Kálmán Rudolf emlékére
2016. július 2-án, életének 86. évében, a rákbetegséggel folytatott többéves küzdelme után elhunyt Kálmán Rudolf, a rendszertudomány matematikai alapjainak megalkotója, aki a legmagasabb amerikai kitüntetések és nemzetközi elismerések mellett is büszke volt magyar akadémiai tiszteleti tagságára, valamint az MTA SZTAKI-val való kapcsolatára, ahol haláláig szobája volt.
Kálmán a második világháború elől családjával gyerekként az Egyesült Államokba menekült, és ott telepedett le, így ott tanulhatott az akkori matematikai-műszaki világ nyugati úttörői között. 1953-ban végzett az MIT-n, majd a Stanfordi és a Floridai Egyetemeken tanított. 1973 óta a Svájci Szövetségi Műszaki Főiskola professzora volt.
A navigációs rendszerek matematikai tervezésének fejlesztése során dolgozta ki a ma már a nevét viselő Kálmán-szűrőt, amelyet 1963-ban az ember nélküli amerikai Hold-szondánál alkalmazták először, és azóta is az űreszközök irányításának általánosan használt eleme. Napjainkban használatos a meteorológiai előrejelzések, a GPS, a célkövető radarok, és közgazdasági idősorok elemzésénél is.
1985-ben elsőként kapta meg a Kyoto Díjat. 2008-ban megkapta az amerikai mérnöki akadémia Charles Stark Draper-díját, amelyet mérnöki Nobel-díjként tartanak számon. 2009-ben Barack Obama amerikai elnöktől vehette át az Egyesült Államok legfontosabb tudományos elismerését, a Nemzeti Tudományos Érmet.
A Kálmán-szűrő alapgondolata
A Kálmán-szűrő komplex, zajos (sztochasztikus) rendszerek belső állapotainak a becslésére ad hatékony, valós időben alkalmazható eljárást külső, mért, zajos jelek alapján. A probléma maga a telekommunikációban már a II. világháború idején megfogalmazódott, de az akkor született eredmények integrálegyenletek megoldását kívánták meg, emiatt alkalmazásuk nehézkes.
Kálmán alapvető felismerése volt, hogy a lineáris rendszerek elmélete véletlen (sztochasztikus) folyamatok modellezésében addig nem ismert új utakat nyit a szűrési probléma megoldására. Nevezetesen, tekintsük a fenti modell sztochasztikus, diszkrét idejű változatát: \[\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+u_{n},\] \[\displaystyle y_{n}=Cx_{n}+v_{n},\] minden egész \(n\)-re, ahol az \((u_n,v_n)\) egy alkalmas dimenziójú, \(0\)-várható értékű ortogonális folyamat, vagyis pl. \({\rm E}u_nu^T_m=0\) ha \(n\neq m\), egyébként \({\rm E}u_n u^T_n = \Sigma = {\rm const.}\)
A (prediktív) szűrési probléma ekkor matematikailag így fogalmazható meg: keressük az \(x_{n+1}\) állapot legkisebb négyzetes becslését az \(y_n\), \(y_{n-1}\), \(\dots\) mért értékek birtokában. Ezt jelöljük \({\hat x}_{n+1}\)-gyel. Kálmán zseniális észrevétele az volt, hogy az általános szűrési problémát a fenti feladatosztályra megszorítva \({\hat x}_{n+1}\) eleget tesz az \[\displaystyle{\hat x}_{n+1}=A{\hat x}_n+K\nu_n\] \[\displaystyle y_n=Cx_n+\nu_n\] állapottéregyenletnek, ahol az állapotegyenletben és a megfigyelésben egy közös \(\nu_n\) folyamat jelenik meg, ezt innovációs folyamatnak hívjuk. A \(K\) mátrix angolul és magyarul az ún. Kalman-gain. A fenti egyenlet egyszerű átrendezésével kapjuk az \({\hat x}_{n+1}\) keresett értékét, éspedig rekurzív alakban: \[\displaystyle{\hat x}_{n+1}=\left(A-KC\right){\hat x}_n+Ky_n.\]
A \(K\) mátrix meghatározása nem triviális feladat, ehhez többek között meg kell oldani egy mátrix-egyenletet, egy ún. algebrai Riccati-egyenletet, amelyben az ismeretlen mátrix másodfokú függvényei is szerepelnek. A fenti témakör legteljesebb és legmodernebb kifejtését az alábbi könyv tartalmazza:
Lindquist, A. and Picci,G., Linear Stochastic Systems: A Geometric Approach to Modeling, Estimation and Identification. Springer, 2015.
Gerencsér László,
MTA SZTAKI
Megjegyzés: Az első rész megemlékezése az MTI által közzétett hír szerkesztett változata.
