A Maass-formák – vagy általánosabban az automorf formák – harmonikus hullámok, amelyek speciális szimmetriákkal rendelkeznek. A hullámok hagyományosan a fizikusokat érdeklik, de mivel a szóban forgó szimmetriák az egész számokból származnak, ezért a Maass-formákat elsősorban a számelmélészek kutatják. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a Maass-formák nagyon hasznosak az egész számok megértésében, de a matematika egyéb területein is, pl. a matematikai fizikában. A segítségükkel mély összefüggéseket sikerült feltárni és nehéz kérdéseket sikerült megválaszolni. A matematika több híres megoldatlan problémája – pl. a Ramanujan-Selberg-sejtés, a Langlands-program, vagy az általános Riemann-sejtés – hozható kapcsolatba a Maass-formákkal.
A Maass-formákat Hans Maass fedezte fel 1946-ban meglehetősen indirekt módon, számelméleti \( L\)-függvényeken keresztül. A legegyszerűbb \( L\)-függvény a Riemann-féle zeta-függvény, amit az \( 1\)-nél nagyobb valós részű komplex számokon a \[\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^s}=\prod_{\text{$p$\ prím}}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}\] Dirichlet-sor, illetve Euler-szorzat definiál. A klasszikus gamma-függvénnyel kiegészített \[\displaystyle Z(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)\] teljes zeta-függvény holomorfan kiterjed a \( \mathbb{C}\setminus\{0,1\}\) pontozott komplex számsíkra, ahol kielégíti a \( Z(s)=Z(1-s)\) függvényegyenletet. Ennek a függvénynek a segítségével jól becsülhető a prímek száma egy adott korlátig, és az ilyen irányú vizsgálatok vezethették Riemannt a híres sejtésének megfogalmazásához: ha \( Z(s)=0\), akkor \( s\) valós része \( 1/2\). Az általánosabb, ún. \( d\)-ed fokú \( L\)-függvények Dirichlet-sorában az együtthatókat nem a konstans \( 1\) függvény adja meg, hanem egy általánosabb multiplikatív függvény; az Euler-szorzatban a \( p\) prímhez nem az \( 1-p^{-s}\) tényező tartozik, hanem a \( p^{-s}\) egy legfeljebb \( d\)-ed fokú polinomja (amelyben az együtthatók csak a \( p\)-től függnek és a konstans tag mindig \( 1\)); a teljes \( L\)-függvényben szereplő extra tényező pedig nem a \( \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\), hanem ennek \( d\) darab eltolt példánya. A függvényegyenlet az \( N^{s/2}Z(s)=\kappa N^{(1-s)/2}\overline {Z(1-\overline {s})}\) alakot ölti, ahol \( \vert\kappa\vert=1\) és \( N\) egy pozitív egész (aminek prímosztóihoz tartoznak a \( d\)-nél kisebb fokú Euler-tényezők). Persze csak nagyon speciális multiplikatív függvény Dirichlet-sora rendelkezhet ilyen szép tulajdonságokkal, és ma már úgy gondoljuk, hogy minden ilyen függvény automorf eredetű.
A prímszámok finomabb eloszlása motiválja az általánosabb \( L\)-függvények bevezetését. Pl. ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott korlátig hány prímszám ad \( 1\), illetve \( 3\) maradékot \( 4\)-gyel osztva, akkor a \( \zeta(s)\) mellett azt a Dirichlet-sort célszerű vizsgálni, amelyben az együtthatók \( 4\)-esével ismétlődve rendre az \( 1,0,-1,0\) értékek (mindkét \( L\)-függvény foka \( d=1\)). Ily módon kiderül, hogy a kétféle maradék nagyjából egyenletesen oszlik el a prímek között. Továbbmenve, az \( 1\) maradékot adó prímszámok egyértelműen előállnak két négyzetszám összegeként, és ha arra vagyunk kíváncsiak, a két négyzetszám hányadosa az esetek hányad részében esik mondjuk \( 0.89\) és \( 1.07\) közé, akkor a \( \mathbb{Q}(i)\) komplex másodfokú számtest bizonyos Hecke \( L\)-függvényeit célszerű vizsgálni (amelyek foka \( d=2\)). Ez utóbbi \( L\)-függvényeket Hecke 1936-ban az akkoriban már jól ismert moduláris formákhoz tudta kapcsolni: megmutatta, hogy a Dirichlet-együtthatók megegyeznek egy alkalmas moduláris forma Hecke-sajátértékeivel. Maass 10 évvel később felismerte, hogy hasonló leírás létezik a valós másodfokú számtestek – mint pl. a \( \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) – Hecke \( L\)-függvényeire is, csak az ő esetükben moduláris formák helyett Maass-formákat kell tekinteni.
Mi is tehát egy Maass-forma? A Bolyai-féle hiperbolikus síkgeometria egyik ismert modellje a komplex számsík valós tengely feletti félsíkja. Ebben a modellben az egyenesek a valós tengelyt merőlegesen metsző egyenesek és félkörök. Az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\) csoport minden eleme meghatároz egy irányítástartó egybevágóságot az alábbi törtlineáris hatással: \[\displaystyle z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},\qquad\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}).\]
Valójában minden irányítástartó egybevágóságot megkapunk így. Tekintsük most az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\) egy aritmetikus részcsoportját, példának okáért az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)-t. Maass-formán (pontosabban \( 1\) szintű és \(0\) súlyú Maass-formán) a \( \mathcal{H}\) felső félsík olyan korlátos (de nem konstans) függvényét értjük, ami invariáns az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\) hatására nézve, továbbá sajátfüggvénye a \[\displaystyle \Delta f=-y^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)\] pozitív hiperbolikus Laplace-operátornak, tehát kielégíti a \( \Delta f=\lambda f\) parciális differenciálegyenletet valamilyen \( \lambda>0\) konstanssal. Más szóval a Maass-forma az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H}\) hiperbolikus felület korlátos (de nem konstans) Laplace-sajátfüggvénye. Persze cseppet sem világos, hogy ilyen egyáltalán létezik – a Maass által konkrétan megtalált formák csak az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\) egy véges indexű kongruencia-részcsoportjára voltak invariánsak. Mindenesetre Selberg a róla elnevezett nyomformulával 1956-ban belátta, hogy az általunk tekintett Maass-formák bőségesen léteznek, és az \( L^2(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H})\) Hilbert-tér egy jelentős részét, az ún. csúcsos alterét feszítik ki. A Maass-formák Laplace-sajátértékei véges multiplicitásúak: sorba rendezve őket átlagosan \( 12\) távolságra fekszenek egymástól, és a sorozat első \( 5\) tagja \( 5\) tizedesjegyre kerekítve \[\displaystyle \lambda\ \approx\ 91.14135,\ 148.43213,\ 190.13155,\ 206.41680,\ 260.68741.\]
Selberg azt is megmutatta, hogy a csúcsos altér ortogonális kiegészítőjének minden eleme előáll Eisenstein-sorok folytonos lineáris kombinációjaként: az Eisenstein-sorok \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)-invariánsak és Laplace-sajátfüggvények, de nem korlátosak.
A képet finomítják a Hecke-operátorok, amelyek a Laplace-operátor számelméleti megfelelői. Ezek bevezetéséhez rendeljük minden \( z\in\mathcal{H}\) ponthoz a \( \mathbb{Z}+z\mathbb{Z}\subset\mathbb{C}\) rácsot. Könnyen meggondolható, hogy \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)-ekvivalens pontokhoz tartozó rácsok forgatva nyújtással egymásba vihetők: valójában az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H}\) pontjai bijekcióban állnak a \( \mathbb{C}\)-beli rácsokkal forgatva nyújtás erejéig. Tehát egy Maass-formára tekinthetünk úgy is, mint a \( \mathbb{C}\)-beli rácsok halmazán értelmezett speciális függvényre. Ha most \( n\) egy pozitív egész, akkor minden \( \mathbb{C}\)-beli rácsnak van \( \sum_{d\mid n}d\) darab \( n\) indexű részrácsa, amik felett átlagolhatjuk a Maass-formát. Ez az átlagolás az \( n\)-hez tartozó Hecke-operátor, ami egy konvencionális normálással a felső félsík \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)-invariáns függvényeire a következő alakot ölti: \[\displaystyle T_n f(z)=\frac{1}{\sqrt{n}}\,\sum_{ad=n}\,\sum_{1\leqslant b\leqslant d} f\left(\frac{az+b}{d}\right).\]
Ehhez a családhoz hozzávesszük még a \( T_{-1}\) kiegészítő Hecke-operátort is, amely az \( f(z)\) függvényhez az \( f(-\overline {z})\) függvényt rendeli. A Hecke-operátorok az \( L^2(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathcal{H})\) önadjungált operátorai, amelyek a hiperbolikus Laplace-operátorral és egymással is felcserélhetők. Ez azt jelenti (egy jól ismert lineáris algebrai tétel szerint), hogy a csúcsos altérnek van olyan Maass-formákból álló bázisa, amelyek az összes Hecke-operátornak sajátfüggvényei. Ha \( f\) egy ilyen Hecke-Maass-forma, amire \( T_nf=\lambda(n)f\), akkor az \( f\)-hez társított másodfokú \( L\)-függvény az \( 1\)-nél nagyobb valós részű komplex számokon \[\displaystyle L(s,f)=\sum_{n\geqslant 1}\frac{\lambda(n)}{n^s}=\prod_{\text{$p$ prím}}\left(1-\frac{\lambda(p)}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}\right)^{-1}.\]
Továbbá, ha \( \Delta f=(1/4+t^2)f\) és \( T_{-1}f=f\) (a \( T_{-1}f=-f\) eset hasonló), akkor a teljes \( L\)-függvény \[\displaystyle \Lambda(s,f)=\pi^{-s}\Gamma\left(\frac{s+it}{2}\right)\Gamma\left(\frac{s-it}{2}\right)L(s,f),\] ami kiterjed holomorf egészfüggvénnyé és kielégíti a \( \Lambda(s,f)=\Lambda(1-s,f)\) függvényegyenletet. Tehát \( L(s,f)\) és \( \Lambda(s,f)\) nagyon hasonlít a Riemann-zetából származtatott \( \zeta(s+it)\zeta(s-it)\) és \( Z(s+it)Z(s-it)\) szorzatokra. Valójában \( \zeta(s+it)\zeta(s-it)\) nem más, mint az \( 1/4+t^2\) Laplace-sajátértékű Eisenstein-sorhoz a fenti módon társított \( L\)-függvény!
Amennyire tudjuk, az \( L(s,f)\) Dirichlet-sorának együtthatói – tehát a Hecke-operátorok sajátértékei az \( f\) Maass-formán – transzcendens számok (ellentétben a korábban felfedezett \( L\)-függvényekkel), de a Riemann-sejtés itt is igaznak tűnik: ha \( \Lambda(s,f)=0\), akkor \( s\) valós része \( 1/2\). Jó okunk van tehát feltételezni, hogy a Riemann-sejtés maga is automorf természetű. Annyit már most bizonyosan tudunk, hogy az automorf \( L\)-függvényeket együttesen, családokban tudjuk hatékonyan vizsgálni, felhasználva azok közös eredetét.
Végezetül nézzünk meg néhány Maass-formát a „valóságban”. Az alábbi ábrákat Fredrik Strömberg készítette, és az ő engedélyével közöljük. Mindegyik ábrán egy Maass-forma abszolút értékének eloszlása látható a \( \{z\in\mathcal{H}\colon \vert{\mathrm{Re}}z\vert\leqslant 1/2,\ \vert z\vert\geqslant 1\}\) halmazra megszorítva (pontosabban annak az \( {\mathrm{Im}}z\leqslant 2\) feltétellel megadott kompakt részére), ami az \( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\)-re nézve egy fundamentális tartomány. A Maass-formák valós értékűek, mert a \( T_{-1}\) operátornak sajátfüggvényei, és ugyanez okozza az ábrák bal-jobb szimmetriáját. Mint egy hőtérképen, a sötétkék szín jelzi a kis értékeket, a vörös pedig a nagyokat.
Harcos Gergely
MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet, Közép-európai Egyetem
