A csáp (angolul grope, ami „tapogatózást” jelent) egy matematikai kifejezés, amely nyomtatásban először Jim Cannon 1978-as Bulletinben közölt cikkében [1] jelent meg. Ő a kifejezés kitalálójának egy madisoni geometriai topológus kollégáját, Russ McMillant tartotta. Cannon elmagyarázta, hogy azért nevezték ezt a dolgot csápnak, mert „számos tapogatózó ujj nő ki belőle”. Arra is felhívta a figyelmet, hogy „ez a szóhasználat rossz szóviccekhez vezethet” – némelyiknek ő sem tudott ellenállni. Az évek során még publikálásra szánt cikkek is vissza lettek utasítva, mert használták a csáp szót.
Matematikailag egy csáp egy bizonyos \( 2\)-dimenziós komplexus (amelynek egy körvonal a határa), amely felületek uniója (ahol felületen egy kompakt, összefüggő, irányított \( 2\)-dimenziós sokaságot értünk egy határoló körvonallal). Ahhoz, hogy beszélhessünk arról, hogyan vannak ezek a felületek összeragasztva, egy komplexitást mérő fogalmat, a csáp magasságát vezetjük be. Ha a csáp \( h\) magassága \( 1\), akkor a csáp csak egy \( \Sigma\) felület. Ha \( i = 1, \ldots, 2g(\Sigma)\), ahol \( g(\Sigma)\) a \( \Sigma\) felület génusza, akkor alkossák az \( \alpha_i\)-k a \( \Sigma\) felület egy körökből álló teljes szimplektikus bázisát. Ekkor egy \( h+1\) magasságú csápot úgy kapunk, hogy \( h\) magasságú csápokat ragasztunk az \( \alpha_i\)-khez a csápok határoló körei mentén.
Ezért a csápok nem sokaságok, de az előforduló szingularitásaik nagyon egyszerű típusúak, úgyhogy ezek a \( 2\)-komplexusok bizonyos értelemben a felületek után a legegyszerűbb terek. Hogy motiváljuk a csápok és magasságuk definíciójának bevezetését, a következőkben elmagyarázzuk, hogyan kapcsolódik mindez a csoportelmélethez.
Csoport kommutátorok és csápok
Egy \( S^1 \to X\) (a körvonalból valamilyen \( X\) térbe menő) folytonos leképezés a \( \pi_1(X)\) fundamentális csoportnak egy elemét reprezentálja. Ez a leképezés pontosan akkor terjed ki valamilyen felületnek (azaz egy 1 magasságú csápnak) az \( X\)-be menő leképezésévé, ha egy kommutátort reprezentál \( \pi_1(X)\)-ben. Ezt úgy láthatjuk a legkönnyebben, hogy a \( g\) génuszú \( \Sigma\) felületre mint párosított oldalakkal rendelkező (és középen kilyukasztott) \( 4g\)-szögre gondolunk. Ezt a párosítást úgy kapjuk, hogy vesszük a következő szót a \( 4g\)-szög határának mentén: \[\displaystyle \prod_{i = 1}^g a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}.\]
Mivel \( \Sigma\) határoló köre a \( 4g\)-szög közepén helyezkedik el, ezzel a kommutátorral kell megegyeznie. Iterált kommutátorok hasonlóan fejezhetők ki csápok \( X\)-be menő folytonos leképezéseivel: egy \( S^1 \to X\) leképezés pontosan akkor reprezentálja \( \pi_1(X)\) leszálló lánca \( h\)-adik tagjának egy elemét, ha kiterjed egy \( h\) magasságú csáp folytonos leképezésévé. Emlékeztetünk rá, hogy egy \( G=G^{(0)}\) csoport leszálló lánca a \( G^{(h+1)} := [G^{(h)}, G^{(h)}]\) iterált kommutátorokkal van definiálva. A csoport feloldható, ha ez a sorozat \( 1\)-ben végződik. A leszálló láncnak egy közeli rokona az alsó centrális lánc, melyet a \( G = G_1\) csoportra a \( G_{c+1} = [G, G_c]\) definícióval adunk meg. A csoport nilpotens, ha ez a sorozat \( 1\)-ben végződik. Az olvasó megpróbálhatja elképzelni hogyan definiáljunk bizonyos \( 2\)-komplexusokat (egy határoló körvonallal), amelyeket \( c\) osztályú csápoknak hívunk, úgy, hogy egy \( S^1 \to X\) leképezés pontosan akkor reprezentáljon egy elemet \( \pi_1(X)\) alsó centrális láncának \( c\)-edik tagjában, ha kiterjed egy \( c\) osztályú csáp folytonos leképezésévé. Valójában az ilyen csápok általánosabbak, mint amelyeket legelőször definiáltunk, és a szóhasználat meg is változott az évek során: a \( h\) magasságú csápokat ma szimmetrikus csápoknak is nevezzük. Ezek a csoportelmélet szerint \( c = 2^h\) osztályúak. Nem minden csáp szimmetrikus, ahogy azt a fenti ábra is mutatja.
Geometriai csoport kommutátorok
Ahogyan csápok leképezéseivel leírhatunk iterált kommutátorokat \( \pi_1(X)\)-ben, nézhetünk beágyazott csápokat is ahhoz, hogy több geometriai kérdést tanulmányozzunk. Ezeknek a legközvetlenebb felhasználása tűnik a legaktuálisabbnak, és ezt a csomóelmélet témakörében találjuk. A csomóelmélet a \( 3\)-dimenziós térbe beágyazott körök elmélete (ami más, mint a körök folytonos leképezéseié a fundamentális csoport esetében). Emlékeztetünk rá, hogy minden csomó határol egy Seifert felületet a \( 3\)-dimenziós térben, de csak a triviális csomó határol beágyazott körlapot. Ezért az egész csomóelmélet a felületek és a körlap közötti különbségből ered. Ahogy láttuk, ez pont olyan, mint a különbség egy \( \pi_1(X)\)-beli kommutátor és a csoportbeli egységelem között. A csápok lehetőséget adnak arra, hogy filtráljuk ezt a különbséget, hasonlóan a csoportelméletbeli iterált kommutátorokhoz.
\( 4\)-dimenzióban gondolkodva oda jutunk, hogy \( S^3 = \partial D^4\)-ben tanulmányozzuk a csomókat, amik kiterjednek \( h\) magasságú szimmetrikus csápok \( D^4\)-be való beágyazásaivá. Ez a csomó konkordizmuscsoport egy filtrálását adja meg, melyet Cochran, Orr és Teichner vezettek be 1998-ban. Megmutatták, hogy az összes előzőleg ismert konkordizmus invariáns megkapható ebből kis \( h\)-ra. Például ha a csomó egy \( 4\) magasságú szimmetrikus csápot határol \( D^4\)-ben, akkor az összes Casson-Gordon-invariánsa eltűnik. A csomó komplementumának feloldható fedéseivel és annak von Neumann-szignatúráival megmutatták továbbá, hogy ennek a filtrációnak minden egymás után következő faktora nemtriviális.
Schneiderman bebizonyította, hogy minden csomó, amelynek triviális az Arf-invariánsa, határol valamilyen tetszőlegesen nagy osztályú (nemszimmetrikus) csápot \( D^4\)-ben. Viszont ha ilyen csápot a \( 3\)-dimenziós térbe ágyazva keresünk, akkor egy gazdag obstrukcióelméletet kapunk. Ezt Conant és Teichner dolgozta ki, és szorosan kapcsolódik a Vassiliev-féle csomóinvariánsokhoz, ahol a csáp osztálya pontosan megfelel az invariáns véges típusának.
A csápok ezen \( 3\)- és \( 3.5\)-dimenziós alkalmazásainak áttekintéséhez és további hivatkozásokhoz [3]-at ajánljuk.
A csápok rövid története
Csápokhoz hasonló objektumok először 1971-ben tűntek fel Stanko egy cikkében, aki megmutatta, hogy bizonyos \( 3\) kodimenziós vad beágyazások sima beágyazásokat közelítenek meg. 1975-ben Cannon és Ancel kiterjesztették Stanko technikáját \( 1\) kodimenzióra. 1977-ben Cannon bevezette a csápokat és a diszjunkt körlap tulajdonságot, hogy bebizonyítson számos sokaság-felismerési tételt. Közöttük volt a híres Kétszeres szuszpenzió tétel, ami azt állítja, hogy egy tetszőleges \( n\)-dimenziós homologikus gömb kétszeres szuszpenziója homeomorf a standard \( (n+2)\)-dimenziós gömbbel. (Egy \( X\) tér szuszpenziója az \( X\) két kúpjának \( X\) mentén vett uniója.) Az eredmény rendkívül meglepő volt, mivel egy \( X\) sokaság egyszeri szuszpenziója csak akkor lehet sokaság, ha \( X\) a standard gömb. Cannon előtt, és csápok használata nélkül Bob Edwards sok egyedi esetben bebizonyította a kétszeres szuszpenzió tételt (és belátta a Háromszoros szuszpenzió tételt). De ezen problémák megoldásában a csápok olyan sikeresnek bizonyultak, hogy Edwards azt javasolta, \( 4\)- dimenziós topológiában is használják őket. Michael Freedman vezette be őket az 1983-as varsói Nemzetközi Matematikai Kongresszus kiadványában megjelent cikkében. Ebben a cikkben kiterjesztette a Körlap beágyazási tételét az egyszeresen összefüggő esetről jó fundamentális csoporttal rendelkező \( 4\)- sokaságokra. Ez magában foglalta a véges és ciklikus csoportokat (de még mindig nyitott kérdés, hogy mely csoportok jók, pillanatnyilag a szubexponenciális növekedésű csoportok a legáltalánosabb ismert osztály). A [2] monográfiában a \( 4\)-sokaságok topologikus elmélete teljes egészében a szimmetrikus csápokkal lett megfogalmazva.
Érdekes megfigyelni, hogyan tolódott a csápok felhasználása az évek során egyre alacsonyabb dimenziókba. A szlogen azonban mindig ugyanaz maradt: ha egy körlapot keresel, próbálj meg először egy csápot találni.
Peter Teichner
Irodalomjegyzék
[1] J. Cannon, The recognition problem: What is a topological manifold? Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), 832-866.
[2] M. Freedman és F. Quinn, The topology of \( 4\)-manifolds, Princeton Math. Series 39, Princeton, NJ, 1990.
[3] P. Teichner, Knots, von Neumann Signatures, and grope cobordism, Proceedings of the international congress of mathematicians, Vol H: Invited lectures, 2002, 437-446.
Megjegyzések
- Peter Teichner a Berkeley California Egyetem matematika professzora. E-mail címe: teichner@math.berkeley.edu
- A szerző köszönetet mond Ric Ancelnek a vizsgált fogalom eredetének tisztázásáért.
- A fenti dolgozat eredetije 2004 szeptemberében jelent meg a Notices of the American Mathematical Society folyóiratban. Peter Teichner, WHAT IS…a Grope? Notices Amer. Math. Soc. Vol. 51 Num. 8 (September, 2004) 894-895. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. Fordította Kalmár Boldizsár.
