Az \(M\) kompakt komplex sokaság nagyjából akkor egy minimális modell, ha \(M\) egy „optimális tartománya” az \(M\)-en definiált meromorf függvényeknek. Ahhoz, hogy megmutassuk, mit is értünk „optimális tartomány” alatt, vegyünk egy hasonló példát, a \({\mathbb{C}}^2\)-n értelmezett holomorf függvények elméletét.
Hartogs tétele szerint minden, az \(r_1^2< \vert x \vert ^2 + \vert y\vert ^2< r_2^2\) gömbhéjon értelmezett holomorf függvény kiterjed az \(\vert x\vert ^2 + \vert y \vert ^2 <r_2^2\) golyóra. Következésképp nincs túl sok értelme a 2-dimenziós gömbhéjakon holomorf függvények elméletét tanulmányozni. Ezzel ellentétben, a nyílt golyó optimális tartomány a függvényelmélet szempontjából.
Az ilyen optimális tartományok meghatározása vezet el minket a Stein sokaságok fogalmához. Ezek olyan \(U\) komplex sokaságok, melyek a kövektező két tulajdonsággal bírnak:
Pontok elválaszthatósága: Bármely két \(p\neq q \in U\) különböző pontra van egy olyan \(f\) holomorf függvény \(U\)-n, melyre \(f(p)\neq f(q)\) teljesül.
A tartomány maximalitása: Minden \(T\), \(U\)-t nyílt részhalmazként tartalmazó topologikus térre, és minden \(r\in \partial U\) határpontra van olyan \(f\), \(U\)-n értelmezett holomorf függvény, melyre \(\lim _{p\to r} f(p)\) határérték nem létezik.
A minimális modell fogalma akkor merül fel, amikor kompakt komplex sokaságokra teszünk fel hasonló kérdéseket. A maximum-elv szerint egy kompakt komplex sokaságon minden holomorf függvény konstans; így tehát a globális holomorf függvények elmélete nem igazán érdekes. Másfelől viszont egy kompakt komplex sokaságon rengeteg érdekes meromorf függvény létezhet; ezek olyan függvények, melyek lokálisan két holomorf függvény hányadosaként állíthatók elő. Egy pontban tehát egy meromorf függvény értéke lehet véges, végtelen, vagy nem-definiált. Például az \(\frac{x}{y}\) hányados az origóban nem-definiált, és minden olyan \((x,0)\) pontban, melyre \(x\neq 0\), az értéke \(\infty\). Azon pontok halmaza, melyekben \(f\) nem-definiált, komplex 2 kodimenziós (vagy nagyritkán üres). Ez megnehezíti annak megértését, hogy mi történik legalább 2 kodimenzióban. Meromorf függvényekkel való munkánk vezérlőelve tehát: ügyeljünk az 1 kodimenzióra, és reménykedjünk, hogy a magasabb kodimenziók nem okoznak majd gondot.
Az \(M\) sokaságon lévő meromorf függvények egy \({\mathbb{C}}(M)\) testet alkotnak, melyet \(M\) függvénytestjének nevezünk. Stein tartományok példáját követve tehetjük fel tehát a következő kérdést: Mennyire szoros az \(M\) és \({\mathbb{C}}(M)\) közötti kapcsolat?
Egy dimenzióban, vagyis amikor \(M\) egy kompakt Riemann-felület, ez a megfeleltetés teljes: \(M\) és \({\mathbb{C}}(M)\) kölcsönösen meghatározzák egymást.
Magasabb dimenzióban a helyzet ennél bonyolultabb, kezdjük tehát az első feltétellel (közben figyelve a nem-definiált értékekre).
Pontok elválaszthatósága: Bármely két különböző \(p\neq q\in M\) pontra és \(R\subset M\) véges halmazra létezik \(M\)-en olyan \(f\) meromorf függvény, melyre \(f(p)\neq f(q)\) és \(f\) az \(R\) halmaz minden pontjában definiált. Chevalley, Chow és Kleiman munkái alapján egy ilyen tulajdonsággal rendelkező \(M\) szükségképp algebrai. Ez azt jelenti, hogy \(M\) beágyazható valamely \({\mathbb{CP}}^N\) komplex projektív térbe úgy, hogy a beágyazás képe polinomok közös zérushelyeként definiálható, és az \(M\)-en definiált meromorf függvények racionálisak, vagyis globálisan előállnak polinomok hányadosaiként.
Az algebrai esetben az \(M\) és \({\mathbb{C}}(M)\) közötti kapcsolat meglehetősen erős. Tegyük fel, hogy \(M_1\subset{\mathbb{CP}}^r\), melyen a homogén koordinátákat \((x_0: \ldots: x_r)\) jelöli, míg \(M_2\subset {\mathbb{CP}}^s\), ahol a homogén koordinátákat \((y_0: \ldots :y_s)\) adják, valamint legyen \(\psi \colon {\mathbb{C}}(M_1)\to {\mathbb{C}}(M_2)\) egy adott izomorfizmus. Ekkor \(M_2\)-n léteznek olyan \(\phi _0, \ldots,\phi _r\) racionális függvények, hogy az \((y_0 :\ldots : y_s)\mapsto (\phi _0 : \ldots : \phi _r)\) hozzárendelés egy olyan \(\Phi \colon M_2 \dashrightarrow M_1\) leképezést ad, amely \(\psi\)-t indukálja a függvények visszahúzásával. Hasonló módon, a fenti receptet a \(\psi ^{-1}\) függvényre alkalmazva a \(\Phi ^{-1}\) inverz leképezést kapjuk. Az ilyen invertálható \(\Phi \colon M_1 \dashrightarrow M_2\) racionális leképezéseket biracionális leképezéseknek hívjuk.
Általában egy inverzzel rendelkező leképezés izomorfizmus, de ebben az esetben ez az elv nem érvényesül, hiszen sem \(\Phi\) sem \(\Phi ^{-1}\) nincs mindenhol definiálva. Egy tipikus példát kaphatunk a következő módon. Legyen \(Q^2\subset {\mathbb{CP}}^3\) az \(x^2+y^2+z^2=t^2\) egyenlettel megadott másodfokú felület. (Gondolhatunk rá úgy is, mint a komplexifikált gömbre.) Legyen \[\displaystyle\pi:(x:y:z:t)\dashrightarrow(x:y:t-z)\] a \((0:0:1:1)\) északi sarkból, a \((z=0)\) egyenlítői síkra való vetítés. Ennek \(\pi^{-1}\) inverze az \[\displaystyle(x:y:t)\dashrightarrow(2xt:2yt:x^2+y^2-t^2:x^2+y^2+t^2)\] formulával adható meg. Ezek a leképezések azt mutatják, hogy a \(Q^2\)-n és a \({\mathbb{CP}}^2\)-n levő meromorf függvények elmélete azonos. Másrészt viszont \(Q^2\) és \({\mathbb{CP}}^2\) meglehetősen különböző sokaságok. Például a \(\pi \) leképezés az \((s: \pm \sqrt{-1}s:1:1)\) egyeneseket az \((1:\pm \sqrt{-1}:0)\) pontokra ejti össze, míg a \(\pi ^{-1}\) inverz a \((t=0)\) végtelen távoli egyenest ejti össze a \((0:0:1:1)\) pontra. Következésképp sem \(Q^2\) sem \({\mathbb{CP}}^2\) nem egyszerűbb mint a másik.
Egy \(\Phi \colon M_1 \dashrightarrow M_2\) biracionális leképezésről akkor mondjuk, hogy egy \(D\subset M_1\) 1 kodimenziós részhalmazt összeejt, ha \(\Phi (D)\subset M_2\) legalább 2 kodimenziós. \(\Phi\) egy kontrakció, ha ő maga összeejt valamilyen 1 kodimenziós részhalmazt, de \(\Phi ^{-1}\) nem ejt össze semmilyen 1 kodimenziósat.
Kontrakciókra legegyszerűbb példák a lefújások. Legyen \(Z\subset M\) egy \(d\) kodimenziós részsokaság, \(d\geq 2\), és legyen \(E_Z\) az összes \(Z\)-hez normális irány. Minden \(p\in Z\) esetén a \(p\)-beli normális irányok egy \({\mathbb{CP}}^{d-1}\)-et alkotnak. Ilymódon a \(\pi _Z\colon E_Z\to Z\) projekció egy \({\mathbb{CP}}^{d-1}\)-fibrumú nyaláb, és így \(\dim E_Z=\dim M -1\). Belátható, hogy a \(B_ZM=E_Z\cup (M\setminus Z)\) tér természetes módon egy kompakt komplex sokaság, melyet \(Z\subset M\) felfújtjának nevezünk. \(E_Z\)-nek \(Z\)-re való projekciója és \(M\setminus Z\) identitás-leképezése egy \(\pi \colon B_ZM\to M\) leképezéssé ragad össze, amit lefújásnak hívunk. Ez a leképezés az \(E_Z\) totális terű \({\mathbb{CP}}^{d-1}\)-nyalábot \(Z\)-re ejti össze. Vegyük észre, hogy \(\pi ^{-1}(Z)=E_Z\) 1 kodimenziós, következésképp \(\pi \) egy kontrakció. Első közelítésben gondolhatunk úgy kontrakciókra, mint olyan leképezésekre, melyek lefújások kompozícióiként állnak elő.
\(M\)-et egymás után többször is felfújva egyre bonyolultabb olyan sokaságokat állíthatunk elő, melyeknek ugyanaz a függvénytestje. Így tehát az azonos függvénytestű sokaságok között maximális nem létezik, de kereshetünk minimálisat.
A tartomány minimalitása: \(M\) egy minimális modell ha minden \(\Phi \colon M_1 \dashrightarrow M\) biracionális leképezés vagy kontrakció vagy egy legalább 2 kodimenziós részen kívül izomorfizmus. Ekkor azt is mondjuk, hogy \(M\) minimális modellje minden ilyen \(M_1\)-nek.
Az első esetben (amikor tehát \(\Phi\) egy kontrakció) az \(M\) sokaság, legalábbis 1 kodimenzióban, egyszerűbb mint \(M_1\). A második esetben \(M\) nagyjából ugyanannyira bonyolult mint \(M_1\).
A \(\pi \colon Q^2 \dashrightarrow {\mathbb{CP}}^2\) leképezés azt mutatja, hogy sem \(Q^2\) sem \({\mathbb{CP}}^2\) nem minimális modell. Valójában egy olyan sokaságnak, mely biracionális \({\mathbb{CP}}^1\times Y\)-nal, nincs minimális modellje. Még általánosabban, kizárunk minden olyan \(X\) \(n\)-sokaságot, mely vonalazott (angolul uniruled), vagyis amelyikhez van egy olyan \(Y\) \((n-1)\)-sokaság és egy \({\mathbb{CP}}^1\times Y\dashrightarrow X\) meromorf leképezés melynek képe sűrű. Ezen sokaságok tanulmányozására más módszereink vannak, lásd [2].
1901-ben Castelnuovo és Enriques belátták, hogy minden olyan \(S\) sima, kompakt, komplex 2-dimenziós algebrai sokaságnak, mely nem vonalazott, létezik egy egyértelmű \(S^{\rm {min}}\) minimális modellje. Az elmúlt 25 évben számos algebrai geométer próbálta ezt az eredményt magasabb dimenziós sokaságokra általánosítani.
Sejtés: (Mori és Reid minimális modell sejtése). Legyen \(M\) egy olyan kompakt, sima, algebrai n-dimenziós komplex sokaság, mely nem vonalazott. Ekkor
- \(M\)-nek van egy \(M^{\rm {min}}\) minimális modellje, és
- \(M^{\rm {min}}\) minimális modellen van egy olyan Kähler metrika, melynek Ricci görbülete \(\leq 0\).
Két fontos dologra fel kell hívjuk a figyelmet. Elsősorban, meg kell engednünk, hogy \(M^{\rm {min}}\) valamilyen enyhe (úgynevezett terminális) szingularitásokkal rendelkezhessen. Az algebrai geométerek megtanultak ezekkel a szingularitásokkal együttélni, noha ezek differenciálgeometriáját még kevéssé értjük. Másodsorban, a minimális modell nem egyértelmű, viszont léteznek biracionális leképezések különböző minimális modellek között, melyek legalább 2 kodimenziós részhalmazokon kívül izomorfizmusok. A 2-dimenziós esetben egy ilyen leképezés értelemszerűen izomorfizmus, magasabb dimenzióban azonban egy flip vagy egy flop lehet [1].
A 3-dimenziós esetben a fenti sejtés első állítása már egy tétel, melynek bizonyítása nagyrészt Mori nevéhez fűződik. Egy általános bevezetés ehhez [3]-ban található. Egy magasabb dimenziós „általános típusú” sokaságra az első állítás következik Hacon, McKernan és Siu eredményeiből, a második állítás pedig Eyssidieux, Guedj és Zeriahi azon munkájából következik, melyben Aubin és Yau, a Monge-Ampère egyenletekre vonatkozó eredményeit általánosították.
Alkalmazások során különösen a sejtés második része hasznos. Amellett, hogy a minimális modellen a lehető legegyszerűbb 1 kodimenziós geometriánk van, még egy nagyon erős, globális differenciálgeometriai tulajdonság is a rendelkezésünkre áll.
Algebrai geométerek általában a sejtésnek egy gyengébb változatát vizsgálják, mely a kanonikus osztályt használja; ez utóbbit mint a \(c_1(M)\in H^2 (M^{\rm {min}}; {\mathbb{Q}})\) első Chern osztály \((-1)\)-szeresét definiálhatjuk.
2.’ Az \(M^{\rm {min}}\) minimális modell kanonikus osztálya nem-negatív, vagyis minden \(C\subset M^{\rm {min}}\) algebrai görbének a kanonikus osztállyal vett sapka-szorzata nem-negatív. Másképp kifejezve ezt, \(M^{\rm {min}}\) Ricci görbületének integrálja minden \(C\subset M^{\rm {min}}\) algebrai görbén nem-pozitív.
Ez utóbbi állítás 3-dimenzióban, illetve általános típusú sokaságokra minden dimenzióban ismert.
Kollár János
Felhasznált irodalom:
[1] Alessio Corti: What is … a flip?, Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), 1350-1351.
[2] János Kollár: Which are the simplest algebraic varieties?, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38 (2001), 409-433.
[3] János Kollár és Shigefumi Mori, Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge University Press, 1998.
