Kleini szingularitások

Felix Klein halálának 100. évfordulójára

1. Bevezető

Az¹ 1884-es munkájának, a Vorlesungen über das Ikosaeder [17] című műnek a bevezetőjében Felix Klein a következőket írja: „Külön köszönetemet szeretném kifejezni tiszteletreméltó barátomnak, Lie professzornak Christianiában […] Lie professzor iránti hálám az 1869-70-es évekre nyúlik vissza, amikor bensőséges barátságban töltöttük diákéletünk utolsó időszakát Berlinben és Párizsban. Akkoriban közösen fogalmaztuk meg azt a tervet, hogy csoporthatások segítségével vizsgáljuk az átalakulásra képes geometriai vagy analitikus formákat. Ez a cél közvetlen hatással volt későbbi munkáinkra, bár úgy tűnhetett, hogy ezek messze esnek egymástól. Míg én elsősorban a diszkrét hatások csoportjaira irányítottam a figyelmemet, és így a szabályos testek vizsgálatához, illetve ezeknek az egyenletek elméletéhez való kapcsolatához jutottam, Lie professzor a transzformációk folytonos csoportjainak sokkal homályosabb elméletét támadta…” Mai szemmel szinte áhítattal olvassuk ezeket a beszélgetéseket, amelyekből a modern matematika nagy fejezetei nőttek ki, beleértve Klein Erlangen-programját, valamint a Lie-csoportok és Lie-algebrák jelentős területeit. Míg sokáig úgy tűnhetett, hogy a szimmetriák diszkrét és folytonos csoportjainak vizsgálata messze esik egymástól, a későbbi kutatások határozottan közelebb hozták ezt a két területet.

Célunk ebben az áttekintésben, hogy ennek a kapcsolatnak egy aspektusát bemutassuk, amit McKay-korrespondenciának is neveznek. Ebben a kapcsolatban megjelennek az euklideszi háromdimenziós tér diszkrét szimmetriacsoportjai, a kleini szingularitások, amelyek algebrai geometriai objektumok, valamint a véges dimenziós és affin Lie-algebrák.

2. Néhány forgatáscsoport

Kiindulópontunk az \({{\mathrm{SO}}}(3)\) csoport, amely a háromdimenziós euklideszi tér az origót helybenhagyó irányítástartó izometriáit tartalmazza. Mint ismeretes, az \({\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\) minden eleme egy-egy origón áthaladó tengely körüli forgatás. Az \({\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\) véges részcsoportjai természetes módon jelennek meg geometriai objektumok forgatásszimmetria-csoportjaiként. Klein [16] leírta az \({\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\) csoport (konjugáció erejéig) összes véges részcsoportját. Ezek az alábbiak:

1. Ciklikus csoport, \(C_r=\langle s \mid s^r=e \rangle <{\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\): az \(r\) oldalú szabályos síkbeli sokszögre merőleges piramis szimmetriacsoportja.

2. Diédercsoport, \(D_r=\langle s, t \mid s^2=t^2=(st)^r=e \rangle <{\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\): az \(r\) oldalú szabályos síkbeli sokszögre merőleges kettős piramis szimmetriacsoportja.

3. Tetraédercsoport, \(T<{\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\): a szabályos tetraéder szimmetriacsoportja. Ez az alábbi módon prezentálható: \[T \cong \langle s, t \mid s^2=t^3=(st)^3=e \rangle.\] Itt \(t\) egy csúcsot és a vele szemközti lap középpontját tartalmazó tengely körüli forgatás, míg \(s\) egy olyan tengely körüli forgatás, amely a szemközti élek középpontjait tartalmazza. Absztrakt csoportként a \(T\) izomorf az alternáló \(A_4\) csoporttal, ami ellenőrizhetó abból, ahogyan \(T\) a tetraéder csúcsaira hat.

4. Oktaédercsoport, \(O<{\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\): a kocka és a szabályos oktaéder szimmetriacsoportja. Emlékezzünk, hogy a kocka és az oktaéder duálisak, ami azt jelenti, hogy az egyik szabályos test lapjainak középpontjai adják a másik test csúcsait, és így a szimmetriacsoportjaik azonosak. Ez a csoport a következő módon prezentálható: \[O \cong \langle s, t \mid s^2=t^3=(st)^4=e \rangle.\] Absztrakt csoportként az \(O\) izomorf a szimmetrikus \(S_4\) csoporttal, ami látható abból, ahogyan a kocka főátlójaira hat.

5. Ikozaédercsoport, \(I<{\mathrm{\mathrm{SO}}}(3)\): a szabályos ikozaéder és a szabályos dodekaéder szimmetriacsoportja, amely 60 elemből áll. Az ikozaéder és a dodekaéder szintén duálisak. Az \(I\) csoport így prezentálható: \[I \cong \langle s, t \mid s^2=t^3=(st)^5=e \rangle.\] Absztrakt csoportként az \(I\) izomorf az alternáló \(A_5\) csoporttal, ami látható abból, ahogyan a dodekaéder csúcsainál beágyazott szabályos tetraéderek halmazára hat.

Klein megmutatta, hogy az \({\mathrm{SO}}(3)\) véges részcsoportjai, mint például a szabályos testek szimmetriacsoportjai, realizálhatók \({\mathrm{PSL}}(2, \mathbb{C})\) véges részcsoportjaiként a \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\) Riemann-gömbön ható Möbius-transzformációk segítségével. Az alábbi diagram kommutatív:

Ha veszünk egy \(\Gamma<\mathrm{SO}(3)\) véges részcsoportot, és visszahúzzuk azt a kettős fedőleképezéssel, kapunk egy \(\widetilde \Gamma<\mathrm{SU}(2)\) véges részcsoportot, a megfelelő „bináris” csoportot. Ennek a csoportnak a rendje \(|\widetilde\Gamma|=2|\Gamma|\). Ez a konstrukció gyakorlatilag az összes véges részcsoportot megadja \(\mathrm{SU}(2)\)-ben, de van egy kis eltérés az Abel-csoportok esetében, ahol ez a konstrukció csak az \(\mathrm{SU}(2)\) páros rendű abeli (speciálisan, ciklikus) részcsoportjait adja meg.

Másrészről, ha veszünk egy véges \(G<\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\) részcsoportot, vehetünk egy tetszőleges hermitikus formát \(\mathbb{C}^2\)-ben, majd átlagolhatjuk azt \(G\) felett. Ekkor egy alkalmas bázisban megkapjuk \(G\)-t, mint \(\mathrm{SU}(2)\) részcsoportját. Ezeket az észrevételeket összefoglalva, a következő az \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\) véges részcsoportjainak (konjugálás erejéig) teljes listája.

1. A ciklikus részcsoport, amit generál: \[\sigma=\begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega^{-1} \end{pmatrix},\] ahol \(\omega=e^{2\pi i/r}\) egy primitív \(r\)-edik egységgyök. Páratlan \(r\) esetén ez a csoport izomorf módon leképeződik a \(C_r<\mathrm{SO}(3)\)-re. Páros \(r=2s\) esetén ez a bináris ciklikus csoportot, \(\widetilde C_s<\mathrm{SU}(2)\)-t adja, aminek egy kétszeres fedőleképezése van \(C_s<\mathrm{SO}(3)\)-re.

2. A bináris diédercsoport \(\widetilde D_r\), amit generál: \[\sigma=\begin{pmatrix}\omega & 0 \\0 & \omega^{-1}\end{pmatrix},\quad\tau=\begin{pmatrix}0 & 1 \\-1 & 0\end{pmatrix},\] ahol \(\omega=e^{2\pi i/(2r-4)}\) egy primitív \((2r-4)\)-edik egységgyök.

3. A bináris tetraédercsoport \(\widetilde T\), amit generál: \[\sigma=\begin{pmatrix}i & 0 \\0 & -i\end{pmatrix}, \quad\tau=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 1\end{pmatrix}.\]

4. A bináris oktaédercsoport \(\widetilde O\), amit generál: \[\sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & i \\i & 1\end{pmatrix}, \quad\tau=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\-1 & 1\end{pmatrix}.\]

5. A bináris ikozaédercsoport \(\widetilde I\), amit generál: \[\sigma=\begin{pmatrix}\phi & 1 \\1 & -\phi\end{pmatrix}, \quad\tau=\begin{pmatrix}\omega & 0 \\0 & \omega^{-1}\end{pmatrix},\] ahol \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) az aranymetszés arányszáma, és \(\omega=e^{2\pi i/5}\) egy primitív ötödik egységgyök.

A továbbiakban ezekre a bináris csoportokra koncentrálunk, ezért a \(G\) jelölést fenntartjuk egy tetszőleges véges \(G< {\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) részcsoport megnevezésére, amely lehet abeli, (bináris) diéder, vagy kivételes (amely egy szabályos test szimmetriacsoportjának felel meg).

3. Invariánselmélet és algebrai geometria

Tekintsük az \(\mathbb{A}^2\) komplex affin síkot, amelynek koordinátaalgebrája \(\mathbb{C}[\mathbb{A}^2] \cong \mathbb{C}[x,y]\). Egy \(G < {\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) véges részcsoport úgy hat \(\mathbb{A}^2\)-n, hogy \(G\) hat a \(V=\langle x,y\rangle\) kétdimenziós vektortérre, majd ezt kiterjesztjük \(\mathbb{C}[x,y]\) algebrai automorfizmusaira.

Figyelembe véve \(G\) hatását \(\mathbb{C}[\mathbb{A}^2]\)-n, Klein számára nagyon természetes volt a 19. századi invariáns elmélet szellemében az invariáns algebra \(\mathbb{C}[\mathbb{A}^2]^{G}\) vizsgálata.

Ezzel megkapjuk az invariáns egy algebrai leírását: \[\mathbb{C}[\mathbb{A}^2]^{G} \cong \mathbb{C}[u, v, w]/\langle g \rangle.\] Az ennek megfelelő Klein-féle szingularitás, \(X=\mathbb{A}^2/G\), az az affin sokaság, amelynek koordináta-algebrája az invariáns algebra: \(\mathbb{C}[X]=\mathbb{C}[\mathbb{A}^2]^{G}\). Az \(\mathbb{A}^2 \to X\) hányados leképezés megfelel az algebrák beágyazásának: \(\mathbb{C}[\mathbb{A}^2]^{G} \subset \mathbb{C}[\mathbb{A}^2]\). Az \(X\) sokaságnak egyetlen szinguláris pontja van az origó \(0=[(0,0)]\in X\) képénél. A 3.1. tétel azt is kimondja, hogy egy Klein-féle \(X\) szingularitás hipersíkként mindig beágyazható affin háromdimenziós térbe. Számos okból a Klein-féle szingularitásokat más néven racionális kettős pontoknak vagy du Val-szingularitásoknak is nevezik. Ezek elterjedtek az algebrai geometria és a szingularitáselmélet területén [8].

\[\begin{array}{c|c|c} G<{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\text{ véges részcsoport}&\text{Szingularitás definiáló polinomja}&\text{Dynkin típus }\\[3pt] \hline \text{Ciklikus } C_{r+1} \ (r\geq 1)&x^2+y^2+z^{r+1}&A_r\\ \text{Bináris diéder }\widetilde{D}_{r-2} \ (r\geq 4)&x^2+y^2z+z^{r-1}&D_r\\ \text{Bináris tetraéder }\widetilde{\Gamma_{T}}&x^2+y^3+z^4&E_6\\ \text{Bináris oktaéder }\widetilde{\Gamma_{O}}&x^2+y^3+yz^3&E_7\\ \text{Bináris ikozaéder }\widetilde{\Gamma_{I}}&x^2+y^3+z^5&E_8 \end{array}\]

Az olyan szinguláris hányadossokaságok vizsgálatára, mint a Klein-féle \(X=\mathbb{A}^2/G\) szingularitások, a modern algebrai geometria két különböző eszközt kínál. Ezek lényege, hogy lehetővé teszik a szinguláris \(X\) sokaság helyettesítését egy sima térrel.

1. Egy \(X\) szinguláris varietás feloldása egy sima kváziprojektív \(Y\) varietás, amelyhez tartozik egy \(\pi\colon Y \to X\) propius leképezés, amely izomorfizmus az \(X\) sima pontjai felett.

2. Hányados képzése helyett vizsgálhatjuk \(\mathbb{A}^2\) ekvivariáns geometriáját \(G\) hatása alatt. Ez ekvivalens a \([\mathbb{A}^2/G]\) hányados orbifold vagy stack („kupac”) tanulmányozásával.

A Klein-féle szingularitások geometriájának központi témája, hogy erős kapcsolat áll fenn a két szemléletmód között. Ezt John McKay fedezte fel [18], amikor észrevette hogy a két szituációból természetesen adódó Dynkin-diagramok lényegében megegyeznek. Ezért nevezzük ezt McKay-megfeleltetésnek.

A 3.3. tételben szereplő Dynkin-diagram típusát a \(G<{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) részcsoport típusának is nevezik. Így látjuk, hogy a \(G\cong C_3\) részcsoport \({\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\)-ban \(A_2\) típusú. Általánosságban, \(C_{r+1} \cong G<{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) az \(A_r\) típusnak felel meg.

4. Ekvivariáns geometria és a McKay-tegez

Egy algebrai varietás geometriai tanulmányozása során éredemes a (koherens) nyalábokat vizsgálnunk. Ha egy varietás ekvivariáns geometriája érdekel minket egy csoporthatásra nézve, akkor szükségünk van az ekvivariáns nyaláb fogalmára, amely figyelembe veszi ezt a hatást. Itt egy \(Z\) affin varietás esetére adjuk meg a definíciót, amelynek koordinátagyűrűje \(R=\mathbb{C}[Z]\). Ekkor a \(Z\) feletti nyalábok vizsgálata az \(R\) koordinátagyűrű modulusainak vizsgálatára redukálódik.

Így egy ekvivariáns modulusstruktúra egy vektortéren két összefonódott modulusstruktúrából áll: egy \(R\) feletti és egy \(\mathbb{C}G\) csoportalgebra feletti struktúrából. Ekkor egy új algebra definiálható, amely mindkét hatást magában foglalja.

Ellenőrizhető, hogy ez a szorzási szabály valóban asszociatív. Továbbá \(R\) és \(\mathbb{C}G\) is részalgebrái \(R\rtimes G\)-nek a következő beágyazásokkal: \(f \mapsto f \otimes 1\) és \(g \mapsto 1 \otimes g\). Ez azt is mutatja, hogy \(fg=(f\otimes 1)(1\otimes g)=f\otimes g\), így az \(\otimes\) szimbólumot el is hagyhatjuk a jelölésből. Az alábbi reláció teljesül \(R \rtimes G\)-ben: \[\label{eq:skew-commutator} gf=g(f) g,\tag{2}\] ami azt mutatja, hogy \(R \rtimes G\) nemkommutatív, még ha \(R\) és \(G\) egyaránt kommutatívak is. A (2) kommutációs reláció tükrözi az (1) feltételt a modulusokon való hatásban, és ezért biztosítja a következő ekvivalenciát.

Így, ha \(Z\) egy affin varietás, amelynek koordinátagyűrűje \(R=\mathbb{C}[Z]\), és amelyre egy véges \(G\) csoport hat, akkor \((Z,G)\) ekvivariáns geometriája ekvivalens az \(R \rtimes G\) algebra nemkommutatív geometriájával. Fontos megjegyezni, hogy \(R\), amely önmagában természetesen egy \(G\)-ekvivariáns \(R\)-modulus, azonosítható az alábbi módon: \[R \cong (R \rtimes G)e_0,\] ahol \(e_0=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} g \in \mathbb{C}G\) az invariáns idempotens. Az invariáns gyűrű visszanyerhető a következő (nemunitér) részgyűrűként: \[R^{G} \cong e_0(R \rtimes G)e_0.\]

Egy másik módja is van annak, hogy \(R^{G}\)-t egy részgyűrűként megkapjuk az alábbi ismert eredmény révén:

Az \(R^{G}=Z(R \rtimes G)\) részgyűrűként való beágyazása \(R \rtimes G\)-be különbözik attól a beágyazástól, amelyben \(R^{G} \cong e_0 (R \rtimes G) e_0\) szerepel \(R \rtimes G\)-ben.

A \(R \rtimes G\) ferde csoportalgebra így természetesen adódik az ekvivariáns affin geometria nézőpontjából. Azonban fordítva is gondolkodhatunk róla: először vegyük a \(G\) csoportot, amelynek reprezentációelméletét jól ismerjük. Ezután vegyük \(R\) generátorait, és vizsgáljuk meg, hogyan hatnak ezek \(G\) reprezentációira. Ennek a nézőpontnak a kiindulópontja a következő standard eredmény.

Ebből az eredményből következik, hogy a \(\mathbb{C} G\) algebra Morita-ekvivalens (moduluskategóriája ekvivalens) a kommutatív \(\prod_{i=0}^r \mathbb{C}\) algebrával. Ha \(G\) abeli, akkor még egy gyűrűizomorfizmus is fennáll: \(\mathbb{C} G \cong \prod_{i=0}^r \mathbb{C}\). Geometriai nyelven fogalmazva, \(G\) reprezentációelmélete bizonyos értelemben ekvivalens \((r+1)\) pont koordinátagyűrűjének reprezentációelméletével. Ehhez a képhez most hozzáadjuk azt az adatot, hogy \(R\) hogyan hat \(G\) reprezentációira.

Tegyük fel, hogy \(R\) egy \(G\)-hatással ellátott algebra, amelyet \(G\) egy véges dimenziós \(V\) reprezentációja generál. Ekkor egy \(G\)-ekvivariáns \(R\)-hatás egy \(M\) \(G\)-reprezentáción meghatározható \(V\) \(M\)-en való hatásával, amely (1) szerint egy \(G\)-repezentáció homomorfizmus: \[V \otimes M \to M.\] Tegyük fel, hogy \(m \in M\) egy olyan vektor, amely egy irreducibilis részreprezentáción belül helyezkedik el, amely izomorf \(V_i\)-vel, és legyen \(f \in V\). Ekkor \(f m\), amely \(f \otimes m\) képe a szorzásra, egy olyan reprezentáció hányadosterében helyezkedik el, amely izomorf \(V \otimes V_i\)-vel. Geometriai nyelven, ha \(m\) tartója az \(i\)-vel jelölt ponton van, akkor \(f m\) tartója azon pontokon van, amelyek a \(V \otimes V_i\)-ben megjelenő irreducibilis reprezentációknak felelnek meg. Ez az észrevétel motiválja a következő definíciót. Emlékeztetünk, hogy egy tegez egy irányított gráf, amely csúcsokból és azokat összekötő irányított élekből (nyilakból) áll.

Visszatérünk ahhoz az esethez, amikor \(G<{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) egy véges részcsoportra és \(\rho\) a \(V=\langle x,y\rangle\) vektortéren adódó definiáló reprezentáció. Ebben az esetben \(V_j\) multiplicitása \(V \otimes V_i\)-ben megegyezik \(V_i\) multiplicitásával \(V^*\otimes V_j\cong V\otimes V_j\)-ben, így a McKay-tegez nyilai páronként ellentétes irányban jelennek meg.

A \(Q\) McKay-tegez információt hordoz mind \(G\)-ről, mind annak \(V\)-n való hatásáról. Ezért amikor a \(V\) által szabadon generált kommutatív algebrát, \(R\)-t vizsgáljuk, elvárható, hogy a \(Q\) tegezből rekonstruálhatjuk az \(R\rtimes G\) algebrát. Ez valóban így van. Tekintsük \(Q\) útalgebráját, \(\mathbb{C} Q\)-t: a \(Q\)-ban lévő utak alkotják \(\mathbb{C} Q\) bázisát, és a szorzás az utak összefűzésével történik (ha az első út végpontja nem egyezik a második kezdőpontjával, akkor a szorzat nulla). Megjegyezzük, hogy \(\mathbb{C}Q\) tartalmazza \(\prod_{i=0}^r\mathbb{C}_i\)-t a nulla hosszúságú utak részalgebrájaként.

A \(\Pi\) hányadosalgebrát preprojektív algebrának nevezzük; részletesebb definícióját lásd pl. [15, Def. 5.2] vagy [6, Sec. 3.2]. Lényegében az, hogy \(R\) kommutatív, feltételeket kényszerít ki \(\mathbb{C} Q\)-ban a kettő hosszúságú utak között, és \(\mathfrak{p}\) ezeket a feltételeket generálja. Mivel az algebra centruma Morita-invariáns, így \(R^{G}=Z(R \rtimes G) \cong Z(\Pi)\) is teljesül.

Könnyű belátni, hogy az \(A_r\) típusú ciklikus csoport \(C_{r+1}\subset{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) McKay-tegeze hasonlít a 4.9. példában szereplőhöz, ahol az \((r+1)\) csomópont kör alakban helyezkedik el. Más szavakkal, az \(A_r\) típusú McKay-tegez a kiterjesztett (affin) \(\hat{A}_r\) típusú Dynkin-diagramhoz tartozó kettőzött tegez. Az ennek megfelelő véges Dynkin-diagram, amely a minimális felbontásban a kivételes osztó komponenseiből áll, a 3. szakasz végén \(A_r\) típusúként volt meghatározva. McKay fő megfigyelése az volt, hogy ez az összefüggés minden típus esetén érvényes.

Ez a megfigyelés, amely a kleini szingularitás feloldását és a \(G\) csoport reprezentációelméletét köti össze, McKay-megfeleltetés vagy -korrespondencia néven vált ismertté. Ez rengeteg kutatást inspirált, amelyek részletes áttekintésére itt nincs lehetőség; áttekintések találhatók pl. [12], [21], valamint a [11] gyűjteményes kötetben. Megemlítjük a legáltalánosabb formáját, a derivált McKay-megfeleltetést. Ez az eredmény [13] egyenértékűséget állít két triangulált kategória között. Az egyik az \(X=\mathbb{A}^2/G\) kleini hányados szingularitás minimális feloldásán lévő koherens nyalábok derivált kategóriája és a síkon lévő \(G\)-ekvivariáns koherens nyalábok derivált kategóriája között (vagy másképpen az \([\mathbb{A}^2/G]\) kupac koherens nyalábjainak derivált kategóriája között): \[D^b(\text{Coh}(Y)) \simeq D_G^b(\text{Coh}(\mathbb{A}^2)).\] A jobb oldali triangulált kategória nem más, mint \(D^b(\text{Mod}(\mathbb{C}[x,y] \rtimes G))\). Ennek egy jelentős általánosítása magasabb dimenziókra, beleértve minden olyan \(X=\mathbb{A}^3/G\) hányados típusú teret, ahol \(G<{\mathrm{SL}}(3, \mathbb{C})\), a [2] munkában lett bebizonyítva, amelyet további kutatások követtek, lásd pl. [11].

5. Hilbert- és Quot-sémák

Egy \(Z\) algebrai varietáshoz rendelt egyik alapvető objektum \({\mathrm{Hilb}}(Z)\), a \(Z\) pontjainak Hilbert-sémája. Ez a \(Z\) véges hosszúságú részsémáinak modulustere. Ez a tér diszjunkt komponensekre bomlik fel az alábbi módon: \[{\mathrm{Hilb}}(Z)=\bigsqcup_n \mathrm{Hilb}^n(Z),\] ahol \(n\) a részséma hossza; lásd például [19], [9]. Most csak az affin esettel foglalkozunk, ezért a precíz definíciót is csak erre az esetre adjuk meg. Legyen \(Z\) egy \(\mathbb{C}\) feletti affin varietás, aminek a koordinátaalgebrája \(R=\mathbb{C}[Z]\). Ekkor a \(Z\) \(n\)-edik Hilbert-sémája \[\mathrm{Hilb}^n(Z)=\{ R\twoheadrightarrow R/\mathfrak{a}\text{ hányadosalgebrák}\colon \dim_{\mathbb{C}}(R/\mathfrak{a})=n \}.\] Belátható, hogy ez a halmaz ellátható egy kváziprojektív varietás struktúrával.

A mi esetünkben \(Z=\mathbb{A}^2\) az affin sík. Ekkor \({\mathrm{Hilb}}^n(\mathbb{A}^2)\) egy sima (redukált) kváziprojektív varietás, amiről ismert, hogy létezik egy konkrét konstrukciója linerás algebrai adatokból [19], [6]. Továbbá ha \(G < {\mathrm{SL}}(2,\mathbb{C})\) egy véges részcsoport, akkor \(G\) hat \({\mathrm{Hilb}}(\mathbb{A}^2)\)-n az \(R\) koordinátagyűrűn való hatásán keresztül. Tekintsük ezen hatás \({\mathrm{Hilb}}(\mathbb{A}^2)^G\) fixponthalmazát, ami a következőképp bomlik fel: \[\mathrm{Hilb}(\mathbb{A}^2)^G=\bigsqcup_{\rho \in {\mathrm{Rep}}(G)} \mathrm{Hilb}^{\rho}(\mathbb{A}^2).\] Itt \({\mathrm{Hilb}}^{\rho}(\mathbb{A}^2)\) parametrizálja \(\mathbb{A}^2\) azon \(G\)-invariáns részsémáit, amiknek a koordinátagyűrűje mint \(G\)-reprezentáció \(\rho\) típusú. Ezt a fixpont halmazt az \((\mathbb{A}^2,G)\) pár ekvivaráns Hilbert-sémájának nevezzük [3]. A \(\rho\) reprezentációtípus elkódolható egy \(v \in \mathbb{N}^I\) vektorral, amelyből \(\rho\) egyértelműen meghatározható: \[\rho \cong \sum_{i \in I} \rho_i^{\oplus v_i}.\] Ismert, hogy minden \({\mathrm{Hilb}}^{\rho}(\mathbb{A}^2)\) irreducibilis, ha nem üres.

A 4. szakaszban kidolgozott nyelvezet segítségével a \((G,V)\) ekvivariáns Hilbert-sémáját az alábbi módon értelmezhetjük. Az \(Z=\operatorname{Spec}(R)\) részsémái az \(R\) hányadosalgebráival ekvivalensek, másképpen fogalmazva az adott \(R\)-modulus hányadosmodulusaival. Továbbá a \(G\)-ekvivariáns részsémák a bal \((R\rtimes G)\)-hányadosmodulusoknak felelnek meg, ahol \(R=(R\rtimes G)e_0\). Másrészt, a hányados \(Z/G\) részsémái az \(R^G \cong e_0(R \rtimes G)e_0\)-modulus hányadosaival ekvivalensek. A következő definíció és tétel egy nemkommutatív Quot-séma fogalmát vezeti be, amely a két definíció közötti interpolációt adja.

Az \(e_J(R \rtimes G)e_J\) algebrának és modulusának, \(e_J(R \rtimes G)e_0\)-nek előállítását sarkozásának (cornering) nevezik [14]. Megjegyezzük, hogy a 4.8. tétel Morita-ekvivalenciájának köszönhetően a nemkommutatív Quot-sémáink a \(\Pi\) preprojektív algebrán keresztül is definiálhatók, amelyben egy megfelelő idempotenshalmaz is megtalálható.

Emlékeztetünk, hogy az ekvivariáns Hilbert-séma \({\mathrm{Hilb}}(\mathbb{A}^2)^G\) a \(\mathbb{C}G\) feletti reprezentációs típus szerint bomlik fel, míg a szokásos Hilbert-séma \({\mathrm{Hilb}}(\mathbb{A}^2/G)\) a hányadosgyűrű dimenziója szerint. Ez általánosítható: \({\mathrm{Quot}}_{G,J}(\mathbb{A}^2)\) az \(e_J \mathbb{C} G e_J\) feletti reprezentációs típus szerint bomlik fel, ami ekvivalens egy \(v_J \in \mathbb{N}^J\) vektorral. Így a következő dekompozíció adódik: \[{\mathrm{Quot}}_{G,J}(\mathbb{A}^2)=\bigsqcup_{v_J \in \mathbb{N}^J} {\mathrm{Quot}}_{G,J}^{v_J}(\mathbb{A}^2).\] Ismert, hogy minden \({\mathrm{Quot}}_{G,J}^{v_J}(\mathbb{A}^2)\) egy kváziprojektív séma.

Végezetül leírunk egy, a különböző \(J\) halmazokra megkonstruált Quot-sémák közötti természetes leképezéscsaládot.

A \(p_{J,J’}\) morfizmusokat degenerációs leképezéseknek nevezzük. Egy konkrét példája ennek a következő természetes leképezés: \[p_{I,\{0\}}\colon {\mathrm{Hilb}}(\mathbb{A}^2)^G \longrightarrow {\mathrm{Hilb}}(X),\] amelyet [3, 3.4] tárgyal. Ideálok nyelvén ez egy \(G\)-ekvivariáns \(\mathfrak{a}\lhd\mathbb{C}[x,y]\) ideált a \(\mathfrak{a}\cap\mathbb{C}[x,y]^G\lhd\mathbb{C}[x,y]^G\) metszetbe képez le.

Irodalom

Lábjegyzet

1. A szöveg az [1] cikk bevezetőjének magyar nyelvű átdolgozása.↩︎