Egy kvantumcsoport elsősorban is egy Hopf-algebra, egy gyönyörű struktúra, amelynek elegáns definiáló axiómáit már az 1940-es években leírták, sokkal korábban minthogy az 1980-as években az igazán fontos fizikából érkező példák megjelentek volna. Kezdjük tehát ezen elegáns axiómák ismertetésével, észbentartva azt, hogy a modern példák és a további struktúrák azok, amik igazán érdekessé és fontossá teszik ezt a témakört. Egy \( H\) Hopf-algebra tehát a következő axiómákat teljesíti:
- \( H\) egy \( (H, \cdot, 1)\) \( k\) test feletti egységelemes algebra.
- \( H\) egy \( (H, \Delta , \epsilon )\) \( k\) test feletti koegységelemes koalgebra. A \( \Delta \colon H\to H \otimes H\) „koszorzás” és az \( \epsilon \colon H\to k\) „koegység” leképezéseknek teljesíteni kell a \( (\Delta \otimes \operatorname{Id})\Delta = (\operatorname{Id}\otimes \Delta)\Delta\) és \( (\epsilon \otimes \operatorname{id})\Delta =(\operatorname{id}\otimes \epsilon )\Delta = \operatorname{id}\) azonosságokat.
- \( \Delta\) és \( \epsilon\) algebra homomorfizmusok.
- Létezik egy \( S\colon H\to H\) „antipodális” leképezés, mely teljesíti a \( \cdot (\operatorname{id}\otimes S)\Delta =\cdot (S\otimes \operatorname{id})\Delta=1\epsilon \) azonosságot.
Három nézőpontból érhetünk (egymástól függetlenül) a fenti axiómákhoz; ezek mindegyike a kvantumcsoport egy definícióját adja. Alább mindhármat tárgyaljuk, de helyszűke miatt nagyrészt az elsőre fogunk fókuszálni.
Az első megközelítés avval az észrevétellel kezdődik, hogy egy \( G\) véges csoport \( k(G)\) függvényei vagy egy \( G\) algebrai csoport \( k[G]\) koordináta-algebrája Hopf-algebrákat alkotnak. Valóban, egy véges \( G\) halmazra legyen \( k(G)\) a \( G\)-n értelmezett \( k\) értékű függvények algebrája a pontonkénti műveletekkel ellátva. Azonosítsuk \( k(G)\otimes k(G)\)-t \( k(G\times G)\)-vel, vagyis a kétváltozós függvényekkel. Amikor \( G\) valójában egy csoport, egy \( a\in k(G)\) elemre legyen \[\displaystyle (\Delta a)(x,y)=a(xy), \quad (Sa)(x)=a(x^{-1}), \quad \epsilon (a)=a(e),\] ahol \( e\) a \( G\) csoport egységeleme és \( x,y\in G\) tetszőleges. A csoportstruktúra tehát a \( \Delta, \epsilon\) koalgebra-struktúrában és az \( S\) antipodális leképezésben van elkódolva. Hasonlóan, minden \( G\subset k^n\) polinom-egyenletekkel megadott részhalmazra egy \( k[G]\) „koordináta-algebrát” definiálhatunk, mint a \( k^n\)-en értelmezett polinom-függvények tere, moduló a \( G\) mentén eltűnő függvények ideálja. Amennyiben \( k\) algebrailag zárt, ilymódon egy pontos (funktoriális) megfeletetést kapunk ilyen polinomiális részhalmazok és nilpotens-mentes végesen generált kommutatív algebrák között. Amikor a \( G\) részhalmaz egy csoportot alkot és a csoportművelet polinomiális, a \( G\times G\to G\) szorzás-leképezés e megfeleltetés mentén egy, épp az ellenkező irányba mutató \( \Delta\) algebra homomorfizmust ad. Hasonló módon kaphatók a Hopf-algebra struktúra további elemei. Íme két példa: Az „affin egyenes” a \( k[x]\) koordináta-algebrával (egyváltozós polinomokkal) adható meg, ahol a \( \Delta x=x\otimes 1 + 1\otimes x\) additív koszorzat a \( k\)-beli összeadásnak felel meg. Az olvasóra hagyjuk a struktúra további részeinek definícióját, és így annak megmutatását, hogy minden \( k\) testre létezik Hopf-algebra. A „kör” hasonló módon írható le, véve a \( k[t,t^{-1}]\) koordináta-algebrát (vagyis \( t\)-beli és \( t^{-1}\)-beli polinomokat, amelyekre a \( tt^{-1}=t^{-1}t=1\) relációk teljesülnek), ellátva a \( \Delta t=t\otimes t\) multiplikatív koszorzással, ami a \( k^*\)-beli szorzásnak felel meg. A további részleteket és az ellenőrzést ismét az olvasóra bízzuk. A legismertebb komplex Lie-algebrák általában polinom-egyenletekkel definiáltak, amelyekhez természetesen tartozik a \( {\mathbb{C}}[G]\) algebra, illetve definiálhatók általános \( k\) test felett a megfelelő hasonló egyenletekkel és a \( k[G]\) algebrával. A \( {\mathbb{C}}\) feletti esetben egy „valós forma” egy további struktúrát, egy kompatibilis, komplex lineáris involúciót jelent, amellyel a koordináta algebra egy \( \ast\)-algebrává válik. Ezekkel a jelölésekkel a fenti két példa \( {\mathbb{C}}[{\mathbb{R}}]\) és \( {\mathbb{C}}[S^1]\) lesz, és \( x^*=x\) illetve \( t^*=t^{-1}\) lesz a valós forma.
Egy általános \( H\) Hopf-algebrára is megvannak a \( \Delta, \epsilon, S\) struktúrák, de általában nem tesszük fel, hogy — mint a fenti példákban — \( H\) algebrája kommutatív. Ez épp a nemkommutatív geometria vagy „kvantálás” nézőpontja egy kommutatív koordináta-algebra vagy függvényalgebra nemkommutatív deformálására a matematikusok (de nem a fizikusok) értelmezésében. A csoportelmélet, illetve a Lie-csoportok elméletének nagy része erre a szintre emelhető; például amennyiben az \[\displaystyle \int \colon H\to k\] eltolás-invariáns integrálás (ami bizonyos értelemben \( \Delta\)-t is használja) létezik, akkor átskálázás erejéig egyértelmű, és valójában a szép esetekben létezik is. Hasonlóan, az \( (\oplus _n \Omega ^n , d)\) komplex differenciálformák minden \( H\) algebra felett értelmezhetőek. Az egy fokú \( \Omega _1\) 1-formák tere egy \( H-H\) bimodulus, amelyen egy \( \operatorname{d}\colon H \to \Omega ^1\) operátor is adott, ami eleget tesz a \( \operatorname{d}(ab)=(\operatorname{d}a)b+a(\operatorname{d}b)\) (\( a,b\in H\)) Leibniz-szabálynak és \( \Omega ^1=H\operatorname{d}H\). Ez kicsit gyengébb mint a szokásos differenciálgeometriában, még akkor is, amikor \( H\) kommutatív, mivel nem követeljük meg, hogy az 1-formák kommutáljanak \( H\) elemeivel. Amikor \( H\) egy Hopf-algebra, megkövetelhető az is, hogy \( \Omega ^1\) eltolás-invariáns legyen, ismét egy a \( \Delta\)-t is használó értelemben. Ebben az értelemben egy „kvantumcsoport” nem egyszerűen egy Hopf-algebra, hanem egy további, a Lie-csoportokhoz hasonló struktúrája is van. E mélyebb elmélet néhány tulajdonsága már az egyenes és a kör példáján is látható, bár ezek a példák kommutatívak mint algebrák. Az egyszerű (tehát valódi hányados nélküli) eltolás-invariáns \( (\Omega ^1, \operatorname{d})\) struktúrák például osztályozhatók. \( {\mathbb{C}}[x]\) esetén egy \( \lambda\in {\mathbb{C}}\) paraméterrel jellemezhetők, és a \[\displaystyle \operatorname{d}a(x) = \frac{a(x + \lambda ) – a(x)}{\lambda }\operatorname{d}x,\quad \operatorname{d}x a(x) = a(x + \lambda )\operatorname{d}x\] véges differencia alakra hozhatók minden \( a\in {\mathbb{C}}[x]\)-re. Csak \( \lambda =0\) esetén fog \( \operatorname{d}x\) a függvényekkel kommutálni, tehát csak ekkor látjuk a megszokott geometriát. \( {\mathbb{C}}[t, t^{-1}]\) esetén az eltolás-invariáns \( (\Omega ^1, \operatorname{d})\) struktúrákat egy \( q\in {\mathbb{C}}^*\) érték klasszifikál, és ekkor \[\displaystyle \operatorname{d}a(t) = \frac{a(t) – a(qt)}{(1 – q)t}\operatorname{d}t, \quad \operatorname{d}t a(t) = a(qt)\operatorname{d}t\] minden \( a\in {\mathbb{C}}[t, t^{-1}]\)-re. Ez a két példa valójában bemutatja a ma ismert kvantumcsoportok két fő típusát. A legnevezetesebb példa a \( C_q(SL_2)\) „\( q\)-deformált” kvantumcsoport, melynek \( a,b,c,d\) generátoraira a relációk és a koszorzat a következő módon adható meg: \[\displaystyle ba = qab,\ bc = cb, \ ca = qac, \ dc = qcd, \ db = qbd, \ da = ad + (q – q^{-1})bc, \ ad – q^{-1}bc = 1,\] \[\displaystyle \Delta\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\] ahol mátrix-szorzást alkalmazunk (vagyis például \( \Delta a = a \otimes a + b \otimes c\), stb.). Hasonlóan adhatók meg a \( {\mathbb{C}}_q[G]\) változatok minden \( G\) Lie-csoportra, illetve komplexifikáltjaikra. Másfajta „\( \lambda\)-deformációra” ad példát \( {\mathbb{C}}_{\lambda}[{\mathcal {R}}^{1,3}]\), amit a \( t, x_i\) (\( i=1,2,3\)) elemek által generált algebraként definiálunk; a relációk \( [x_i,t]=ß\lambda x_i\); és az additív koszorzat úgy adható meg, mint \( {\mathbb{C}}[x]\) esetében. Ez valójában egy feloldható Lie-algebra burkoló algebrája (lásd később). A NASA GLAST műhold mérései alapján azt is tesztelni tudjuk majd esetleg, hogy a mi téridőnk ilyen-e, \( \lambda \approx 10^{-44}\) szekundum választással, ahol ez a hatás a kvantumgravitációból jönne. További nemtriviális példákat adnak a „bikeresztszorzat” kvantumcsoportok, amelyeket később fogunk érinteni.
A kvantumcsoportok definíciójának második megközelítése azon az észrevételen alapul, hogy egy tetszőleges csoport \( kG\) csoportalgebrája, és egy tetszőleges Lie-algebra \( U({\mathfrak{g}})\) burkoló algebrája Hopf-algebrákat alkotnak, ez esetben szimmetrikus koszorzattal (vagyis koalgebrájuk „kokommutatív”). Egy \( G\) csoport \( k\) feletti csoportalgebrája egyszerűen a \( G\) elemei mint bázis által definiált vektortér, és a szorzat a báziselemeken a \( G\)-beli szorzat, lineárisan kiterjesztve. Továbbá \[\displaystyle \Delta x = x \otimes x, \quad \epsilon x = 1, \quad Sx = x^{-1}\] minden \( x\in G\)-re, ismét lineárisan kiterjesztve. Hasonlóan, legyen \( ({\mathfrak{g}}, [\cdot ,\cdot ])\) egy Lie-algebra a \( [\cdot, \cdot ]\) Lie-zárójellel ellátva. Az \( U({\mathfrak{g}})\) egy egyszerű (de nem túlzottan elegáns) definíciója a következő: vegyük \( {\mathfrak{g}}\) egy bázisát és legyen \( U({\mathfrak{g}})\) az a szabad asszociatív algebra, amelyet ezek az elemek mint generátorok adnak, és vegyük ehhez a \( vw-wv=[v,w]\) relációkat minden \( v,w\) báziselemre. Mindez lineárisan kiterjed, így ez az egyenlet minden \( v,w\in{\mathfrak{g}}\) elemre teljesül. A koszorzás ismét az additív koszorzás: \( \Delta v=v\otimes 1 + 1 \otimes v\) a generátorokon. Ezekben a példákban a \( kG\) vagy az \( U({\mathfrak{g}})\) algebra egy hatása a \( G\) csoport vagy a \( {\mathfrak{g}}\) Lie-algebra egy lineáris hatásával egyenértékű, és \( \Delta\) azt kódolja el, hogy a hatások hogyan terjednek ki a tenzorszorzatokra; hasonlóan ahhoz, ahogy egy \( H\) Hopf-algebrát tekinthetünk úgy, mint egy „általánosított szimmetriát”, ahol a \( h\in H\) elem \( \Delta h\)-val hat a tenzorszorzaton. Erre szükségünk van például akkor, amikor meg akarjuk határozni, hogy egy másik algebra kovariáns-e \( H\)-ra nézve.
A leghíresebb példa pedig \( U_q(sl_2)\), amelyet az \( e,g,q^h, q^{-h}\) generátorokkal adhatunk meg, és amelyekre a következő relációk teljesülnek: \[\displaystyle q^heq^{-h} = q^2e, \ q^hf q^{-h} = q^{-2}f, \ [e, f] = \frac{q^h – q^{-h}}{q -q^{-1}},\] \[\displaystyle \Delta e = e \otimes q^h + 1\otimes e, \ \Delta f = f \otimes 1 + q^{-h} \otimes f, \ \Delta q^h = q^h \otimes q^h.\]
Megköveteljük továbbá, hogy \( q^2 \neq 1\). \( U_q({\mathfrak{g}})\) pedig tetszőleges \( {\mathfrak{g}}\) esetén egy szimmetrizálható Cartan-mátrixszal definiálható. Ezek a kvantumcsoportok nagyon gazdag algebrai struktúrával rendelkeznek, amelyek csomó- és 3-sokaság-invariánsokhoz vezetnek. Az egyik legmélyebb eredmény a Lusztig–Kashiwara kanonikus bázis létezése, amely a legmagasabb súlyú modulusoknak indukálja egy bázisát; ez az eredmény még a \( q\to 1\) klasszikus esetben is nagyon fontos.
A harmadik nézőpont szerint Hopf-algebrák az Abel-csoportok utáni legegyszerűbb olyan kategóriát alkotják, amelyben van Fourier-transzformált. E nézőpont adja az önduális formákhoz tartozó „bikeresztszorzat” kvantumcsoportok meglehetősen nagy osztályát. Ezek egyszerre „koordináta-” és „szimmetria-” algebrák, és szoros kapcsolatban állnak a kvantummechanikával. Ezekre egy példa \({\mathbb{C}}[{\mathbb{R}}^3 \rtimes {\mathbb{R}}]_{\lambda}\operatorname{⧑} \ U(so_{1,3})\) mely a \(\mathbb{C}_{\lambda}[\mathbb{R}^{1{,}3}]\) fent tárgyalt nemkommutatív tér–idő algebra Poincaré- kvantumcsoportja. Ez esetben a speciális relativitáselmélet ugyanúgy alkalmazható, de mint kvantumcsoport szimmetria. Ez a kvantumcsoport úgy is interpretálható, mint egy feketelyuk-szerű tulajdonságokkal rendelkező görbült térben mozgó részecske kvantálása.
Shahn Majid
További olvasmány:
S. Majid, A Quantum Groups Primer, L. M. S. Lect. Notes 292, 2002.
Shahn Majid a Queen Mary (University of London) matematika professzora; e-mail címe s.majid@qmul.ac.uk. A cikk eredetileg az American Mathematical Society Notices folyóiratának 2006-os számában jelent meg a What is …? rovatban. A fordítást Stipsicz András készítette.
Sahn Majid, WHAT IS…a Quantum Group? Notices Amer. Math. Soc. Vol. 53 Num. 1 (January, 2006) 30-31 ©2006 American Mathematical Society
