A cikksorozat harmadik részében közölt feladatok megoldása itt található. A negyedik részben a geometria témakörének változásait mutatjuk be. Először az érettségi követelmények változását ismertetjük táblázatos formában. A táblázatban (piros színnel) jelezzük az újonnan megjelenő követelményeket és a törölt ismereteket is. (Ha egy követelmény átkerült középszintről emelt szintre, akkor azt csak a középszinten jelöltük kihúzással és emelt szinten nem pirosítottuk ki, hiszen eddig is része volt az emelt szintű követelményeknek.) A táblázat után a legfontosabb változásokat röviden megmagyarázzuk, értelmezzük, indokoljuk. Ezután néhány, újdonságnak számító ismeret esetén mutatunk olyan feladatokat, amelyeket a követelmények alapján el tudnánk képzelni egy feladatsorban. Hangsúlyozzuk, hogy ezek személyes elképzelések, az érettségi feladatokat összeállító bizottság nyilvánvalóan saját ötletei és szakmai meggyőződése szerint fog dolgozni.
| 4. Geometria | ||
| TÉMÁK | VIZSGASZINTEK | |
| Középszint | Emelt szint | |
| 4.1 Elemi geometria | Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát. | |
| 4.1.1 Térelemek 4.1.2 A távolságfogalom segítségével definiált ponthalmazok |
Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát. Ismerje a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat. Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat. Ismerje a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban. |
Tudja kitérő egyenesek távolságát és hajlásszögét meghatározni. Ismerje a parabola fogalmát. |
| 4.2 Geometriai transzformációk | Ismerje a geometriai transzformációk és a függvények kapcsolatát. | |
| 4.2.1 Egybevágósági transzformációk | Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat, és alkalmazza ezeket feladatokban. Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. |
Tudja pontosan megfogalmazni az egybevágósági transzformációk definícióit, a síkidomok egybevágóságának fogalmát, valamint a sokszögek egybevágóságának feltételét. Ismerjen példákat a térbeli egybevágósági transzformációkra. |
| 4.2.2 Hasonlósági transzformációk | Ismerje a középpontos hasonlósági transzformáció leírását, tulajdonságait. Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Tudjon szakaszt adott arányban felosztani. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek hasonlósági alapeseteit. Ismerje fel a hasonló alakzatokat, tudja felírni a hasonlóság arányát. Ismerje és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket. |
Ismerje a középpontos hasonlósági transzformáció és a hasonlósági transzformáció definícióját. Ismerje és alkalmazza a párhuzamos szelők tételét, a tétel megfordítását és a párhuzamos szelőszakaszok tételét. Bizonyítsa és alkalmazza a belső szögfelező tételt. |
| 4.2.3 Egyéb transzformációk | ||
| Merőleges vetítés | Ismerje és alkalmazza feladatokban a merőleges vetítést. | |
| 4.3 Síkbeli és térbeli alakzatok | Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. | |
| 4.3.1 Síkbeli alakzatok | ||
| Háromszögek | Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. |
|
| Ismerje és alkalmazza a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, magasságpont, súlyvonal, súlypont, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). |
Bizonyítsa a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó tételeket. | |
| Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Bizonyítsa a Pitagorasz-tételt. Ismerje és alkalmazza a magasság- és a befogótételt. |
Bizonyítsa a Pitagorasz-tétel megfordítását. Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza a magasság- és a befogótételt. |
|
| Négyszögek | Ismerje a speciális négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid, rombusz, téglalap, négyzet) és tulajdonságaikat, ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Ismerje a konvex négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó tételeket, alkalmazza ezeket egyszerű feladatokban. |
Bizonyítsa a húrnégyszögek és az érintőnégyszögek tételét, ismerje a tételek megfordítását. Ismereteit alkalmazza feladatok megoldásában. |
| Sokszögek | Ismerje, bizonyítsa és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Ismerje a szabályos sokszögek definícióját. | |
| Kör | Ismerje a kör részeit, ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, és hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Tudjon szöget mérni fokban és radiánban. Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. |
Bizonyítsa, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, valamint hogy a külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Tudjon szöget mérni radiánban. Bizonyítsa és alkalmazza feladatokban a kerületi és középponti szögek tételét és a kerületi szögek tételét. Ismerje és használja a látókör fogalmát. |
| Ismerje és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását. Bizonyítsa a Thalész-tételt. | Bizonyítsa a Thalész-tétel megfordítását. Ismerje és alkalmazza a körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tételét. |
|
| 4.3.2 Térbeli alakzatok | Ismerje a következő testeket és azok részeit, alkotóelemeit: hasáb, henger, gúla, kúp, gömb, csonkagúla, csonkakúp. Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. | |
| 4.4 Vektorok síkban és térben | Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: – vektor fogalma, abszolútértéke, – nullvektor, ellentett vektor, – vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, – vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, – vektor felbontása összetevőkre. Ismerje a skaláris szorzat definícióját, tulajdonságait. |
Ismerje és alkalmazza a vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságokat. Ismerje és alkalmazza a skaláris szorzat definícióját, tulajdonságait. |
| Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: – vektor koordinátái, – a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái, – vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái. – skalárszorzat kiszámítása vektorok koordinátáiból. |
Tudja koordinátáikkal adott vektorok hajlásszögét meghatározni. Ismerje az egyértelmű vektorfelbontás tételét. Ismerje és alkalmazza feladatokban a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátáit, valamint a skalárszorzat kiszámítását vektorok koordinátáiból. Ismerje és bizonyítsa a skalárszorzat koordinátákból való kiszámítására vonatkozó tételt. |
|
| 4.5 Trigonometria | Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja származtatni tompaszögek szögfüggvényeit a kiegészítő szögek szögfüggvényeiből. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). |
Ismerje a szögfüggvények általános definícióját, és alkalmazza forgásszögekre a középszinten szereplő összefüggéseket. |
| Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Szögfüggvény értékének ismeretében tudja a szöget meghatározni számológép segítségével. Ismerje és alkalmazza feladatokban a szinusz- és a koszinusztételt. |
Függvénytáblázat segítségével tudja alkalmazni egyszerű feladatokban az addíciós összefüggéseket (\(\sin(\alpha +\beta)\), \(\cos(\alpha +\beta)\), \(\operatorname{tg}(\alpha+\beta)\), \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\), \(\operatorname{tg} 2\alpha\)). Bizonyítsa a koszinusztételt. |
|
| 4.6 Koordinátageometria | Tudja kiszámítani \(\vec{AB}\) vektor koordinátáit, abszolútértékét. | |
| 4.6.1 Pontok, vektorok | Tudja kiszámítani két pont távolságát. Tudja kiszámítani szakasz felezőpontjának koordinátáit, és harmadoló pontjainak koordinátáit, alkalmazza ezt feladatokban. Tudja felírni a háromszög súlypontjának koordinátáit, alkalmazza ezt feladatokban. |
Igazolja a szakasz felezőpontja és harmadoló pontjai koordinátáinak kiszámítására vonatkozó összefüggéseket. Tudja kiszámítani szakasz \(n: m\) arányú osztópontjának koordinátáit. Igazolja és alkalmazza a háromszög súlypontjának koordinátáira vonatkozó összefüggést. |
| 4.6.2 Egyenes | Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét \(y = mx + b\) illetve \(x = c\) alakban. Tudja kiszámítani egyenesek metszéspontjának koordinátáit. Ismerje meredekséggel megadott egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Tudjon megoldani egyszerű geometriai feladatokat koordinátageometriai eszközökkel. |
Tudja többféle alakban felírni és levezetni az egyenes egyenletét a síkban különböző kiindulási adatokból. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Tudja síkbeli egyenesek hajlásszögét meghatározni. |
| 4.6.3 Kör | Tudja felírni adott középpontú és sugarú kör egyenletét. Tudja meghatározni kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontját és sugarát. Tudja meghatározni kör és egyenes metszéspontját. Tudja felírni a kör adott pontjában húzott érintő egyenletét. |
Tudja levezetni a kör egyenletét. Ismerje a kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolatát. Tudja meghatározni kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontját és sugarát. Tudja meghatározni kör és egyenes metszéspontját. Tudja felírni a kör adott pontjában húzott érintő egyenletét. Tudja meghatározni két kör kölcsönös helyzetét, metszéspontjait. Tudja felírni külső pontból húzott érintő egyenletét. |
| 4.6.4 Parabola | Tudja levezetni a parabola \(x^2 = 2py\) alakú egyenletét. Tudjon feladatokat megoldani az \(y\) tengellyel koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyű parabolákkal. |
|
| 4.7 Kerület, terület | Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát. Tudja kiszámítani a háromszög területét különböző adatokból: \(\displaystyle t=\frac{a\cdot m}{2}=\frac{ab\cdot \sin\gamma}{2}\). |
Bizonyítsa a háromszög területének kiszámítására használt képleteket, továbbá ismerje és alkalmazza az alábbi összefüggéseket: |
| \(t=sr(\text{bizonyítással})\), \(t=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). | ||
| Tudja kiszámítani nevezetes négyszögek, szabályos sokszögek, továbbá kör, körcikk, körszelet, körgyűrű kerületét és területét. | Bizonyítsa nevezetes négyszögek és szabályos sokszögek területképleteit. | |
| 4.8 Felszín, térfogat | Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Tudja kiszámítani hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínét és térfogatát egyszerű esetekben. |
Bizonyítsa a csonkagúla és a csonkakúp térfogatképletét. |
Mint látható, sok változás történt ebben a témakörben, de a változások nagy része – mindkét szinten – abból áll, hogy a korábban a követelmények részét képző ismeret kikerült a RÉV-ből.
Középszintről kikerült (de továbbra is az emelt szintű követelmények részét képezi) a magasság- és befogótétel ismerete, az ívmérték, a skaláris szorzat fogalma, a valós számok halmazán értelmezett trigonometria. Jelentős változás, hogy ezentúl az egyenesnek csak a meredekséggel felírható alakját kell tudni alkalmazni, nem kell ismerni a normál- és irányvektor fogalmát. Sokat egyszerűsödtek a körre vonatkozó koordinátageometriai ismeretek is (nyilvánvalóan azzal összefüggésben, hogy nem kell tudnia a vizsgázóknak másodfokú egyenletrendszert megoldani). Középszinten bekerült több tétel bizonyításának ismerete a követelmények közé. (Itt emlékeztetünk arra, amit az I. részben már leírtunk: ez nem jelenti azt, hogy a középszintű matematika írásbeli vizsgán a diákoknak valamely, a követelményekben szereplő tétel bizonyítását kellene leírniuk. Ha valahol ezek a bizonyítások megjelenhetnek, az a szóbeli vizsga, erre a 2024-től érvényes vizsgaleírás is utal.)
Emelt szintről is kikerült néhány ismeret követelménye.
Miután ezt a témakört inkább a követelmények csökkenése jellemzi, így kevés igazi újdonságot jelentő mintafeladatot tudunk mutatni. A korábbi évek feladatsorainak azok a feladatai, amelyek megfelelnek a követelményeknek, továbbra is jól használhatók az érettségi vizsgára történő felkészítés során.
- Egy egyenlőszárú háromszög egyik szögéről tudjuk, hogy szinusza \(\frac{1}{2}\), koszinusza pedig \(\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\). Mekkorák a háromszög szögei?
- Flóra szerint, ha két háromszögről tudjuk, hogy szögeik megegyeznek, és van egy-egy egyenlő hosszúságú oldaluk, akkor a két háromszög egybevágó. Igaza van-e Flórának? Válaszát indokolja!
- Egy háromszögről tudjuk, hogy két magassága egyenlő hosszú. Bizonyítsa be, hogy a háromszög egyenlőszárú!
- Egy paralelogramma egyik átlója szögfelező egyben. Mutassa meg, hogy ez a paralelogramma egy rombusz!
- Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik az \(A (–1; 5)\) és \(B (8; –13)\) pontokra!
Végül a 18. feladat a 2023. őszi középszintű feladatsorból megmutatja, hogy a körgyűrű területének kiszámítása tulajdonképpen eddig is részét képezte a követelményeknek.
- Egy párnákat gyártó cég a képen látható ülőpárnát szivacsból készíti, majd szövettel befedi. A szivacsból először egy 42 cm átmérőjű, 7 cm magasságú körhengert vágnak ki. Ezután a henger közepéből kivágnak egy 18 cm átmérőjű kisebb körhengert. (A két henger alapkörének középpontja egybeesik.)
- Számítsa ki a párna szivacsos részének térfogatát!
- Mennyi szövetre van szükség 30 párna befedéséhez? Válaszát négyzetméterben, egészre kerekítve adja meg! (A veszteségektől itt eltekintünk.)
Csapodi Csaba
ELTE TTK Matematikatanítási és Módszertani Központ,
Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet Módszertani Osztály
