A 2016-os Abel díjas Andrew Wiles számos jelentős eredménnyel gazdagította a matematikát, de a világhírt a nagy Fermat-tétel bizonyítása hozta meg számára: ha \( n>2\), akkor az \( x^n+y^n=z^n\) egyenletnek nincsen olyan megoldása, ahol \( x,y,z\) zérustól különböző egészek.
Fermat ezt az állítást Diofantosz Aritmetikájának olvasása közben jegyezte fel. Az állítás, hogy az \( x^n+y^n=z^n\) egyenletnek nincs pozitív egész megoldása, könnyen érthető, de a bizonyítás évszázadokba telt.
Az Aritmetika Fermat jegyzeteivel ellátott kiadásából. A híres bejegyzés: “Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.” Avagy Bródy Ferenc míves fordításában: „Nincsen mód viszont felosztani köböt két köbre, sem négyzetes négyzetet két négyzetes négyzetre, és általában a négyzeten túl a végtelenig semmiféle hatványt két ugyanolyan nevezetűre; mely dolognak igazán csudálatos bizonyítását találtam. Szűkebb a margó, semhogy befogadná.”
De ki volt Diofantosz? Miről szólt az Aritmetika, és mi motiválta Fermat-t a híres megjegyzésre?
Az első kérdésre nincs kielégítő válaszunk. Sem Diofantoszról, sem tanárairól, sem tanítványairól nincsenek adataink. Ami biztos, hogy az i.e. 2. század és az i.sz. 4 sz. között élt, valószínűleg az i. sz. 2-3. században.
Diofantoszról a következő rejtvény maradt fenn. Az olvasóra bízzuk, hogy megfejtse, hány évet élt a nagy matematikus, ha az alábbiakat tudjuk róla:
Itt porlad Diofantosz mester, sírköve rajta.
Olvasd, közli veled, mily nagy a kor mit elért.
Élete egyhatodában gyermek volt, s a kamaszkor épp a tizenketted része az éveinek.
Számold rá a hetedrészt, ekkor házasodott meg.
Erre öt esztendőt, s megszületett a fia.
Ó jaj, szörnyű csapás ha fiunk megelőz a halálban!
Csak felennyi időt mért a fiúnak a sors mint neki.
Végül hogy négy év eltelt a magányban, várta a révész már, s átevezett vele is.
Diofantosz fő műve, az Aritmetika, témájában, eszközeiben és kifejezésmódjában is teljesen eltér az általunk ismert klasszikus görög matematikától. Az eredetileg 13 kötetből csupán 6 maradt fenn görögül, további példányok arab nyelven kerültek elő 1968-ban. Az arab könyvek feladatai más számozásúak, alkalmanként különböznek is. A görög nyelvű kötetek nagy valószínűséggel Hüpátia kommentárjai az eredetiről. (Heath: A history of Greek mathematics.)
Hüpátia Raffaello vatikáni freskóján. (Vagy nem.) Hüpátia (i.sz. 360 körül-415). Egy kortársa, Konstantinápolyi Szókratész egyháztörténeti leírása szerint „élt ebben az időben Alexandriában egy hölgy, Hüpátia, Theon filozófus lánya, aki oly sikereket ért el az irodalom és a tudományok terén, hogy jóval előtte járt minden kortárs filozófusnak. Platón és Plótinosz iskoláját kijárva, a filozófia alapelveit tanította diákjainak, akik közül sokan messze földről érkeztek.” Az egyik ilyen diákja, Kürénei Szünésziusz, későbbi püspök, így írt egy levelében neki: „Legnagyobb veszteségem, hogy nem lehetek az ön isteni szellemének közelében”. Hüpátia munkái is elvesztek, csak az Aritmetika átdolgozása maradt fenn.
A közhiedelemmel ellentétben Diofantosz elfogadott racionális számokat is megoldásként, mint a II. könyv híres 8. feladatában is, ami Fermat-t a híres margójegyzetre sarkallta. Habár megoldásként csak pozitív számokat fogadott el, számolás közben minden fenntartás nélkül használt negatív számokat is, tehát az elsők között ismerte fel a racionális számtest technikai előnyeit.
Amikor a XVI. században Európában újra felfedezték Diofantosz munkáit, az egyik első olvasója Bombelli olasz matematikus volt. Ő az Aritmetikában szereplő problémák jelentős részét beépítette Algebra című könyvébe, de a negatív számok használatából inspirációt merítve komplex számokat is használt harmadfokú egyenletek megoldására. Például az \( x^3=15x+4\) egyenlet megoldására a Cardano-féle képlet az \( x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}\) komplex számot adja. Bombelli megmutatta, hogy ez értelmezhető 4-ként (ami egy nyilvánvaló megoldás).
Diofantosz egy mai szemmel ugyan kezdetlegesnek tűnő algebrai jelölésrendszert használt, ám ez jelentős előrelépés volt a hagyományos körmondatokban leírt algebrai konstrukciókhoz képest. Pl. a változót \( \zeta\)-val, a négyzetét \( \Delta^\nu\)-vel jelölte. A negatív előjelre a \( \psi\) megfordítottját, vagyis \( \pitchfork\)-t használta. Ugyanakkor ezzel a jelöléssel csak egy változó hatványait tudta jelölni, ezért ha további paraméterek jelentek meg, azokat mindig konkrét számnak választotta.
Így a XIX. században már sok olvasó számára tűnthetett úgy, hogy a könyv ad hoc trükkök gyűjteménye, és a többség egyetértett Hankel szavaival, aki szerint „100 probléma tanulmányozása után sem fogja tudni megoldani a 101-edik problémát”. Pedig ez távolról sincs így, a jelölésrendszeren és a racionális számtest használatán túlmutatóan is alapvető módszerek jelentek meg az Aritmetikában, amit alább két fontos példával is illusztrálunk.
Az első példa a fent említett II. könyv 8. feladata, ami Fermat-t híres sejtése megfogalmazására sarkalta. „Propositum quadratum dividere in duos quadratos…” azaz „Osszunk egy négyzetet két négyzet összegére”. Diofantosz megoldása (a fenti képen látható latin szövegben az \( N\) szám négyzetét \( Q\) jelöli, mi ehelyett a mai \( N^2\) jelölést alkalmazuk) a következő.
Legyen a négyzet 16. Legyen az egyik oldal \( N^2\), tehát a másik \( 16-N^2\). Ez utóbbinak négyzetnek kell lennie. Egy olyan négyzetet képezek, amelynek oldala az \( N\) tetszőleges többszöröse a(z eredeti) négyzet oldalával csökkentve. Ez \( 2N-4\)1. Így ez a négyzet \( 4N^2+16-16N\). Ezt egyenlővé teszem \( 16-N^2\)-tel. Mindkét oldalhoz hozzáadok \( N^2+16N\)-t és kivonok \( 16\)-t. Így \( 5N^2=16N\) adódik, amiből tehát \( N=16/5\) következik. Tehát az egyik szám \( \frac{256}{25}\), a másik pedig \( \frac{144}{25}\). A két szám összege 16 és mindkettő négyzet.
A megoldás a koordináta-geometria nyelvén jobban megérthető. Az \( x^2+y^2=16\) körön keresünk olyan pontot amelynek mindkét koordinátája (pozitív) racionális szám. A nyilvánvaló \( (0,-4)\) ponton át indítsunk egyenest, pl. Diofantoszt követve legyen ez az egyenes az \( y=2x-4\) egyenlettel megadva. Ez az egyenes két pontban metszi a kört, a \( (0,-4)\) pontban, és a \( (16/5,12/5)\) pontban.
A módszer tetszőleges racionális meredekségű egyenesre ad egy új pontot. Ha \( y=\frac{m}{n}x-4\) akkor a másik metszéspont koordinátái egyszerűen kifejezhetők \( m,n\) segítségével. Az érdeklődő olvasó \( 16\) helyett \( 1\)-et véve jobb oldalnak, az \( x^2+y^2=1\) megoldásait kifejezheti a \( (0,-1)\) ponton átmenő \( \frac{m}{n}\) meredekségű egyenest használva. Ily módon megadhatja az összes pitagoraszi számhármast, hiszen \( a^2+b^2=c^2\) esetén \( x=a/c\) és \( y=b/c\) racionális megoldásai az \( x^2+y^2=1\) egyenletnek.
A következő feladat megoldásának geometriai tartalma még érdekesebb.
IV. Könyv. 24. feladat. Bontsunk egy számot két részre, hogy a szorzatuk egy köb mínusz az oldal2. Diofantosz az „egy számot” 6-nak választja, így az \[\displaystyle y(6-y)=x^3-x\] egyenletet kapja.
Ennek nyilvánvaló megoldása \( x=-1\), \( y=0\). Nem véletlen tehát, hogy Diofantosz megint így gondolkodik: Az \( x\) szám legyen az \( y\) egy többszöröse eggyel csökkentve, azaz \( x=ay-1\). Ezután megkeresi \( a\) azon értékét amikor \( (ay-1)^3-(ay-1)\)-ben \( y\) együtthatója \( 6\). Ez akkor áll fenn, ha \( a=3\). Ekkor \( 6y-y^2=(3y-1)(3y-2)3y\), azaz \[\displaystyle -y^2=27y^3-27y^2.\] Tehát \( y=26/27\) és \( x=17/9\).
Talán az a legmeglepőbb az algebrai konstrukció ábráján, hogy Diofantosz itt egy görbe érintőjét konstruálja meg tisztán algebrai eszközökkel.
Az érintő-egyenes és a harmadfokú görbe metszéspontjai olyan racionális együtthatós harmadfokú polinomra vezetnek, aminek \( y=0\) kétszeres gyöke, így a harmadik gyöknek is racionálisnak kell lennie. Ez ismét csak egy általános módszer, aminek mélységét csak a XX. században, az elliptikus görbék tanulmányozásával értettük meg. Ezek a görbék (lásd lejjebb) megkerülhetetlen szerepet játszottak Fermat sejtésének megoldásában.
Érdekes módon Fermat (aki Descartes mellett a koordináta-geometria egyik megalkotója is volt), Diofantoszt olvasva vezette be a „közelítőleg egyenlő” fogalmát. Fermat a következő okoskodást használta maximumszámításhoz. Ha az \( f(x)\) függvénynek maximuma van \( x\)-ben, akkor \( f(x)\simeq f(x+e)\) közelítőleg egyenlő. Például, ha \( f(x)=bx-x^2\), akkor az \( f(x+e)-f(x)=(b+2x)e+e^2\simeq 0\) közelítő egyenlőség akkor állhat fenn, ha \( b+2x=0\). Fermat „levezetése” komoly ellenállásba ütközött. A pontosítás kísérlete, a végtelenül kicsiny mennyiségek bevezetése, ugyan nem oldotta meg a logikai problémákat, de megfelelő nyelvet teremtett a dinamikusan változó mennyiségek leírására, és több mint 200 évig dominálta az analízist.
Visszatérve a harmadfokú egyenletekkel megadható görbékre, már Newton belátta, hogy ha egy ilyen egyenletknek van legalább egy racionális pontja (azaz egy olyan pont aminek mindkét koordinátája racionális szám, és „rajta van a görbén”, azaz kielégíti az egyenletet), akkor az a változók egyszerű helyettesítése után, megfelelő \( A,B\) konstansokkal \[\displaystyle y^2=x^3+Ax+B\] alakra hozható. Például a fenti IV. 28. feladat esetén, \( y\) helyére \( y-3\)-at, \( x\) helyére \( -x\)-et írva az \[\displaystyle y^2=x^3-x+9\] egyenletet kapjuk.
Az ilyen típusú egyenletek által megadott görbét elliptikus görbének nevezzük, ha az \( x^3+Ax+B\) harmadfokú polinom gyökei különbözőek, mert Weierstrass megmutatta, hogy ezek a görbék az Euler és Abel által tanulmányozott ú.n. elliptikus függvényekkel paraméterezhetők.
A XX. század derekán Poincaré észrevette, hogy a Diofantosz által használt szelő-érintő konstrukció az elliptikus görbe pontjain csoport struktúrát eredményez. Ehhez ki kell egészíteni a görbét egy \( [0]\) végetelen távoli ponttal; a függőleges egyenesek (és csak ezek) ugyanis csak két pontban metszenék a görbét, és a projektív geometria elvei alapján ezeknek a párhuzamos egyeneseknek a végtelen távoli közös metszéspontját adjuk a görbéhez.
Ezzel a kiterjesztéssel a következő műveletet képezhetjük. Legyen \( P_1(x_1,y_1)\) és \( P_2(x_2,y_2)\) két pont a görbén. Vegyük a \( P_1\) és \( P_2\) pontokon átmenő szelőt, vagy ha \( P_1=P_2\), akkor a pontbeli érintőt. Ha az így kapott egyenes a \( P_3(x_3,y_3)\) pontban metszi újra a görbét, legyen \[\displaystyle P_1\boxplus P_2=(x_3,-y_3).\]
(Vegyük észre, hogy ez épp a \( P_3\) pont tükörképe az \( x\)-tengelyre nézve.) Ha pedig a kapott egyenes függőleges, azt mondjuk majd, hogy \( P_1\boxplus P_2=[0]\). Az eredményül kapott \( \boxplus\) egy kommutatív, asszociatív művelet, amire nézve a görbe pontjai a végtelen távoli ponttal kiegészítve csoportot alkotnak. Az \( y^2=x^3-x+9\) példán illusztrálva a diofantoszi konstrukció a \( P(0,3)\) pontra a \( P\boxplus P\) pontot számítaná ki.
Ennek a csoportnak a vizsgálata jelentős szerepet játszott a XX. század számelméletében. Ez a konstrukció, Diofantosz szellemében, bármely test (akár véges test) felett is megvalósítható. Egy talán váratlan meglepetésként, ezek a véges elliptikus görbék komoly szerepet játszanak modern kriptográfiai (vagyis titkosírás) alkalmazásokban.
Elliptikus görbék hozták meg a Fermat sejtés bizonyítását is. Frey (illetve korábban Helleougarch) javasolta, hogy a Fermat egyenlet egy hipotetikus \( A^n+B^n=C^n\) megoldása esetén az \[\displaystyle y^2=x(x-A^n)(x-B^n)\] elliptikus görbe nem lehetne moduláris. Ennek a gondolatnak a kifejtése külön cikket igényel, ami a következő számunkban jelenik majd meg.
Végezetül pár szóban meg kell említenünk a diofantikus egyenletek hazai fellegvárát, a debreceni egyetem számelméleti kutatócsoportját. Ezt az iskolát Győry Kálmán teremtette meg, aki Alan Baker Fields-díjas matematikus módszerét fejleszette tovább. Megemlítendő, hogy Győry Kálmánon kívül, a csoport több más tagja, Pintér Ákos, Hajdu Lajos, Bérczes Attila is használták a Wiles-féle modularitási megközelítést, pl. az \[\displaystyle Ax^n-By^n=z^n\] egyenletcsaládra, ahol \( AB=2^\alpha q^\beta\), \( q=3,5,7,11,13\).
Tóth Árpád
ELTE, TTK Matematikai Intézet
Irodalomjegyzék
[1] http://www.abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=67106
[2] Bashmakova, Isabella G., and Joseph H. Silverman. Diophantus and Diophantine equations. No. 20. Cambridge University Press, 1997.
[3] Heath, Thomas Little, and Leonhard Euler. Diophantus of Alexandria: A study in the history of Greek algebra. CUP Archive, 1964.
[4] Hellegouarch, Yves. Invitation to the mathematics of Fermat-Wiles. Academic Press, 2001.
[5] Koblitz, Neal. “Elliptic curve cryptosystems.” Mathematics of computation 48.177 (1987): 203-209.
[6] Liptai, Kriptográfia. https://dtk.tankonyvtar.hu/handle/123456789/8179
[7] NSA. The case for Elliptic Curve Cryptography https://web.archive.org/web/20090117023500/http://www.nsa.gov/
[8] Rónyai Lajos. Fermat utolsó tétele http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=199401
[9] Simon Singh: A nagy Fermat-sejtés (Park Könyvkiadó, Budapest, 1998
[10] Stopple, Jeffrey. A primer of analytic number theory: from Pythagoras to Riemann. Cambridge University Press, 2003.
[11] http://mta.hu/kozgyules2017/akademiai-elismereseket-adtak-at-az-mta-188-kozgyulesen-107676
Lábjegyzetek
1Itt Diofantosz a jelölésrendszer hiányosságai miatt, tetszőleges többszörös helyett egy konkrét számot, 2-t, választ.
2Ez mutatja, hogy Diofantosz nem hagyományosan gondolkodott, hiszen a megjelenő mennyiségeknek más dimenziójuk van, így egyenlőségük geometriailag értelmezhetlen.
