2018. március 27-én az MTA könyvtárában mutatta be a szerző — Kovács László — a munkatársaival — Abonyi Iván, Gurka Dezső, Rab Irén, Gazda István — részben közösen írt új munkáját. A könyv címe: Segner János András, két alcímmel. Az első: Egy jeles hungarus a 18. századból. A második: Orvos, matematikus, fizikus, csillagász, vegyész, tanár, filozófus és műszaki alkotó. Az interneten a híres tudósról, J. A. Segnerről csak gyenge minőségű arcképek találhatók. A friss kötet borítóján viszont megjelent F. Reibenstein festő szép színes Segner-portréja.
Eulerről, aki Segner kortársa és közeli munkatársa, több festmény is fennmaradt; azok hamar fellelhetők az interneten. Segner esetében azonban sok-sok fekete-fehér arcképet találunk, melyek leginkább csak az idős professzort mutatják. Ezért is tekinthető egyfajta szenzációnak, hogy az új kötet címlapján megjelent egy Segner-arckép élete derekáról.
J. A. Segner (1704—1777) polihisztort a világ leginkább német tudósként ismeri, de ő saját magát hungarus jelzővel illette. (A segner és hungarus szavak szokásos kiejtése: zégner illetve hungarusz.) Segner evangélikus ősei Stájerországból menekültek hazánkba; a család fiai a török elleni harcokban jeleskedtek, nemesi címet szereztek, Pozsony vármegyében bírói és egyéb elöljárói hivatalokat töltöttek be. Németajkúak voltak, de magyarul is megtanultak. Írásunk címszereplője Pozsony vármegye Szentgyörgy városában született, alsó- és középiskoláit Pozsonyban, Győrben, Debrecenben végezte, 21 évesen már a jénai orvostudományi egyetemen tanult, 1730-ban megszerezve orvosi oklevelét Pozsonyban kezdett praktizálni, majd Debrecen városi orvosa lett. Aztán 1732-ben meghívták Jéna városába magántanárnak; később Göttingen, majd a Halle egyetemén professzorkodott haláláig. Korának egyik legnagyobb tudósaként tartjuk számon. Sokirányú tevékenységének részleteit megtaláljuk a kötetben.
Segner matematikai eredményei. A kötet Segner matematikai munkásságának ismertetésében leginkább Szénássy Barna munkáját követi (Segner András matematikai tevékenysége, Acta Debrecen VI/2. 1960. 37—42.)
A könyv ismerteti Segner azon eredményeit, amelyek a polinomértékek gyors kiszámítására, a polinomgyökök rajzolószerkezetekkel való megszerkesztésére vonatkoznak. Sajnos ez a könyv is elköveti azt a hibát, amit sok elődje: azt jelenti, hogy Segner bizonyította először a Descartes-féle jelszabály (vagy inkább előjelszabály) néven elhíresült észrevételt, mely szerint egy valós együtthatós \( p(x)=a_0+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n}\) polinomnak legfeljebb annyi pozitív gyöke lehet — természetesen multiplicitással tekintve a gyököket —, mint ahányszor átlépünk a nulla felett a számegyenesen, ha sorban lépkedünk az \( a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\) számok között. Az igazság az, hogy Segner valóban elsőként adott korrekt bizonyítást, de a módszere csak akkor működik, ha a polinomnak mind az \( n\) gyöke valós. Ez pedig így csak fából vaskarika, mert csak akkor mondhatjuk Segner alapján biztosan, hogy például az \( x^{7}+x^{5}-8\) polinomnak csak 1 pozitív gyöke van — amely tény történetesen igaz —, ha meggyőződünk arról, hogy mind a 7 gyök valós — amely tény történetesen nem igaz. De például az \( x^{5}+8x^{4}+21x^{3}+14x^{2}-20x-24\) polinom estében igaz az, hogy az összes gyök valós, és így Segner nyomán biztosak lehetünk abban, hogy legfeljebb csak 1 pozitív gyök lehet. Viszont nem tűnik könnyebb feladatnak annak ellenőrzése, hogy mind az 5 gyök valós, annak ellenőrzésénél, hogy 4 gyök negatív és 1 gyök pozitív.
Mindazonáltal a Descartes-féle jelszabály helyes észrevétel akkor is, ha nem minden gyök valós, Segner bizonyítása is korrekt, csak hát éppen nem sokra megyünk vele abban a speciális esetben, amikor működik is. De ne legyünk igazságtalanok: Segnernél jelenik először a matematika történetében az a rendkívül fontos tény, hogy \( x_{0}\) akkor és csak akkor zérushelye a \( p(x)\) polinomnak, ha \( (x-x_{0})\) osztja \( p(x)\)-et.
Kovács László hosszasan ír arról, hogy Segner felelevenítette a térfogatszámításra vonatkozó Cavalieri-elvet. (Cavalieri egy évszázaddal Segner előtt élt.) Szerencsére Kovács tanár úr már nem vesz mindent készpénznek, amit Segner írt. Utal arra is, hogy a Cavalieri-elv csak nagy gondossággal megfogalmazott feltételek teljesülése esetén alkalmazható. „Láthatjuk tehát, hogy a szabatos tétel erős bizonyításhoz szükség van a matematikai analízisre” — olvashatjuk végkövetkeztetésképpen. Én azonban azt tartanám szükségesnek kijelenteni: a matematikában értelmetlenek a „szabatos tétel” és az „erős bizonyítás” kifejezések, hiszen csak az a bizonyítás, amely korrekt, és minden bizonyítás egyformán erős, illetve csak az a tétel, amelynek már ismerjük legalább egy bizonyítását, így egyik tétel sem szabatosabb a másiknál.1
A kötet részletesen ismerteti a Segner-féle eljárást is a Ludolf-féle szám közelítő kiszámítására. A \( \pi\)-re a következő felső közelítés jön ki: \( 96\operatorname{tg}(15^{\circ}/8)\cdot \left(1-\dfrac{2}{3}\big(1-\cos(15^{\circ}/8)\big)\right)\). Az viszont megmosolyogtató, hogy Kovács László közli tizedestörtben a fenti értéket: \( 3{,}14159282\ldots\) Nyilvánvaló ugyanis, hogy ez kalkulátorral vagy számítógéppel kapott érték, amely Segner korában nem volt lehetséges. (A verembe esett róka nem húzhatja ki saját farkánál fogva magát, hiszen a cos és tg függvények pontos értékei kiszámításához okvetlenül szükséges magának a \( \pi\)-nek sok-sok tizedesjegye.) Gyökjelekkel és alapműveletekkel kellett volna kiszámolni, hogy mennyi a fenti képlet számértéke felülről becsülve.
Ezekkel olyan formában írható fel a fenti közelítés a \( \pi\) számra, amely Segner korában is értelmezhető és közelítőleg kikalkulálható lehetett. Becsülettel végigszámolva azt kapjuk, hogy a Kovács László által közölt közelítő érték utolsó számjegye már hibás, azaz Segner képletének pontos értéke \( 3{,}14159283\) és \( 3{,}14159284\) között van.
Segner találta fel a logarléc egyik elődjét is2. A logaritmikus skálájú karcolt rézlemezek elkallódtak, csak Segner levelezéseiből tudunk azokról.
Segner matematikusi munkásságából valószínűleg a legmaradandóbbak a Segner-számok, első néhány tagjuk: \( P_{2}=1\), \( P_{3}=1\), \( P_{4}=2\), \( P_{5}=5\), \( P_{6}=14\). Definíció szerint \( n>3\) esetén egy konvex \( n\)-szög \( P_{n}\) különböző módon bontható átlóival \( n-2\) darab háromszögre. (A felhasznált átlók nyilván nem metszhetik egymást.) Euler egyik problémája megoldásának legfontosabb részeként Segner megtalálta a következő rekurziót: \( P_{n+1}=P_{2}P_{n}+P_{3}P_{n-1}+\ldots+ P_{n-1}P_{3}+P_{n}P_{2}\). Ennek következményeként hozta ki Euler a következő képletet: \[\displaystyle 2\cdot 3\cdot 4\cdot \ldots\cdot (n-1)P_{n}=2\cdot 6\cdot 10\cdot \ldots\cdot (4n-10).\]
A saját rekurziója alapján Segner \( n=20\)-ig számolta ki \( P_{n}\) értékeit, de néhányat eltévesztett, viszont Goldbach hamar javította őt. Akárhogyan is, Catalan belga matematikus (egy évszázaddal Euler, Segner, Goldbach után) a Segner-számok nevet adta a sorozatnak, de napjainkban a legtöbb matematikus Catalan-számok néven hivatkozik azokra. Az évszázadok során a Segner-számok számtalan helyen felbukkantak. Ajánljuk Richard P. Stanley professzor Catalan Numbers című tavalyi prezentációját és tavalyelőtti http://www.cambridge.org/hu/academic/subjects/mathematics/discrete-
| 1 | ||||||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||||
| 1 | 2 | 1 | ||||||||||||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||||||||
| 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||||||||||
| 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |||||||||||
| 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||||||||||
| 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |
A recenzió tárgyát képező kötetben található Gurka Dezső írása is, amiből megtudható, milyen hatással volt Kant nézeteire Segner szemlélete a számokról.
Összefoglalás. A recenzió alá vont kötet sok-sok értékes adatot tartalmaz, számos érdekes illusztrációt. Tisztelettel javasoljuk a nyájas olvasónak, hogy tegyen egy időutazást: helyezze magát negyed évezreddel korábbi időkbe, és olvasgassa a Gazda István és Kovács László által összeállított kötetet. Ott, ahol vitatható értelmezéseket talál, szálljon vitába velük, és ott, ahol hiányoznak adatok, segítse lehetőségeihez képest a tudománytörténeti kutatásokat, ezzel is kiemelve Segner nemzetközi tudománytörténeti megítélésének elhanyagolt magyar vonatkozásait.
Hujter Mihály
matematikus, tudománytörténész,
BME Matematika Intézet
http://math.bme.hu/~hujter
Kovács László: Segner János András. Egy jeles
hungarus a 18. századból. Orvos, matematikus, fizikus, csillagász,
vegyész, tanár, filozófus és műszaki alkotó.
Kiadó: Magyar Tudománytörténeti és Egészségtudományi Intézet. (Budapest. ISBN 978-615-5365-25-6.)
http://real.mtak.hu/74845
Irodalomjegyzék
[1] Segner arcképe Reibenstein festménye részleteként: http://math.bme.hu/~hujter/segner.jpg
[2] Richard P. Stanley: Catalan Numbers http://www-math.mit.edu/~rstan
[3] Rab Irén:
Hungarus-tudat és diákmentalitás a 18. századi göttingeni
peregrinációban – különös tekintettel a medicinára – emlékkönyvek és
egyéb peregrinációs források tükrében, Doktori értekezés, Semmelweis
Egyetem, 2015. http://phd.semmelweis.hu/mwp/phd_live/vedes/export/rabiren.d.pdf
[4] Gazda István: A Segner-kötet bemutatása — 9 és fél perces videó, 2018. https://drive.google.com/open?id=1MBElpuOP8IKcSxQRx92mu_6xpcqpzzqy
Lábjegyzetek
1A szabatos megfogalmazásra érdemes felidézni Hajós György Elemi geometria c. alapművének 28.3 tételét, az itteni bizonyítás gyakorlatilag nem használ matematikai analízist. (A szerk.)
2Az, hogy ki találta fel a világon először a logarlécet, ma is vitatott kérdés. Már 1620 körül többféle eszközt készítettek. Segner találmánya Németországban lehetett egyik őse a mai logarlécnek. (A szerk.)
