy adott folytonos objektumhoz rendelt összes diszkét objektum közös tulajdonságait szeretnénk feltárni. Egy példa az utóbbi esetre a geometriai csoportelmélet egy (Fürstenbergtől és Mostowtól származó) tipikus kérdése, hogy miképp tudunk egy összefüggő Lie-csoportot egy benne található rács ismeretében rekonstruálni.
Az analízisben pedig teljesen általános, hogy egy függvény tulajdonságait az őt közelítő függvények alapján próbáljuk megismerni. Például minden, a komplex síkon értelmezett, a \( z\mapsto z^n\) függvényhez egyenletesen közel lévő függvénynek (multiplicitással számolva) legalább \( n\) gyöke van.
Talán nem meglepő, hogy a topológia – egy lényegében kvalitatív terület – keretein belül átfogó módszer keletkezett a fentiekhez hasonló problémák kezelésére. Természetesen az ilyen problémák megoldásainak legfontosabb értéke alkalmazhatóságuk nagyon különböző aspektusaiban rejlik. A következőkben azonban a bennük lévő hasonlóságokra fogunk fókuszálni. Az egyszerűség kedvéért az alábbiakban minden homológiacsoportot testből vett együtthatókkal tekintünk.
Definíció: Legyen \( X=\{ X_r\mid r\in {\mathbb{R}}\}\) (bizonyos enyhe technikai feltételeket teljesítő) tereknek egy, a valós számok \( {\mathbb{R}}\) halmazával paraméterezett, egymásba ágyazott sorozata. Az \( X\) tér \( PH_k(X)\) \( k\)-adik perzisztens homológiáját a \[\displaystyle PH_k(X)=\Pi H_k (X_r)\] formulával definiáljuk. A jobb oldalon lévő szorzat alapvetően egy borzasztó objektum: formálisan egy nem megszámlálható dimenziójú vektortér. De van egy ésszerű mód arra, hogy ebből egy kezelhető objektumot kapjunk, amennyiben figyelembe vesszük az \( X_r\subset X_s\) (\( r<s\)) beágyazások által indukált \( H_k(X_r) \to H_k(X_s)\) leképezéseket is.
A \( H_k(X_r)\) csoport egy elemét véve követhetjük annak útját „tovább az időben” nagyobb \( s\)-ekre, és figyelhetjük azt, vajon később meghal-e (vagyis valamikor a csoport nulla-elemébe képződik) vagy sem. Amennyiben \( H_k(X_r)\) véges dimenziós, akkor megadható egy bázisa úgy, hogy minden egyes báziselem halálának van egy jól meghatározott pillanata, és a báziselemek egy lineáris kombinációja akkor hal meg \( H_k(X_s)\)-ben, ha minden olyan báziselem, amely a lineáris kombinációban nemnulla együtthatóval szerepel, meghal \( H_k(X_s)\)-ben. (Ez az állítás könnyen következik elemi lineáris algebrai megfontolásokból.)
Egy \( f\colon Z\to {\mathbb{R}}^+\) pozitív valós értékű függvény konkrét példát ad az alábbi módon: tekintsük az \( f^{-1}[0,r]\) inverz képeket mint \( Z\) közelítéseit. Ez alapján vannak olyan homológiaosztályok, amelyek rögtön \( r=0\)-nál „megszületnek”, vagyis benne vannak \( H_k(f^{-1}\{ 0\})\) képében, de vannak olyanok is, amelyek csak később születnek meg. Vannak továbbá olyanok, amik később születnek, de valamivel később meg is halnak.1
A fenti képet egy „vonalkóddal” foglalhatjuk össze, amely eltárolja a születéseket és halálokat. Az ábra egy az \( S^2\) gömbfelületen értelmezett függvényre mutatja az 0- és 1-dimenziós perzisztens homológiát.
Térjünk most vissza eredeti motiváló példáinkhoz. Vegyük az euklideszi tér egy \( M\) részsokaságát (mondjuk egy emberi arcot), mintavételezzünk róla pontokat (pointillista módon), majd tekintsük azt a függvényt, amelynek \( f(x)\) érteke egyenlő \( x\)-nek a legközelebbi mintaponttól vett távolságával. Ekkor \( f\) alsó szinthalmazainak homológiája számítógépes algoritmusok segítségével kiszámolható. Amennyiben \( s\) nagyobb, mint a minták sűrűsége, azon a szinten megjelenik \( M\) minden homológiája, és ha \( s\) nem túl nagy, akkor a kapott homológia egyenlő lesz \( M\) homológiájával (bár egy idő után \( M\) homológiái meg fognak halni). \( PH_1\) számolására egy tipikus példa a kovetkező vonalkód, amelyet a 2-tóruszon felvett 1400 mintapontból kaptunk (és a perzisztencia paramétert a szokásoknak megfelelően vízszintesen ábrázoltuk):
Ebben a példában nincs zaj; a rövid vonalak a választott mintapontok szabálytalanságát és választásunk nem túlságosan magas hatásfokát tükrözik. Még sok minden vár felfedezésre azügyben, hogy mit is jelentenek a vonalkódok alakjai, de már vannak olyan tételek, amelyek megmutatják, hogyan használható a \( PH\) objektum a valódi homológiacsoportok kiszámítására akkor, amikor a mintapontok elég sűrűn helyezkednek el, és nem túl nagy a zaj.
Majdnem minden alkalmazásban kulcsszerep jut egy stabilitási tételnek, amely szerint „közeli” függvények (vagy filtrációk) esetén a vonalkódok sem lehetnek egymástól (egy jólmeghatározott kvantitatív értelemben) nagyon messze. A vonalkódok terén lévő topológia szerint két vonalkód akkor van egymáshoz közel, ha a „rövid intervallumokat” elhanyagolva a többi (hosszú) intervallumok megfeleltethetőek egymásnak úgy, hogy végpontjaik egymáshoz közel legyenek. Talán a következő kép elegendő ennek illusztrálására:
„közel” van
a vonalkódhoz, mert a „rövid” intervallumoktól eltekintve a két vonalkód összehangolható.
Edelsbrunner, Cohen-Steiner és Harer stabilitási tétele azt mondja ki, hogy ha a függvények egymástól legfeljebb \( C\) távolságra vannak, akkor a hosszú vonalak a kódokban megfelelnek egymásnak, vagyis kezdő- és végpontjaik nem mozdulnak el \( C\)-nél nagyobb mértékben, míg a rövid, \( C\)-nél rövidebb hosszúságú intervallumok tetszőlegesen különbözőek lehetnek. Az olvasó meggyőződhet az \( y=x^2\) és az \( y=x^2+\sin (1000 x)\), \( {\mathbb{R}}\)-en értelmezett függvények esetében arról, hogy a fenti tétel miért is áll fenn.
Amikor a fenti ötleteket egy, a szó-metrikával ellátott csoportra alkalmazzuk, egy másfajta egymásba ágyazott térsorozatot képezünk.2
Ezek a terek mind szimpliciális komplexusok. \( r>1\) esetén az \( r\)-hez rendelt tér \( k\)-szimplexei csoportelemek olyan \( (k+1)\)-eseiből állnak, amelyek páronként legfeljebb \( \log (r)\) távolságra vannak.
Nem nehéz belátni, hogy más-más generátorrendszer vagy ugyanazon Lie-csoport más-más rácsai esetén ezek a szimpliciális komplexusok egymáshoz közel vannak (távolságuk lényegében az egyik generátorrendszer elemeit a másikban felíró szavak hosszától függ), így az eredményül kapott perzisztens homológiák is nagyon közeliek. Ezt az eredményt arra lehet például használni, hogy megmutassuk, csoportok bizonyos homologikus tulajdonságai csak a „durva kvázi-izometria típustól” függnek, és megegyeznek egy adott Lie-csoport különböző uniform rácsaira. Egy, lényegében Gersten-től származó példa szerint, az utolsó olyan dimenzió, amiben a perzisztens homológiában hosszú (vagyis végtelen hosszú) intervallum jelenik meg, meghatározza a kohomológikus dimenziót.
Utolsó példánkhoz vegyünk egy \( M\) Riemann-sokaságot. Terünk az \( X = \Lambda M=\{\gamma \colon S^1\to M\}\) tér lesz, \( M\) sima hurkainak tere. Függvényünket pedig a „log energia” függvény adja: \[\displaystyle \log E(\gamma ) =\log \int \langle \gamma^\prime (t), \gamma^\prime(t)\rangle dt,\] ahol \( \langle \cdot , \cdot \rangle\) a Riemann-struktúra által adott belső szorzás. Vegyük észre, hogy bár a log energia függ a választott Riemann-metrikától, két különböző metrikára ugyanazon a sokaságon a függvények különbsége korlátos. Ennek következménye, hogy a stabilitási tétel miatt ezen huroktér perzisztens homológiája – véges távolság erejéig – a sokaság egy invariánsa, vagyis a metrikától független. A következő, lényegében Gromovtól származó eredmény bizonyítása már majdnem következik a fentiekből:
Tétel: Legyen \( M\) egy kompakt Riemann-sokaság. Az a tulajdonság, hogy van egy olyan univerzális \( C\) konstans, amelyre minden \( L\) hosszú zárt homotopikusan triviális geodetikus pontrahúzható legfeljebb \( CL\) hosszú geodetikusokon keresztül, egy \( M\) metrikájától független tulajdonság. Valójában ez csak \( M\) fundamentális csoportától függ. Ez a tulajdonság továbbá ekvivalens avval, hogy nincsenek tetszőlegesen hosszú intervallumok a \( \Lambda M\)-beli konstans hurkok komponensének \( PH_0\) perzisztens homológiájában.
Az utolsó mondat rögtön megmagyarázza az azt megelőzőt. A geodetikusokra vonatkozó geometriai feltétel csak a fundamentális csoporttól függ (és nem a sokaságtól), mivel ez teljesül (majdhogynem definíció szerint) a hurkok 0-dimenziós homológiájára. Olyan véges csoportok, amelyeknek nem megoldható a szó-problémája, példákat adnak olyan csoportokra, amelyekre a feltételek nem teljesülnek (mivel a perzisztens intervallumok hosszára adott felső becslés egy, a szó-problémát megoldó algoritmust adna). Az ilyen fundamentális csoportú sokaságokra a tétel sok érdekes homotopikusan triviális geodetikus létezését adja. A témáról továbbiakat találhatunk Alex Nabutovsky-nak a 2010-es ICM kongresszuson tartott előadásában.
A perzisztens homológia fogalmi rendszere alkalmazott matematikának is tekinthető. Az alkalmazott matematika igényei ugyanis olyan szótárat adtak a kezünkbe, amellyel kényelmesen kifejhetők bizonyos, az elméleti matematikai kérdések és érvelések is.
Köszönetnyilvánítás: A cikk írásához jelentős segítséget nyújtott Jonathan Block, Gunnar Carlsson, Frederick Chazal, Sasha Dranishnikov, Herbert Edlesbrunner, Benson Farb, Steve Ferry, Rob Ghrist, Alex Nabutovsky, Partha Niyogi, és Steve Smale; ezúton szeretném ezt nekik megköszönni.
Shmuel Weinberger
University of Chicago (USA)
A cikk eredetileg a Notices of the American Mathematical Society folyóirat What is… rovatában jelent meg 2011 januárjában. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. A fordítást Stipsicz András készítette.
Irodalomjegyzék
[1] G. Carlsson, Topology and data, Bull. AMS 46 (2009), no. 2, 255–308.
[2] H. Edelsbrunner és J. Harer, Persistent homology: A survey, Surveys on Discrete and Computational Geometry. Twenty Years Later, 257–282 (J. E. Goodman, J. Pach, and R. Pollack, eds.), Contemporary Mathematics 453, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2008.
[3] J. Roe, What is a coarse space? Notices AMS 53 (2006), 668–669.
