A frém (angolul: frame, és a matematikai zsargonban magyarul is a frém szó terjedt el) Hilbert-térbeli vektoroknak egy olyan halmaza, amelynek segítségével más vektorok kifejtését adhatjuk meg, hasonlóan egy bázis szerinti kifejtéshez, noha a frém általában redundáns vagy túltelített. Véges dimenzióban egy frém nem más, mint egy generáló vektorrendszer, de ez az állítás nagyrészt elkendőzi mind a frémek számos gyakorlati alkalmazását, mind pedig a velük kapcsolatban felmerülő mély és megoldatlan matematikai problémákat. Végtelen dimenzióban sok árnyalata van a „generáló” és a „független” szavaknak, és a legfontosabb frémek némelyike túltelített, noha bármely véges részrendszere lineárisan független vektorokból áll. Itt nincs helyünk az alkalmazások részletes tárgyalására, de fontos tudni, hogy ezek keltették fel a frémekkel kapcsolatos érdeklődést. Egy rövid és nem teljes lista az alkalmazásokról a következő: analóg-digitális jelátalakítás, Sigma—Delta-kvantálás, jelrekonstrukció, és nagy adathalmazok elemzése.
A frém fogalmát Duffin és Schaeffer vezették be 1952-ben a Transaction of the AMS-ben megjelent cikkükben. Ebben a cikkben (amely a tiszta érvelés mintapéldánya, és amelyet a mai napig érdemes elolvasni), egy \( H\) Hilbert térbeli \( F=(f_n)_{n\in J}\) vektorrendszert (ahol \( J\) megszámlálható indexhalmaz) frémnek definiáltak, ha léteznek olyan \( A, B >0\) konstansok, amelyekre \[\displaystyle A\Vert f\Vert^2\le \sum_{n\in J} \vert\langle f, f_n \rangle \vert^2\le B\Vert f\Vert^2\] teljesül minden \( f\in H\)-ra.
Sajnálatos módon Duffin és Schaeffer már nincsenek közöttünk, és senki sem kérdezte meg őket, hogy miért a frém elnevezést vezették be. Vajon azért, mert \( A\Vert f\Vert^2\) és \( B\Vert f\Vert^2\) két oldalról korlátozzák a középen álló összeget? (Az angol frame szó korlátot is jelent; megjegyzem aligha ez az elnevezés valódi magyarázata — a ford.) Ezt már sohasem tudjuk meg. Akárhogyan is, egy frémet feszesnek nevezünk, ha \( A=B\), és Parseval-frémnek, ha \( A=B=1\).
Minden ortonormált bázis egyben Parseval-frém is, de egy Parseval-frém nem feltétlenül ortogonális vagy akárcsak bázis. A Mercedes-frém a síkon (1. ábra, \( \{w_1, w_1, w_3\}\)) egyszerű példát szolgáltat egy feszes frémre (ahol \( A=B=3/2\)). Ha átskálázzuk, \( u_i=cw_i\), \( c=(2/3)^{1/2}\), akkor egy \( \mathbb{R}^2\)-beli Parseval frémhez jutunk. Ekkor minden \( v\in \mathbb{R}^2\) esetén \[\displaystyle v=(v\cdot u_1)u_1+(v\cdot u_2)u_2+(v\cdot u_3)u_3.\]
Az együtthatók egy ilyen kifejtésben nem egyértelműek, hiszen \( \{u_1, u_2, u_3\}\) lineárisan összefüggnek, de ez még előnyös is lehet számos szituációban. Véges dimenzióban gyakran sokkal nagyobb vektorrendszerből álló frémet keresünk egy magas dimenziós térben: például létezik-e 97 darab egységvektor \( \mathbb{R}^{43}\)- ban, amely feszes frémet alkot? Ehhez egyenletesen eloszló pontrendszert kéne találni a 43-dimenziós gömb felszínén, ahol az egyenletesség azonban nem egészen a szokványos értelemben értendő. Egységvektorokból álló feszes frémeket \( \mathbb{R}^d\)-ben és \( \mathbb{C}^d\)-ben FUNTF-oknak hívunk (az angol szavak rövidítése nyomán). Benedetto és Fickus a FUNTF-okat egy bizonyos potenciálhoz tartozó energiafüggvény minimumaként karakterizálta. Ma is aktív kutatási téma olyan FUNTF-ok keresése, amelyben a vektorok azonos szögeket zárnak be, vagy legalábbis közel azonos szögeket. Az ilyen frémek hasznosak lennének például a jelfeldolgozásban.
Ha \( F=(f_n)_{n\in J}\) frém egy \( H\) Hilbert térben, akkor \( Sf=\sum_{n\in J}\langle f, f_n \rangle f_n\) egy \( H\)-t önmagára képező folytonos lineáris bijekciót definiál. Az \( F\)-hez tartozó duális frém a következő: \( \tilde{F}=(\tilde{f}_n)_{n\in J}\), \( \tilde{f}_n=S^{-1}f_n\). Ekkor minden \( f\in H\)-ra teljesül, hogy
| \(\displaystyle f=\sum_{n\in J} \langle f, \tilde{f}_n \rangle f_n.\) | \((1)\) |
Ha a frém feszes, akkor \( \tilde f_n=\frac{1}{A}f_n\). Általában az \( \langle f, f_n \rangle\) együtthatók nem az egyetlenek, amelyekre \( f=\sum c_nf_n\) teljesül, de az (1) egyenlet hasznos stabilitási tulajdonságokkal rendelkezik. Egyrészt, a fenti sor feltétlenül konvergens, azaz bármely átrendezése konvergens. Másrészt, az \( f\)-hez tartozó lehetséges \( c_n\) együttható sorozatok közül a fenti \( \langle f, \tilde{f}_n, \rangle\)-nek van a legkisebb \( l^2\) normája (noha gyakran az alkalmazásokban a legkisebb \( l^1\) normájú együttható-sorozatot keressük). Az (1) szerinti előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha \( F\) egy Riesz-bázis, azaz egy ortonormált bázis folytonos lineáris bijekció általi képe. Egy Riesz-bázisnak semmilyen részhalmaza nem alkothat frémet, de ha egy frém nem Riesz-bázis, akkor biztosan van olyan valódi részhalmaza, amely szintén frém.
Miért van szükségünk olyan frémekre, amelyek nem ortonormált bázisok vagy legalábbis Riesz-bázisok? A klasszikus mintavételi tétel (más néven a Nyquist—Shannon sampling theorem) az információelmélet és jelfeldolgozás egyik alapköve. A mintavételi tétel azzal ekvivalens, hogy az \( E_b=\{e^{2\pi i bnx}\}_{n\in \mathbb{Z}}\) sorozat feszes frémet alkot \( L^2[0,1]\)-ben minden \( 0<b\le 1\) esetén. Ha \( b=1\), akkor ortonormált bázist kapunk. Azonban ha \( b<1\), akkor \( E_b\) nem alkot Riesz bázist \( L^2[0,1]\)-ben, így a frém szerinti kifejtésben az együtthatók nem egyértelműek (noha \( E_b\) minden véges részrendszere lineárisan független). Ha \( b=1/N\) akkor \( E_b\) \( N\) darab ortonormált bázis uniója, de általában \( E_b\) nem írható fel ortonormált bázisok uniójaként. A mintavételezési tétel van a sávkorlátozott jelek digitális kódolása mögött: \( b\le 1\) szükséges ahhoz, hogy reményünk legyen rekonstruálni az eredeti jelet a digitális kódból. \( b<1\) felel meg a „túlmintavételezésnek”, avagy annak, amikor a frém, amit használunk, nem Riesz-bázis. A „8-szorosan túlmintavételezett” felirat a CD-ken ezzel áll szoros kapcsolatban. A túlmintavételezés segít a zajok kiszűrésében és a hibajavításban is.
Sok egyszerűnek hangzó kérdés frémekkel kapcsolatban mély matematikai problémákhoz vezet. Például, természetes megkérdezni, hogy karakterizálni tudjuk-e a redundancia fogalmát, elsősorban végtelen frémek esetén. Általában egy frém nem írható fel ortonormált bázisok uniójaként, de vajon felírható-e minden \( F=\{f_n\}_{n\in J}\) frém nemredundáns \( E_1, \dots E_N\) részrendszerek uniójaként? Ezt úgy értjük, hogy egy \( E_i\subset F\) részrendszer nemredundáns, ha Riesz-bázist alkot az általa kifeszített altér lezártjában. Egy ilyen részhalmazt Riesz-sorozatnak is hívunk. (Véges dimenzióban ez egyszerűen a lineáris függetlenségnek felel meg.) Eltekintve a triviális \( \Vert f_n\Vert\to 0\) esettől természetesnek látszik a következő sejtés:
Feichtinger-sejtés. Ha \( F=\{f_n\}_{n\in J}\) frém a \( H\) Hilbert térben és \( \inf \Vert f_n\Vert>0\), akkor léteznek olyan \( E_1, \dots, E_N\) Riesz-sorozatok, amelyeknek uniója \( F\).
Casazza és Tremain megmutatták, hogy a Feichtinger-sejtés ekvivalens a Kadison–Singer-sejtéssel avagy a „kirakási” sejtéssel (Paving conjecture), amelyet az operátorelmélet egyik legmélyebb nyitott kérdésének tartottak (azóta már sikerült megtalálni a megoldást, lásd pl. The Solution of the Kadison–Singer Problem https://arxiv.org/abs/1712.08874 — a ford.).
Kirakási sejtés (Paving conjecture): Minden \( \varepsilon >0\)-hoz létezik olyan \( M>0\), hogy minden \( n\)-re és minden \( n\times n\)-es 0 főátlójú \( S\) mátrixra létezik egy olyan \( \{\sigma_1, \dots, \sigma_M\}\) partíciója az \( \{1, \dots, n\}\) halmaznak, amelyre \[\displaystyle \Vert P_{\sigma_j}SP_{\sigma_j}\Vert\le \varepsilon \Vert S\Vert, \ \ j=1, \dots, M,\] ahol \( P_I\) a \( \operatorname{span}\{e_i\}_{i\in I}\) altérre való ortogonális projekciót jelöli, és \( \Vert \cdot \Vert\) az operátornorma.
Duffint és Schaeffert különösen érdekelték az \( E=\{e^{2\pi i \lambda_n x}\}_{n\in \mathbb{N}}\) alakú frémek \( L^2[0,1]\)-ben, ahol \( \lambda_n\) tetszőleges valós vagy komplex sorozat. Az ilyen nemharmonikus Fourier-frémek nemegyenletes mintavételi tételeket adnak sávkorlátozott jelek esetében. És noha a frémek elmélete Duffin és Schaeffer után még sok évig nem került reflektorfénybe, a nemegyenletes mintavétel manapság egy nagyon fontos terület mind a sávkorlátozott mind a nem-sávkorlátozott jelek feldolgozásában; felmerül például a mágneses rezonancia vizsgálat (MRI) során is.
1986-ban Daubechies, Grossmann és Meyer újra a frémekre irányították a figyelmet az \( L^2(\mathbb{R})\)-beli Gábor-frémekkel és wavelet frémekkel kapcsolatos munkájukkal. Egy (rácsos) Gábor-frém a következő formájú: \( G(g,a,b)=\{e^{2\pi i bnx} g(x-ak)\}_{k,n\in \mathbb{Z}}\), ahol \( g\in L^2(\mathbb{R})\) és \( a,b>0\) (természetesen a \( g, a, b\) paramétreket megfelelően kell választani, hogy ténylegesen frémet kapjunk ilyen módon). Tehát egy Gábor-frémet úgy kapunk hogy egyetlen \( g\) függvényre alkalmazzuk eltolásoknak és modulációknak egy diszkrét halmazát. Emiatt ezek a frémek kapcsolódnak a reprezentáció-elmélethez, a Heisenberg csoporthoz és a határozatlansági elvhez is. Például a Balian–Low tétel azt mondja, hogy ha egy Gábor-frém egyúttal Riesz-bázisa is \( L^2(\mathbb{R})\)-nek, akkor a \( (\int_{-\infty}^\infty \vert xg(x)\vert^2dx)(\int_{-\infty}^\infty \vert\xi \hat{g}(\xi)\vert^2d\xi)\) Heisenberg-féle szorzat mindenképpen végtelen. Ezért az ilyen Gábor-frémek kevésbé hasznosak. Másfelől viszont Feichtinger és Gröchenig megmutatták, hogy ha \( G(g,a,b)\) Gábor-frémet alkot \( L^2(\mathbb{R})\)-ben, akkor ez a frém stabil bázis-szerű kifejtést biztosít nem csak négyzetesen integrálható függvényekre, hanem bármely \( M_w^{p,q}\) modulációs térben lévő függvényre is. Így aztán az egyszerű Hilbert-térbeli frém feltétel automatikusan maga után von sokkal általánosabb kifejtési tételeket egyéb függvényterekben. Hasonló kifejtési tételek érvényesek „irreguláris” Gábor-frémek esetében, azaz \( \{e^{2\pi i b_kx} g(x-a_k)\}_{k\in \mathbb{N}}\) alakú frémekre, noha a bizonyítások sokkal bonyolultabbak. A legújabb ilyen irányú eredmények a Wiener-lemma nemkommutatív Banach-algebrákra vonatkozó verzióját használják.
Egy wavelet frémet eltolásokkal és skálázásokkal kapunk. Nevezetesen, ha \( \psi \in L^2(\mathbb{R})\) és \( a,b>0\), és \( W(\psi, a, b)=\{a^{n/2}\psi(a^nx-bk)\}_{k,n\in \mathbb{Z}}\) frémet alkot, akkor azt wavelet frémnek nevezzük. A Gábor-frémekkel ellentétben itt lehet találni olyan szép \( \psi\) függvényeket, amelyekre \( W(\psi, a, b)\) Riesz-bázis \( L^2(\mathbb{R})\)-ben, sőt olyanokat is, amelykre ortonormált bázis. Meyer, Mallat, Daubechies ezen észrevétele volt a „wavelet forradalom” kezdete. Egy „viszonylag szép” \( \psi\) függvény által generált wavelet frém vagy ortonormált bázis szerint nemcsak \( L^2(\mathbb{R})\)-beli függvények kifejtéseit adhatjuk meg, hanem egy sor fontos Banach-térbeli függvényét is, beleértve Sobolev-tereket, Besov-tereket és Triebel–Lizorkin-tereket. A wavelet frémeknek fontos alkalmazásai vannak napjainkban, csakúgy mint az egyéb általánosításaiknak, amelyeket video- és képfeldolgozásban hasznosítanak. A frémeknél is jobban túltelített rendszerek pedig a tömörített érzékelés (compressed sensing) és a ritka reprezentációk (sparse representation) alapjait adják.
Végül megemlítünk még egy nyitott problémát. Nem nehéz belátni, hogy a Duffin és Schaeffer által tanulmányozott nemharmonikus \( \{e^{2\pi i \lambda_n x}\}\) rendszer bármely véges részhalmaza lineárisan független. A \( G(g,a,b)=\{e^{2\pi i bnx} g(x-ak)\}_{k,n\in \mathbb{Z}}\) rácsos Gábor-rendszerekre szintén teljesül ez a tulajdonság, még akkor is ha nem alkotnak frémet. Nem ismert azonban ez a tulajdonság irreguláris Gábor-rendszerekre. Ezen írás megszületése idején a következő sejtés továbbra is nyitott (amennyire tudom, azóta is — a ford.):
Idő- és frekvenciaeltolások lineáris függetlenségi sejtése: Ha \( g\in L^2(\mathbb{R})\) nem azonosan nulla, és \( \{(a_k, b_k)\}_{k=1}^N\) valós számpárok véges halmaza, akkor a \( \{e^{2\pi i b_k x}g(x-a_k)\}_{k=1}^N\) függvények lineárisan függetlenek.
Ezt a sejtést HRT-sejtés néven is ismerik. Sok speciális esete már bizonyított, de teljes általánosságban továbbra is nyitott. Ismert például \( N=1, 2, 3\) esetén, de nyitott \( N=4\)-re még akkor is ha feltesszük, hogy \( g\) végtelenszer differenciálható. Sőt, még az alábbi az alábbi sejtés is nyitott:
HRT-részsejtés: Ha \( g\in L^2(\mathbb{R})\) nem azonosan nulla, és végtelenszer differenciálható, akkor \( \{g(x), g(x-1), e^{2\pi i x}g(x), e^{2\pi i\sqrt{2}x}g(x-\sqrt{2})\}\) lineárisan független halmaz.
Christopher Heil
Irodalomjegyzék
[CK13] P. G. Casazza and G. Kutyniok, eds., Finite Frames, Birkhäuser/Springer, New York, 2013.
[Chr03] O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases, Birkhäuser, Boston, 2003.
[Heil11] C. Heil, A Basis Theory Primer, Expanded Edition, Birkhäuser, Boston, 2011.
[You01] R. Young, An Introduction to Nonharmonic Fourier Series, Revised First Edition, Academic Press, San Diego, 2001.
Christopher Heil a Georgia Institute of Technology matematikaprofesszora. E-mailcíme: heil@math.gatech.edu. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/noti1011. A cikk eredetileg a Notices of the American Mathematical Society folyóiratban 2013-ban jelent meg a What is… rovatban. Ez a fordítás a szerző és az AMS engedélyével jelenik meg. A fordítást készítette: Matolcsi Máté.
Christopher Heil, “What is…a Frame?” Noces Amer. Math. Soc., 60, No. 6 (June/July 2013) 748-750. ©2013 American Mathemacal Society.
Fotó: https://www.pexels.com/photo/abstract-art-artistic-design-310446/
