A pszeudo-holomorf (vagy \(J\)-holomorf) görbe fogalmát Gromov vezette be 1986-ban, amivel gyökeresen alakította át a szimplektikus topológiát, és több más közeli diszciplínára, például algebrai geometriára, húrelméletre, 4-sokaságok elméletére volt döntő hatással; ezekre később még visszatérünk.
A „görbe” – mondjuk egy síkgörbe – mindannyiunk számára ismerős fogalom. Két módon is megadhatunk egy síkgörbét: akár mint az \(f(x,y)=0\) egyenlet megoldáshalmazát valamilyen \(f\) függvényre, akár az \(x=x(t),y=y(t)\) paraméterezéssel. A körvonalat például megadhatjuk az \(x^2+y^2=1\) egyenlettel vagy az \(x=\cos t, y=\sin t\) paraméterezéssel. Egy további ismerős fogalom görbék egy „családja”, például a sík összes egyeneseinek családja.
Görbéket mind a differenciálgeometriában, mind az algebrai geometriában hosszú ideje tanulmányoznak. A klasszikus elmélet számunkra most érdekes változata a „komplex” vagy „holomorf” görbék elmélete. Legegyszerűbb változatában helyettesítsük az \(x,y\) valós változókat a \(z,w\) komplex változókkal; így egy komplex görbét kapunk a komplex síkon. A \(z^2 + w^2 = 1\) egyenlet például egy komplex görbét ad meg. Hasonlóan, tekinthetünk paraméterezett komplex görbéket, melyeket a \(z =z(\tau ), w = w(\tau )\) egyenletek adnak meg, ahol \(z(\tau )\) és \(w(\tau )\) holomorf függvényei a \(\tau\) komplex változónak. Általánosabban, komplex sokaságokban is tekinthetünk komplex görbéket, melyeket Riemann-sokaságokon értelmezett holomorf függvények parametrizálnak.
De mi is egy holomorf leképezés? Vegyük először a legegyszerűbb esetet, amikor az \(f\) leképezés \({\bf {C}}\)-ből \({\bf {C}}\)-be képez: ekkor egyszerűen egy holomorf függvény. A holomorf tulajdonságot a Cauchy-Riemann egyenlet teljesülése jelenti, vagyis hogy \[\displaystyle\dfrac{\partial f}{\partial\overline{z}}=0.\]
Az egyenlet azt fejezi ki, hogy az \(f\) deriváltja (többváltozós függvénytani értelmében) minden pontban egy \({\bf {C}}\)-ből \({\bf {C}}\)-be vezető komplex lineáris leképezés. A fogalom természetesen terjed ki majdnem-komplex sokaságokra is. Legyen tehát \(M\) egy \(2n\)-dimenziós differenciálható (vagy más néven sima) sokaság. Egy \(M\)-en értelmezett majdnem-komplex struktúra egy \(J_x\colon T_xM\to T_xM\) leképezés-család mely minden \(x\in M\) pontra a \(T_xM\) érintőtéren teljesíti a \(J_x^2=-1\) egyenletet, és \(x\in M\)-től differenciálható módon függ. Röviden, \(J\) az érintőtereket komplex vektorterekké teszi. Minden komplex sokaságon van egy természetes majdnem-komplex struktúra, de a megfordított állítás már nem igaz \(n>1\) esetén: egy integrálhatósági feltétel karakterizálja azokat a speciális majdnem-komplex struktúrákat, melyek komplex struktúrából származnak. Számos olyan sokaság létezik, melyen ugyan van majdnem-komplex struktúra, de egyáltalán nem látható el komplex struktúrával.
A pszeudo-holomorf görbe fogalma a holomorf görbe természetes módosítása arra az esetre, amikor a bennfoglaló sokaság csak majdnem-komplex. Pontosabban, vegyünk egy \(\Sigma\) Riemann-felületet, egy \((M,J)\) majdnem-komplex sokaságot és egy \(f\colon \Sigma \to M\) differenciálható leképezést melyre minden \(\sigma \in \Sigma\) esetén teljesül, hogy a \[\displaystyle df_{\sigma}\colon T _{\sigma} \Sigma \to T_{f(\sigma )}M\] derivált leképezés komplex lineáris az adott komplex struktúrákkal az érintőtereken. Konkrétan, tekintsük a \(\Sigma ={\bf {C}}\), \(M={\bf {C}}^n\) és ezen egy \(J\) általános majdnem-komplex struktúra esetét. Lineáris algebrai érveléssel látható, hogy az \({\bf {R}}\)-lineáris \(J\colon{\bf {C}}^n \to {\bf {C}}^n\) leképezések melyek a \(J^2=-1\) egyenletet is teljesítik, az \(n\times n\)-es komplex mátrixok (melyeket \(\mu =(\mu _{\alpha\beta })\)-val jelölünk) egy nyílt részhalmazát alkotják. A majdnem-komplex struktúra tehát egy \(\mu (z)\) ( \(z\in {\bf {C}}^n\)) mátrix-értékű függvénnyel írható le. Egy pszeudo-holomorf görbe a következő parciális differenciálegyenlet megoldásaként adható meg: \[\displaystyle\dfrac{\partial z_{\alpha}}{\partial {\overline {\tau}}}+ \sum\limits_{\beta}\mu_{\alpha\beta}(\underline{z})\frac{{\overline{\partial z_{\beta}}}}{\partial \tau }=0, \] az egyenlet a szokásos Cauchy-Riemann egyenlet deformációjának tekinthető a \({\underline {z}}(\tau )=(z_{\alpha }(\tau))\) vektorértékű függvényre.
Azzal, hogy majdnem-komplex struktúrákat tekintünk, a klasszikus holomorf görbe-elméletnél szélesebb és rugalmasabb világban találjuk magunkat. A klasszikus elmélet számos vetülete nem nagyon változik, amennyiben ilyen irányba terjesztjük azt ki. Röviden azt mondhatjuk, hogy a pszeudo-holomorf görbék lokális elmélete nagyon hasonlít a holomorf görbék elméletéhez. Ebben a kontextusban a lokálisnak két értelmezése is lehetséges: akár úgy, hogy a problémát lokálisan vizsgáljuk az \(M\) sokaságban vagy lokálisan a leképezések terében. Fontos kiemelni, hogy görbéket vizsgálunk és nem magasabb dimenziós objektumokat. Ugyan bármely \(N,M\) majdnem-komplex sokaság-párra értelmezhető egy \(f\colon N\to M\) leképezés (pszeudo-)holomorfsága, de amint \(N\) valós dimenziója több mint 2, ez nem túl hasznos fogalom. Egy általános majdnem-komplex \(N\) sokaság esetén, melynek dimenziója több mint 2, például még lokálisan sem létezik nem-konstans (pszeudo)holomorf leképezés \(M\)-be – épp ez az integrálhatósági feltétel forrása komplex sokaságokra.
Állításunk egy pontosabb megfogalmazása a következő: egy \(\Sigma\) kompakt Riemann-sokaság esetén egy adott \(f\colon\Sigma \to (M,J)\) pszeudo-holomorf görbe deformációinak elméletét egy nem-lineáris Fredholm-elmélet írja le. Ez nagyjából azt jelenti, hogy a deformációkat egy véges dimenziós sokaság, egy \({\mathcal {M}}\) modulustér paraméterezi, melynek dimenzióját topológikus adatokból lehet kiszámolni. Továbbá ez a modulustér simán változik mind a \(J\) majdnem-komplex struktúra mind a \(\Sigma\)-n rögzített Riemann-sokaság struktúra függvényeként. Vegyük például azt az esetet, amikor \(M\) a komplex projektív tér (annak standard komplex struktúrájával), \(\Sigma\) pedig a Riemann-gömb. Ekkor minden \(M\)-beli „egyenes” (a szó projektív geometriai értelmében) valamint egy egyenes minden paraméterezése egy pszeudo-holomorf görbét ad. Következésképp az \({\mathcal {M}}\) modulustér a duális sík felett egy \(PGL(2, {\bf {C}})\)-fibrumú nyaláb (a \(PGL(2, {\bf {C}})\) csoport a Möbius-leképezések csoportja). A nem-lineáris Fredholm-elmélet azt mutatja, hogy ha deformáljuk a majdnem-komplex struktúrát, akkor ugyan valószínűleg nem tudjuk majd a pszeudo-holomorf görbéket expliciten leírni, de hasonló általános tulajdonságokkal rendelkező modulusteret kapunk.
Gromov észrevétele az volt, hogy a Fredholm elmélet által a pszeudo-holomorf leképezésekről adott lokális kép egy globális képpé alakítható, feltéve hogy \(M\) majdnem-komplex struktúrája egy szimplektikus struktúrával kompatibilis. Emlekézzünk, hogy egy szimplektikus struktúrát egy olyan \(\omega\) külső 2-forma ad meg, mely két feltételt teljesít. Az első feltétel pontonkénti és algebrai: a sokaság minden pontjában \(\omega\) egy nem-elfajuló anti-szimmetrikus forma \(M\) abban a pontban vett érintőterén. A másik feltétel globálisabb és differenciálgeometriai: az \(\omega\) 2-forma zárt. Akkor mondjuk, hogy \(J\) kompatibilis \(\omega\)-val, ha az érintővektorokon értelmezett \[\displaystyle g(v, w) = \omega (v, Jw)\] bilineáris forma szimmetrikus és pozitív definit. Ebben az esetben \(g\) egy \(M\)-en értelezett Riemann metrika lesz. Legyen \(f\colon \Sigma \to M\) egy pszeudo-holomorf leképezés. Az \[\displaystyle I=\int_{\Sigma }f^*(\omega)\] integrálra ekkor kétféleképp is gondolhatunk. Egyrészt, a pontonkénti kompatibilitás miatt \(I\) lényegében az \(f\) képének területe, melyet a \(g\) metrika segítségével mérünk. Másrészt viszont, mivel \(\omega\) zárt forma, az \(I\) mennyiség az \(f\) leképezés topologikus (homotopikus) invariánsa. Következésképp ebben az esetben pszeudo-holomorf görbék területe egy egyszerű topologikus adattal határozható meg. Ezt a tulajdonságot használva Gromov egy részleges kompaktsági tulajdonságot tudott bizonyítani a modulusterekre. Vegyük például a Riemann gömbről a komplex projektív síkba mutató leképezéseket. Ha megengedjük, hogy a majdnem-komplex struktúrát tetszőleges mértékben és tetszőleges irányban deformáljuk, akkor nem sokat tudunk mondani, hiszen a pszeudo-holomorf görbék nagyon bonyolult módokon degenerálódhatnak ahogy a majdnem-komplex struktúrát deformájuk, és a leképezések akár el is „tűnhetnek”. De ha csak olyan majdnem-komplex struktúrákat engedünk meg, melyek egy szimplektikus formával kompatibilisek, akkor a görbék nem tudnak degenerálódni, mert területüket kontrollálni tudjuk. Ebben az esetben Gromov valójában megmutatta, hogy a görbéknek meg kell maradniuk, akármilyen nagy deformációt is alkalmazunk.
E két tulajdonság – a Fredholm elmélet és a kompaktság – adja Gromov elméletének alapjait, mely keretében pszeudo-holomorf görbéket használunk szimplektikus topológiai kérdések megválaszolására. Ezeket a görbéket két alapvető módon használhatjuk. Az első megközelítésben mint geometrikus ‚szondákat’, melyekkel felderíthető a szimplektikus sokaság: például Gromov egy eredménye szerint (melyet később Taubes terjesztett ki) a komplex projektív síkon egyetlen szimplektikus struktúra létezik, melyet úgy lehet belátni, hogy a sokaságot végigseperjük „egyenesekkel” (vagyis olyan pszeudo-holomorf görbékkel, melyeknek ugyanolyan topologikus tulajdonságaik vannak, mint az egyeneseknek a standard esetben). A második megközelítésben a görbék numerikus invariánsok forrásai: ezek az úgynevezett Gromov-Witten invariánsok. A legegyszerűbb esetben, amikor a modulustér 0-dimenziós és véges sok pontból áll, egy egész értékű invariánst kapunk pusztán ezen pontok megszámolásával. E második irány fejlődött legdinamikusabban Gromov cikkének megjelenése után. A Floer homológiák elmélete is hasonló alapokon nyugszik; ebben az esetben olyan pszeudo-holomorf görbéket kell számolni, melyek pereme egy rögzített Lagrange féle részsokaságra képződik. Ez az elmélet vezet el a Fukaya kategória fogalmához. A négydimenziós esetben Taubes felfedezte, hogy a Gromov-Witten invariánsok megegyeznek a Seiberg-Witten invariánsokkal, melyeket teljesen más módon definiálhatunk. Abban az esetben, amikor a sokaság valójában komplex, mondjuk egy algebrai varietás, az invariánsok az algebrai geometria klasszikus leszámlálási kérdéseihez kapcsolódnak. Ugyanezen invariánsok, a Feynman integrálokon keresztül, feltűnnek a topologikus húrelméletben is. Ez a megközelítés teljesen új látásmódot, és csodálatos és érzékeny algebrai struktúrákat, kvantum kohomológiákat eredményezett. A sokaság Fukaya kategóriája pedig, Kontsevich munkája nyomán, a tükörszimmetria jelenségéhez is szorosan kapcsolódik.
Irodalom:
Dusa McDuff és Dietmar Salamon, \(J\)-holomorphic Curves and Symplectic Topology, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 52, 2004.
Simon Donaldson az Imperial College (London) Royal Society Research professzora. A cikk eredetileg az American Mathematical Society Notices folyóiratának 2005. októberi számában jelent meg a What is …? rovatban. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. A fordítást Stipsicz András készítette.
Simon K. Donaldson, “What is…a Pseudoholomorphic Curve?” Notices Amer. Math. Soc., 52 (October 2005) 1026-1027. © 2005 American Mathematical Society.
A cikk bevezető ábráján látható pszeudo-holomorf görbe lelőhelye: https://www.mathematik.hu-
