A \( G_2\)-sokaság olyan Riemann-sokaság, melynek holonómiacsoportját a kivételes \( G_2\) Lie-csoport tartalmazza. Ebben a cikkben megmagyarázzuk ezt a definíciót, leírjuk a \( G_2\)-sokaságok néhány fontos tulajdonságát, és megvizsgáljuk, hogy milyen hasonlóságok és különbségek fedezhetők fel ezen terek és a Kähler-, valamint a Calabi—Yau-sokaságok között.
Egy Riemann-sokaság holonómiacsoportja egy kompakt Lie-csoport, amely bizonyos értelemben globális mértékét adja a sokaság lokális görbületének. A sokaságra és a metrikára tett megfelelően szép feltételek mellett az öt kivételes Lie-csoport közül csak a \( G_2\) léphet fel a tér holonómiacsoportjaként. Berger 1950-es klasszifikációja ugyan nem zárta ki, de az volt az általános nézet, hogy ilyen metrikák nem léteznek. 1987-ben azonban Robert Bryant sikeresen bizonyította lokális példák létezését. Két évvel később — bizonyos vektornyalábok totális terén egy szimmetriamódszert alkalmazva — Bryant és Simon Salamon találta az első teljes, nem-kompakt példákat ilyen metrikákra. Azóta fizikusok igen sok további példát találtak szimmetriával rendelkező \( G_2\)-holonómiájú nem kompakt terekre. Végül 1994-ben Dominic Joyce okozott nagy meglepetést több száz kompakt példa létezését bizonyítva. Bizonyítása nem konstruktív, felhasználja bizonyos nemlineáris elliptikus egyenletek megoldásának egzisztencia és unicitási eredményeit, ahogy a Kähler-sokaságokon a Calabi-sejtés Yau-féle megoldása sem konstruktív módon igazolja a bizonyos feltételeknek eleget tevő Calabi—Yau-típusú (\( SU(m)\)-holonómiájú) metrikák egzisztenciáját és unicitását. 2000-ben Alekszej Kovaljov talált \( G_2\)-holonómiájú kompakt sokaságokra egy másik konstrukciót, mellyel több száz újabb, nem explicit példát adott. Kompakt esetekre jelenleg is csak ez a két konstrukció ismert. A \( G_2\)-geometriákról és néhány kompakt példáról kiváló áttekintést találunk a [3] monográfiában.
A Riemann-holonómiát illetően a \( G_2\) csoport jelentősége valójában nem abban rejlik, hogy ez egyike az öt kivételes Lie-csoportnak, hanem abban, hogy ez az automorfizmuscsoportja az októnionok \( \mathbb{O}\) nyolcdimenziós nem asszociatív valós divízióalgebrájának. Az októnionokon adott egy pozitív definit belső szorzat; továbbá az \( 1 \in \mathbb{O}\) egységelem által kifeszített alteret valós, míg az ortogonális komplementerét tisztán képzetes októnionoknak nevezzük: \( \mathrm{Im}(\mathbb{O})\cong \mathbb{R}^7\). Ez teljesen analóg a kvaterniók \( \mathbb{H}\) algebrájával, azzal a különbséggel, hogy az assszociativitás hiánya bizonyos bonyodalmakat okoz. Az analógia alapján bevezethetünk \( \mathbb{R}^7\)-en egy keresztszorzást az alábbi módon: legyen \( u,v\in \mathbb{R}^7\cong \mathbb{O}\), és legyen \( u\times v=\mathrm{Im}(uv)\), ahol \( uv\) az októnionok szorzatát jelöli. (Az \( uv\) szorzat valós része nem más, mint \( -\langle u,v\rangle\), pontosan úgy, ahogy a kvaterniók esetén, ahol \( \langle \cdot, \cdot \rangle\) az euklideszi belső szorzást jelöli.) Az így bevezetett keresztszorzat eleget tesz az \[\displaystyle \begin{gathered} u\times v=-v\times u,\\ \langle u\times v,u\rangle=0,\\ \left\lVert u\times v\right\rVert^2=\left\lVert u\wedge v\right\rVert^2 \end{gathered}\] relációknak, pontosan úgy, ahogy az \( \mathbb{R}^3\cong \mathrm{Im}(\mathbb{H})\)-n bevezetett keresztszorzat teszi. Ugyanakkor van egy különbség: az \( \mathbb{R}^3\) keresztszorzatával ellentétben \[\displaystyle u\times(v\times w)+\langle u,v\rangle w-\langle u,w\rangle v\] nem zérus, hanem a szorzat nemasszociativitását méri: \( (uv)w-u(vw)\neq 0\). Megjegyezzük, hogy \( \mathbb{R}^7\)-ben a keresztszorzást felhasználva bevezethetünk egy 3-formát (mindhárom változójában lineáris és antiszimmetrikus formát) az alábbi módon: \( \varphi(u,v,w)=\langle u \times v, w\rangle\). Itt nem részletezett okok miatt ezt a formát asszociatív 3-formának nevezzük.
Azt mondjuk, hogy egy 7-dimenziós sokaságon megadható egy \( G_2\)-struktúra, ha megadható a hozzá tartozó frame-nyaláb \( GL(7, \mathbb{R})\) struktúracsoportjának egy redukciója a természetes módon \( SO(7)\)-beli részcsoportnak tekinthető \( G_2\) csoportra. Ebből következik, hogy egy \( G_2\)-struktúra meghatároz egy Riemann-metrikát és egy irányítást. Valóban, egy \( G_2\)-struktúrával ellátott sokaságon létezik egy „nemelfajuló” \( \varphi\) 3-forma, melyre igaz, hogy az \( M\) sokaság minden \( p\) pontja körül megadható olyan koordinátarendszer, hogy a \( p\) pontban a \( \varphi\) megegyezik az \( \mathbb{R}^7\)-en korábban bevezetett asszociatív 3-formával. Továbbá a \( \varphi\) 3-formából egy metrika és egy irányítás származtatható kanonikus, ugyanakkor erősen nemlineáris módon. E metrika segítségével a \( \varphi\)-ből az „indexek felemelésével” bevezethetünk egy keresztszorzatot. Összegezve: a \( G_2\)-struktúrával rendelkező \( (M, \varphi)\) sokaság ellátható metrikával, keresztszorzással, 3-formával és irányítással, melyek eleget tesznek a \[\displaystyle \varphi(u,v,w)=\langle u\times v,w\rangle\] feltételnek. Ez teljesen hasonló a majdnem Hermite-sokaságok megfelelő struktúrájához, ahol adva van egy metrika, egy \( J\) majdnem komplex struktúra, egy \( \omega\) 2-forma és egy irányítás, melyek eleget tesznek az \[\displaystyle \omega(u,v)=\langle Ju,v\rangle\] feltételnek. Lényegében egy sokaságon akkor adható meg egy \( G_2\)-struktúra, ha az érintőtere sima módon azonosítható a képzetes októnionok \( \mathrm{Im}(\mathbb{O})\cong \mathbb{R}^7\) terével, ahogy egy Hermite-sokaság esetén is az érintőtér sima módon azonosítható (a szokásos euklideszi belső szorzattal ellátott) \( \mathbb{C}^m\)-mel. Az Hermite-sokaságok pszeudo-holomorf görbéihez hasonlóan a \( G_2\)-struktúrával rendelkező sokaságokon is megadhatók kalibrált részsokaságok kitüntetett osztályai. A kalibrált részsokaságokról bővebben a [2] dolgozatban olvashatunk.
Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy egy sokaságon létezzen \( G_2\)-struktúra, az, hogy irányítható és hogy spin legyen, ami ekvivalens azzal, hogy az első két Stiefel—Whitney-osztálya zérus. Így tehát igen sok ilyen 7-dimenziós sokaság van, ahogy igen sok majdnem Hermite-sokaság is van. De a történetnek itt még nincs vége.
Legyen \( (M, \varphi)\) egy \( G_2\)-struktúrával rendelkező sokaság. Mivel ez meghatároz egy \( g_\varphi\) Riemann-metrikát és egy ehhez tartozó \( \nabla\) Levi-Civita-féle kovariáns deriválást is, vizsgálhatjuk, hogy teljesül-e a \( \nabla\varphi=0\) feltétel. Ha igen, akkor az \( (M, \varphi)\)-t \( G_2\)-sokaságnak nevezzük, és ekkor megmutatható, hogy a \( g_\varphi\) Riemann-féle holonómiacsoportját tartalmazza a \( G_2\subset SO(7)\) csoport. Egy ilyen „párhuzamos” \( G_2\)-struktúrát találni igen nehéz, mert az ismeretlen \( \varphi\) 3-formára egy bonyolult nemlineáris parciális differenciálegyenletet kell megoldani. A \( G_2\)-sokaságok esete bizonyos értelemben hasonló a Kähler-sokaságokéhoz, melyek pontosan azok a majdnem Hermite-sokaságok, melyekre teljesül a \( \nabla \omega=0\) feltétel. Ugyanakkor Kähler-sokaságokat sokkal könnyebb találni részben azért, mert a \( g\) metrika és a \( J\) komplex struktúra lényegében függetlenek egymástól (csak egy enyhe kompatibilitási feltételnek kell eleget tenniük), míg a \( G_2\)-sokaságok esetén mind a metrika, mind a keresztszorzat nemlineárisan származtatható a metrikából. Azonban az analógia nem teljes, mert megmutatható, hogy ha \( \nabla\varphi=0\), akkor a \( g_\varphi\) Ricci-görbülete eltűnik. Így tehát egy \( G_2\)-sokaság mindig Ricci-lapos. (Ez az egyik magyarázata annak, hogy miért érdeklik a fizikusokat ezek a sokaságok: a 11-dimenziós \( M\)-elméletben — csakúgy, ahogy a Calabi—Yau-féle 3-sokaságok a 10-dimenziós húrelméletben — a „kompaktifikáció” szerepét játsszák. Az [1] dolgozatban áttekintést találunk a \( G_2\)-sokaságok szerepéről a fizikában.) Tehát bizonyos értelemben a \( G_2\)-sokaságok hasonlóak az olyan Ricci-lapos Kähler-sokaságokhoz, melyek épp a Calabi—Yau-sokaságok.
Ha megengedjük, hogy a holonómia valódi részcsoportja legyen a \( G_2\) csoportnak, akkor igen sok példát kaphatunk \( G_2\)-sokaságra. Például a lapos \( T^7\) tórusznak, vagy a \( T^3\times CY2\) és az \( S^1\times CY3\) szorzatsokaságoknak is (ahol \( CYn\) egy Calabi—Yau-féle \( n\)-sokaságot jelöl) a holonómiacsoportja a \( G_2\)-nek egy-egy valódi részcsoportja. Bizonyos értelemben ezek „triviális” példák, mert alacsonyabb dimenziós konstrukciókra redukálódnak. Az olyan sokaságokat, melyek holonómiacsoportja a teljes \( G_2\) csoport, irreducibilis \( G_2\)-sokaságoknak nevezzük. Éppen ilyenek azok a sokaságok, melyeket Bryant, Bryant—Salamon, Joyce és Kovaljov konstruált.
Még hiányzik egy „Calabi—Yau-típusú” tétel, mely megadná annak szükséges és elégséges feltételét, hogy egy kompakt 7-dimenziós sokaságon, melyen megadható \( G_2\)-struktúra, mikor adható meg olyan \( G_2\)-struktúra, mely párhuzamos (\( \nabla\varphi=0\)). Igazából még azt sem tudjuk, hogy mi lenne az erre vonatkozó sejtés. Néhány topologikus feltétel már ismert, de messze vagyunk még attól, hogy elegendőségi feltételt adjunk. De ahelyett, hogy ezt a problémát a Calabi-sejtéshez hasonlítanánk, inkább egy másikkal kellene összevetni, amelyre jobban hasonlít. Nevezetesen a következőhöz: tegyük fel, hogy \( M\) egy \( 2n\)-dimenziós kompakt, sima sokaság, melyen megadható egy majdnem komplex struktúra. Mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy az \( M\)-en létezzen Kähler-metrika? Számos szükséges topologikus feltétel ugyan ismert, de közelében sem vagyunk annak, hogy elegendőségi feltételt adjunk.
Ami miatt a Calabi-sejtés mégis kezelhető (bár kétségkívül nehéz), az az a tény, hogy ha egy Kähler-sokaságból indulunk ki (ahol a metrika holonómiája \( U(m)\)), akkor az \( SU(m)\)-hez csak eggyel kell csökkenteni a holonómiacsoport dimenzióját. Ezután a Kähler-geometria \( \partial \overline{\partial}\)-lemmája alapján a Calabi-sejtést egy skalárfüggvényre vonatkozó (bár erősen nem lineáris) elliptikus parciális differenciálegyenlet megoldhatóságára lehet visszavezetni. Hasonló „sejtés” a Kähler- vagy a \( G_2\)-sokaságok esetén parciális differenciálegyenlet-rendszerek megoldhatóságára vezet, melyeket sokkal nehezebb kezelni.
Spiro Karigiannis
Irodalomjegyzék
[1] S. Gukov, M-theory on manifolds with exceptional holonomy, Fortschr. Phys. 51 (2003), 719—731.
[2] R. Harvey and H. B. Lawson, Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1982), 47—157.
[3] D. Joyce, Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford University Press, 2000.
Megjegyzések
- Spiro Karigiannis a University of Waterloo adjunktusa. E-mail címe: karigiannis@math.uwaterloo.ca
- A cikk egy korábbi változata a MathOverflow-ban feltett kérdésre adott válaszként jelent meg, és elérhető a http://mathoverflow.net/questions/49357/g-2-and-geometry címen.
- A szerző köszönetet mond Pete L. Clarknak, aki e cikket a Notices of the AMS folyóirat “WHAT IS …?” rovatába javasolta.
- A fenti dolgozat eredetije 2011 áprilisában jelent meg a Notices of the American Mathematical Society folyóiratban. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. Fordította Muzsnay Zoltán.
- Spiro Karigiannis, WHAT IS…a \(G_2\)-Manifold? Notices Amer. MAth. Soc. Vol. 58 Num. 4 (April, 2011) 580-581 ©2011 American Mathematical Society.
