A játékelmélet elemei és Neumann János

0. Bevezető

Ez a rövid cikk alapvetően didaktikai szándékú és fő célja, hogy megmutassa a XX. század egyik legkiemelkedőbb magyar matematikusának, Neumann Jánosnak egy igazán világraszóló eredményét, pontosabban az ahhoz vezető fő gondolatokat, amit ma „Minimax-tételnek” vagy a játékelmélet alaptételének is neveznek. A leírtak alapján akár egy középiskolai kísérleti kipróbálást is meg lehet szervezni, amit a szerző meg is tett évekkel ezelőtt több vidéki és fővárosi iskolában.

Két, nem csak a matematikus világban világ­hírűvé vált János született majdnem pon­tosan 100 év különbséggel a XIX. és a XX. században. Mindketten a világon valaha élt legjelentősebb matematikusok közé tartoznak. Ezért is fontos lenne az iskolában mindkettőjükről beszélni, hiszen magyar tanuló számára a matematika szó elhangzásakor legalább ezek a nevek be kellene, hogy ugorjanak. Egyikük Bolyai János (1802-1860), akinek a nem-euklideszi geo­metriát köszönhetjük, s amelynek iskolai bemutatása először Lénárt István¹ gömb­je­ivel vált lehetővé. Bolyai elismerése tragikus élete során nem, csak halála után kezdődött, igaz azóta is töretlen.

Eredménye a modern matematika egyik előfutárává tette, aki évtizedekkel meg­e­lőz­te korát. Ennek az úttörő szerep­nek a bemutatására egy tudomány­elméleti meg­közelítést vá­lasz­tó beszélgetésre utal­nék, a­mely Staar Gyula könyvében [1] ol­vas­ható a Tóth Imrével folytatott dialó­gus­ban. Munkásságának igazi jelentősége remekül kiviláglik Tóth matematika filozó­fi­a­i fejte­ge­téséből. Az olvasónak ajánljuk a beszélgetés megismerését.

Másikuk a már említett Neumann Já­nos (1903-1957), aki a számítógép műkö­dé­­si elvének és mechanizmusának kidolgo­zása és megvalósítása (az ENIAC első szá­­mí­tógép) mellett nagyon sok alapvető ered­ményt ért el a matematikában és az el­mé­­­le­ti fizikában. Hozzá fűződik a Schrödin­ger-féle hullám-mechanika és a Heisenberg-fé­le mát­­rix-mechanika izomorfiájának igazolá­sa.

Ez egy nagyon mély eredmény, ma is csak a felsőoktatásban szerepelhet, ahol évtizedek óta egy másik nagy teljesítménye a játékelmélet is szerepel, lásd [3]. Ezúttal az utóbbiról szeret­nénk azt megmutatni, hogy hamarabb is előkerülhetne, már akár középiskolában is, bár termé­sze­­tesen csak egy egyszerű esetben. Ehhez első lépés egy ilyen játék ismertetése, amit a követ­kező fejezetben meg is teszünk.

1. Egy egyszerű játék a snóbli² alapján

Két játékos játszik úgy, hogy mindkettőnek két lehetősége van, vagy tesz egy pénzérmét a kezébe vagy nem. Majd mindketten előrenyújtják az összezárt kezüket és egyszerre kinyitják. Az első, nevezzük őt \(A\) játékosnak, nyer, ha a két kéz szimmetrikus, azaz mindkettő üres vagy mindkettőben van egy-egy érem. A másik, \(B\) nyer, ha aszimmetrikus, azaz ha az egyikben van pénz­­érme, míg a másikban nincs. Abban is hasonlít a játék a snóblira, hogy a nyeremény a kezekben levő pénzérmék összege. De mivel, ha senki nem tett, akkor 0 lenne a nyeremény, ezért a pénzérmékhez a vesztes még egyet hozzátesz. Így az alábbi, ún. kifizetési mátrixszal írhatjuk le a játékot:

A kérdések a következők:

1. ) Milyen stratégiát kövessenek a játékosok?
2. ) Igazságos-e a játék vagy valakinek kedvez?

A kérdések megválaszolását megelőzheti a játék kipróbálása, amelynek tapasztalatait a követ­ke­zőkben összegezzük.

2. A játék elemzése stratégiai szempontból

Mindkét játékos számára fontos, hogy kiismerhetetlen legyen a játéka, mivel ellenkező eset­ben veszteni fog, bármelyik szerepben is van. Pl. ha A tudja mit fog lépni B, akkor ugyanazt te­szi ő is, hiszen szimmetrikus esetben ő nyer. Ugyanez igaz B-re is, csak ő ekkor éppen ellen­kezőképpen fog cselekedni, s nyer. Azaz mindkettőjük számára fontos a kiismerhetetlenség. De hogyan is lehet a viselkedésem kiismerhetetlen? Ha véletlenszerű, hiszen ekkor nem tudja a másik, mi fog történni. Bármilyen rafinált determinisztikus stratégiával is játszom, egy idő múlva felismeri a másik, s meg tudja jósolni a következő lépésemet. A nem tét és a tét egy \(0\), \(1\) sorozattal írható le. Ha akár A, akár B felismer valami szabályszerűséget partnere \(0\), \(1\) soro­za­tában, akkor onnantól kezdve nyerni fog. Ezzel azonban még csak az első lépést tettük meg Neumann János gondolatmenetében. Itt jegyezzük meg azt, hogy a véletlennek egy lehetséges meghatározása éppen a bonyolultság segítségével lehetséges. Ha egy \(0\), \(1\) sorozatot nem lehet lényegesen rövidebb hosszúságú programmal leírni, mint a sorozat elemeinek száma, akkor mondjuk véletlennek sorozatnak. Ezzel ma egy új matematikai elmélet a bonyolultságelmélet foglalkozik, melyet nem meglepően éppen az a matematikus kezdeményezett Chatain amerikai kollégájával, aki a valószínűségszámítás matematikai megalapozását is elvégezte, azaz A. N. Kolmorogov³. Egy Lovásztól származó egyetemi jegyzet 6. fejezetében olvashatunk erről bővebben, lásd [4] 109. oldaltól.

A következő kérdés persze az, hogy milyen véletlen generátorral játsszak. Más szavakkal, mi le­gyen a „teszek a kezembe pénzt” vagy a „nem teszek” valószínűsége? Vajon léteznek-e o­lyan valószínűségértékek, amelyek „optimálisak” abban az értelemben, hogy a tőlük való el­té­rés hátrányos a játékos(ok)nak. Elemezzük a helyzetet. Ha a két játékos egymástól függet­le­nül \(p\) és \(q\) valószínűséggel tesz pénzérmét a kezébe, akkor az \(A\) játékos nyereményének várha­tó ér­té­ke a két egyelőre ismeretlen valószínűséggel a következőképpen írható fel:

(1)\(\displaystyle N(p,q)=3pq-2p(1-q)-2p(1-p)+(1-p)(1-q).\)

Két dolgot használtunk fel, a várható (nyeremény)érték fogalmát, valamint az események függetlensége esetén fennálló szorzási szabályt. Tehát, hogy például \(A\) tesz és \(B\) nem tesz, annak esélye éppen  \(p(1-q)\). Vizsgáljuk most meg ezt a kifejezést.

Egyúttal vegyük észre, hogy \(B\) várható nyereménye éppen  \(-N_A(p,q)\), azaz amikor \(B\) nyere­mé­nye maximális, akkor \(A\) nyereménye minimális és fordítva, mivel pénzt csak egymástól nyer­nek el. Ha nincs se külső pénzforrás, se pénznyelő, akkor az ilyen játékokat szokás zérus­összegű játéknak nevezni, mivel a játékosok „nyereményeinek” összege mindig \(0\). Mielőtt to­vább vizsgálnánk a helyzetet, alakítsuk át (1)-et, a beszorzások elvégzésével és az egynemű ta­gok összevonásával adódik

(2)\(\displaystyle N_A(p,q)=8pq-3p-3q+1\).

Iskolás feladat, hogy egy kifejezést alakítsunk szorzattá, lehetőleg úgy, hogy az egyik ténye­ző­ben csak a p, a másikban csak a q szerepeljen. Így kapjuk

(3)\(\displaystyle N_A(p,q)=8\left(p-\dfrac{3}{8}\right)\left(q-\dfrac{3}{8}\right)-\dfrac{1}{8}\).

Most kezdhetjük bemutatni Neumann János gondolatát, amelyben feltételezi, hogy mindkét játékos intelligens, s a számára legjobb megoldást képes választani. A feltételezi, hogy \(B\) nagyon okos, tehát olyan \(q\) értéket választ, ami mellett nyeresége maximális, azaz \(A\) nyereménye minimális. Ezután jön a saját „okossága”, ami olyan \(p\) választást jelent, hogy a nyereménye maximális legyen. Ezt úgy fejezhetjük ki, hogy keressük a következő kettős szélsőértéket: \(\max_p\min_q N_A(p,q)\). Ugyanez \(B\) szemszögéből  \(\min_q\max_p N_A(p,q)\). Akkor van optimális megoldás mindkét játékosnak, ha a két szélsőértékhely egybeesik. Neumann éppen azt bizo­nyí­totta, hogy két játékos zérusösszegű játéka esetén mindig vannak olyan valószínűségek a döntési lehetőségeik halmazán, amely mindkettőjüknek a lehető legjobb. Ha ilyenkor a nyere­mény várható értéke \(0\), akkor igazságosnak mondjuk a játékot. Az optimumot az egység­négy­ze­ten ábrázolt felületet szemlélve, amit az \(N_A(p,q)\) függvény grafikonja rajzol ki, érthető, miért hívjuk nyeregpontnak. Lásd a mellékelt két ábrát illusztrációként.

Neumann számára az ötletet, amelyből kiindulhatott, a Young-tétel adhatta, mely szerint a két­változós függvény változók szerinti parciális deriváltjainak esetében a deriválás sorrendje felcserélhető, formálisan:  \(\frac{\partial^2N(p,q)}{\partial p\partial q}=\frac{\partial^2N(p,q)}{\delta p\delta q}\). Egyébként ezt a (2)-beli kifejezésünkön elvégez­ve is láthatjuk. Ha először \(p\) szerint deriválunk, a másik változót paraméternek véve, akkor kapjuk:   \(\frac{\partial N(p,q)}{\partial p}=8p-3\). Ezt tovább deriválva, most \(q\) szerint, adódik \(8\). Ha fordított sor­rend­ben végezzük el a parciális deriválást, akkor első lépésben  \(8p-3\) adódik, s ezt most \(p\) szerint deriválva, szintén \(8\) lesz az eredmény. A tételnek természetesen feltételei vannak, ame­lyek esetünkben teljesülnek. Ennek általában egy \(n\) változós analógiája szükséges, lásd a 3. pa­ragrafusát ennek a cikknek. Ezen túl azt is igazolni kell, hogy a szélsőérték az egység­négy­zet (egység-hiperkockába) belsejébe vagy legfeljebb a határára esik, mivel itt valószínűségek szerepelnek, melyek \(0\) és \(1\) közé kell, hogy essenek. Erre még visszatérünk.

Először vizsgáljuk meg a (3) kifejezést. Itt világos, hogy mivel a két paraméter külön­böző tényezőkben szerepel, látszik, hogy a másik játékától egy módon függetleníthetem ma­gam, ha a saját tényezőmet \(0\)-vá teszem, mert akkor a szorzat a másiktól függetlenül \(0\) lesz. Azaz mindkettőnek ez célszerű választás (esetünkben \(p = 3/8\) és \(q = 3/8\)), hiszen ilyenkor nem is kell a másikat figyelni. Azonban az is látható, hogy bármelyiküknek veszteséges lehet az ettől való eltérés, ha a másik elég intelligens. Akár \(A\), akár \(B\) szempontjából elvégezhetjük az elté­rést a fentebb meghatározott \(p\) és \(q\) értéktől akár felfelé, akár lefelé. Egy esetet bemutatunk, a másik hármat az olvasó is elvégezheti. Tehát pl. \(A\) játékos felfelé eltér a \(p = 3/8\) értéktől. Ezt, ha sokszor játszanak a megfelelő relatív gyakoriságból észreveszi \(B\). Mivel neki a függvény mi­nél kisebb értéke a célja (ha \(A\) nyeresége minimális, akkor az övé maximális) ezért ő lefelé fog eltérni a \(q = 3/8\) értéktől. Ekkor mivel a szorzat negatív lesz (ezért tér el éppen ellentétes irányban, mint \(A\)) több, mint \(1/8\) lesz a nyeresége átlagosan partinként. Tehát ha \(A\) intelligens, akkor jobb, ha nem tér el felfelé a \(3/8\)-tól. ugyanez igaz a lefelé eltérésre is. Ezért nevezzük ezt optimális értéknek számára. Hasonló érveléssel mondható el ez \(B\)-ről is. Azaz mindenféle mélyebb analízis ismeret nélkül, pusztán elemi algebrai okoskodással ebben az esetben meg­mu­tatható, hogy van mindkettő számára optimális valószínűség és ezzel játszva, a játék par­tin­ként átlagosan \(1/8\) egységet hoz \(B\)-nek. Tehát a játék nem igazságos. Ha választhatunk, ak­kor \(B\) szerepét kell kérnünk. Jó gyakorlás annak meggondolása, hogy a mi kifizetési mát­rixunk­ban egyetlen szám megváltoztatásával, hogyan lehetne elérni az igazságosságot.

Megjegyeznénk azonban egy „hamis okoskodást”, amellyel amellett lehetne érvelni, hogy ez volt az igazságos. \(B\) mindenképpen \(2\) egységet nyer, ha nyer. \(A\) átlagosan szintén \(2\) egységet, mivel \(1\) és \(3\) átlaga is \(2\). Ezért sokan igazságosnak gondolják a játékot. A hiba ebben a gondo­lat­ban az, hogy nem a \(p = \frac12\) az optimális stratégia, ezért \(A\) nem az átlagot nyeri partinként átlagosan!

3. Az egyszerű \(\mathbf{2\times 2}\)-es játék általánosítása és az alaptétel kimondása

A bemutatott és elemzett játék egyszerű általánosítása, ha nem csak két lehetőség van a játé­ko­sok számára, hanem több, pl. mindegyik tehet \(1\) vagy \(2\) vagy \(3\) érmét is. Ekkor mindkettő­nek \(4\) lehetősége van. Ehhez is kell egy kifizetési mátrixot rendelni, s akkor megkérdezhető, hogy ezúttal miként játszanak. Egy példát adjunk erre a következő mátrix segítségével, foly­tat­va a szimmetrikus \(A\) és az aszimmetrikus \(B\) játékos elvét és a pénzérmék össze­ge plusz egy elvet a nyeremény meghatározásához. Ezt követve kaphatjuk meg a következő kifizetési mátrixot vagy inkább táblázatot:

A nyeremény várható értékét kell itt is felírni, ahol az \(A\) játékos négy lehetséges választásának esélyei legyenek \(p_0\), \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), míg hasonlóan a \(B\) játékoséi: \(q_0\), \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\). Ezekkel a jelölésekkel kapjuk:

(4) \(\displaystyle N_A(p,q)=\sum\limits_{i=j}(i+j+1)p_iq_j-\sum\limits_{i\neq j}(i+j+1)p_iq_j\)

továbbá \[\displaystyle\sum\limits^3_{i=0}p_i=\sum\limits^3_{j=0}q_j=1.\]

Azonban most lesz egy nagy nehézség az eddig bemutatott módszerrel kapcsolatban, nevezetesen most már legalább három \(p\) és \(q\) érték kell, azaz \(6\) ismeretlenes lesz a várható nye­re­mény-függvény, egyet a két feltétel miatt kifejezhetünk a többivel. Ennek szemlélte­té­sé­re egy hétdimenziós térre lenne szükségünk. Így a „nyeregpont” már nem látszik, ezért a szem­lé­letes megoldás kiesik, másrészt a fentebb leírt szorzattá bontás esetleg akár több tényezővel, de úgy, hogy ezek közül egyesek csak p-ket, mások pedig csak \(q\)-kat tartalmaznak, nem vezet ered­mény­­re. Már a kisebb háromszor kettes esetben is baj van, tehát ha csak az egyiknek van \(3\) le­he­tősége. Ezekben az esetekben már komolyabb eszközökre van szükség, amelyet ma ép­pen pl. a számítógépek segítségével lehet elvégezni. Az alaptétel szerint ilyenkor is van opti­má­lis valószínűség-eloszlás a lehetőségeink halmazán, amelytől sem \(A\), sem \(B\) nem tér el, ha intelli­gens játékosok. Neumann tétele tehát az egzisztenciáról szól, ezt sikerült belátnia még 1928-ban megjelent cikkében [5]. A tétel  a következő:

Ha van egy kétszemélyes zérusösszegű játék, akkor mindig létezik mindkét játékos számára olyan optimális kevert⁴ stratégia, amelytől való eltérés nem kedvező, azaz mindig létezik nyeregpontja a játéknak. Ez az ún. Minimax (Maximin)-tétel, vagy a játékelmélet alaptétele.

Az eloszlás numerikus kiszámítása azonban bonyolult feladat. Az egzisztenciát eredetileg topologikus módszerekkel sikerült Neumannnak igazolnia, mára azonban egészen más mód­sze­rek is létez­nek, amelyek közül egy már a Morgensternnel írt közös könyvben [3] is megje­le­nik. A téma tör­té­netét elég részletesen ismerteti Kóczy Á. László cikke [6], amelyben beszá­mol a máig nyúló fejlődéséről is. Csupán az érdekesség kedvéért je­gyez­zük meg, hogy végül a téma első Nobel- díjasa az a John F. Nash⁵ lett, aki a nemkooperatív játékok egyensúlyi állapotainak  vizsgálata során végzett úttörő munkásságáért, főleg annak jelentős közgazda­sá­gi al­kal­mazásai miatt megosztva közgazda­sá­gi Nobel díjat kapott a magyar származású, Har­sányi Jánossal, valamint R. Seltennel 1994-ben. Ez a terület a Neumann-féle elmélet egyik általánosítása.

Milyen meglepő, hogy Harsányi János is éppen a legendás evangélikus Fasori Gimnáziumban tanult és érettségizett, mint Neu­mann, csak majdnem 20 évvel később. Mindkettejüket ma egy emléktábla örökíti meg az iskolában, a hasonlóképpen itt tanult Wigner Jenővel együtt. A szintén János kereszt­név viszont már talán igazi véletlen…

4. Didaktikai megjegyzés

Sokféle oktatási struktúrába illeszthetjük a bemutatott játékot. Lehet akkor foglalkozni vele, ami­kor már valószínűségszámítást tanultak a diákok (legalább a függetlenség esetén a szorzási sza­­bályt és a várható érték fogalmát is bevezettük már). Ekkor ezekre lehet hivat­kozni. Ebben az esetben egy modellezési feladatról van szó, amelyhez a szükséges matematika ismert, tehát alkalmazásról beszélhetünk. Van azonban másik lehetőség is, éppen a valószí­nűség­számítás tanulásának motiválása, amikor pl. az eloszlások és ezek várható értékének bevezetését szeret­nék megcélozni. Ekkor a bemutatott feladat már probléma és éppen az a célja a foglalkozás­nak, hogy a megoldáshoz milyen „elméletet” kell, hogy fejlesszünk. Ez az út sokkal időigé­nye­sebb, de a megértést és a motiváció által a tanulást is segítheti. Bármely lehetőséget is vá­laszt­juk, célszerű a játékot sokszor eljátszatni, amit időtakarékosságból lehet szabadidős te­vékenység terhére és nem a matematika óra idején folytatni. Ott már csak a megfigyelések összegzése történne. A szerző saját tapasztalatai szerint a véletlen stratégia szükségességére rájönnek a tanulók, azonban a következő lépésben segíteni kell, mármint, hogy mit jelent itt a véletlen szerepe és hogyan lehet „alkalmas” véletlent választani. Azaz a várható érték felírása átlagos tanulóknál (ahol a kísérlet folytatódott) segítség nélkül nem várható el. A megoldás is­me­retében a kérdés, hogy milyen esetben lenne igazságos, már nem nehéz, ha csak a főátló­ban változtathatunk és az 1-est nem így csak a \(3\)-at lehet módosítani. Mivel jelenleg \(B\)-nek ked­vez a játék, \(A\) többet kell, hogy nyerjen, így \(3\)-nál nagyobb szám kell. A számolás ellenőr­zé­sére közöljük a megoldást, amely talán meglepő, de éppen a 4.

5. A játékelmélet további, iskolában is megmutatható alkalmazásai

Ehhez igen gazdag az irodalom, az első ilyen tárgyú munka a már említett Neumann és a közgazdász Morgenstern közös könyve [3]. Egy igazán gazdag tartalmú, didaktikailag is jól felépített és szerteágazó kapcsolatokat bemutató könyv Mérőtől származik [7]. Ebben kezdve a pszicho­lógiától, viselkedés-lélektani, társadalmi és biológiai példák mellett a kvantum­mecha­nika ilyen szemléletű bemutatása is szerepel. Az evolúciós biológia területén Dawkins  génekről írt könyve [8] tartalmazza annak leírását, hogy miként lehet az evolúció modelle­zé­sére ezt az elméletet sok esetben használni. Végül két, még az elmúlt század hetvenes évei­ben a Műszaki Kiadónál megjelent könyvet említenénk meg, melyek közül a későbbi [10]-ben még irodalmi alkalmazásokat is olvashatunk, így Sherlock Holmes a híres detektív és a bűnö­ző Moriarty „párbaját a vonaton”. Méltánytalanul elfeledett, pedig akár középiskolás diákok­nak is bátran ajánlható művekről van szó. Közülük a háromszerzős (egyikük Kemény János – már megint János! – magyar származású amerikai matematikus, aki a Basic nyelv kidolgozá­sá­val, Neumannhoz hasonlóan a számítástechnikában is jelentőset alkotott. Ő azonban a középiskolát már Amerikában járta ki, mivel az általános iskola elvégzése után  zsidó származású szüleivel az Egyesült Államokba menekültek.) Ebben a könyvben [9], elsősorban diszkrét matematikát és valószínűségszámítási témákat dolgoznak fel, mátrixok komoly alkalmazásá­val. Mégis elemi tárgyalásmódja lehetővé teszi a matematikában kevésbé jártas olvasónak is a megértést, s egyben a modern matematika egyes elemeinek közérthető bemutatását nyújtja, kiváló példát mutatva a népszerűsítésre és a matematika szélesebb közönséghez eljuttatására. Egyben nagyon alkalmas tanárok számára is néhány az iskolában korábban nem szereplő téma egy lehetséges tárgyalására. Azért említem meg, mert a témánkhoz tartozó feladatokat is találhatunk benne.

6. Irodalom

[1] Staar Gy.: A megélt matematika – beszélgetések. Gondolat Kiadó Budapest 1990

[2] Neumann, J.: A kvantummechnika matematikai alapjai. Akadémiai Kiadó, Budapest 1980

[3] Morgenstern, O., von Neumann, J.: Theory of Games and Economic Behavior. University Press Princeton 2004 (Először 1944-ben jelent meg, mint a játékelmélet első monográfiája).

[4] Lovász, L.: Algoritmusok bonyolultsága. Egyetemi jegyzet, ELTE Matematikai Intézet A 2014-es változata elérhető: http://www.cs.elte.hu/~kiraly/alg.pdf

[5] Neumann, J.: Zur Theorie der Gesellschaftspiele. Mathematische Annalen, 100. 295– 320. (1928)

[6] Kóczy Á., L.: A Neumann-féle játékelmélet. Közgazdasági Szemle, LIII. évf., 2006. január (31–45. o.) online: http://epa.oszk.hu/00000/00017/00122/pdf/02koczy.pdf

[7] Mérő, L.: Mindenki másképp egyforma. Tercium Kiadó 2007

[8] Dawkins, R.: Az önző gén. Gondolat 1986

[9] Kemeny, Snell, Thompson: A modern matematika alapjai. Műszaki Kiadó 1971

[10] Williams J. D.: Játékelmélet. Műszaki Kiadó 1972

Vancsó Ödön,
ELTE TTK

Lábjegyzetek

¹Lénárt István már nagyon sok iskolában elterjedt eszközéről a Lénárt gömbről lehet egy videót megnézni a http://lenartgomb.hu/ honlapon.

² Régi játék, amelyet akárhányan játszhatnak. Mindenki 0 vagy 1 vagy 2 egyforma (pl. 5 forintos) pénzérmét tehet a kezébe. A kezdő mond egy számot a kezekbe levő összes pénzérmék számának becslésére, az utána következő ha­sonlóképpen, de az előző által mondott szám már foglalt. Ezt folytatva mindenki mond sorban egy számot, amely a megelőzőkétől különböző kell, hogy legyen. Az nyer, aki eltalálja a pénzdarabok számának összegét, ha ilyen nincs, akkor az, aki a legközelebbi egész számot mondta. A nyeremény a kezekben levő összes pénzdarab. Döntetlen esetén feleznek (ami akkor lép fel, ha pl. összesen 7 pénzdarab van a kezekben, ezt a számot senki nem mondta, de van 6 és 8 is tippként).

³Lásd pl. a Wikipédián: https://hu.wikipedia.org/wiki/Andrej_Nyikolajevics_Kolmogorov

⁴Kevert stratégia azt jelenti, hogy nem az egyiket vagy a másikat választom szisztematikusan, hanem, véletlen szerint „keverem” a választásomat minden egyes partiban. Az egyes stratégiákhoz tartozó valószínűség­értékek­nek van mindig optimális választása, erről szól a tétel.

⁵Róla még egy kiváló könyv és annak filmfeldolgozása is született „Egy csodálatos elme” címmel.