geometria

Pontpozicionálás távolságméréssel

Mára mindennapossá vált, hogy GPS segítségével tájékozódunk, ha útnak indulunk. A GPS pontosan meghatározza a helyünket, mégpedig a mű­hol­dak­tól vett távolságainkkal. Gehér György a síkon és a térben is megmutatja, hány állomásra van szükség ahhoz, hogy egy adott tárgy helyzetét távolságméréssel meg tudjuk állapítani. A matematika különféle ágaiban (elméleti és al­kal­ma­zott területeken egyaránt) felmerülnek olyan problémák, amikor szükség van arra, hogy a távolságot nem a fenti euklideszi értelemben mérjük, hanem egy jóval általánosabb, úgy­ne­ve­zett norma segítségével. A szerző díjnyertes publikációjáról itt adunk hírt.

Áttörés az Erdős—Szekeres problémában

Az Erdős—Szekeres probléma története 1932-ben kezdődött, amikor Klein Eszter, az akkor 22 éves egyetemista észrevette, hogy öt általános helyzetű pont (nincs köztük három egy egyenesen) között a síkon mindig van négy, ami konvex helyzetben van. (Egy véges síkbeli ponthalmazt konvex helyzetűnek nevezünk, ha mindegyik pont­ja elválasztható a többitől egy egye­nes­sel.) Innen indult a híres „Happy End probléma”. Erdős és Szekeres korszakalkotó sejtésénél a nagy áttörést Andrew Suk tette meg 2016-ban. Tardos Gábor és Tóth Géza bemutatja a 85 év során született régebbi és legfrissebb eredményeket. (A fotókon Szekeres György, Klein Eszter és Erdős Pál látható a KöMaL 1927-28. tanévi legjobb megoldóinak tablóján.)

Konzervek dobozolása

A 2025-ös Rátz László Vándorgyűlésen elhangzott előadások témáinak továbbgondolásaként születtek meg a résztvevő tanárok záródolgozatai. A legjobbnak ítéltek közül válogattak szerkesztőink. Ezek egyike Grallert Krisztina körpakolási problémákkal foglalkozó geometria szakköri anyaga.

Nem-euklideszi geometriák, avagy milyen a világ? Konstans görbületű terek

A gondolkodó embert mindig is foglalkoztatta az a kérdés, hogy az őt körülvevő világ milyen. Ennek leírása pedig csak geometriai fogalmakkal lehetséges, így nem meglepő ezek igen korai feltűnése. Jóval a görög matematika megjelenése előtt, már az egyiptomi matematikában találunk pontos tér­geo­met­riai számításokat, ter­mé­sze­te­sen a ma euklideszi geometriának nevezett rend­szer szabályai alapján. Lambert, Gauss és Riemann munkássága, Bolyai Farkas, Bolyai János és Lobacsevszkij kutatásai nyomán bizonyítást nyer, hogy van minden tekintetben megfelelő globális alternatívája is az euklideszi geo­met­riá­nak. Einstein munkásságával egyidőben alkotja meg Minkowski és Lorentz a téridő matematikai modelljét és alakul ki Minkowski másik geometriája... Ezekről a geometriákról szeretnénk ebben a cikkben írni, hiszen ezek képezik az alapjait minden további, a világ szerkezetének leírása céljából kidolgozott matematikai struktúrának. G. Horváth Ákos

Két pont között legrövidebb út az egyenes? Kérdezzük meg Fa Nándort…

A cikk apropója Fa Nándor kiváló sport­tel­je­sít­mé­nye a Vendée Globe földkerülő vitorlás versenyen. A rendkívül nehéz fizikai igénybevétel mellett a verseny nehézsége többek között abból áll, hogy meg kell tervezni az optimális útvonalat úgy, hogy a szél alapvetően befolyásolja a távolságmérést (adott pontokban az időegység alatt elérhető pontok halmazát), és így a tér geometriáját.

Szokatlan gondolatok geometriai sorozatokról

A Polygon folyóirata a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének kiadásában 1991 óta jelenteti meg matematikai és szakdidaktikai közleményeit. Nemrég jelent meg 2016 novemberi, XXIV/1. száma, ebben a 69-78. oldalon olvasható Máté László cikke, amelyet − az összes fél egyetértésével − az Érintőben is közlünk. A szerző néhány példán keresztül azt szeretné megmutatni, hogy ha egy geometriai sorozatot végtelen sorozattá terjesztünk ki, akkor ezzel a látszólag kis lépéssel nagymértékben tágíthatjuk diákjaink matematikai szemléletét. A példák egyike egy tábla csokoládé...

Hóember a tanteremben

Nem, a cikk címe nem tévedés, sőt, ez a hóember jó okkal és tartósan költözhet be tantermünkbe, ha akarjuk, családostól, sőt, csapatostól… Olyan volt diákként írok, aki mindig küzdött a matematika kihívásaival, és sajnos nem a kreativitás és játékosság helyeként maradt meg bennem a matematikaóra, pedig meg vagyok győződve arról, hogy ezeknek megvan a létjogosultsága ott is...Az idei karácsonyra készülve találtam a geometrikus papírdíszek témájára. Erről olvasva merült fel bennem a gondolat, hogy például egy geometrikus hóember milyen remekül illene egy ádventi matematikaórára vagy szakkörre.

Mi is … egy egzotikus 4-dimenziós euklideszi tér?

A cikk megírásának ötletét a Notices of the American Mathematical Society 'What is...?' sorozatából merítette Stipsicz András, a Mi is...? rovat gazdája, az Érintő főszerkesztője, a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet tudományos tanácsadója. Akik még nem tudják, mi is egy egzotikus négydimenziós euklideszi tér, azoknak itt a lehetőség... (A képen egy 4-dimenziós kocka, https://commons.wikimedia.org/ Enzo Bono Ipercubi c. képéről)

Szimmetrikus háromszögek és Lyndon-szavak

A Héttusa 65. feladatának nyomán született írás a geometriáról áttér halmazokra, majd irányított gráfokra, végül Lyndon-szavakra. A Lyndon-szavak felbukkannak az algebra, számelmélet és topológia különféle kérdéseiben, és megjelennek egészen távoli alkalmazási területeken: a számítástudománytól és kriptográfiától kezdve az elméleti fizikán és zenetudományon át egészen a molekuláris biológiáig. Nyitóképünkön Roger Lyndon (a második fotó Halmos Pál felvétele).

Bolyai János munkájának hatása a háromdimenziós terek elméletére

A hiperbolikus geometria felfedezése, Bolyai, Lobacsevszkij, Gauss, majd később Riemann, Klein, Poincaré 19. századi munkássága meghatározó lett a 20. és a 21. században is, amikor Thuston sejtését Perelman bizonyította. Bolyai tehát nemcsak a párhuzamosok problémáját oldotta meg, de megadta a két- és háromdimenziós esetben a „tipikus”, legtöbbször előforduló geometria konstrukcióját is. A 200 éves folyamaton Stipsicz András vezeti végig az olvasót.

Tisztelgés három nagy matematikus előtt

  • Gardev Dániel, Hartmann Botond, Kovács Dominik, Varga Sebestyén
A három nagy matematikus: Erdős Pál, Szőkefalvi-Nagy Béla és a nemrég fiatalon elhunyt Besenyei Ádám. Hogy miért pont ők? Az ő nyomdokaikban jár az új nemzedék, az Óbudai Árpád Gimnázium 12.b speciális matematika tagozatáról. Ők egy remek matematikai témájú YouTube videót készítettek. A motiváció és az egyéb részletek kiderülnek a cikkükből.

Az Erdős–Moser-sejtés bizonyítása

A közelmúltban egy több mint fél évszázadon át megoldatlan geometriai sejtést sikerült igazolniuk magyar kutatóknak. A bizonyítás a geometria, a Fourier-analízis, a lineáris programozás, a gráfelmélet és a számítástudomány módszereit ötvözi. Az eredményről 2023 júliusában a tudományos ismeretterjesztés nemzetközi etalonjának számító Quanta Magazine is beszámolt [1]. Ketten az öt szerző közül, Ambrus Gergely és Varga Dániel mutatják be a híres problémát és a bizonyítást.

A sonkásszendvics-probléma

Egy korábbi Érintő cikkben szerepelt már a híres lvivi Skót Kávéház, ahol kiváló lengyel matematikusok a Skót Könyvbe jegyzeték fel a fontosabb matematikai problémákat. Ebben a cikkben Hugo Steinhaus 123-as sorszámú problémájáról lesz szó, amelyet ma már csak sonkásszendvics-problémaként emlegetnek. Titkos Tamás ismerteti (kicsit leegyszerűsítve) a tételt és a bizonyítás vázlatát.

A 100 éve született René Thom tudományos hagyatéka

2023 szeptemberében volt René Thom, a neves és sokoldalú francia geométer és topológus születésének századik évfordulója. Ebből az alkalomból eseménysorozattal emlékezett meg róla a párizsi Francia Tudományos Akadémia és volt munkahelye, az Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) kutatóintézet. Szabó Szilárd beszámolót készített az ünnepi alkalmakról.

Tensegrity a karácsonyfán

Ez micsoda? – kérdezték tőlem gyerekek és szülők, akik egy közös adventi készülődésen oda­se­reg­let­tek körém, amikor meglátták előttem a színes szívószálakat és gumikarikákat, amikből valami különös térbeli szerkezet kezdett kialakulni. Amikor megmondtam, hogy ez egy tensegrity szerkezet, akkor megint csak az volt a kérdés: Az meg micsoda? Aki szeretne ilyet készíteni a karácsonyfára, az olvassa el Gáspár Merse Előd írását.

Egy geometriai kapcsolat a Fibonacci-sorozat és a Lucas-számok sorozata között

  • Figula Ágota, Silling Szintia Adriána
A Fibonacci-számok sokak érdeklődését felkeltik, hiszen többféle módon összekapcsolják a ter­mé­szet­ben előforduló jelenségekkel is. Itt például a méhek családfája került szóba. A szerzők egy érdekes geometriai kapcsolatra is rábukkantak: Silling Szintia a Debreceni Egyetem Turizmus-vendéglátás szakán tanul, ezért külön ér­dek­lő­dés­sel fogadtuk matematika témájú cikkét, amelyet konzulensével, Figula Ágotával közösen írtak.

A tér alakja

Jeffrey R. Weeks: A tér alakja (Felületek és háromdimenziós alakzatok ábrázolása) című könyvében két- és háromdimenziós terek geometriáját és topológiáját vizsgálja, elsősorban a terek szerkezeteinek szemléletes képeit bemutatva. Szirmai Jenő a könyvet ajánlja a matematikával és fizikával foglalkozó egyetemi hallgatóknak, mivel a precíz topológiai és differenciálgeometriai tanulmányok közben megmutatja azok lényeges és szép hátterét, a vizsgált terek „vizualizálásának” lehetőségeit. Kiemeltem javasolja az érdeklődő középiskolás tanulóknak, akik bizonyos részeket önállóan is fel tudnak dolgozni.

Vizuális élményen alapuló matematikaoktatás

Különleges matematikaoktatási módszertani könyv készült el a Poliuniverzum az iskolai oktatásban (Poly-Universe in School Education − PUSE) nemzetközi Erasmus+ projekt keretében. A PUSE Módszertani könyv célja egy új, vizuális élményen alapuló matematikai, oktatási módszertan kidolgozása volt. A program a Saxon Szász János képzőművész által feltalált Poliuniverzum (angolul: Poly-Universe) geo­met­ri­ai képességfejlesztő játékon alapszik.

Matematikai meglepetések

Mordechai Ben-Ari, az izraeli Weizmann Institute of Science professzora egy igazi matematikai gyöngyszemmel ajándékozta meg az olvasókat. Matematikai meglepetések című könyve a matematika számos területéről mutat be olyan, jellemzően kevésbé ismert összefüggéseket, kapcsolódási pontokat, amelyek mind a középiskolai, mind az egyetemi oktatást megszínesíthetik. Bárki szabadon letöltheti a könyvet, olvasása Bozóki Sándor szerint óriási élmény.

Differenciaegyenletek

Kovács Sándor Differenciaegyenletek című, a Typotex-nél 2020-ban kiadott művéről írt Insperger Tamás kedvcsináló ajánlót. A klasszikus (Kolmogorov előtti) valószínűségszámítás tudorának, Jordán Károlynak a Calculus of finite differences (Budapest, 1939) című monográfiája után ismét egy magyar szerző tankönyvének örülhetünk ebben a fontos témában. Akit érdekel, mi a különbség a differenciaegyenletek és a differenciálegyenletek között, olvassa el György Szilvia recenzióját is.
Keresés