Georg von Wallwitz: David Hilbert: Hogyan változtatta meg egy matematikus a 20. századot, Typotex, Bp. 2025
Az Érintő olvasói matematikusok, tudják, mi a Hilbert-tér, mi a 23 Hilbert-probléma. De talán nem hallottak arról, hogyan tette Hilbert valóban axiomatikussá az euklideszi geometriát, és hogyan akarta logikailag megalapozni az egész matematikát. És csak kevesen tudnak arról, hogy az általános relativitáselmélettől kezdve a kvantummechanika születéséig szinte mindenütt ott volt – beleértve a számítástudományt is –, ahol a jövő született. A könyvet egy amatőr matematikatörténész írta, jó ízléssel, érdekesen. Mindenkinek ajánljuk a könyvet, akit érdekel a legújabb kori matematika története. Talán a leghasznosabb, ha a rövid életrajzi ismertetés után kiemelek néhány fontos gondolatot a könyvből, és megfogalmazok némi kritikát.
Életrajz helyett
David Hilbert Königsbergben született 1862-ben (ma Kalinyingrád néven Oroszország része, Lengyelország és Litvánia közé ékelődve). Ott járt egyetemre. 1886-ban hívták meg az akkori matematika egyik fő központjába, Göttingenbe, ahol 1943-ban halt meg.
Első jelentős eredményeként (1888-ban) az invariánselmélet akkoriban fő kérdését oldotta meg (bázistétel). Új módszert alkalmazott, amely nem volt konstruktív, ezért sok akkori nagy matematikus nem akarta elfogadni. Az, hogy annyi energiát szentelt később a matematika axiomatizálásának, ennek is következménye volt, mert az ilyenfajta (egzisztencia-) bizonyításokat biztos alapra akarta helyezni. (Ahogy később mondta: „nem hagyjuk magunkat kiűzni Cantor paradicsomából”.)
– 1893-ban az úgynevezett gyöktételével és egyéb eredményekkel megalapozta az algebrai geometriát.
– 1897-ben megoldotta az 1770-ből származó Waring-problémát, azaz megmutatta, hogy minden természetes \(k\)-ra van olyan \(m_k\) természetes szám, hogy minden egész szám előáll legfeljebb \(m_k\) darab természetes szám \(k\)-adik hatvány összegeként. (Emlékeztető: Lagrange híres tétele szerint minden természetes szám előáll legfeljebb 4 négyzetszám összegeként, azaz \(m_2=4\).)
– 1899-ben ma is elfogadható módon axiomatizálta az euklideszi geometriát.
– 1900-ben a párizsi matematikai világkonferencián 23 megoldatlan kérdéskört fogalmazott meg, amelyek azóta is világítótornyokként szolgálnak a matematikusoknak.
– 1909 előtt számos fontos kérdést az analízis, például integrálegyenletek köréből közös geometriai nézőpontból tudott vizsgálni egy absztrakt térben, amelyet később Neumann János Hilbert-térnek nevezett el.
– 1915-ben Einsteinnel egyidőben, bár elismerve Einstein elsőbbségét, ő is megtalálta az általános relativitáselmélet egyenletét. 1927-ben Neumann Jánossal és Lothar Nordheimmel együtt cikket is írt a kvantummechanika axiomatizálásáról.
– 1920-ban fogalmazta meg logikai programját, amelyet formalistának szoktak nevezni. A lényege: nem kell vizsgálni az axiómák tartalmát, csak a következtetések logikusságát, mindenekelőtt azt, hogy a fontos axiómák ellentmondás-mentessége is bizonyítást nyerjen, Kurt Gödel 1930-ban megmutatta, hogy a program kivihetetlen, de persze a program így is rendkívül inspiráló volt. (Bár Hilbert még 13 évet élt, Gödel eredményeit már nem igazán látta át.) Hasonlóan vonzó az a kijelentése is, hogy minden matematikai kérdésre előbb-utóbb választ lehet kapni, csak kitartóan keresni kell.
– Göttingenben ő hozott létre (Klein nyomán) egy fantasztikus matematikai és fizikai centrumot, amit aztán a zsidóüldözés megsemmisített.
A könyv újdonságai
A könyv újdonságai közül a következőket emelem ki.
A matematikát emberek csinálják. Számomra a legnagyobb újdonságot az jelentette, hogy a szerző közel hozta az olvasóhoz Hilbertet és barátait. Eddig például szinte semmi egyénit sem tudtam főhősünk königsbergi barátairól, Adolf Hurwitzról és Hermann Minkowskiról. A könyvből nemcsak az derül ki, hogy Hurwitz milyen kiváló matematikus volt (például Routh után, de tőle függetlenül 1895-ben megalkotta az állandó együtthatójú differenciálegyenletek stabilitási ismérveit), hanem ő vezette be a magasabb matematikába Hilbertet. Négydimenziós tér-idő tere mellett megismerjük Minkowskit, mint Hilbert barátját, és együtt kesereghetünk korai halálán. A könyv szereplői közül megemlítem Richard Courant nevét is, akivel Hilbert egy ma is népszerű tankönyvet írt a matematikai fizika módszereiről.
Érdekes, hogy az 1920-as évek világgazdasági fellendüléséből jutott pénz arra, hogy a hiperinflációból lassan kikecmergő Németország matematikai központját felvirágoztassák. Aztán a nácizmus uralomra jutásával minden a porba hullott, és a nácizmus elől emigrálók Amerikában találnak menedéket: Courant, Emmy Noether és Neumann. Mellesleg évekig Courant vezette a göttingeni kutatóközpontot, majd New Yorkban teremtett egy hasonlóan sikeres centrumot, amely 1964 óta az ő nevét viseli.
Nemcsak a politikai korrektség miatt kap központi szerepet a könyvben Emmy Noether, a modern algebra egyik óriása. Hilbert egyik kedvenc tanítványa volt, aki csak úgy tarthatott egyetemi előadásokat 1920 körül, hogy Hilbert nevén futott a kurzus. (Hilbert a nőellenes eljárás ellen szellemesen tiltakozott: „nem fürdőben vagyunk, ahol a férfiak és a nők el vannak különítve”, de sokáig nem ért el eredményt.)
A matematika és a fizika összefügg. Az még közismert, hogy e két terület hajdanán milyen szorosan összefüggött. Elég, ha csak azoknak a régen elhunyt óriásoknak a nevét említjük, akik mindkét területen meghatározó munkát végeztek: Arkhimédész, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Laplace, Gauss. A könyv nyomatékosan hangsúlyozza Hilbert érdeklődését a fizika iránt, és részletesen elemzi néha feszültséggel terhes barátságát Einsteinnel.
Bár népszerűsítő könyvről van szó, a szerző számos forrással támasztja alá gondolatait.
Matematika népszerűsítve. A csípős történetek mellett a szerző súlyt fektet arra, hogy a felsőbb matematika gondolatait közelebb hozza a nem matematikus olvasóhoz. Például amikor indirekt bizonyítással igazolja, hogy a valós számok számossága nagyobb, mint az egészeké, akkor a 43. oldalon szemlélteti is Cantor átlós módszerét.
Hasonlóan igényes, amikor Hilbert logikai módszereit ismerteti, a 136. oldalon megjelenik a minden és a van olyan szimbólum is.
Kritika
A szerző dicséretére legyen mondva, hogy Hilbert életét széles történeti keretbe helyezte. De néha túl messzire tér el Hilberttől. Két ilyen, önmagában nagyon érdekes fejezetet említek, amelyet szerintem ki lehetett volna hagyni, de ha már szerepelnek, akkor kitérek rájuk.
Neumann János 1926-os játékelméleti előadásának 8 teljes oldalt szentelt. (Érdekes, hogy az első játékelméleti cikket Ernst Zermelo írta 1913-ban, aki egyébként Hilbert tanítványaként 1908-tól kezdve a ma is használatos logika axiómarendszer egyik megteremtője volt.) A könyv szóba hozza Neumann csodagyerek voltát, és a többi marslakót1 is, de nem hangsúlyozza eléggé, hogy a nevezett Neumann-cikket 1944-ig, amikor a Neumann–Morgenstern monográfia megjelent, szinte észre sem vették. Kétséges, hogy Hilbertet érdekelte a játékelmélet. Ugyanakkor képtelenségnek tűnik, hogy Hilbertet elsősorban Neumann tökéletesen szabott öltönyei nyűgözték le.
Az egyébként nagyon érdekes Demonstrationes catholicae (184–202. o.) fejezet hosszan kitér Hilbert egyik távoli előfutárára, Gottfried Wilhelm Leibnizre. A legtöbb matematikus csak azt tudja Leibnizről, hogy Newtont néhány évvel követve, de tőle függetlenül, 1676 előtt felfedezte a kalkulust (a differenciál- és integrálszámítást). A jobban tájékozottabbak még azt is ismerik, hogy a ma is használt kalkulusjelöléseket (például a \(dx\)-et) Leibniz találta ki, és terjesztette el. Kevésbé ismert, hogy fő célja egy univerzális tudományos nyelv kialakítása volt, ennek egyik „mellékterméke” volt a kalkulus. Egy másik eleme pedig a kettes számrendszer kidolgozása volt, ez a logikában és az elektronikus számítógépek működésében valóban alapvető szerepet játszik. Jellemző Leibnizre, hogy szétszórtsága miatt gyakran legjobb ötleteit is veszni hagyta. Például egy általa alapított folyóirat számára írt egy cikket a kettes számrendszerről, de visszakérte a cikket, hogy kiegészítse egy gyakorlati alkalmazással, és végül az egész írás feledésbe merült (201. o.)
Nem ismerem a német eredetit, és nem vagyok Hilbert-szakértő, de a könyv néhány megfogalmazása túlzottan leegyszerűsítőnek látszik: „Hilbert keletporosz parasztember volt, tolakodóan táncolt, a sörözés nagyon fontos volt számára.” De mindenképpen üde képet kapunk a korszak nagy matematikusairól és fizikusairól.
A szép fordítás Gerner József munkája.
Simonovits András
1A marslakók legendája a második világháború idején Los Alamosban terjedt el, Leon Ledermann könyvét idézi Marx György, aki az elnevezést meghonosította. Neumann János, Wigner Jenő, Kármán Tódor és Teller Ede alkották a nevezetes „marslakókat”: azokat a zseniális magyar származású tudósokat, akik magyar emigránsoknak álcázva magukat „beszivárogtak” a világ legjobb egyetemeire és kutatóintézeteibe. (A szerkesztő megjegyzése.)
