Elman, H. C., Silvester, D. J., Wathen, A. J.: Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamics, Oxford University Press. First edition: 2005, Second edition: 2014.
E könyvismertető tárgya a szokásostól eltérően egy olyan mű, amely sem nem magyar nyelvű, sem nem friss. Azonban több szempontból is igen hasznos olvasnivaló az alkalmazott matematika egy nevezetes területéről, mind oktatói szempontból, mind elméleti és gyakorlati felhasználásra nézve is. Jó szolgálatot tesz, ha utána akarunk nézni felmerülő kérdéseinknek a témában.
A könyv a végeselem-módszert (FEM) mutatja be parciális differenciálegyenletek (PDE-k) többféle, áramlástanhoz kötődő típusára az összenyomhatatlan folyadékokra vonatkozó Navier-Stokes-egyenletek (NS) köré felfűzött szerkezetben. Utóbbi önmagában is jól ismert és alapvető jelentőségű matematikai modellt alkot, melynek elméleti megalapozása a milleniumi problémák közé tartozó és máig megoldatlan kérdéseket tartalmaz. Ezenkívül igen sokféle gyakorlati helyzetben és összetettebb áramlástani feladatok részeként is felbukkan, így numerikus megoldási módszereinek fejlesztése mindig időszerű kérdéskör.
Ahhoz, hogy a NS-egyenletekhez és numerikus megoldási módszereikhez eljussunk, a könyv több lépésen át viszi az olvasót. A részfeladatok egyrészt építőkövei maguknak az NS-egyenleteknek, másrészt önállóan is releváns PDE-modellek. A könyv első kiadása a stacionárius esetre szorítkozik, a legegyszerűbb Poisson-egyenlettől a konvekció-diffúziós egyenleten és a Stokes-feladaton át az időfüggetlen Navier–Stokes-egyenletekig terjed. E négyes tagolás lehetővé teszi a FEM jól érthető bevezetését, majd az adott újabb feladat sajátosságaihoz való adaptációinak bemutatását. Jól segíti a megértést a részek egységes szerkezete is. Mind a négy modellről két-két fejezet szól: az első a végeselemes diszkretizálásról, a második a kapott algebrai egyenletrendszerek iterációs megoldásáról. Az egyes modellek bevezetésekor mindig látunk ún. referenciaproblémákat, melyek megoldása vagy explicit, vagy tükröz valamely tipikus jelenséget (pl. határrétegek, visszaáramlások sarkokban). Egységes formában olvashatunk a FEM konstrukciójáról és hibabecsléseiről. Bizonyításokból a könyv annyit foglal az anyagba, hogy a lényeges dolgok világosak legyenek, de ne vesszünk el a részletekben. A második kiadás kiegészíti a fentieket az időfüggő eset rövid ismertetésével a NS-egyenletekre és egy erre épülő Boussinesq-típusú (felhajtóerőt figyelembe vevő) modellre, valamint PDE-feltétel melletti optimalizációs problémákra. E gyakorlatban is fontos feladatoknál jól használhatóak a korábbi fejezetek diszkretizációs és prekondicionálási technikái.
A könyv tág közönséget céloz meg. Első részei (Poisson-, konvekció-diffúziós és Stokes-egyenletek) mesterszakos és doktori hallgatók számára is megfelelő anyagot tartalmaznak, ilyen kurzusok jól meríthetnek belőle. A későbbi fejezetek már kutatási szintet érnek el, részben a szerzők eredményeit is beépítik, melyekben a numerikus módszer kihasználja a PDE-k szerkezetét. A szerzők célja volt, hogy mind matematikusok, mind az elmélet iránt is érdeklődő mérnökök meríthessenek az anyag megfelelő részeiből.
Az anyag feldolgozását nagyban segíti, hogy az egyes fejezetek végén elméleti és gyakorlati feladatok találhatóak. Utóbbiak számítógépes kísérletezést kívánnak meg, amit segít a könyvhöz illeszkedő, a szerzők által létrehozott ingyen elérhető programcsomag is.
Összességében elmondható, hogy bár a fenti témákban bőséges irodalom áll rendelkezésre, ez a könyv jó szívvel ajánlható, hiszen nagy témakört mutat be egységes, jól áttekinthető és széles kör számára hasznos módon.
Karátson János
ELTE TTK Matematikai Intézet,
BME TTK Matematikai Intézet
