Nagy élvezettel olvastam Matolcsi Máté fordításában megjelent interjút, amelyet John Nash adott közvetlenül tragikus halála előtt. Furcsa érzés, hogy megjegyzéseket fűzök egy páratlan lángelme interjújához, de a források világosan bizonyítják, hogy fontos pontokon téved.
Lássuk e tévedéseket.
1. Nash nem emlékszik arra, hogy Neumann és Morgenstern mikor bizonyította be a nevezetes minimax-tételt.
2. Nash szerint Neumann a játékelméleti cikkében (1928) még nem használt fixponttételt, de nevezetes növekedéselméleti cikkében (1937) már igen.
3. Nash szinte érthetetlen udvariassággal jellemzi Neumann kicsinyességét, ti., hogy a karrierje csúcsán álló polihisztor nem volt elragadtatva a Ph.D. diák Nash ragyogó egyensúly-definíciójától és létezésének elegáns bizonyításától: Csak arra volt képes, hogy a hírt hallván kibökje: „a bizonyítás a fixponttételen alapul”. Saját felfedezésének nagyszerűségét Nash nem adta át az olvasóknak.
Lássuk a forrásokat.
1. Morgenstern egy közönséges közgazdász volt, aki Neumann mellett csak segédként szolgált a könyvírásban (1944), ezt a sorrendet fejezte ki Neumann, amikor saját nevét Morgernstern elé tette. Ketten együtt semmilyen minimax-tételt nem igazoltak, de nem is kellett, hiszen Neumann már 1928-ban bebizonyította nevezetes tételét (vö. 2. pont). Persze, közös könyvükben szerepel Neumann minimax-tétele.
2. Lehet, hogy 1928-as cikkében Neumann nem hivatkozott Brouwer 1913-as nevezetes fixponttételére, de lehetetlen volt megkerülnie. Való igaz, hogy később mások észrevették, hogy a legegyszerűbb, véges mátrixokra vonatkozó minimax-tétel belátható a jóval egyszerűbb lineáris programozással is.
3. Az előző kettőnél hosszabb lesz ez a pont. Kezdjük Nash (1950, 1951) zseniális egyensúlyi definíciójával. Van \(n > 1\) játékos, indexük \(i =1, 2, \dots, n\). Az \(i\)-edik játékos stratégiahalmaza \(S_i\) (például egy véges dimenziós térbeli kompakt halmaz), egy tetszőleges eleme pedig egy stratégia: \(s_i\). Vezessük be az \(i\)-edik játékos \(s_i\) stratégiáját kiegészítő stratégiák együttesére az \(s_{-i}\) jelölést. Feltesszük, hogy az \(i\)-edik játékos hasznosságfüggvénye mindegyik játékos stratégiájától függhet: \(u_i(s_i, s_{-i})\). Az (\(s_i^*\)) vektor Nash-egyensúlyt alkot, ha semelyik játékos nem növelheti saját hasznosságát, ha egyoldalúan eltér \(s_i^*\)-től, miközben a többiek ragaszkodnak a saját egyensúlyukhoz. Képletben: \[u_i(s_i^*, s_{-i}^*)\geq u_i(s_i, s_{-i}^*),\qquad i =1, 2, \dots, n.\]
Persze, nem világos, hogy létezik-e ilyen egyensúly, de megfelelő feltevések mellett Nash ezt is belátta.
Neumann eredetileg egy egészen speciális esetet vizsgált: \(n = 2\) és \(u_1(s_1, s_2) = – u_1(s_1, s_2)\), és folytonossági és kvázikonkavitási feltételek mellett erre az esetre bizonyította be a minimax-stratégiának nevezett egyensúly létezését, például, ha véges mátrixjátékot kevertek a játékosok.
Bár a kétszemélyes nullaösszegű játék fontos szerepet játszik a játékelméletben, közvetlenül ritkán alkalmazható a közgazdaságtanban, ahol több mint két játékos van, és hasznosságuk összege ritkán 0 (vagy állandó). Ezért volt korszakalkotó Nash felfedezése a többszereplős, általános hasznosságfüggvényű játékokról. A Nash-egyensúly (még más néven) pár éven belül a játékelméletből átkerült a matematikai közgazdaságtanba, és például Arrow és Debreu 1954-es cikkükben már közvetlenül alkalmazta a piaci egyensúly létezésének bizonyításához.
Csupán egyetlenegy kritikai megjegyzést merek fűzni Nash eredeti cikkéhez (1951). Ahelyett, hogy vázolta volna, hogy ilyen elméletre van szükség a néhány vállalat (például a Ford, a GM és a Chrysler) versengésének leírásához, a 3-személyes pókert elemezte. Szenvedélyes játékosként külön erőfeszítést tett, hogy belássa: minden szimmetrikus játéknak létezik szimmetrikus Nash-egyensúlya.
Simonovits András
