Mik azok az algebrai számok?

Bevezetés

Amikor tárgyainkat megszámoljuk, egészen természetes módon egyesével rájuk bökünk (sorbarendezzük őket), és elmondjuk a szokásos versikét: „egy, kettő, három, …” ¹. Néha, különösen hó végén a „nulla” is természetesnek tűnik. Amikor adósságba kerülünk, legtöbbször az is egész szám, és így már érthetőek a \((-2)+2=0\) és \(2\cdot(-2)=-4\) szabályok.

A kenyértörés (torta, pizza, …) feltalálása óta teljesen ésszerű (racionális) törtekről beszélni: például a torta (cserépedény) 1/6 része: 6 felé osztottuk. Ez után egészen világos, hogy ezeket a kicsi szeleteket „hatodok”-nak neveztük el, majd uzsonnástáskánkba rakva megszámoltuk, hogy 5 ilyen darabot tettünk.²

Nem tudom, hogy az ókori egyiptomi írnokok miért akartak mindent csak 1 számlálójú törtekkel felírni, például \(\dfrac{5}{6}\) helyett \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\)-ot írtak. Talán kevés hely volt a drága papiruszon, mert oda csak \(\overline{2}+\overline{3}\)-t írtak. Mindenesetre jó sok fejtörést, máig megoldatlan problémát adtak a 19–21. századi matematikusoknak, bár bizonyos pizzaszeletelési feladatoknál hasznosabbak a szokásos \(\dfrac{a}{b}\) törteknél³ (lásd például [16], [19]).

Már az ókori görögök is találkoztak ezeknél bonyolultabb (valós) számokkal, pontosabban szakaszhosszúságokkal. 25 kavicsot szépen el lehet helyezni egy \(5\times 5\) -ös táblázatban, és ugyanúgy azonnal látszik, hogy egy 5 egység oldalhosszúságú négyzet egyenlő 25 kis egységnégyzettel. Az már kicsit elgondolkodtatóbb feladat, hogy 2 egységnégyzet területével mekkora oldalú, egyetlen négyzet területe egyezik meg. Erre Pitagorasz tétele adja a választ: egy egységnégyzet átlója a keresett négyzet oldala. Ezért is hívjuk ezt az átlót (szakaszt) a 2 terület gyökerének, röviden gyökének, és \(\sqrt{2}\)-vel jelöljük⁴, hasonlóan ahhoz, hogy a 25 terület gyökere az 5 oldalhosszúság. A térben térfogatot, vagyis köbtartalmat számolunk, és a déloszi (kockakettőzési) probléma ([17]) egy 2 köbtartalmú kocka élét keresi, vagyis \(\sqrt[3]{2}\)-t. És már meg is érkeztünk bármilyen egész gyök fogalmához: \(\sqrt[k]{m}=x\) az a keresett szám, amelyre \(x^{k}=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=m\) (\(k\in \mathbb{N}\), \(x,m\in \mathbb{R}^{+}\)).

Érdekességképpen megjegyezzük, hogy már Eukleidész könyvében ([2], [12]) bebizonyította, hogy bármely négyzet átlója és oldala összemérhetetlen⁵, vagyis hányadosuk nem racionális.

Az eddig megismert számokat elemi számolásaink (négy alapművelet, ismételt szorzás azaz hatványozás és annak megfordítása [inverze]) segítségével fedeztük fel, vagyis az algebrai műveletek segítségével. Ezért nevezték el ezeket a számokat algebrai számoknak. Talán egyetért az Olvasó abban, hogy több egyszerű, „magától értetődő” műveletet és számot nem tudunk elképzelni. A többi valódi (valós) szám jelenlegi számolási képességeinken és az algebra eszközein túli számok, vagyis transzcendens számok⁶. Az eddig ismertetett számok egészen egyszerűen lopták be magukat életünkbe (szívünkbe?), és érthető a folytatás:

Például a geometriában körzővel és vonalzóval (az egységszakaszból) megszerkeszthető szakaszok mind algebraiak, hiszen itt csak négyzetgyököt kell vonnunk.

A képzetes (elképzelt⁷) egység \(i=\sqrt{-1}\) is algebrai, sőt a \(z=a+bi\) összetett (komplex⁸) szám pontosan akkor algebrai, ha \(a\) és \(b\) mindkettő algebrai. Tehát a Gauss-egészek (\(a+bi\) ahol \(a,b\in \mathbb{Z}\)), Euler- (Eisenstein-) egészek (\(a+b\rho\) ahol \(\rho=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(a,b\in \mathbb{Z}\)) is algebraiak. További példákat látunk még a következő fejezetben.

Könnyen belátható, hogy „mindössze” megszámlálható sok algebrai szám van (hiszen a természetes számokból kiindulva, a négy alapművelet és a \(k\)-adik gyökjelek segítségével előállított számokat szépen [végtelen] sorba tudjuk rendezni, és mind meg tudnánk számolni, ha végtelen sok időnk lenne), a valós számok halmaza pedig nem megszámlálható, hanem jóval több, kontinuum⁹. Tehát a legtöbb valós szám transzcendens, algebrai eszközeinken túl van.

Polinomok

Tekintsük például a következő algebrai számot: \[\label{beta} \beta=\sqrt{2}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}-\sqrt{3}.\] Tüntessük el a gyökjeleket: \[\begin{aligned} \beta-\sqrt{5-2\sqrt{6}}&=\sqrt{2}-\sqrt{3}&&\qquad /(\phantom{2})^2\\ \beta^{2}+\left(5-2\sqrt{6}\right)-2\beta\sqrt{5-2\sqrt{6}}&=2+3-2\sqrt{6},\\ \beta^{2}&-2\beta\sqrt{5-2\sqrt{6}}=0,\\ \beta^{2}&=2\beta \sqrt{5-2\sqrt{6}}&&\qquad/(\phantom{2})^{2}\\ \beta^{4}&=4\beta^{2}\cdot\left(5-2\sqrt{6}\right)=20\beta^{2}-8\beta^{2}\sqrt{6},\\ \beta^{4}&-20\beta^{2}=-8\beta^{2}\sqrt{6}&&\qquad/(\phantom{2})^{2}\\ \beta^{8}&-40\beta^{6}+400\beta^{4}=64\cdot 6\beta^{4}\\ \beta^{8}&-40\beta^{6}+16\beta^{4}=0. \end{aligned}\]

Tehát: \(\beta\) gyöke egy egész együtthatójú¹⁰ polinomnak¹¹! Sőt, nem túl nehéz belátni, hogy minden, egész számokból a négy alapművelettel és egész gyökökkel felírt kifejezés (szám) egy egész együtthatójú polinom gyöke!

Azonban ez fordítva sajnos nem igaz. Az Abel–Ruffini tétel¹² szerint általános gyökképlet nincs 5-öd vagy magasabbfokú algebrai egyenletek (polinomok gyökei) megoldására. A helyzet azonban még ennél is „szörnyűbb”: rengeteg konkrét polinom konkrét gyökei (például \(x^{5}-4x+2\) vagy \(x^{5}-x-1\) gyökei) sem írhatók fel gyökjelekkel¹³ ([3], [14])!

Könnyen belátható, hogy egész együtthatójú polinomokból „csak” megszámlálhatóan végtelen van, ezért az algebra alaptétele ([13]) alapján e polinomok (valós és komplex) gyökei is „csak” megszámlálhatóan végtelen sokan vannak.

Elérkeztünk egy nagy kérdéshez: melyik legyen az algebrai számok hivatalos definíciója? A következő fejezetben válaszolunk erre pontosan.

Például mely számok gyökei egész együtthatójú polinomoknak?

A \(z=a+bi\) Gauss-számok (\(a,b\in \mathbb{Z}\)) gyökei a \(z^{2}-2az+\left(a^{2}+b^{2}\right)\) polinomnak, a \(z=a+b\rho\) Euler- (Eisenstein-) egészek (\(\rho=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), \(a,b\in \mathbb{Z}\)) gyökei a \(z^{2}+(b-2a)z+a^{2}-ab+b^{2}\) polinomnak.

Racionális \(r\) esetén a \(\cos(r\pi)\), \(\sin(r\pi)\), \(\operatorname{tg}(r\pi)\), \(\operatorname{ctg}(r\pi)\) függvényértékek (radiánban mérve!) is egész együtthatójú polinomok gyökei¹⁴ (ha értelmezettek). Például \(\cos(\pi/7)\), \(\cos(3\pi/7)\), \(\cos(5\pi/7)\) gyökei a \(8x^{3}-4x^{2}-4x+1\), \(\operatorname{tg}(3\pi/16)\), \(\operatorname{tg}(7\pi/16)\), \(\operatorname{tg}(11\pi/16)\), \(\operatorname{tg}(15\pi/16)\) pedig az \(x^{4}-4x^{3}-6x^{2}+4x+1\) polinomnak [15].

Nem egyszerű bizonyítani, de igaz: Algebrai számok összege, különbsége, szorzata, és hányadosa (sőt racionális kitevőjű hatványai is) is algebrai. Sőt: az algebrai együtthatós polinomok gyökei is algebrai számok ([7], [9], [14], [15]).

Lényeges, hogy \(\pi\), \(e\), \(\lg 2\) és még nagyon sok általunk használt szám nem algebrai ([18]). Egy érdekesség: Ha \(a\neq 0\), \(1\) és \(b\) algebrai számok, \(b\) irracionális, akkor \(a^{b}\) transzcendens (például \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)).

Most pontosan definiáljuk az algebrai számok különböző részhalmazait.

Algebrai számok

Mi most az \(\mathbb{A}\) jelet használjuk, bár sok helyen a \(\mathbb{\bar{Q}}\) jelölés használatos. \(\mathbb{Z}={}\)egész-, \(\mathbb{Q}={}\)racionális-, \(\mathbb{R}={}\)valós-, \(\mathbb{C}={}\)komplex számok halmaza. Legyen továbbá

Tehát \(\mathbb{A}=\mathbb{A}_{\mathbb{Q}[x]}\) elemei az algebrai számok, és \(\mathbb{A}_{int}=\mathbb{A}\subsetneqq \mathbb{A}_{\mathbb{Q}[x]}\) elemei az algebrai egész számok.

Alkalmazások

Most csak azon alkalmazásokat említjük meg, amelyek a szerző szívéhez közel állnak, sorrend nélkül.

Közelítő számítások

Napjainkban a numerikus (közelítő) számítások előtérbe kerülnek az elméleti „pontos” megoldásokkal szemben. Az algebrai számok hiába vannak mindenütt sűrűn a valós számegyenesen (bármely kis intervallumban végtelen sok algebrai szám van), de van „bonyolultságuk”, hasonlóan az irreducibilis tört számok¹⁶ nevezőjéhez. Például, ha az \(\dfrac{x}{n}\) és \(\dfrac{y}{n}\) számok közelítő alakjából szeretnénk eldönteni a két szám egyenlőségét, akkor ezt az \(\dfrac{x}{n}\) és \(\dfrac{y}{n}\) számok kb. \(\dfrac{1}{2n}\)-nél pontosabb kiszámításával el tudjuk dönteni.

A törtek nevezőihez hasonlóan az algebrai számoknak (egész együtthatós polinomok gyökeinek) is van „bonyolultsága” ([7]), ami alapján például egyenletek gyökeinek közelítő értékeiből is meg lehet határozni a gyökök azonosságát vagy különbözőségét.

Például, szokásos középiskolai átalakításokkal belátható, hogy \(\sqrt{2}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{3}\), azaz az (1)-ben említett szám esetében \(\beta=0\). A diákok kedvenc módszere a tanár bosszantására: „kiszámoltam zsebszámológéppel, és nulla”. Nos, mivel \(\beta\) „bonyolultsága” legalább \((16{,}22)\), ezért \(\lvert \beta \rvert \leq 6{,}3\cdot 10^{-39}\), vagyis elég egy olyan számológép, amely legalább 41 tizedesjegy pontossággal tud számolni! Ha ennyi tizedesjegy valóban 0, akkor \(\beta=0\) valóban, egzakt matematikai értelemben, nemcsak numerikus közelítéssel! (Részletek például az [7] és [9] cikkekben találhatók.)

Egy másik alkalmazást az [1] cikkben ismerhetünk meg közelebbről: Bozóki Sándor, Tsung-Lin Lee és Rónyai Lajos hasonló módszerrel igazolták John Edensor Littlewood 1968-ban megjelent sejtését: lehetséges hét (elegendően hosszú) azonos átmérőjű hengert elhelyezni a térben úgy, hogy mindegyik érintse mindegyiket. (Érdemes még elolvasni Grätzer József [4] könyvének 115. és 233. oldalait.)

Rugalmas pénzérmék

Ha feldobunk kétszer egy olyan pénzérmét, amely \(p_{3}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\) valószínűséggel fej és \(1-p_{3}=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\) valószínűséggel írás, akkor annak a valószínűsége, hogy egy írást és egy fejet dobunk: \[P_{\circ\bullet,\bullet\circ}=2p_{3}(1-p_{3})=2\cdot\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\cdot\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{3},\] míg háromszor feldobva ugyanezt az érmét, annak a valószínűsége, hogy három írást vagy három fejet dobunk: \[P_{\circ\circ\circ,\bullet\bullet\bullet}=p_{3}^{3}+(1-p_{3})^{3}=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\right)^{3}+\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\right)^{3}=\dfrac{1}{2}.\]

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a fenti egyetlen pénzérmével szimulálhatjuk mind a szabályos \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{2}\), mind az \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{2}{3}\) valószínűségű fej-írás pénzérméket! Jelben: \(p_{3}\rightsquigarrow \dfrac{1}{2}\) és \(p_{3}\rightsquigarrow \dfrac{1}{3}\).

A „szimulálni” relációt (\(\rightsquigarrow\)) pontosan a [8] és [10] cikkekben definiáljuk, most csak egy egyszerűbb (általánosított) meghatározást adunk.

Nyilván, ha \(p\rightsquigarrow r,s\) akkor \(p\rightsquigarrow r+s\) és \(p\rightsquigarrow r\cdot s\).

Az igazi „artistamutatvány” az, ha egy \(p\) valós számmal egyszerre több valós számot is tudunk szimulálni (azaz \(u(p)=r\) és \(v(p)=s\) valamely \(u,v\) polinomokra)! A bevezető példában \(u(p)=2p(1-p)=2p-2p^{2}=1/3\) és \(v(p)=p^{3}+(1-p)^{3}=3p^{2}-3p+1=1/2\). [10] és [11]-ben többek között belátják a szerzők, hogy pozitív racionális számok tetszőleges véges részhalmaza mindig szimulálható egyetlen pozitív \(p\) valós számmal.

Azonban például \(\sqrt{2}\) és \(\pi\) egyszerre nem szimulálható egyazon \(p\) számmal. Ugyanis ha \(u(p)=\sqrt{2}\) valamely \(u(x)\) egész együtthatójú polinomra, akkor \(p\) algebrai. Ekkor viszont \(v(p)=\pi\) nem lehet, mert \(v(p)\) algebrai, míg \(\pi\) transzcendens.

Könnyen kijelenthetnénk, hogy \(u(p)=r\) és \(v(p)=s\) esetén \(p\), \(r\) és \(s\) „ugyanazon algebrai fokú” számok kellenek, hogy legyenek. De ennek precíz megfogalmazása és alkalmazása nagyon nehéz.

Már több, mint 30 éve megoldatlan a következő probléma:

Irodalom